Weekend Mathematics／問題／問題26

２６．選挙の問題

生徒が全部で４０人いるクラスで、 選挙によってクラス委員を３人選出するとします。
選挙の方法は、それぞれ意中の人を１人書いて投票する (単記投票)とします。
このとき、ある特定の生徒が当選確実となるためには、 最低限何票を獲得すればいいでしょうか？

解答・その１

（ペンネ−ム：T.R.）

当選確実な票数＝4位の人が得票できる最大票数より１多い票数と考えました。 4位の人の最大票数は40/4=10票です。
１位〜４位が同点で１０票なのが4位の人の最大得票のはず。 これより1票おおければいいのだから、こたえは１１票

解答・その２

（ペンネ−ム：数楽者）

自分の得票数をｘとする。 残りの票で、自分以上の人が３人いなければいいので、
４０−ｘ＜３ｘとなる。
これを解いて ｘ＞１０
よって、答えは１１票となる。

解答・その３

（ペンネ−ム：Weadore）

当選確実になるためには最低１１票とればいい事を(1)(2)で示す。

1. ギリギリで当選する事を考える。 そのために、ここでは、最も多く投票されて４番目になる事を考える。 その時はＡに注目すると、例えば、
   Ａ：９，Ｂ：１０，Ｃ：１０，Ｄ：１０，Ｅ：１ のときである。 よってこの命題の必要条件は１０以上である。
   
2. ここで、１０票を既に入れられているときを考える。
   Ａに既に１０票が入っているとすれば残りの評は３０票である。 この３０票で残り三人を当選させる事はできないが、
   Ａ：１０，Ｂ：１０，Ｃ：１０，Ｄ：１０ の場合はＡは当選確実ではない。
   なぜなら、これでは三人に絞る事ができないので。 だが、この反例以外は１０票で良い。

解答・その４

（ペンネ−ム：マサボー）

４人が同数になるのは40/4でひとり10票。 よって11票取れば絶対当選（当選確実）できる。

解答・その５

（ペンネ−ム：宇野　智 ）

まず、絶対当選するという票の数は、
　　４０÷３＝１３．・・　１３＋１＝１４ で、１４票あれば絶対当選する。

ここから、１票ずつ下げていって、当選するかどうか考える。
まず１３票
ある特定の生徒Ａ君が１３票だと、あと二人のライバルであるＢ君、 Ｃ君に残りの票すべてが等しく分配されても 　Ｂ君　１３票,Ｃ君　１４票　となって、Ａ君は当選間違いなしとなる。
次に１２票
Ａ君１２票、Ｂ君１４票、Ｃ君１４票 ここで、もう一人ライバルＤ君が現れて、 Ｂ君、Ｃ君の票のいくつかをもっていって、 Ｂ、Ｃ、Ｄ君の票がだいたい同じになったとすると、
Ａ君　１２票,　Ｂ君、Ｃ君　９票,　Ｄ君　１０票　 となって当選確実となる。
１１票なら、
Ａ君　１１票,　Ｂ君、Ｃ君　１０票,　Ｄ君　９票でこれでも確実。
１０票なら、
Ａ君　１０票、Ｂ君、Ｃ君、Ｄ君ともに１０票となり、確実とはいえない。
だから、当選確実の最低得票数は１１票である。

次は、一般化して、文字で考えていくつもりです。
　 今までのものは４０人のクラスから３人の委員を選ぶときだけのもの だったので、次は文字を使ってどんな場合でも考えられるようにする。
ｘ人のクラスからｙ人の委員を選出する。 とすると、まずは、ｘ÷ｙの値が絶対当選票数
４０人から３人選ぶときは、票を獲得した人は３人ではなく、 ４人で考えていた。 それは、４人のうち、Ａ君以外の１人でも落選が決まればＡ君は当選確実になるとい う考えのもとにやっていたので、ここでもその考えを用いる。
ｘをｙ＋１で割る。
ｘ÷（ｙ＋１）が、当確がわからなくなるという票数の最上限だったので、 当選確実票数をｚとすると
ｘ÷（ｙ＋１）＜ｚにあてはまる整数のうち、最も小さい数である。
これならば、１００人の中から３人選び出すにしても、 １００÷（３＋１）＝２５　２５＜ｚ　で、 最も小さい整数は２６となり２６人と いうように求めることができる。

解答・その６

（ペンネ−ム：ちょま）

獲得した票数が多い順から数えて３番目までの人が当選することができ、 ４番目の人は当選することができません。 つまり４番目の票数よりも多く獲得した 人が当選することができるわけです。 （同票の場合などがあるため、「４番目の票数」というより 「一番から４番までの票数の中で一番少ない票数」ということ。）

では、４番目の最高の票数はどれだけかを考えてみます。 ４番目がその最高の票数となる場合は、１番目から４番目が同票のときです。 全票数を４で割って（割り切れなければ切り捨て）
４０÷４＝１０
４番目の最高の票数は１０票です。 この１０票よりも多ければ必ず３番以内になります。 したがって求める答えは
１０＋１＝１１
と、１１票になります。

かなり前のことですが、中学受験の算数のテキストで似たような問題があり、 そのときは　全票数÷当選する人数　と解いてしまった気がします。
１人選出のときは、全票数の半分より多ければ当選確実 （例えば全票数を４０票のとき、２１票獲得すれば他の人は最高でも １９票しか獲得できなくて当選確実）、 ２人選出のときは・・・と選出する人数を多くしていけば、　 全票数÷当選する人数　ではおかしいということはわかるのですが、 なかなか理解できなかった覚えがあります。 （塾でどう教えてもらったかは残念ながら忘れてしまいました。）

解答・その７

（浜田　明巳 ）

　答は１１票です。
考え方は次の通り。 ４０人中の上位４人の票数を考えるだけでいいはずです。 第３位の人の票数が第４位の票数を上回れば、第３位までが当選となります。
故に第３位と第４位の票数が等しくなる場合の票数の最大値＋１が、 当選確実の票数の最小値です。

次のＣ言語プログラムによって、 第３位と第４位の票数が等しくなる場合の票数の最大値は１０ となることが分かります。

/*senkyo.c*/
#include
void main(){
 int j1,j2,j3,j4,max=0;
 for(j1=40-3;j1>=1;j1--){
  for(j2=j1;j2>=1;j2--){
   if(j1+j2<=40-2){
    for(j3=j2;j3>=1;j3--){
     j4=40-j1-j2-j3;
     if(j4<=j3&&j4>=1){
      if(j3==j4&&max<j4){
       max=j4;
      }
     }
    }
   }
  }
 }
 printf("当選不確実な票数の最大値＝%d → 当選確実な票数の最小値＝%d\n",max,max+1);
}

解答・その８

（ペンネ−ム：２丁目の山田 ）

Java Scriptで解く

まとめ

ある時、職場で隣に座っている方にこの問題を出題しました。 即座に返って来た答えが、
「そんなの簡単ですよ。４０÷３＝１３．３・・・だから、１４人！」

(票数)/(定員)、もしくは{(票数)/(定員)}＋１ではありません。 もう、おわかりですよね？　 定員１名の場合を考えてみればこの式があてはまらないことはすぐわかります。
当選確実になりためには、自分を含めた上位３人の得票数が、 その残りよりも多ければいいわけですから、
３ｘ＞４０−ｘ(私も「数楽者」さんと同じ方程式を考えました。)
４ｘ＞４０よりｘ＞１０となり、１１票。
これを一般化すると、 (定員)ｘ＞(票数)−ｘ
(定員＋１)ｘ＞(票数)
ｘ＞(票数)/(定員＋１)となり、「宇野　智」の作ってくれた形と同じです。

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