Weekend Mathematics問題/問題19

19.魔方陣の問題

  1. ラッキ−ナンバ−の7
    空いたマスを埋めて、タテ、ヨコ、ナナメ(外枠の正方形の対角線のみ)と どう足しても合計が777になるようにしてほしいのです。
  2. 1から16までの数字を1つずつ16個のマス目に入れ、 すべてのタテ、ヨコ、ナナメ(外枠の正方形の対角線のみ)の合計を34にしたい。 A〜Jには何が入るかな?
  3. 「鏡の国のアリス」より
    女王さまの取り出した小箱には、 下のように5種類のかたちをした ビスケットが入っていました。 見ると、たてにも横にもななめ(外枠の正方形の対角線のみ)にも、 同じかたちのビスケットは並んでいません。
    アリスは、左下隅のビスケットを1個たべました。 どの形のビスケットだったのでしょう?



問題の出典


1.2.頭のよくなる本

ピ−タ−フランクル

WAVE出版

3.鏡の国のアリスの算数パズル

山崎直美著・訳

さ・え・ら書房






答えと解説












答えと解説

  1. ラッキ−7の問題

    回答・その1

    (ペンネ−ム:Kiyokawa)

    Aのマスをx、Gのマスをyとする。空白のマスを埋めていきます。
    y=x+2 の関係が見つかります。yを代入すると、

     x     521−x  256
    257    x+1   519−x
    520−x  255   x+2
    
    Fのマスが255と確定します。 255,256,257は使用済みなのでx=258とする。
      
    258 263 256
    257 259 261
    262 255 260
    
    上記のようになります。



    回答・その2

    (ペンネ−ム:Hungry Bear)

    魔方陣の法則(マスが奇数の時?)
    外枠の真ん中からスタートし、斜め下(又は上)に連続した数字 (「自然数」でいいんですよね)を埋めていく、 既に数字が埋まっている場合はそのマスの一つ上(下)に入れていく。 マスの端にきたら反対側の辺に戻る..
    文章で書くと解らなくなりますが、 以上のことから問題の 256.257は 左上から右下に向かっているのが解ります。 そこでA、C、Gが連続した数字で合計が777と言うことになります。
    777/3=259より A=258.C=259.G=260
    あとは順番に計算すると全部埋まります
    B=263.D=261.E=262.F=255



    コメント

    777/3=259より、ど真ん中に入る数字が259とわかります。 これが1ヶ所わかると、あとは次々に計算することができます。
    ではなぜ、ど真ん中が平均値になるのでしょうか?


    上の図で矢印に沿って、足し算をしていきます。
    @+D+H=777
    A+D+G=777
    B+D+F=777
    C+D+E=777
    これら、等号の左右をそれぞれ足すと、
    @+A+B+C+D+E+F+G+H+3×D=777×4
    ただし、
    @+A+B+C+D+E+F+G+H=777×3
    なので、
    3×D=777

     D=777/3=259

    というわけです。



  2. 合計34の問題

    回答・その1

    (ペンネ−ム:Kiyokawa)

    Eのマスをx、Iのマスをyとする。 1の問題と同様に空白のマスを埋めていきます。

    C....12-x, E...x, I...y, J...9-y

    C+E=9+3=3+9, I+J=5+4=4+5

       (C,E,I,J)=(9,3,5,4) ・・・@
                =(9,3,4,5) ・・・A
                =(3,9,5,4) ・・・B
                =(3,9,4,5) ・・・C
    
    の4通りに絞られる。この中で、@の場合が可能です。
      1 10 15  8
      7 16  9  2
     12  3  6 13
     14  5  4 11
    
     上記のようになります。    



    回答・その2

    (ペンネ−ム:akihiro)

    まずこの問題はAとHから考えました。 すると、34から引き算して考えればよいのですから、 A=8、H=14ということがすんなりわかりました。
    そして今度は、
    D+G=15、I+J=9、B+F=22、C+E=12という式を発見し、 その組み合わせは
    D+G=2,13もしくは6,9
    I+J=3,6もしくは4,5
    B+F=16,6もしくは9,13
    C+E=3,9もしくは4,8
    しかないことが判明しました。
    そこで最も大きい数字の16の処置を考えてみますと、 BもしくはFにしか使用しないことがわかりました。
    Fの縦列には既に15という数字が使われており、 15+16=31、つまり残り2マスで34−31の3を 表現できなければならないことになります。
    1は既に左上に使用されていますから、 必然的に16はBであり、Fは6であることがわかります。
    このように考えていきますと、解くことができると思います。

    まとめますと、次のようになるのではないでしょうか。
    A=8、B=16、C=9、D=2、E=3、F=6、G=13、H=14、I=5、J=4



    回答・その3

    (ペンネ−ム:Hungry Bear)

    今度は偶数の時の法則(4の倍数の時、偶数で4の倍数でないとき、でそれぞれ 方法が違うようですが)によると 1と2、3と4、5と6、のペアーはテレビ番組(三枝の新婚さんいらっしゃい) のペアマッチのような並びになっています。

    A=8  B=16  C=9   D=2  E=3
    F=6  G=13  H=14  I=5  J=4



    コメント

    (ペンネ−ム:水の流れ)

    さて、今月の問題で魔方陣ですが、私が知っているところをいいます。





    コメント

    なぜ、合計が34になるか、わかりますか?
    登場する数字の総和を求めます。
    それを、縦4列分(よこ4列でもよい。)と考えて、4で割ればいいわけです。

    {1+2+3+4+・・・16}/4={(1+16)×16/2}/4
                     =17×8/4
                     =17×2
                     =34
    

    一般にn×nの魔方陣(nが3以上の時は作ることができます。)では、 1からnまでの総和をnで割ればいいわけですから

    {1+2+3+4+・・・n}/n={(1+n)×n/2}/n
                     =(1+n)×n/2
    
    となります。



  3. 「鏡の国のアリス合計」より

    回答・その1

    (ペンネ−ム:Satou)

    最後の問題は記号を数字に置き換えればわかりやすい。
    それに条件から答えは△か○か□だからあとは消去法。
    答えは□です。



    回答・その2

    (ペンネ−ム:Mizutani)

    ?のところは縦横よーく考えて出来ました。どうですか?

      
     ◎△○□☆
     ○□☆◎△
     ☆◎△○□
     △○□☆◎
     □☆◎△○
    
    よって、?は□ となります。



    回答・その3

    (ペンネ−ム:akihiro)

    単刀直入に答えを言いますと、ずばり 四角形(□)だと思います。

    解き方は・・・なんかメールだと表現しにくいのですが・・・ 「左回りに1コ飛ばし」・・・のような感じだと思います。

    完成図は、次のようになると思います。

    ◎△○□☆
    ○□☆◎△
    ☆◎△○□
    △○□☆◎
    □☆◎△○
    

    初期配置は、

    ◎△○□☆
        ☆
    
    でした。ここでわたしはこう悟りました。
    ◎△○□☆
        ☆
    ☆
    
    ではないかと。そして☆を全部埋めてみますと、
    ◎△○□☆
        ☆
    ☆
       ☆
     ☆
    
    こうわたしは悟ったのです。これがうまい具合にはまって、
    ◎△○□☆
    ○□☆◎△
    ☆◎△○□
    △○□☆◎
    □☆◎△○
    
    という図形が完成しました。
    どうでしょうか。こじつけといってしまえばそれまでですが、 ・・・本当に口で言うのは難しいのですが、 左回りに2コ飛ばし・・・これがキーワードだと 思います。



    回答・その4

    (ペンネ−ム:Hungry Bear)

    一番上の列の並びを変えずに左に2マスずらすと2段めの並びになる 同じように順番に2マスずつ左にずらしていくと...
    逆に?から2マス右の上、そのまた2マス右の上...と順に上に上がっていく と一番上の列の□にたどり着きます。



    コメント

    (ペンネ−ム:Hungry Bear)

    Microsoft の「エンカルタ97 エンサイクロペディア」 (CD−ROM版百科事典)の”魔方陣” の項目にあったので抜粋します。

    ラテン方陣は、魔方陣と似たところもあるが、もともとちがうものである。 次の方陣は1, 2, 3でつくられ、 どちらも各行、各列に同じ数がでてこないようになっている。
                     1  2  3          1  2  3
                     2  3  1          3  1  2
                     3  1  2          2  3  1
    
    上の2つを下のようにかさねてみると、どこにも同じペアはでてこない。
                          1,1   2,2   3,3
                          2,3   3,1   1,2
                          3,2   1,3   2,1
    
    このようにペアを配列した、どこにも同じペアのあらわれない方陣を、 ギリシア・ラテン方陣という。 最初にこれを考えたスイスの数学者オイラーの名をとって、 オイラー方陣ということもある。
    ラテン方陣とオイラー方陣は、統計学や通信工学などへの応用もあり、 注目されている。

    Microsoft(R) Encarta(R) 97 Encyclopedia. (C) 1993-1997 Microsoft Corporation. All rights reserved.

    コメント

    「水の流れ」さんが7/14付けの朝日新聞にこんなものがあったよと教えてくださいました。

    ル−ル

    1. 空いているマスに1から9までの数字のどれかが入ります。
    2. 縦の列(9列あります)、横の列(これも9列)、 太線で囲まれた3×3のブロック(それぞれが9マスあるブロックが9個) のいずれにも、1から9までの数字が1つずつ入ります。


    答え

    私が愛読している雑誌「イラストロジック」(日本文芸社刊) にも毎月、出題されています。ナンバ−プレイス、略して「ナンプレ」 と呼んでいます。難易度の高いものは本当に手強いです。 「こういう問題を作るのってどうするのかなあ・・・?」 なんて思いながら解いています。 難易度を考えて、矛盾なく解けるように、 しかも過不足なく初期値を与えるのって結構むずかしいのではないかと思うのですが・・・。 できることなら、出題者にそのあたりをインタビュ−したいくらいです。

    この「ナンプレ」も一種のラテン方陣と言えるでしょうね。 ラテン方陣+ブロックごとの条件ということですね。

    そして、今回取り上げた「鏡の国のアリス」の問題は斜めの条件を加えた ラテン方陣ということになりますね。




正解者(ペンネ−ム)

Hungry Bear

akihiro

Satou

Mizutani

Kiyokawa




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