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問題190　足し算のピラミッド
Weekend Mathematics／問題／問題190　足し算のピラミッド

問題190　足し算のピラミッド

次の図は、 1 から 6 までの数を並べ、 隣り合った数を足し、その和を２つの数の下へ記入するという操作をしたものです。

　1　　2　　3　　4　　5　　6
　　3　　5　　7　　9　　11
　　　8　　12　 16　　20
　　　　20　　28　 36
　　　　　　48　 64　
　　　　　　　112

このように、「1，2，3，4，5，6」と並べて始めると、一番下は「112」になります。
では、 1 から 6 の数の順番を入れ替えることによって、下の数が「100」になるものを見つけてください。

問題の出典

ピーター・フランクルの中学生でも分かる大人が解けない問題集　代数編
日本評論社

解答

～到着順にご紹介します～

解答・その1

（ペンネ－ム：haya）

答：
　(a, f) = (4, 6)
　(b, e) = (1, 3)
　(c, d) = (2, 5)　の組合せで合計が100となる。
つまり、組合せとしては、
　4 1 2 5 3 6
　4 1 5 2 3 6
　4 3 2 5 1 6
　4 3 5 2 1 6
　6 1 2 5 3 4
　6 1 5 2 3 4
　6 3 2 5 1 4
　6 3 5 2 1 4　の8通り。

【解き方】
合計は、
　　a + 5b + 10c + 10d + 5e + f = 100
より、
　　(a + f) = 5(20 - (b + e) -2(c + d))
ここから、
　　(a, f) = (1, 4) or (2, 3) or (4, 6)

(a, f) = (4, 6)　の時、
18 = (b + e) + 2(c + d)　となり、
(b, e) = (1, 3),　(c, d) = (2, 5) で解を持つ。
(a, f) = (1, 4) or (2, 3)　の時は、
19 = (b + e) + 2(c + d)　となり、
残りの 2, 3, 5, 6 あるいは 1, 4, 5, 6 をどのように組合せても 19 にはならない。


解答・その2

（ペンネ－ム：T_Tatekawa）

一番上から一番下まで進む際，一番上の各々の数が「112」に到達する経路が 何通りあるかを考える．
その通りの数だけ一番上の数字に掛け算したものの総和が112となる．
1, 6 : 1通り
2, 5 : 5通り
3, 4 : 5C2 = 10 通り
　　(1+6) x 1 + (2+5) x 5 + (3+4) x 10 = 112
さて，この総和を 100 にする事を考える．
一番上の段の数字の総和は
　　1+2+3+4+5+6=21
でここは変わらない．
両端に入る数字の和は5の倍数でなければ，総和は100にならない．
この和が 5 の時は，
　　5 x 1 + 13 x 5 + 3 x 10 = 100
で 100 となるが，2つの数の和で 13 になるものが選べないのでダメ．
和が10の時は
　　10 x 1 + 4 x 5 + 7 x 10 = 100
で，それぞれ (4, 6), (1, 3), (2, 5) という数字を選べばいい．
和が 15 の時は，どうやっても総和が 100 にならない．
答えは
　　「4 1 2 5 3 6」
あるいは (4, 6), (1, 3), (2, 5) を各々交換可能なので，合計8通りある．
「4 1 2 5 3 6」「4 1 5 2 3 6」「4 3 2 5 1 6」「4 3 5 2 1 6」
「6 1 2 5 3 4」「6 1 5 2 3 4」「6 3 2 5 1 4」「6 3 5 2 1 4」

※途中から「1円玉，5円玉，10円玉21枚で100円にする組合せは？」と 同じ問題では無いかと考え，問題を置き換えたら答えに行き着きやすく なりました．


解答・その3

（ペンネ－ム：次郎長）

1から6の数字を、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆとすると
2段目は、Ａ＋Ｂ、Ｂ＋Ｃ、Ｃ＋Ｄ、Ｄ＋Ｅ、Ｅ＋Ｆ
3段目は、Ａ＋２Ｂ＋Ｃ、Ｂ＋２Ｃ＋Ｄ、Ｃ＋２Ｄ＋Ｅ、Ｄ＋２Ｅ＋Ｆ
4段目は、Ａ＋３Ｂ＋３Ｃ＋Ｄ、Ｂ＋３Ｃ＋３Ｄ＋Ｅ、Ｃ＋３Ｄ＋３Ｅ＋Ｆ
５段目は、Ａ＋４Ｂ＋６Ｃ＋４Ｄ＋Ｅ、Ｂ＋４Ｃ＋６Ｄ＋４Ｅ＋Ｆ
６段目は、Ａ＋５Ｂ＋１０Ｃ＋１０Ｄ＋５Ｅ＋Ｆとなります

つまり、Ａ＋Ｆ＋５（Ｂ＋２Ｃ＋２Ｄ＋Ｅ）＝１００になるＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆを求めれば良い
つまり、
[1]　Ａ＋Ｆ＝５で、Ｂ＋２Ｃ＋２Ｄ＋Ｅ＝１９か
[2]　Ａ＋Ｆ＝１０、Ｂ＋２Ｃ＋２Ｄ＋Ｅ＝１８かとなる

[1]Ａ＋Ｆ＝５で、
　　Ａ，Ｆ＝１，４の時、Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ＝２，３，５，６となるが、
　　Ｂ＋２Ｃ＋２Ｄ＋Ｅ＝（Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ）＋Ｃ＋Ｄ＝１９となり、
　　Ｃ＋Ｄ＝３となり、不満足
　　Ａ，Ｆ＝２，３の時、Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ＝１，４，５，６となるが
　　同じく、Ｄ＋Ｅ＝３となり、やはり不満足

[2]Ａ＋Ｆ＝１０の時、つまり、Ａ，Ｆ＝４，６の時
　　Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ＝１，２，３，５となり
　　Ｂ＋２Ｃ＋２Ｄ＋Ｅ＝（Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ）＋Ｃ＋Ｄ＝１８
　　つまり、Ｃ＋Ｄ＝７
　　これは、Ｃ，Ｄ＝２，５で満たす

と言う事は、（Ａ，Ｆ）＝（４，６）　　（Ｃ，Ｄ）＝（２，５）　　（Ｂ，Ｅ）＝（１，３）
なら、どれでも良いですね。各組２通り、
ええっと
　４１２５３６
　４１５２３６
　４３２５１６
　４３５２１６
　６１２５３４
　６１５２３４
　６３２５１４
　６３５２１４
の８通りですね？

解答・その6

（ペンネ－ム：浜田　明巳）

　６数をａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ（ａ＜ｆ）として，和を次々に求めると，
　　ａ＋ｂ，ｂ＋ｃ，ｃ＋ｄ，ｄ＋ｅ，ｅ＋ｆ
　　ａ＋２ｂ＋ｃ，ｂ＋２ｃ＋ｄ，ｃ＋２ｄ＋ｅ，ｄ＋２ｅ＋ｆ
　　ａ＋３ｂ＋３ｃ＋ｄ，ｂ＋３ｃ＋３ｄ＋ｅ，ｃ＋３ｄ＋３ｅ＋ｆ
　　ａ＋４ｂ＋６ｃ＋４ｄ＋ｅ，ｂ＋４ｃ＋６ｄ＋４ｅ＋ｆ
　　ａ＋５ｂ＋１０ｃ＋１０ｄ＋５ｅ＋ｆ
となるので，
　　ａ＋５ｂ＋１０ｃ＋１０ｄ＋５ｅ＋ｆ＝１００
　　∴５(ｂ＋２ｃ＋２ｄ＋ｅ)＝１００－(ａ＋ｆ)………(1)
　故にａ＋ｆは５の倍数である．
　ａ＜ｆから，
　　(ａ，ｆ)＝(１，４)，(２，３)，(４，６)

i). (ａ，ｆ)＝(１，４)のとき，(1)から，
　　ｂ＋２ｃ＋２ｄ＋ｅ＝１９
　　∴２(ｃ＋ｄ)＝１９－(ｂ＋ｅ)………(2)
　故にｂ＋ｅは奇数である．
　　∴{ｂ，ｅ}＝{２，３}，{２，５}，{３，６}，{５，６}
　残りの数を考えると，
　　({ｂ，ｅ}，{ｃ，ｄ})＝({２，３}，{５，６})，({２，５}，{３，６})，({３，６}，{２，５})，({５，６}，{２，３})
　これらの中で(2)を満たすものは存在しない．
ii). (ａ，ｆ)＝(２，３)のとき，i)と同様に，ｂ＋ｅは奇数と分かる．
　　∴{ｂ，ｅ}＝{１，４}，{１，６}，{４，５}，{５，６}
　(2)から，
　　({ｂ，ｅ}，ｃ＋ｄ)＝({１，４}，７)，({１，６}，６)，({４，５}，５)，({５，６}，４)
　残りの数を考えると，すべて矛盾する．
iii). (ａ，ｆ)＝(４，６)のとき，(1)から，
　　ｂ＋２ｃ＋２ｄ＋ｅ＝１８
　　∴２(ｃ＋ｄ)＝１８－(ｂ＋ｅ)………(3)
　故にｂ＋ｅは偶数である．
　　∴{ｂ，ｅ}＝{１，３}，{１，５}，{３，５}
　残りの数を考えると，
　　({ｂ，ｅ}，{ｃ，ｄ})＝({１，３}，{２，５})，({１，５}，{２，３})，({３，５}，{１，２})
　これらの中で(3)を満たすものは，
　　({ｂ，ｅ}，{ｃ，ｄ})＝({１，３}，{２，５})
　ａ＞ｆの場合も考えると，求めるａ～ｆの組は，
　　({ａ，ｆ}，{ｂ，ｅ}，{ｃ，ｄ})＝({４，６}，{１，３}，{２，５})
　具体的に書き出すと，
　　(ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ)＝ (４，１，２，５，３，６)，(４，１，５，２，３，６)，(４，３，２，５，１，６)，(４，３，５，２，１，６)，
　　　　　　　　　　　　　　 (６，１，２，５，３，４)，(６，１，５，２，３，４)，(６，３，２，５，１，４)，(６，３，５，２，１，４) の８通り．
エクセルのマクロで求めると，以下の通りである．

Option Explicit
'a b c d e f
' a+b  b+c  c+d  d+e  e+f
'  a+2b+c   b+2c+d   c+2d+e   d+2e+f
'   a+3b+3c+d    b+3c+3d+e    c+3d+3e+f
'    a+4b+6c+4d+e     b+4c+6d+4e+f
'     a+5b+10c+10d+5e+f
Sub Macro1()
    Sheets("Sheet1").Select
    Dim a As Integer
    Dim b As Integer
    Dim c As Integer
    Dim d As Integer
    Dim e As Integer
    Dim f As Integer
    Cells(1, 1).Value = 0
    For a = 1 To 6
      For b = 1 To 6
        If a <> b Then
          For c = 1 To 6
            If a <> c And b <> c Then
              For d = 1 To 6
                If a <> d And b <> d And c <> d Then
                  For e = 1 To 6
                    If a <> e And b <> e And c <> e And d <> e Then
                      f = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 - a - b - c - d - e
                      If a + 5 * b + 10 * c + 10 * d + 5 * e + f = 100 Then
                        Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
                        Cells(Cells(1, 1).Value, 2).Value = a
                        Cells(Cells(1, 1).Value, 3).Value = b
                        Cells(Cells(1, 1).Value, 4).Value = c
                        Cells(Cells(1, 1).Value, 5).Value = d
                        Cells(Cells(1, 1).Value, 6).Value = e
                        Cells(Cells(1, 1).Value, 7).Value = f
                        Range("B" & Cells(1, 1).Value).Select
                      End If
                    End If
                  Next e
                End If
              Next d
            End If
          Next c
        End If
      Next b
    Next a
End Sub

解答・その7

（ペンネ－ム：まーりんａｎｄさとりん）

左から順にＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ　とおくと、最終段の数は、
　　１０（Ｃ＋Ｄ）＋５（Ｂ＋Ｅ）＋（Ａ＋Ｆ）
と表せる。これが１００になるためには、（Ａ＋Ｆ）が５の倍数になるので
（Ａ，Ｆ）は（１，４）（２，３）（４，６）のいずれかになる。
　（１，４）か（２，３）のときは、（Ｂ＋Ｅ）が奇数
　（４，６）のときは、　　　　　　（Ｂ＋Ｅ）が偶数　
の条件で探すと、
（Ａ，Ｆ）＝（４，６）（Ｂ，Ｅ）＝（１，３）（Ｃ，Ｄ）＝（２，５）で１００となる。
よって、
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ＝
　４，１，２，５，３，６
　４，１，５，２，３，６
　４，３，２，５，１，６
　４，３，５，２，１，６
　６，１，２，５，３，４
　６，１，５，２，３，４
　６，３，２，５，１，４
　６，３，５，２，１，４


解答・その8

（ペンネ－ム：転位反応）

１から６までの数を任意に左から順にa,b,c,d,e,fと置くと
二項係数から、題意の数の和は次式で与えられる。
　　a+5b+10c+10d+5e+f=100
整理して、
　　(a+f)+5(b+e)+10(c+d)=100
両辺を10で割って、以下のように変形する。
　　(a+f)/10+(b+e)/2+(c+d)=10
右辺は整数なので、
[1](a+f)は10の倍数であることから、a+f=10
　　∴a,fの可能な組み合わせは、(4,6)のみ
[2](b+e)は偶数であることから、b+e=4,6,8または10
　 ∴上記①を考慮すると、b,eの可能な組み合わせは、(1,3),(1,5)、または、(3,5)
　 ∴b+e=4,6,または、8
[3]c+d=10-(a+f)/10-(b+e)/2なので、
　　b+e=4のとき：　c+d=10-1-2=7 ∴c,dの可能な組み合わせは、2,5のみ
　　b+e=6のとき：　c+d=10-1-3=6 ∴c,dの可能な組み合わせは無し
　　b+e=8のとき：　c+d=10-1-4=5 ∴c,dの可能な組み合わせは無し
よって、各組み合わせは、(a,f)=(4,6), (b,e)=(1,3), (c,d)=(2,5),なので、
求める数の並べ方は以下の８通り。

abcdef
412536
415236
432516
435216
612534
615234
632514
635214


解答・その9

（ペンネ－ム：オヤジ）

１番上段を、左から右に　Ａ，Ｂ，～，Ｆとすると
最下段は、
　　Ａ＋Ｆ＋５×（Ｂ＋Ｅ）＋１０×（Ｃ＋Ｄ）＝１００　・・・（１）
（１）式を　mod５で考えると
　　Ａ＋Ｆ≡０　・・・（２）
（２）式を　１～６ で考えると
　Ａ＋Ｆ=１＋４,２＋３,４＋６ の３種類
従って
（Ⅰ）Ａ＋Ｆ＝１＋４　のとき　（１）式の最小値は、
１＋４＋５×（５＋６）＋１０×（２＋３）＝１１０　よってＡ＋Ｆ＝１＋４は、不適
（Ⅱ） Ａ＋Ｆ＝２＋３　のとき　（１）式の最小値は、
　２＋３＋５×（５＋６）＋１０×（１＋４）＝１１０　よってＡ＋Ｆ＝２＋３は、不適

（３）Ａ＋Ｆ＝４＋６　のとき　（１）式の最小値は、
　４＋６＋５×（５＋３）＋１０×（１＋２）＝８０＜１００
従って　Ａ＋Ｆ＝４＋６のとき　のみ　可能性があり
実際　４＋６＋５×（１＋３）＋１０×（２＋５）＝１００　
｛Ａ，Ｆ｝＝｛４，６｝，｛B，E｝＝｛１，３｝，｛C，D｝＝｛２，５｝となる

よって　ABCDEFは、次の８種類
　（ア） ４１２５３６
　（イ） ４１５２３６
　（ウ） ４３２５１６
　（エ） ４３５２１６
　（オ） ６１２５３４
　（カ） ６１５２３４
　（キ） ６３２５１４
　（ク） ６３５２１４

解答・その10

（ペンネ－ム：マシャ）

【解答】
左からa, b, c, d, e, fとおく.
aからfまでは1から6なので,
　　a+b+c+d+e+f=21------------(1)
この計算の合計を上記の文字を使って書き表すと
　　a+5b+10c+10d+5e+f=100
となる.
　　a+f+5(b+2c+2d+e)=5*20-----------(2)
と考えると
a+fは5の倍数である
. この組み合わせは, (2,3), (1,4), (4,6)(順番の逆も含める)である.

(i) (a,f)=(2,3), (1,4)のとき
(2)より b+2c+2d+e=19
(1)より b+c+d+e=16
これらの辺々を引くと c+d=3
つまり(c,d)の組み合わせは(1,2)のみである.
しかし, (a,f)で使用している数字と重複があるため不適

(ii)(a,f)=(4,6)のとき
上記と同様にして
c+d=7
つまり(c,d)の組み合わせは(2,5)のみである.

以上から
(a,f)=(4,6), (c,d)=(2,5), (b,e)=(1,3)の並べ方であれば, 合計が100になる.

【過程】
例題の書き方を足さずに1+2,2+3の形で書いていたときに解法が思いつきました.

解答・その11

（ペンネ－ム：のっこん）

左から順にa,b,c,d,e,fと並べると
2行目は(a+b),(b+c),(c+d),(d+e),(e+f)
　　　・・・・・・・・・・・・・
一番下は(a+5b+10c+10d+5e+f)
よって10(c+d)+5(b+e)+a+f=100・・・[1]となればよい
便宜的にa＜f,b＜e,c＜dとする

（解１）
a+b+c+d+e+f=21…[2]だから
[1]－[2]より9(c+d)+4(b+e)=79・・・[3]となる
2数の和は3以上11以下だから
[3]はc+d=7,b+e=4の時満たされる
b=1,e=3,c=2,d=5
そしてa=4,f=6
左から順に4,1,2,5,3,6と並べればよい

（解2）
[1]より(a+f)は5の倍数でなければならない
Ⅰ）a=1,f=4の時（残りは2,3,5,6）
　　10(c+d)+5(b+e)=95
(b+e)は奇数でなければならない
　　１）b=2,e=3の時10(c+d)=70 残りは5,6だから不可
　　２）b=2,e=5の時10(c+d)=60 残りは3,6だから不可
　　３）b=3,e=6の時10(c+d)=50 残りは2,5だから不可
　　４）b=5,e=6の時10(c+d)=40 残りは2,3だから不可
Ⅱ）a=2,f=3の時（残りは1,4,5,6）
　　10(c+d)+5(b+e)=95
(b+e)は奇数でなければならない
　　１）b=1,e=4の時10(c+d)=70 残りは5,6だから不可
　　２）b=1,e=6の時10(c+d)=60 残りは4,5だから不可
　　３）b=4,e=5の時10(c+d)=50 残りは1,6だから不可
　　４）b=5,e=6の時10(c+d)=40 残りは1,4だから不可
Ⅲ）a=4,f=6の時（残りは1,2,3,5）
　　10(c+d)+5(b+e)=90
　　(b+e)は偶数でなければならない
　　１）b=1,e=3の時10(c+d)=70 残りは2,5だから題意を満たす
　　２）b=1,e=5の時10(c+d)=60 残りは2,3だから不可
　　３）b=3,e=5の時10(c+d)=50 残りは1,2だから不可
左から順に4,1,2,5,3,6と並べればよい
aとf,bとe,cとdは交換可能なので
2・2・2=8通りの並べ方があると思います


解答・その12

（ペンネ－ム：夜ふかしのつらいおじさん）

・右図のように、パスカルの三角形を考えます。
外側の左右の斜めのところは1です。
横に並ぶ左右の２数の和がすぐ下の段の数です。
1Ｃ0=1,1Ｃ1=1なので、
n-1Ｃr-1＋n-1Ｃr=nＣrの関係があてはまります。
nは行数、rは左（右）からの順番を示します。
（ただし、最初は0です）
・下図のaからfに1から6の数を割り振ります。

問題のような計算をくり返すとどうなるかを考えます。
例えば、cがどうなるかを知るには、cのところにパスカルの三角形の頂点を重ねます。

すると、cは全部で１０回足されることが分かります。
このように考えて最終的には、
　　 1a+5b+10c+10d+5e+1f=1(a+f)+5(b+e)+10(c+d)
・ここで、a+f=X,b+e=Y,c+d=Z とおきます。
aからfまでは1から6までのどれかなので、X，Y，Zは、最小で3、最大で11です。
また、a＋b＋c＋d＋e＋f＝X＋Y＋Z＝21です。
合計が100になるとして、次の式になります。
　　 X+5Y+10Z=100
これを次のように変形します。
　　 5(Y+2Z)=100-X
この式からXは、5か10です。
Y，Zを調べると次のようになります。

このうち和が21になるのは、No6のときです。
つまり、X＝a＋f＝10、Y=b＋e＝4、Z＝c＋d＝7です。
よって、aとfは4と6の組合せ、bとeは1と3の組合せになるので、cとdは残りの2と5の組合せです。
・以上から、２3＝８通りの場合があり、次のようになります。

解答・その13

（ペンネ－ム：ちょろんは太太）

力づくで計算します。
１段目の数を　a, b, c, d, e, f とすると、
２段目の数は、　a+b, b+c, c+d, d+e, e+f
３段目の数は、　a+2b+c, b+2c+d, c+2d+e, d+2e+f
４段目の数は、　a+3b+3c+d, b+3c+3d+e, c+3d+3e+f
５段目の数は、　a+4b+6c+4d+e, b+4c+6d+4e+f
６段目の数は、　a+5b+10c+10d+5e+f

条件より、
　　 　　a+5b+10c+10d+5e+f = 100
　　 (a+f) + 5{b+e+2(c+d)}=100
右辺は、５の倍数だから、a+f も５の倍数でなければならない。
１～６の数の組み合わせで、そうなるのは、１と４、2と3、4と6　である。

a と f が、1と 4、2と 3の場合、 a + f = 5　
　　5 {b+e+c+d +(c+d)} = 95
　　b+e+c+d = (1+2+3+4+5+6)－(a+f)=16
　　c+d = 19 ? 15 = 3
加えて、3 になる組み合わせは、c と dが、１ と 2であるが、
a、f が「1と 4」でも「2と 3」でも、使われているので、不適。

a と f が、4と 6の場合、 a + f = 10
　 　　5 {b+e+c+d +(c+d)} = 90
　　b+e+c+d = (1+2+3+4+5+6)-(a+f)=11
　　c+d = 18 －11 = 7
　　b+e = 11 ? 7 = 4
これを満足する c と d は、2 と 5、b と eは、1 と 3
まとめると
　　a=4、 b=1、 c=2、 d=5、 e=3、 f=6
　（a と f、b と e、c と d は、交換可能）


解答・その14

（ペンネ－ム：杖のおじさん）

１＋２＋３＋４＋５＋６＝２１
一段目　　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＝２１
二段目　Ａ＋Ｂ　Ｂ＋Ｃ　Ｃ＋Ｄ　Ｄ＋Ｅ　Ｅ＋Ｆ
三段目　Ａ＋２Ｂ＋Ｃ　Ｂ＋２Ｃ＋Ｄ　Ｃ＋２Ｄ＋Ｅ　Ｄ＋２Ｅ＋Ｆ
四段目　Ａ＋３Ｂ＋３Ｃ＋Ｄ　Ｂ＋３Ｃ＋３Ｄ＋Ｅ　Ｃ＋３Ｄ＋３Ｅ＋Ｆ
五段目　Ａ＋４Ｂ＋６Ｃ＋４Ｄ＋Ｅ　Ｂ＋４Ｃ＋６Ｄ＋４Ｅ＋Ｆ
六段目は　Ａ＋５Ｂ＋１０Ｃ＋１０Ｄ＋５Ｅ＋Ｆ＝１００

六段目から一段目を引きます
４Ｂ＋９Ｃ＋９Ｄ＋４Ｅ＝７９
４（Ｂ＋Ｅ）＋９（Ｃ＋Ｄ）＝７９
Ｂ＋Ｅ＝７９－９（Ｃ＋Ｄ）／４
Ｂ＋Ｅが整数になるＣ＋Ｄを見つけます。
Ｃ＋Ｄは３から１１までの数字になります。
Ｃ＋Ｄ＝３とするとＢ＋Ｅ＝（７９－９×３）／４＝５３／４＝１３．２５で整数でない
Ｃ＋Ｄ＝４とするとＢ＋Ｅ＝（７９－９×４）／４＝４３／４＝１０．７５で整数でない
Ｃ＋Ｄ＝５とするとＢ＋Ｅ＝（７９－９×５）／４＝３４／４＝８．５で整数でない
Ｃ＋Ｄ＝６とするとＢ＋Ｅ＝（７９－９×６）／４＝２５／４＝６．２５で整数でない
Ｃ＋Ｄ＝7とするとＢ＋Ｅ＝（７９－９×7）／４＝１６／４＝４で整数である。
従って、Ｃ＋Ｄが７となる組合せを探しＢ＋Ｅが４となる
組合せを探します。
ＢとＥの組合せ４は１と３しかありません
ＣとＤの組合せ７は１と３を除いた数字の組み合わせとなります。２と５となります。
残り即ちＡとＦは４と６となります。
従って、
４，１，２，５，３，６となります。
Å．Ｂ．Ｃ．Ｄ．Ｅ, Ｆ
一段目　　４，１，２，５，３，６ 二段目　　　５．３．７．８．９ 三段目　　　 ８.１０.１５.１７ 四段目　　　 １８．２５．３２ 五段目　　　　　４３．５７ 六段目　　　　　　１００
ＡとＥ、ＢとＤ、ＣとＤの数字の順番はどちらに並べても同じ結果になります。
例えば
一段目　６＋３＋５＋２＋１＋４ 二段目　　９＋８＋７＋３＋５ 三段目　　１７＋１５＋１０＋８ 四段目　　　３２＋２５＋１８ 五段目　　　　５７＋４３ 六段目　　　　　１００
その他、並べ方は２×２×２＝８通りあります。

解答・その15

（ペンネ－ム：Teki）

８通り答えがありますが、一例を示すと、左から４１２５３６（４と６、１と３、２と５は交換可能）

＜解法＞
　以前にあったピラミッドの問題同様、パスカルの三角形を利用しました。
　数字を左からa,b,c,d,e,fとすると、 ６段目（最下段）は、10×（c+d）＋５×（b+e）＋a＋f　となります。
　これが１００となればいいのですが、１００は５の倍数なので、a＋f　も５の倍数 である必要があります。
　１～６の数で２つ足して５の倍数となるのは、１と４、２と３、４と６の３種類のみです。
　１と４、２と３の場合は、10×（c+d）＋５×（b+e）は最小でも１０５となり不適。
　よって、（a，f）＝（４，６）（６，４）、また、b+eは偶数であることがわかります。
　ここまでわかれば、あとは試行錯誤でできますね。


解答・その16

（ペンネ－ム：浦岡）

解答・その17

（ペンネ－ム：t.a.）

最上段をa,b,c,d,e,fの順に並べると、
一番下は(a+f)+5(b+e)+10(c+d)=100を得る。
a+fが5の倍数なので例えば(a,f)=(4,6)と取れる。
このときb+eは偶数なのでb,eは2ではない。
一番下が100になる組み合わせとして例えば
(a,f)=(4,6)、(b,e)=(1,3)、(c,d)=(2,5)がある。

解答・その18

（ペンネ－ム：名無し）

１～６をabcdefと対応させることにして一番下を計算する。
a+5b+10c+10d+5e+f =100となるためにはa+fが5の倍数でないといけないので
(a,f)の組み合わせは(1,4)(2,3)(4,6)となる。
(a,f)が(4,6)の場合にはb+2c+2d+e=18なので(b,e)の組み合わせは(1,3)(1,5)(3,5)となる。
この時c,dが存在するのは(b,e)が(1,3)の時のみで(c,d)は(2,5)といえる。
同じ手順で(a,f)が(1,4)(2,3)の場合を調べると(b,e)の組は存在するが それに対応する(c,d)は存在しないとわかる。
以上から題意を満たすのは
　　412536,415236,432516,435216
　　612534,615234,632514,635214
の計８つである

解答・その19

（ペンネ－ム：SOU）

　大元の数を 　A1 , A2,・・・,AN 　とした時、ピラミッド状に足して得られる最終的な値は、 　N-1C0A1 , N-1C1A2 ,・・・, N-1CN-1AN 　のように表される。今回は元の数を 　A1 , A2,・・・,A6（Aはそれぞれ1～6のいづれか） 　としているので、最終的な値は、 　A1 + 5A2 + 10A3 + 10A4 + 5A5 + A6・・・★ 　となる。これが100になればよいので、 　A1 + 5A2 + 10A3 + 10A4 + 5A5 + A6 = 100 　を解くことになる。 　A1 + A6 = 5(20 - A2 - 2A3 - 2A4 - A5) 　とすれば、A1 + A6 は5の倍数にならねばならない。従って(A1,A6) の組み合わせは 　(A1,A6) = (1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(4,6),(6,4) 　に限られる。 　ただし始めの4つの組み合わせはどんなに小さく見積もっても 　（係数の大きなところに可能な限り小さな値を割り当てても） 　結果の値が100を超えてしまう。 　その為(4,6),(6,4)の組み合わせについてのみ考える。この時★は 　10 + 5A2 + 10A3 + 10A4 + 5A5 = 100 　となる。これを 　A2 + A5 = 2(9 - A3 + A4) 　のようにすれば、A2 + A5 は偶数に限られる。 　従って A2 + A5 の組み合わせは 　(A2,A5) = (1,3),(3,1),(1,5),(5,1),(3,5),(5,3) 　のいづれかとなるがはじめの2つは 　4 = 2( 9 - 7 ) 　となり正解で他は方程式を満たさない。即ち 　(A1,A6) = (4,6)or(6,4) 　(A2,A5) = (1,3)or(3,1) 　(A3,A4) = (2,5)or(5,2) 　の計8パターンが問題の条件を満たす組み合わせとなる。

解答・その20

（ペンネ－ム：迷子の雄猫）

　O　P　Q　R　S　T
　　J　K　L　M　N
　　　F　G　H　I
　　　　C　D　E
　　　　　A　B
　　　　　100
上記のとおり、数字が入る場所に記号を付ける。
合計が100と判っているのだから下から順に計算すると、
100=A+B=C+2D+E=F+3G+3H+I=J+4K+6L+4M+N=O+5P+10Q+10R+5S+T

整理して(O+T)+5(P+S)+10(Q+R)
よってO+Tが5か10である必要がある。
（なぜなら100は5で割り切れるから、
O+Tが5か10でなければ合計が5の倍数にならない）

1)　O+Tが5のとき
合計が最も小さくなるのが、P+S=6+5=11,Q+R=5の時だが、
この場合、合計が(O+T)+5(P+S)+10(Q+R)=5+55+50=110 になる。
よって合計が100にはならない。

2)　O+Tが10のとき
(O+T)+(P+S)+(Q+R)=1+2+3+4+5+6=21 なので、(P+S)+(Q+R)=11
(O+T)+10(P+S)+10(Q+R)=10+110=120 なので
(O+T)+5(P+S)+10(Q+R)=100 になるためには
（2式の差から）5(P+S)が20でなければならない。
つまり(P+S)が4でなければならない。
この場合、合計が(O+T)+5(P+S)+10(Q+R)=10+20+70=100 になる。

よって最上段は外側(O,T)が（4,6）　中間(P,S)が（1,3） 内側(Q,R)が (2,5)　
（それぞれ順不同）
一例として左から4,1,2,5,3,6


解答・その21

（ペンネ－ム：You）

数が2つの場合
　　　a b
　　　 c = a+b
数が3つの場合
　　　a b c
　　　d e
　　　 f
数が2つの場合を用いてdとeの解を求め
f= d+ eに代入すると
　　f= a+2b+c
となる
これを6の数(a～f)までおこなうとピラミッドの末端の解をAとおくと
A=a+5b+10c+10d+5e+fとなる
A=100を代入
(a,f)の合計は５の倍数となるので
(a,f)=(1,4)(2,3)(6,4)　aとfは交換法則が成り立つ
(a,f)=(1,4)(2,3)の場合 (a,f)=(6,4)の場合
(b,e)の合計は奇数　　　　　　　　　(b,e)の合計は偶数
(c,d)は残りの数
よって、次の表１の通りとなる

表１　６つの和のピラミッド
(a,f) 　　(1,4)　　(2,3)　　(6,4)
(b,e) 　　(2,3)(2,5)(3,6)(5,6)　　(1,4)(1,6)(4,5)(5,6)　　(1,3)(1,5)
(c,d) 　　(5,6)(3,6)(2,5)(2,3)　　(5,6)(4,5)(1,6)(1,4)　　(2,5)(2,3)
A　　140 130 120 110　　140 130 120 110　　100 90

表１からゆえに
　　(a,f)=(6,4)
　　(b,e)=(1,3)
　　(c,d)=(2,5)の組み合わせである


解答・その22

（ペンネ－ム：スモークマン）

abcdef と置いて最後の数を表すと...
　a+5b+10c+10d+5e+f=100
　a+f=100-5(b+e+2(c+d))
　a+f=5, 10
　a+f=1+4=2+3
　a+f=4+6
100-(1+4)=95...95/5=19≡1...残り...2,3,5,6=-1,0,-1,0 で...b+e+2(c+d)≡1
無理...x

100-(2+3)≡1...残り...1,4,5,6=1,1,-1,0 で...b+e+2(c+d)≡1
1+0+2(1-1)...1+6+2(4+5)=25...x, 4+6+2(1+5)=22...x

100-(4+6)=90...90/5=18≡0...残り...1,2,3,5=1,-1,0,-1 で...b+e+2(c+d)≡0
-1-1+2*(0+1)...2+5+2(1+3)=15...x, 1+0+2(-1-1)...1+3+2(2+5)=18 ビンゴ♪

けっきょく...(a,f)=(4,6),(6,4), (b,e)=(1,3),(3,1), (c,d)=(2,5),(5,2)
　412536
　415236
　432516
　435216
とその逆順の
　635214
　632514
　615234
　612534
の8種類

解答・その23

（ペンネ－ム：三角定規）

6 個の数 A，B，C，D，E，F から題意のような和 S を作ると，S＝A＋5B＋10C＋10D＋5E＋F。
A～F が 1～6，S＝100 のとき，S，5B＋10C＋10D＋5E は 5 の倍数だから，A＋F も 5 の倍数。
よって，(A，F) は，(1，4)，(2，3)，(4，6)。
(A，F) が，(1，4)，(2，3) のとき，題意を満たす B～E は存在しない。
(A，F) が (4，6) のとき，(B，E)＝(1，3)，(C，D)＝(2，5) が題意を満たす。

コメント

多くの方の解答にあるように、最初の数を、ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆとすると、
　　ａ＋５ｂ＋１０ｃ＋１０ｄ＋５ｅ＋ｆ＝１００
という式がたち、さらにａからｆは、１～６の整数であり、
　　ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ＝２１
から、
　　４ｂ＋９ｃ＋９ｄ＋４ｅ＝７９
となります。重ねて、ａからｆは、１～６の整数であることから絞り込むことができます。
対称性があることから、解は、何通りかでてくる可能性がありますね。

追加の問題です。
今回は、一番下の数が「１００」になるものを見つけてもらいました。
では、一番下にくる可能性がある数を、すべてあげてみてください。

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