Weekend Mathematics／問題／問題19
１９．魔方陣の問題
空いたマスを埋めて、タテ、ヨコ、ナナメ(外枠の正方形の対角線のみ)と
どう足しても合計が７７７になるようにしてほしいのです。
女王さまの取り出した小箱には、
下のように５種類のかたちをした
ビスケットが入っていました。
見ると、たてにも横にもななめ(外枠の正方形の対角線のみ)にも、
同じかたちのビスケットは並んでいません。
アリスは、左下隅のビスケットを１個たべました。
どの形のビスケットだったのでしょう？
１．２．頭のよくなる本
ピ−タ−フランクル
WAVE出版
３．鏡の国のアリスの算数パズル
山崎直美著・訳
さ・え・ら書房
（ペンネ−ム：Kiyokawa）
Aのマスをｘ、Ｇのマスをｙとする。空白のマスを埋めていきます。
ｙ＝ｘ＋２ の関係が見つかります。ｙを代入すると、
ｘ ５２１−ｘ ２５６ ２５７ ｘ＋１ ５１９−ｘ ５２０−ｘ ２５５ ｘ＋２Ｆのマスが２５５と確定します。 ２５５，２５６，２５７は使用済みなのでｘ＝２５８とする。
２５８ ２６３ ２５６ ２５７ ２５９ ２６１ ２６２ ２５５ ２６０上記のようになります。
（ペンネ−ム：Hungry Bear）
魔方陣の法則（マスが奇数の時？）
外枠の真ん中からスタートし、斜め下（又は上）に連続した数字
（「自然数」でいいんですよね）を埋めていく、
既に数字が埋まっている場合はそのマスの一つ上（下）に入れていく。
マスの端にきたら反対側の辺に戻る．．
文章で書くと解らなくなりますが、
以上のことから問題の ２５６．２５７は
左上から右下に向かっているのが解ります。
そこでＡ、Ｃ、Ｇが連続した数字で合計が７７７と言うことになります。
７７７／３＝２５９より Ａ＝２５８．Ｃ＝２５９．Ｇ＝２６０
あとは順番に計算すると全部埋まります
Ｂ＝２６３．Ｄ＝２６１．Ｅ＝２６２．Ｆ＝２５５
７７７／３＝２５９より、ど真ん中に入る数字が２５９とわかります。
これが１ヶ所わかると、あとは次々に計算することができます。
ではなぜ、ど真ん中が平均値になるのでしょうか？
上の図で矢印に沿って、足し算をしていきます。
@＋D＋H＝７７７
A＋D＋G＝７７７
B＋D＋F＝７７７
C＋D＋E＝７７７
これら、等号の左右をそれぞれ足すと、
@＋A＋B＋C＋D＋E＋F＋G＋H＋３×D＝７７７×４
ただし、
@＋A＋B＋C＋D＋E＋F＋G＋H＝７７７×３
なので、
３×D＝７７７
D＝７７７／３＝２５９
というわけです。
（ペンネ−ム：Kiyokawa）
Eのマスをｘ、Iのマスをｙとする。
１の問題と同様に空白のマスを埋めていきます。
C....12-x, E...x, I...y, J...9-y
C+E=9+3=3+9, I+J=5+4=4+5
(C,E,I,J)=(9,3,5,4) ・・・@
=(9,3,4,5) ・・・A
=(3,9,5,4) ・・・B
=(3,9,4,5) ・・・C
の４通りに絞られる。この中で、@の場合が可能です。
１ １０ １５ ８ ７ １６ ９ ２ １２ ３ ６ １３ １４ ５ ４ １１上記のようになります。
（ペンネ−ム：akihiro）
まずこの問題はAとHから考えました。
すると、３４から引き算して考えればよいのですから、
A=８、H=１４ということがすんなりわかりました。
そして今度は、
D＋G＝１５、I＋J＝９、B＋F＝２２、C＋E＝１２という式を発見し、
その組み合わせは
D＋G＝２，１３もしくは６，９
I＋J＝３，６もしくは４，５
B＋F＝１６，６もしくは９，１３
C＋E＝３，９もしくは４，８
しかないことが判明しました。
そこで最も大きい数字の１６の処置を考えてみますと、
BもしくはFにしか使用しないことがわかりました。
Fの縦列には既に１５という数字が使われており、
１５＋１６＝３１、つまり残り２マスで３４−３１の３を
表現できなければならないことになります。
１は既に左上に使用されていますから、
必然的に１６はBであり、Fは６であることがわかります。
このように考えていきますと、解くことができると思います。
まとめますと、次のようになるのではないでしょうか。
A＝８、B＝１６、C＝９、D＝２、E＝３、F＝６、G＝１３、H＝１４、I＝５、J＝４
（ペンネ−ム：Hungry Bear）
今度は偶数の時の法則（４の倍数の時、偶数で４の倍数でないとき、でそれぞれ
方法が違うようですが）によると
１と２、３と４、５と６、のペアーはテレビ番組（三枝の新婚さんいらっしゃい）
のペアマッチのような並びになっています。
Ａ＝８ Ｂ＝１６ Ｃ＝９ Ｄ＝２ Ｅ＝３
Ｆ＝６ Ｇ＝１３ Ｈ＝１４ Ｉ＝５ Ｊ＝４
（ペンネ−ム：水の流れ）
さて、今月の問題で魔方陣ですが、私が知っているところをいいます。
８ ３ ４ １ ５ ９ ６ ７ ２の形だけです。したがって、これをいくつか加えたり、何倍かしたもの がでます。
１ １０ １５ ８ ７ １６ ９ ２ １２ ３ ６ １３ １４ ５ ４ １１今月の答えのような形は基本的に１２通りあって、後はこの形の 変形です。（第１行と第４行の入れ替え、第２行と第３行の入れ替え 第１列と第４列の入れ替え、第２列と第３列の入れ替え等）
なぜ、合計が３４になるか、わかりますか？
登場する数字の総和を求めます。
それを、縦４列分（よこ４列でもよい。）と考えて、４で割ればいいわけです。
｛１＋２＋３＋４＋・・・１６｝／４＝｛（１＋１６）×１６／２｝／４ ＝１７×８／４ ＝１７×２ ＝３４
一般にｎ×ｎの魔方陣（ｎが３以上の時は作ることができます。）では、
１からｎ２までの総和をｎで割ればいいわけですから
｛１＋２＋３＋４＋・・・ｎ２｝／ｎ＝｛（１＋ｎ２）×ｎ２／２｝／ｎ ＝（１＋ｎ２）×ｎ／２となります。
（ペンネ−ム：Satou）
最後の問題は記号を数字に置き換えればわかりやすい。
それに条件から答えは△か○か□だからあとは消去法。
答えは□です。
（ペンネ−ム：Mizutani）
？のところは縦横よーく考えて出来ました。どうですか？
◎△○□☆ ○□☆◎△ ☆◎△○□ △○□☆◎ □☆◎△○よって、？は□ となります。
（ペンネ−ム：akihiro）
単刀直入に答えを言いますと、ずばり
四角形（□）だと思います。
解き方は・・・なんかメールだと表現しにくいのですが・・・
「左回りに１コ飛ばし」・・・のような感じだと思います。
完成図は、次のようになると思います。
◎△○□☆ ○□☆◎△ ☆◎△○□ △○□☆◎ □☆◎△○
初期配置は、
◎△○□☆
☆
でした。ここでわたしはこう悟りました。
◎△○□☆
☆
☆
ではないかと。そして☆を全部埋めてみますと、
◎△○□☆
☆
☆
☆
☆
こうわたしは悟ったのです。これがうまい具合にはまって、
◎△○□☆ ○□☆◎△ ☆◎△○□ △○□☆◎ □☆◎△○という図形が完成しました。
（ペンネ−ム：Hungry Bear）
一番上の列の並びを変えずに左に２マスずらすと２段めの並びになる
同じように順番に２マスずつ左にずらしていくと．．．
逆に？から２マス右の上、そのまた２マス右の上．．．と順に上に上がっていく
と一番上の列の□にたどり着きます。
（ペンネ−ム：Hungry Bear）
Microsoft の「エンカルタ９７ エンサイクロペディア」
（ＣＤ−ＲＯＭ版百科事典）の”魔方陣”
の項目にあったので抜粋します。
ラテン方陣は、魔方陣と似たところもあるが、もともとちがうものである。 次の方陣は1, 2, 3でつくられ、 どちらも各行、各列に同じ数がでてこないようになっている。1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 1 2 2 3 1上の2つを下のようにかさねてみると、どこにも同じペアはでてこない。1,1 2,2 3,3 2,3 3,1 1,2 3,2 1,3 2,1このようにペアを配列した、どこにも同じペアのあらわれない方陣を、 ギリシア・ラテン方陣という。 最初にこれを考えたスイスの数学者オイラーの名をとって、 オイラー方陣ということもある。
ラテン方陣とオイラー方陣は、統計学や通信工学などへの応用もあり、 注目されている。
Microsoft(R) Encarta(R) 97 Encyclopedia. (Ｃ) 1993-1997 Microsoft Corporation. All rights reserved.
「水の流れ」さんが7/14付けの朝日新聞にこんなものがあったよと教えてくださいました。
ル−ル
私が愛読している雑誌「イラストロジック」（日本文芸社刊）
にも毎月、出題されています。ナンバ−プレイス、略して「ナンプレ」
と呼んでいます。難易度の高いものは本当に手強いです。
「こういう問題を作るのってどうするのかなあ・・・？」
なんて思いながら解いています。
難易度を考えて、矛盾なく解けるように、
しかも過不足なく初期値を与えるのって結構むずかしいのではないかと思うのですが・・・。
できることなら、出題者にそのあたりをインタビュ−したいくらいです。
この「ナンプレ」も一種のラテン方陣と言えるでしょうね。
ラテン方陣＋ブロックごとの条件ということですね。
そして、今回取り上げた「鏡の国のアリス」の問題は斜めの条件を加えた ラテン方陣ということになりますね。
Hungry Bear
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Satou
Mizutani
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