問題186 足し算・引き算
８種類の記号 ○△◇▼□▲▽◎ は、それぞれ６を除く１～９までのいずれかの数字です。 同じ数字はありません。 下図のような結果がわかっているとき、次の問いに答えてください。 ただし、○△◇は、百の位の数字が○、十の位の数字が△、一の位の数字が◇の３けたの数字を表します。 下の結果の（ア）は、３けたの整数どうしの和で、（イ）は３桁の整数どうしの差です。
(1) ▲◇を求めてください。
(2) ◎○▼△□▽を求めてください。
問題の出典
大人の算数パズル
河瀬厚
自由国民社
立教女学院中学校(2006年)
解答
～到着順にご紹介します～
解答・その1
（ペンネ－ム：haya）
答(1)： ▲=1, ◇=2
答(2)： ◎=3, ○=8, ▼=7, △=9, □=5, ▽=4
【解き方】
二桁の整数の足し算では10の位はたかだか1より▲=1、次に引いて1しか違わないことより◇=2。
上を足して ◎=3。
△+□ も △-□ も一の位は▽。
○+▼は 16 であることより、○=8, ▼=7, △=9,
□=5, ▽=4。
解答・その2
（ペンネ－ム：迷子の雄猫）
式Ａ： ○△◇＋▼□▲＝▲６▽◎
式Ｂ： ○△◇－▼□▲＝ ▲▽▲
まず、▲が1は自明。999+999が1998なので、3桁の整数同士の和は2000未満。
式Bの一の位より、◇から1を引くと1なので◇は2。
式Aの一の位より、◎は3。
両式の十の位より、△に□を足しても△から□を引いても一の位が▽になるのだから、□は5。
よって△と▽は順不同で1と6、2と7、3と8、4と9のいずれかになるが、
記号はそれぞれ別々の数字を表しているので、△と▽は4と9(順不同)でなければならない。
さて、A式の十の位で繰上りがあると仮定すると百の位は8と7、繰り上がりがないと仮定すると9と7。
9は既に別の記号に当てはまるとわかっているので、百の位は8と7
○は▼より大きく、A式の十の位で繰上りがあるので△は▽より大きい。
よって○、▼、△、▽は順に8、7、9、4。
８９２ ＋７５１ １６４３ ８９２ －７５１ １４１
解答・その3
（ペンネ－ム：スモークマン）
まとめて面倒看ました ^^
桁上がりの▲=1...◇-▲=▲ から...◇=2
○+▼=16 で ○-▼=1...○=8,▼=7
△+□=1▽, △-□=▽...△=9,□=5,▽=4
と、少しばかり試行錯誤すれば当てはまるものが求まる...^^;
実際に...
892 + 751 1643 892 -751 141
で、満たしているし...残りの◎は3とわかる♪
よって...
(1) ▲◇を求めてください。
▲◇=12
(2) ◎○▼△□▽を求めてください。
◎○▼△□▽=387954
ですね ^^
解答・その4
（ペンネ－ム：次郎長）
（ア）の式より▲＝１が分かる。
次に（イ）の１の位の◇ー１＝１となるので、◇＝２となる、
すると（ア）の式から◎＝◇（２）＋▲（１）＝３と分かる
次に（ア）の○＋▼＝１６なら、（ア）の１０の位の△＋□＝▽と、（イ）の１０の位の△ー□＝▽が矛盾するので、
（ア）の１００の位の○＋▼＝は１５で１０の位から１（１００）繰り上がったことが分かる。
つまり （ア）の１０の位の△＋□＝▽＋１０
（イ）の１０の位の△ー□＝▽ となるので、△＝▽＋５
すでに、１，２，３は使ってしまっているので、上記を満足させるのは△（９）＝▽（４）＋５しかない。
ここで（ア）の式を整理すると
○９２ ＋ ▼□１ ーーーーーー １６４３となる。 つまり □＝５、 繰り上がる前の ○＋▼＝１５
ここで（イ）の式を整理すると
○９２ ー ▼５１ ーーーーー １４１
○＋▼＝１５ と ○ー▼＝１ から ○＝８、▼＝７
以上より、
（１）▲◇＝１２
（２）◎○▼△□▽＝３８７９５４
解答・その5
（ペンネ－ム：浦岡）
解答・その6
（ペンネ－ム：マシャ）
【解答】
１
まず、足し算の千の位に注目する
繰り上がりがあるのは１だけ
だから ▲＝１
２
引き算の一の位に注目する
◇ー▲＝▲なので◇＝２
３
両方の百の位に注目する
○と▼を足して16 or 15, 引いて1 or 2なので可能性があるのは
(○,▼)=(9,7),(8,7)
どちらの場合も▼＝７
○は保留
４
両方の十の位で足しても引いても同じ▽なので、条件は足して繰り上がる
その組み合わせは△＝９、□＝５、▽＝４のみ
５
残りの○＝８、◎＝３
以上より、
(1)▲＝１、◇＝２
(2)◎＝３、○＝８、▼＝７、△＝９、□＝５、▽＝４
解答・その7
（ペンネ－ム：転位反応）
(1)▲◇を求める
・計算（ア）において千位への繰上りがあることから▲＝１
・計算（イ）において◇－▲＝▲、つまり◇－１＝１なので◇＝２
この結果を基に計算式を見直すと以下の通り。
（ア） （イ） ○△ 2 ○△ 2 ＋▼□ 1 －▼□ 1 1 6 ▽ 3 1▽ 1
（2）◎○▼△□△を求める
・上記の見直した計算式（Ａ）より、◎＝３
・計算式（ア）において、○＋▼＝１６、計算式（イ）より、○＞▼であることから、
○＝９，▼＝７ または、繰上りを考慮すると○＝８，▼＝７の何れか
ここで、○＝９，▼＝７の場合：残りの数字は４，５，８であるが、△＋□＝▽を満たす組み合わせがない
一方、○＝８，▼＝７の場合：残りの数字４，５，９を使って、９＋５＝１４、９－５＝４の組み合わせができる
以上の結果により、○＝８，▼＝７，△＝９，□＝５，△＝４
（ア） （イ） 892 892 ＋751 －751 1643 141
解答・その8
（ペンネ－ム：杖のおじさん）
答え
○＝８ Δ＝９ ◇ ２ ▼＝７ □＝５ ▲＝１ ▽＝４ ◎＝３
（ア） （イ） ○Δ◇ ○Δ◇ ＋▼□▲ －▼□▲ ▲６▽◎ ▲▽▲
（ア）の式の合計千位の▲は十位の△＋□の加算による繰り上げなので1です。
従って▲＝１です
これを（ア）と（イ）に代入します。
と（イ）式から◇＝２が確定し（ア）式に代入すると◎＝３となります。
（ア）式の合計百位が６になるのは
[1]・・・９＋７＝１６又は[2]・・・８＋７＋（ア）式の十位からの繰り上げ）＝１６になります。
求める十位の数字△□▽は９と５と４になりますので検証します。
加算しても引き算しても同じ数字になる▽は４となります。
従って △＝９ □＝５ ▽＝４ と確定します。
解答・その9
（ペンネ－ム：Ｒｙｕ1128）
（1）
▲が2になるのは▼と○が9で一桁下から２が繰り上がってくる場合だけなので1と解
ります。
◇は（イ）から2です。
（2）
◎は（1）から3です
ここまでで残っている数字は4,5,7,8,9です。また１桁目は２桁目に影響しません。
（○▼）の組み合わせは、（ア）から（8,7）・・２桁目から1繰り上がってくる場合
と（9,7）・・繰り上がってこない場合がありますが（9,7）と仮定すると△□▽は
（4,5,8）となり成立しません。
従って（○▼）は（8,7）・・２桁目から1繰り上がってくる場合となります。
（△□▽）は上記から１繰り上がらなければならないので（ア）から（5,9,4）か
（9,5,4）となりますが、（イ）の条件より（9,5,4）であることが解ります。
以上を整理すると(１)(２)の答えをまとめ
（▲◇◎○▼△□▽）＝（1,2,3,8,7,9,5,4）
検算してみると
892+751＝1643
892-751＝141
また、（1）で▲◇が解ると（ア）（イ）を変形して▲6▽◎+▲▽▲＝○△◇×2で計
算したほうが簡単かもしれません。
解答・その10
（ペンネ－ム：浜田 明巳）
覆面算はプログラムの得意な分野です．
○をＡ，△をＢ，◇をＣ，▼をＤ，□をＥ，▲をＦ，▽をＧ，◎をＨとして，シラミつぶしに１～９（６以外）の数を当てはめて，成り立つものを示す．
正しい計算式は，８９２＋７５１＝１６４３，８９２－７５１＝１４１
（１）▲◇は，１２
（２）◎○▼△□▽は，３８７９５４
Option Explicit
'ABC+DEF=F6GH, ABC-DEF=FGF
Sub Macro1()
Cells(1, 1).Value = 0
Dim kuriagari(2) As Integer, gyou As Integer
Dim A As Integer, B As Integer, C As Integer
Dim D As Integer, E As Integer, F As Integer
Dim G As Integer, H As Integer
For C = 1 To 9
If C <> 6 Then
For F = 1 To 9
If F <> 6 And C <> F Then
H = (C + F) Mod 10
If 0 < H And H <> 6 And C <> H And F <> H Then
kuriagari(1) = (C + F) \ 10
For B = 1 To 9
If B <> 6 And B <> C And B <> F And B <> H Then
For E = 1 To 9
If E <> 6 And B <> E And C <> E And E <> F And E <> H Then
G = (B + E + kuriagari(1)) Mod 10
If 0 < G And G <> 6 And B <> G And C <> G And E <> G And F <> G And G <> H Then
kuriagari(2) = (B + E + kuriagari(1)) \ 10
For A = 1 To 9
If A <> 6 And A <> B And A <> C And A <> E And A <> F And A <> G And A <> H Then
D = 10 * F + 6 - A - kuriagari(2)
If A + B + C + D + E + F + G + H = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8 + 9 Then
If (100 * A + 10 * B + C) - (100 * D + 10 * E + F) = 100 * F + 10 * G + F Then
Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
gyou = Cells(1, 1).Value * 4 - 3
Cells(gyou, 3).Value = 100 * A + 10 * B + C
Cells(gyou + 1, 2).Value = "+": Cells(gyou + 1, 3).Value = 100 * D + 10 * E + F
Cells(gyou + 2, 3).Value = 1000 * F + 600 + 10 * G + H
Cells(gyou, 6).Value = 100 * A + 10 * B + C
Cells(gyou + 1, 5).Value = "-": Cells(gyou + 1, 6).Value = 100 * D + 10 * E + F
Cells(gyou + 2, 6).Value = 100 * F + 10 * G + F
End If
End If
End If
Next A
End If
End If
Next E
End If
Next B
End If
End If
Next F
End If
Next C
End Sub
解答・その11
（ペンネ－ム：まーりんａｎｄさとりん）
(1) ▲◇を求めてください。
（ア）の解の千の位は１しか取りえないので▲＝１
（イ）の解一の位が成立するには◇＝２
(2) ◎○▼△□▽を求めてください。
(1)が分かれば（ア）（イ）はそれぞれ、８９２と７５１の和と差で成り立つ。
よって、
◎＝３
○＝８
▼＝７
△＝９
□＝５
▽＝４
解答・その12
（ペンネ－ム：ちょろんは太太）
（１）
（ア）より、３けたどうしの足し算だから、繰り上げられた４桁目 ▲= 1
（イ）の1桁目に注目すると、◇ｰ１=１ だから ◇=２
（２）
（ア）の1桁目に注目すると、◎=２＋１＝３
（ア）式と（イ）式を加えると、２ｘ（○△２）＝１７００＋２ｘ（▽０）＋４
１０で割って整理すると、 ２ｘ（○△）＝１７０＋２ｘ▽
右辺は、１７０以上、１９０未満だから、○は、８または、９。
△と▽は、2倍どうしの1桁目が同じなので、１と６、２と７、３と８、４と９の組み合わせ。
１、２、３はすでに、使われているので、４と９。
よって、○は８。△と▽は、△＝９、で▽＝４。
８９２＋▼□１＝１６４３ よって、▼□１＝７５１
よって、▼＝７、□＝５。
整理すると、◎＝３、○＝８、▼＝７、△＝９、□＝５、▽＝４
解答・その13
（ペンネ－ム：のっこん）
（ア）の千の位は明らかに１だから▲＝１
（イ）より１＋１＝◇だから◇＝２
（ア）より２＋１＝◎だから◎＝３
（イ）より１▽１＋▼□１＝○△２
（ア）に代入して１▽１＋▼□１＋▼□１＝１６▽３
□＋□＝１０が必要だから□＝５
１＋１＋▼＋▼＝１６となるから▼＝７
（ア）は○△２＋７５１＝１６▽３
（イ）は○△２－７５１＝１▽１ となり残りの数字は４、８、９である
（△、▽）＝（４、９）は８＋７＝１６ となり不適
（△、▽）＝（９、４）の時○＝８ これは題意を満たす
解答・その14
（ペンネ－ム：you）
（１）
▲・◇は、（ア）の式の和の４桁目に▲がきているため
条件より６を除く１から９までのいずれかの数字であるため
繰り上げでも１しか考えられない。よって、
▲＝１（あ）
（イ）の式より引き算の１桁目の計算に着目すると
◇ー▲＝▲と（あ）より
◇＝２（い）
したがって、
▲＝１、◇＝２となる。
（２）
（ア）の１桁目の式と（あ）、（い）より
▲＋◇＝◎＝３（う）
足し算と引き算の２桁目の式は、以下のような場合分けができる。
（一）足し算の２桁目の式の和が十桁の場合
△＋□＝１▽＝１０＋▽(a)
△ー□＝▽(b)
(a)と(b)の連立方程式より
△＝▽＋５
（二）引き算の２桁目の式が繰り下げだった場合
△＋□＝▽(a)
１０＋△ー□＝▽(b)
(a)と(b)の連立方程式より
５＋△＝▽
（三）どちらもない場合
△＋□＝▽(a)
△ー□＝▽(b)
(a)と(b)の連立方程式より
△＝▽
条件より（三）は、なし
（一）と（二）の場合が考えられる。
残りの数字は４、５、７、８、９であり
（一）と（二）の連立方程式の解の式に当てはめると
（一）△＝９、▽＝４、□＝５
（二）△＝４、▽＝９、□＝５
足し算と引き算の３桁目の式より
○と▼は、７と８の数字となり
○＞▼より
○＝８、▼＝７となり
引き算の３桁目の式より
引き算の２桁目の式が繰り下げになれば矛盾するため
よって、△＞□＝５より
（一）の条件が成立する。
よって、◎＝３、○＝８、▼＝７、△＝９、□＝５、▽＝４となる。
解答・その15
（ペンネ－ム：T_Tatekawa）
(1)
まず（ア）で3桁の自然数同士を足し算しているので，和は2000未満である．
よって ▲=1．
次に（イ）で◇から1を引いて1なので，◇=2．
(2)
（ア）から◎=2+1=3
（イ）で△-□=▽なので，（ア）の十の位は繰り上がりが発生している．
△+□=10+▽
両辺を足して2で割ると，
△=5+▽
既に1, 2, 3に対応する記号が決まっているので，
△=9, ▽=4
残る数字は7, 8である．
（イ）で引き算をしている事から○は▼より大きい．
よって○=8，▼=7．
解答・その16
（ペンネ－ム：Asterisk*）
--------------------問題1--------------------
記号の入力が面倒なので、ABCDEFGHにしました。
（ア）
ABC
+DEF
--------
F6GH
（イ）
ABC
--DEF
--------
FGF
まずC-F=FとなるCとFの組み合わせとしては（繰り下がりも考えると）
2,1 4,2 6,3 8,4
2,6 4,7 6,8 8,9
の8通りが考えられます。
しかし6はすでに使われているので、
2,1 4,2 8,4 4,7 8,9
そしてFは6の左にあって繰り上がりです。
繰り上がりは1以上にはなりません。
よってCとF（◇と▲）は 2と1
--------------------問題2--------------------
CとFを代入すると
（ア）
AB2
+DE1
--------
16G3
（イ）
AB2
--DE1
--------
1G1
AB2+DE1=16G3AB2-DE1=1G1
さらに
ABC=x
DEF=y
16G3=1000+600+10g+3
1G1=100+10g+1
とすると、連立方程式を作れます。
x+y=1603+10g
x-y=101+10g
これを解くと
x+y-1603=x-y-101
x-x+y+y=1603-101
2y=1502
y=751
式に代入すると
（ア）
AB2
+751
--------
16G3
（イ）
AB2
--751
--------
1G1
次にA-7=1に注目します。残っている数は4,8,9です。Aの候補としては、8と9があります。
（B-5の計算の際に繰り下がりが行われたときには9が必要なので。）
仮にAを8として、8-7=1とすると、
足し算B+5=Gにおいて、8+7は15で、
16にするには、繰り上がりが必要なため、
B+5＞10
B＞5
Bの候補として残っていたのは4と9なので、
Bは9、ならば、Gは4
（ア）
892
+751
--------
1643
（イ）
892
--751
--------
141
計算機で確認すると892+751=1643 892-751=141
解答・その17
（ペンネ－ム：Ｎと～）
１ 和の千の位から ▲＝１
２ ▲＝１と差の一の位から ◇＝２
３ ◎＝◇＋▲＝３
４ 和より、○＋▼＝１６ or １５、差より○＞▼なので、（○,▼）＝（９,７）か（８,７）
いずれにしても、▼＝７
※ 現段階で、残った使える数字は、４，５，８，９
５ 十の位に注目。一の位からの繰り上がり、一の位への繰り下がりはなく、和も差も●▽より、□＝５
６ 他に使われている数字との重複や繰り上がり等を考慮し、
○＝８、△＝９、▽＝４
▲＝１ ◇＝２ ◎＝３ ▽＝４
□＝５ ▼＝７ ○＝８ △＝９
（１）の答
１２
（２）の答え
３８７９５４
解答・その18
（ペンネ－ム：オヤジ）
（ァ）から ▲＝１ ∵ 桁の繰り上がりだから
（イ） から ◇＝▲＋▲＝１＋１＝２
（ァ）から ◎＝◇＋▲＝２＋１＝３
（ァ）から △＋□＝▽ ・・・（１） または △＋□＝▽＋１０ ・・・（２）
○＋▼＝１６ ・・・（３） または ○＋▼＝１５ ・・・（４）
（イ）から △－□＝▽ ・・・（５） または △－□＋１０＝▽ ・・・（６）
○－▼＝１ ・・・（７） または ○－▼＝２ ・・・（８）
（３）＋（８），または（４）＋（７）から ２○＝１８，１６
ここで ○＝９ とすると ▼＝７ ∵（３），（８）
○＝８ とすると ▼＝７ ∵（４），（７）
従って ∴ ▼＝７ また （１）と（５），（２）と（６）は矛盾
従って （１）＋（６）から ２△＋１０＝２▽ ・・（１０）（△＜□） または
（２）＋（５）から ２△＝２▽＋１０ ・・（１１）（△＞□）
従って （１０），（１１）から □＝５ このことより △＝８，９
ここで （１０）は、あり得ない。 （１１）において △＝８ とすると
▽ ＝３となり ◎＝３と矛盾、 ∴ △＝９，▽＝４，○＝８
従って (1) ▲＝１，◇＝２
(2) ◎＝３，○＝８，▼＝７，△＝９，□＝５，▽＝４
解答・その19
（ペンネ－ム：Part Marty）
１）一桁の整数の足し算は１８以下なので▲ = 1しかありえない。
◇ - ▲ = ▲つまり◇ - 1 = 1従って◇ = 2◇ + ▲ = ◎つまり2 + 1 = ◎従って◎ = 3
２）８種類の記号○△◇▼□▲▽◎をa,b,c,d,e,f,g,hとします。
○△◇ = a * 100 + b * 10 + c
▼□▲ = d * 100 + e * 10 + f
○△◇ + ▼□▲
s1 : f + 10 * e + 100 * d + c + 10 * b + 100 * a = h + 10 * g + 1000 * f + 600
○△◇ - ▼□▲
s2 : - f - 10 * e - 100 * d + c + 10 * b + 100 * a = 10 * g + 101 * f
s1,s2より
s3 : f = - (h - 20 * e - 200 * d + 600) / 897
s4 : c = - (34 * h - 2990 * g - 3670 * e - 36700 * d + 2990 * b + 29900 * a + 20400) / 299
s3より、20 * e - h＜200 * d - 600 - 897 となり d = 7
s3 : f = - (h - 20 * e - 800) / 897となり e = 5
s3 : f = - (h - 900) / 897となり h = 3
f = 1
s4 : c = 10 * g - 10 * b - 100 * a + 852となり a = 8
s4 : c = 10 * g - 10 * b + 52となり
残りの整数は、2,4,9なので
b = 9,g = 4,c = 2となる。
従ってa = 8,b = 9,c = 2,d = 7,e = 5,f = 1,g = 4,h = 3
892 892 +751 -751 1643 141
解答・その20
（ペンネ－ム：三角定規）
(1)
① (ア)の100の位の和 ○＋▼≦19 だから ▲＝１。
② (イ)の１の位の差 ◇－１＝１ より，◇＝２。
(2)
③ (ア)の１の位の和 ２＋１＝◎＝３
④ 100の位の和･差 ○＋▼＝16，○－▼＝１ より，○＝８ or ９，▼＝７
⑤ ○＝８ のとき，△＝９，□＝５，▽＝４ となり適。
⑥ ○＝９ のとき，△＝４，□＝５，▽＝９ となるが，○＝▽＝９ となってしまい不適。
以上より，この覆面算の解は，
８９２ ８９２ ＋７５１ －７５１ －－－－ －－－ １６４３ １４１
解答・その21
（ペンネ－ム：夜ふかしのつらいおじさん）
コメント
このような問題を覆面算といいますね。 可能性は有限ですが、いかに効率的に、 しかも一意性（他に解はないこと）を確保しながら解を求める必要があります。 今回の問題は２数の和と差であるというのがおもしろいですね。
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