問題189 歪んだコイン
どちらの面も等しい確率で出るコインを投げて、表か裏かを当てるのは、五分五分の公平な賭けになります。 では、歪んだコイン（表と裏の出る確率が等しくない。０でもない。）で、公平な賭けをするには、どうしたらいいでしょうか。
問題の出典
続・とっておきの数学パズル
ピーター・ウィンクラ―著
日本評論社
解答
〜到着順にご紹介します〜
解答・その1
（ペンネ−ム：haya）
表の出る確率を n とする。先ず、n を求めます。
表が出た時に得るポイントを 1-n とし、裏が出た時に得るポイントを n とする。
これで期待値が五分五分になる。
解答・その2
（ペンネ−ム：転位反応）
歪んだコインを投げて、表が出る確率をｎ、裏が出る確率を１−ｎとする。
ここで、０＜ｎ＜１、かつ、ｎ≠1／2。
さて、このコインを２回続けて投げ、１回目、２回目の結果の組み合わせとそれが起こる確率は以下の通りである。
表表 ｎ２
裏裏 （１−ｎ）２
表裏 ｎ（１−ｎ）
裏表 （１−ｎ）ｎ
ここで、ｎ（１−ｎ）＝（１−ｎ）ｎなので、表裏と裏表が起こる確率は等しい。
よって、コインを２回続けて投げ、表裏、裏表の何れの順序となるかで勝負すれば公平な賭けとなる。
但し、表表、または裏裏となった場合にはやり直すものとする。
解答・その3
（ペンネ−ム：まーりんａｎｄさとりん）
コインを２回投げ、表→裏と連続で出たらＡさんの勝ち、
裏→表と出たらＢさんの勝ちとする。
ただし、表→表または裏→裏となった場合は、引き分け
として最初からやり直す。
(理由）
表が出る確率をαとすると、表→裏、裏→表と出る確率
はともにα（１−α）で等しいため公平。また、２回投
げて表→表、裏→裏となった場合は続けずに、一旦終わ
りにしなければ公平にならない。
解答・その4
（ペンネ−ム：迷子の雄猫）
解答１：
コインを２度投げて、「表、裏」の順で出るか「裏、表」の順で出るかを賭ける。
表か裏が連続して出た場合にはやり直す。
表の出る確率をｐとすると、どちらも確率が ｐ（1-ｐ) で公平になるから。
解答２：
市松模様の床の上にコインを投げる。
コインがどちらの色の上に落ちるかを賭けるか、
白かつ表、黒かつ裏ならAの勝
黒かつ表、白かつ裏ならBの勝とする。
解答・その5
（ペンネ−ム：ちょろんは太太）
コインのルールを次のように定める。
１回目は、コインの表・裏を決めるために投げる。
２回目は、１回目のコイントスのやり直しを決めるために投げる。
１回目と同じ面が出ると、最初からやり直しとする。
１回目と違う面が出ると、１回目の表・裏で決まりとする。
表の出る確率を ｑ とすると、裏の出る確率は 1-q
表で決まる確率は、１回目が表、２回目が裏なので、q(1-q)
裏で決まる確率は、１回目が裏、２回目が表なので、(1-q)q
それ以外は、やり直しなので、表で決まる確率と裏で決まる確率は相等しい。
解答・その6
（ペンネ−ム：浜田 明巳）
コインにおいて，大きな数が書いてある面が表，年号が書いてある面が裏ということになっている．つまり表，裏の厳密な定義はない．コインごとに慣習的に決まっているだけと考えてよい．
故に歪んだコインの表，裏もそんなにはっきりと定義されている訳ではないと解釈できる．
第三者にそのコインの表，裏を定めてもらう．常識的な呼び名と紛らわしい場合は，「オモテ」、「ウラ」としてもよいし，「Ｈ」、「Ｔ」と呼んでもよい．勿論かけをする２人にはどちらが「オモテ」、「ウラ」（「Ｈ」，「Ｔ」）となっているか分からないようにする．
この状態でかけをすれば，公平なものとなる．
このことを証明する．
歪んだコインの表，裏の出る確率をそれぞれｐ，１−ｐ（０＜ｐ＜１）とする．
第三者が表をオモテ，裏をウラとする確率と，表をウラ，裏をオモテとする確率は共に１／２とする．
i).第三者が表をオモテ，裏をウラとするとき，Ａ，Ｂの２人がそれぞれオモテ，ウラを選んで，Ａがかけに勝つ確率は，
ｐ／２
Ａ，Ｂの２人がそれぞれウラ，オモテを選んで，Ａがかけに勝つ確率は，
(１−ｐ)／２
ii).第三者が表をウラ，裏をオモテとするとき，Ａ，Ｂの２人がそれぞれオモテ，ウラを選んで，Ａがかけに勝つ確率は，
(１−ｐ)／２
Ａ，Ｂの２人がそれぞれウラ，オモテを選んで，Ａがかけに勝つ確率は，
ｐ／２
まとめると，Ａ，Ｂがそれぞれオモテ，ウラを選んで，Ａがかけに勝つ確率は，
ｐ／２＋(１−ｐ)／２＝１／２
Ａ，Ｂがそれぞれウラ，オモテを選んで，Ａがかけに勝つ確率は，
(１−ｐ)／２＋ｐ／２＝１／２
故にこれは公平な賭である．
何回もかけを繰り返す場合は，その都度第三者がオモテ，ウラを決めればよい．
第三者がいまいち信用できない場合は，決めた結果をどこかに書き留めておき，かけをする２人に知られることのないようにすればよい．
解答・その7
（ペンネ−ム：Asterisk*）
コインを二回投げます。
表が出て、裏が出るか、
裏が出て、表が出るか、
のどちらかに賭けます。
表表、裏裏の場合はやり直し。
仮に、表と裏の出る比率がが 2：1 だとして
表 表 裏
表表裏表表裏表表裏
引引甲引引甲乙乙引
フェアな勝負ができます。
解答・その8
（ペンネ−ム：T_Tatekawa）
投げたコインで表が出る確率を A，裏が出る確率を (1-A) とします．
1回投げただけでは確率が等しくならないので，2回投げる事を考えます．
表表の確率：A*A
表裏の確率：A*(1-A)
裏表の確率：(1-A)*A
裏裏の確率：(1-A)*(1-A)
ここで「表裏」と「裏表」の確率が等しい事に注目します．
前者を X, 後者を Y とします．
X になるか Y になるかを当てる賭けをします．
2回コインを投げて，2回とも同じ面が出たらやり直します．
異なる面が出た時に，賭けの当たりを判定します．
賭けに時間がかかってしまいますが，これで公平な賭けが成立します．
やり直しの確率は A2 + (1-A)2 です．
解答・その9
（ペンネ−ム：杖のおじさん）
歪んでいないコインは裏と表がでる確率は０．５で同じです。
従って、公平な賭けけが出来ます。
歪んでいるコインは表と裏が出る確率は違います。どちらかの出る確率が高くなります。
表と裏の出る確率を合計すると１になります。
従って、公平に賭けをするには２回ずつ振って賭けると同じ確率になります。
そこで、最初に表が出て２回目に裏が出た時に表とし、
最初に裏が出て２回目に表が出た時に裏と決めて掛けをすれば両方とも同じ確率の条件になります。
それ以外はもう一度振り直して賭けをする事になります。
解答・その10
（ペンネ−ム：次郎長）
「表」あるいは「裏」ではなく、
Ｂ−１：「表」「裏」が出るか
Ｂ−２：「裏」「表」が出るか
2回セットでかける、が正解ではないでしょうか？
つまり、表・表もしくは裏・裏のように、同じ面が2回続けばそれは外す。、
その内に、「表」「裏」もしくは「裏」「表」と必ずなるので、しかもその出る確率は等しい。
仮に「表」「裏」にかけていれば
コインが
表・表・表・裏と出れば最初の2回（表・表）は消えて、3回目／4回目の表・裏が当たったので勝ち
仮にコインが裏・裏・表・表・表・表・裏・裏・裏・表と出れば
最初の８回は消えて、9回目／10回目に裏・表が出たので負けとなる。
整理すると、
表と裏のセットでかける。
表表、裏裏と2回同じ面が連続したトスは無視する。
解答・その11
（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）
反復試行の確率を考えます。
コインを投げて、表が出る確率をp、裏が出る確率をqとします。（p＋q＝１）
これをn回くり返すと、表がちょうどr回出る確率は、nＣr ｐr ｑn-r となります。
また、表の出る回数の期待値は、次の計算より np となります。
さて、普通のコインを１回投げることを考えます。（ p = q = 1/2 ）
この試行の事象は、｛表，裏｝です。
期待値は、np = 1/2 です。
この解釈を次のようにしてみます。
ア）表に賭けるのは、表が１回なので、期待値より大きな回数に賭けること
裏に賭けるのは、表が０回なので、期待値より小さな回数に賭けること
イ）表に賭けるのは、表が１回なので、表の回数が奇数に賭けること
裏に賭けるのは、表が０回なので、表の回数が偶数に賭けること
●ア）について、
普通は、表の確率pも裏の確率qも等しいので、期待値の大小どちらに賭けても公平です。
さて、コインをn回投げるとき、p = q = 1/2 なら、表の出る回数を確率変数Xとした確率密度関数 f(x) の
グラフが期待値に関して左右対称になるので、期待値以下の確率（図の青）と期待値以上の確率（図の黄）が
等しくなります。
一般的に、確率は、離散的な場合は該当する確率の和、連続的な場合はその領域の面積になります。
連続的な確率変数の場合は、左右対称でない確率密度関数の場合も、期待値の上下の確率は同じです。
しかし、離散的な確率変数の場合は、注意が必要です。
(2)はコインを投げる回数を増やすとそれぞれの確率は 1/2 に近づきますが現実的ではありません。
よって、コインをn回投げて表の出る回数が期待値以上か以下での公平な賭けは成立しません。
何より表の出る確率pを知らないことにはどうしようもありません。
●イ）について、
普通のコインは、表も裏も出る確率が 1/2 なので、表の出る回数の偶数、奇数のどちらに賭けても公平です。
何回コインを投げても、表が偶数回出る確率と奇数回出る確率は等しくなります。
これは ( p - q )n = 0 を踏まえて、
となるからです。
表と裏の出る確率が異なる場合は（ p ≠ q ）、
表が偶数回出る確率と奇数回出る確率は等しくなりません。（( p - q )n ≠ 0 ）
やはり、コインを投げる回数を増やすとそれぞれの確率は 1/2 に近づきますが現実的ではありません。
●次にまったく違うことを考えてみます。
コインの直径の２倍の間隔で十分な本数の平行線を引きます。
コインを適当に投げて平行線にかかるか、かからないかを考えます。
コインの中心の縦方向の位置を考えれば、どちらの確率も 1/2 であることが分かります。
しかし、これはコインの表裏の出方と関係ないので筋違いです。
●そこで、表が出る確率p、裏の出る確率qが分からなくても公平になることを考えます。
積の交換法則 p × q = q × p
を踏まえ、コインを２回続けて投げることを１回の試行とします。
この試行には｛表表，表裏，裏表、裏裏｝の４つの事象があります。
このうち｛表表，裏裏｝はそれぞれの確率が分かりません。
しかし、｛表裏，裏表｝のそれぞれの確率が等しいことは明らかです。
だから、｛表表，裏裏｝はあいこにして、｛表裏，裏表｝のどちらかに賭けることにすれば公平になります。
解答・その12
（ペンネ−ム：スモークマン）
同じ確率のコインを使っての勝負に持って行くという方針で...
{(表-裏) or (裏-表) のセットで考えたら等確率}の１枚のコインと見なせるので...
２回投げて１個のコインと考える...
で...
たとえば...(表-裏)の順で出れば「表」("裏"でもいい)
(裏-表)の順で出れば「裏」("表"でもいい)
と取り決めて投げればいいように思えました♪
残りの場合は...(表-表)、(裏-裏) は等確率のコインとは考えられないから...無視ってことで...^^;
解答・その13
（ペンネ−ム：オヤジ）
２回ずつ投げる試行をAとすると
A＝｛（１回目，２回目）｜（表，表），（表，裏），（裏，表），（裏，裏）｝
ここで、例えば表が出やすいとして一般性を失わないから，
表が出る確率をP，裏が出る確率をQ（＝１−P）とすると
１＞P＞Q＞０ ，Ｐ+Q＝１ さらに Aの各事象は、独立かつ排反だから
P(A)＝P2＋PQ＋QP＋Q２＝（P+Q）２＝１
従って２回ずつ投げる試行においては，確率の期待値が１となり公平な賭けと言える。
解答・その14
（ペンネ−ム：えすわん）
賭けをする２人をＡさんとＢさんとします。
Ａさんはコインのいずれかの面に“１”、反対の面に“２”とでも書きます。
ＡさんはＢさんに、“１”と“２”を書いたことを伝えます。
Ｂさんは“１”か“２”のいずれかに掛けます。
コインを投げてＢさんが掛けた数字が出たらＢさんの勝ち、出なかったらＡさんの勝ち。
念のため、コインをひっくり返して、反対の面の数字を確認した方がいいですね。
＜公平な賭けであることの証明＞
コインの表が出る確率をａ、裏が出る確率を（１−ａ）とします。
Ｂさんは、どっちが“１”か“２”か知らないわけですから、“１”を選ぶとしても一般性は失われない。
Ａさんがどちらの面に“１”を書くかは１／２。
そうすると、コインを投げて“１”が出る確率は、
（Ａさんが表に“１”を書いて、表が出る）＋（Ａさんが裏に“１”を書いて、裏が出る）
＝１／２×ａ＋１／２×（１−ａ）
＝１／２
２人の役割分担、すなわち、コインに数字を書く役割と、掛ける役割との
どちらを取るかで、２人がもめる可能性がないわけではありませんが、
知恵のある２人の紳士（淑女）なら、確率的に同じだからと、もめることはないでしょう。
コメント
解答の公開が遅れ、ご迷惑をおかけしました。
歪んだコインでも、やり方を工夫することで、公平な賭けができるって、不思議ですね。
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