Weekend Mathematics／問題／問題33

３３．円の問題


円の直径ＡＢを２点Ｃ、Ｄによって３等分して、 ＡＢの一方の側にＡＣとＡＤを直径とする半円を描きます。 そして、もう一方の側にＢＤとＢＣを直径とする半円を描きます。 このとき、分けられた３つのエリアのうち一番面積の大きいのはどれでしょう？　　　 左から、１番青、２番黄色、３番緑のいずれかで答えてください。








問題の出典


悩め！パスラ−(挑戦その１)

アンジェラ・フォックス・ダン編

啓学出版






答えと解説












答えと解説

解答・その１

（ペンネ−ム：マサボー）

円の半径を３ｒとして、円の半分を１８０回転すると（裏返しと云うかも） 黄色の面積は半径２ｒの円から半径ｒの円の面積を引いたものとなるので、
黄色の面積は　π(２ｒ)２−πｒ２＝３πｒ２
青と緑の面積は等しく、その面積は全体から黄色の面積を引き、２で割ったものなので
青、緑の面積 = {π(３ｒ)２ー３πｒ２｝/２ = ３πｒ２
よって全ての色の面積は等しい。



解答・その２

（ペンネ−ム：海津北高校１年２組全員）

ＡＢ＝６ｃｍとおく。
半径３ｃｍの大円の面積は、３×３π＝９π
半径２ｃｍの中円の面積は、２×２π＝４π
半径１ｃｍの小円の面積は、１×１π＝π
よって、
@の面積は、　１／２｛（大円）−〈中円）＋（小円）｝
＝１／２｛９π−４π＋π｝
＝３π
Aの面積は、　｛〈中円）−（小円）｝
＝４π−π
＝３π
Bの面積は、　１／２｛（大円）−〈中円）＋（小円）｝
＝１／２｛９π−４π＋π｝
＝３π
従って、三つのエリアの面積は同じ。




解答・その３

（ペンネ−ム：小春）

これは全部同じ大きさではないのでしょうか？
図の書き方が分からないので全部言葉で書かせてもらいます。
まず、問題の図のＡＢの上半分だけを考えます。
半円ＢＤの面積を１とおくと、辺と面積の相似比から半円ＢＣ、半円ＢＡの面積 はそれぞれ４、９になるので、 緑、黄、青の面積はそれぞれ１、３、５となります。
これで下半分の面積も同じなので、 結局３つの面積はすべて６になりました。　



解答・その４

（ペンネ−ム：sambaGREEN）

３つの半円の直径の比は１：２：３。従って面積比は１：４：９
直径ＡＢの左上の部分の　緑：黄：青＝１：３：５
直径ＡＢの右下の部分の　緑：黄：青＝５：３：１
ゆえに，面積はすべて等しい。



解答・その５

（ペンネ−ム：ちゃめ）

まず直径を任意に３つに分割する場合を考えます。
円の直径ABを２とする。
AC=2a, BD=2b, CD=2c とする。
0＜a, b, c＜1　　a+b+c=1　　である。
左青、中央黄、右緑の面積をそれぞれB, Y, Gとする。
円周率をπとすると、 図から、
2B/π = 12-(1-a)2+a2=2a
B=a×π
同様に、 G=b×π
また、 2Y/π = (a+c)2-a2 + (b+c)2-b2 = 2c×(a+b+c)=2c
よって、 Y=c×π
以上から、 B : Y : G = a : c : b = AC : CD : BD
すなわち面積比は直径を分ける比に等しい。
よってＣ、Ｄが３等分点である場合は、 ３つのエリアの面積はすべて等しい。
（答え）　青、黄、緑いずれも最大である。（いずれも最大でない？）



解答・その６

（ペンネ−ム：かに）

AB=r, AC=r1, CD=r2, DB=r3 とすると (r1+r2+r3=r)
青色のエリアの面積は
1/2π(r/2)(r/2)-1/2π(r2+r3/2)(r2+r3/2)+1/2(r1/2)(r1/2)
=1/8πr×r-1/8π(r-r1)(r-r1)+1/8πr1×r1
=1/4πr×r1
同様にして
黄色のエリアの面積は　 1/4πr×r2
緑色のエリアの面積は　 1/4πr×r3
従って３つのエリアの面積の比は
青：黄：緑＝r1：r2：r3
よって、 ACが最も長いときは青色、CDが最も長いときは黄色、DBが 最も長いときは緑色のエリアの面積が一番大きくなる。




解答・その７

（ペンネ−ム：水の流れ）

先日，参観授業で今月の問題を取り扱いました。
答えを写真で送ります。ご覧ください。
３つのエリアの型紙を作って，重さを測って，調べました。


先生が、型紙３種類を持ってきて別の考え方はないかと質問しました。
教卓には、天秤が置いてあったので、おもさをはかっておおきさを調べました。
緑と黄色は同じ重さで、今度は青と黄色も同じ重さなので、 ３つのエリアの大きさは全て等しい。
海津北高校１年２組家政科全員








正解者

水の流れかにありさのお父さん
海津北高校１年２組全員浜田　明巳sambaGREEN
かねさんものものマサボ−
Idaho Potato月の光小春
ちゃめtoki





まとめ


当初３等分というところが曖昧な表現で、ご迷惑をおかけしました。
等分ではなく、一般に３分割したらどうなるかという解答をおよせいただきました。
(解答・その５の「ちゃめ」さん、解答・その６の「かに」さん)
それによると、直径を分割するときの長さの比が、そのまま面積比になるのですね。


私はまた違った意味で一般化してみようと思います。
等分に分割する、その分割数を一般化してみました。
まずは４等分から。
直径を４等分して同じように４つのエリアに分けます。
半円の面積比は小さい方から１：３：５：７となります。
これを逆向きに組み合わせて足しますので、
１＋７＝８、３＋５＝８、５＋３＝８、７＋１＝８とすべて等しくなります。


５等分でも同様です。
半円の面積比は小さい方から１：３：５：７：９となります。
５つのエリアの面積比は１０：１０：１０：１０：１０とすべて等しくなります。

これは偉大な数学者ガウスの幼い頃のエピソ−ドを思い出します。
子供たちに「１＋２＋３＋・・・＋１００」の計算を課して自分はのんびりしようとした ビュットナ−先生は、まもなくガウス少年から「５０５０」とだけ書かれた 石板を受け取ることになります。
どうやって答えをだしたのか？　と問われるとガウス少年はこう答えたのです。
「１００＋１＝１０１、９９＋２＝１０１、９８＋３＝１０１というふうに２つづつ足します、 これが１００のなかの対だけありますから、答えは５０×１０１つまり５０５０です。」

一般に円をｎ等分して同じようにｎ個のエリアに分けたとします。
半円の面積比は小さい方から１：３：５：・・・：(２ｎ−１)となります。
左からｉ番目のエリアの面積は、
(2i-1)+{2(n+1-i)-1}=2n
となり、ｉに無関係な値となります。つまりすべてのエリアの面積は同じということです。


ところで、半円の面積比が
１：(４−１)：(９−４)：(１６−９)：(２５−１６)＝１：３：５：７：９
というように奇数が並ぶのはなぜでしょう？ (偶然ではないのだよ！)
ｎ２−(ｎ−１)２＝２ｎ−１
ｎ番目の平方数と(ｎ−１)番目の平方数との差はｎ番目の奇数になるのです。
左の図を見ていただいてもわかるかな？(左上から右下に向かって見てください。)
また逆にいうと、奇数を順に足していくとそれは常に平方数だという言い方もできますね。

　というわけです。





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