Weekend Mathematics／問題／問題22
２２．時計の問題 正午から夜中の１２時までの間に、長針が短針の上を通りすぎるのは
何回でしょうか？ ある時計が６時（ポン、ポンと６個）を打ち終わるのに５秒かかります。
では、１２時を打ち終わるには何秒かかるでしょう。
ヘンリ−伯父さんが、大変くたびれたので９時に床に入り、
翌朝１０時に鳴るように目覚まし時計をセットし、
２０分後に眠りました。
目覚まし時計で起こされたときの伯父さんの睡眠時間は？
別冊サイエンス ひらめき思考
マ−チン・ガ−ドナ−
日経サイエンス社
（ペンネ−ム：Hungry Bear）
先ず、最初の１時間（正午から１時まで）は長針は短針には追い付かない
１時から１１時までは、１時間ごとに１回ずつ通り過ぎる．．．．．．．．
１０回
１１時からは１２時に追い付いて重なるだけで、通りすぎはしない
＊３針式の時計の場合手前から秒針．長針．短針の順ですが、
長針と短針が逆になった時計があれば（見たことはないですが）
長針が短針の上を通り過ぎることは１度もありません。
（ペンネ−ム：水の流れ）
１１回ですか？
いいえ、１０回に訂正します。
＜解説＞角度で考えます。長針は１分に６度、短針は１分に
０．５度動きます。そこで、ｍ時ｔ分に通り過ぎたとします。
６ｔ＝０．５ｔ＋３０ｍ
ゆえに、ｔ＝（６０／１１）ｍ （ｍ＝１，・・・、１１）
ところが、ｍ＝１１のとき、１２時になってしまい、
重なりますが、通りすぎません。
したがって、１０回です。
（ペンネ−ム：マサボー）
正午から１時と１１時から１２時の間は、
長針が短針の上を通りすぎることはなく、
それ以外（1→2,2→3,...10→11)
は通り過ぎるので、全部で10回。(グラフを書くと明らか）。
直接時間と求めると
短針、長針と12時のなす角をθ、θ’とすると
θ = 30n+t/2, θ’= 6t
(n=0,1,2,.....,11. tは分で０≦t≦６０）。
θ＝θ’として、30n+t/2＝ 6t 、→ t=60n/11
n=0, t=0 → 12時
n=1, t=60/11(≒5.45)→ 1時5.45分
n=2, t=120/11(≒10.9)→ 2時10.9分
....
n=11, t=60→ 12時
よってn＝1,2,3,....10の10回
それではというわけで、グラフを書いてみました。
短針のグラフ θ＝３０ｔと、
長針のグラフ θ＝３６０(ｔ−[ｔ])
が
１０回交わっているのがわかりますか？
それでは、長針、短針、秒針すべてが重なる瞬間が
０時(１２時)just以外にあるでしょうか？
結論から言うとありません。
短針と長針が重なるのは、時刻ｔとして、
範囲０時０分０秒≦ｔ＜１２時０分０秒の中に１１回あります。
（等号に注意！ ０時justを入れます。）
従って、一周３６０°を１１等分した箇所で重なります。
（「水の流れ」さんや、
「マサボー」さんが方程式を解いて出してくださっています。）
同様に長針と秒針の重なりを考えます。
秒針は長針の６０倍のスピ−ド(角速度)で回転しますので、
長針が１周する１時間の間に、長針と秒針は５９回重なります。
重なる場所は、一周３６０°を５９等分した箇所です。
ところが、一周３６０°を１１等分した箇所と５９等分した箇所で、
重なる場所は０°しかありません。
なぜなら、１１と５９の公約数が１以外にはないからです。
（ペンネ−ム：Ｎａｇａｈｉｒｏ）
１１秒
１回目に鳴ってから６回目に鳴るまで５秒だから
その間隔は５÷（６ー１）＝１秒。
だから１２回鳴り終わるまでにかかる時間は１２−１＝１１
（ペンネ−ム：ネットＯＬ）
11秒
これはけっこう有名ですよね。エレベータ問題と一緒ですね。
（ペンネ−ム：Hungry Bear）
時報を６回打つための間隔は、５つ．．これが５秒かかるので
１秒間隔で鳴ることになる。
１２回鳴らすための間隔は、１１すなわち１１秒かかります
＊当然鳴っている音の長さは、０秒とするわけですよね。
また、うちの時計は、光センサーが付いていて、
夜暗くなると音が鳴りませんが．．．
（ペンネ−ム：マサボー）
今、鐘と鐘の間（ポンとポンの間）とtとし、鐘の余韻をΔtとする。
6時を打ち終わる時間は5t+Δtで5秒、
すなわち5t+Δt=5が成り立ち、
Δt＝５（１ーt）＞０より、tは０＜t＜１を満たす値。
今、求める時間（１２時を打ち終わる時間）をTとすると、
T=11t+Δt=6t+5
よって求める時間は５＜T＜１１となり、
5秒以上（5秒は含まない）、11未満。
但し、tが0あるいは1に近い値をとるとき、時計として機能するは不明。
エレベ−タ−、階段、そうです、そうです。
間隔が問題なのです。
ちょうど今、授業で数列を扱っています。
初項ａ、公差ｄの等差数列の一般項は、
ａｎ＝ａ＋ｄ(ｎ−１)となります。
この初項ａに公差ｄを(ｎ−１)個たすというのは、
初項と第ｎ項との間隔が(ｎ−１)個だからですよね。
（ペンネ−ム：マサボー）
一般的に考えて9時は夜の9時で、眠りに入ったのは9時20分で、
起きたのが10時より、睡眠時間は12時間40分？
（ペンネ−ム：２年４組情報処理科）
一般に考えて、１２時間４０分と考えたクラスメイトは大半でしたが、
この目覚まし時計はアナログとすれば
夜中の１０時にヘンリー伯父さんは起こされるので、
睡眠時間は４０分、
デジタルと考えて、午前と午後を区別できれば、１２時間４０分です。
（ペンネ−ム：Ｎａｇａｈｉｒｏ）
４０分
１０時に目覚しを合わせたので、
午前１０時に目覚し時計が 鳴り響く以前に午後１０時に鳴るので
９時２０分に眠りについてから ４０分しか寝られない。
２４時間用の目覚し時計をヘンリー伯父が持っていたら
１２時間４０分の睡眠ですね、
実はこのような時計は売っています。
コメント
ごめんなさい、ひっかけるつもり(？)でした。
こういう失敗をした経験、ありませんか？
私はあります。
気を利かせたつもりが、夕方頃鳴り出してしまうという・・・。
２４時間用の目覚まし時計を売っているという話しですが、
これは便利かもしれませんね。
でも考えてみれば、それが必要なのは１２時間以上、
眠りたいときですよね。
今の私の現実にはむずかしいかも。
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