問題183 素数を作る問題
相異なる７以下の正の整数 ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇ を用いて、
ａ×ｂ×ｃ×ｄ＋ｅ×ｆ×ｇ
と表せる素数をすべて求めてください。
問題の出典
数学オリンピック
日本評論社
第21回日本数学オリンピック予選(2011年)
解答
〜到着順にご紹介します〜
解答・その1
（ペンネ−ム：スモークマン）
偶数＋奇数以外は満たさない…
両方に同じ素因数を持ったもの入れない…
つまり…2-(4,6), (3-6) は片側にある…
けっきょく…
2*3*4*6+1*5*7=144+35=179
と一意的に決まる。
解答・その2
（ペンネ−ム：haya）
答： 179
【解き方】
a 〜 g の中で 2, 4, 6 が偶数であることより、これが、
a*b*c*d+e*f*g
の2項に分散すれば偶数となるから素数とはならない。
チェックすべきはこれが偏ったときで、例えば e*f*g が 2, 4, 6 となった時であるが、
1*3*5*7+2*4*6 = 153 = 32*17
は9の倍数で素数ではない。 同様に、
2*4*6*1+3*5*7 = 153 = 32*17
2*4*6*3+1*5*7 = 179 a prime number
2*4*6*5+1*3*7 = 261 = 32*29
2*4*6*7+1*3*5 = 351 = 33*13
より、179 が素数となる
解答・その3
（ペンネ−ム：マシャ）
まず, 偶奇を調べる
2項の和の組み合わせは
ぐ＋ぐ＝ぐ
き＋き＝ぐ
き＋ぐ＝き
ぐ＋き＝き
偶数の素数は2だけである. 条件にある2項の和は2以上になるので偶数の素数はない.
つまりこの2項は偶数と奇数の和になっている.
使用する数字が1,2,3,4,5,6,7なので偶数の項の因数は2,4,6である.
よって, 2*4*6を一まとめにして考える.
さらに6と3は3を公約数として持っているので, 異なる項に因数として入っていると和が
3で割り切れてしまうため, 3*6をまとめなければならない.
以上のことから
2*3*4*6 + 1*5*7 = 179
さて179が素数であることを確認する.
179 < 196=14*14なので, 13以下の素数で割って確認すればよい.
2から13までの素数で割り切れないので179は素数である.
よって, 答えは 2*3*4*6 + 1*5*7 = 179
解答・その4
（ペンネ−ム：のっこん）
素数は2を除いて奇数である
この形で2を表すことはできない
よって候補となる奇数を作ることにする
和が奇数になるのは（奇数）＋（偶数）または（偶数）＋（奇数）の時である
１）a×b×c×dが奇数で e×f×gが偶数の時
a,b,c,dはいずれも奇数だから
a×b×c×d=1×3×5×7=105 e×f×g=2×4×6＝48 となる
その和は153・・・・・3の倍数だから不可
２）a×b×c×dが偶数で e×ｆ×gが奇数の時
e,f,gはいずれも奇数だから e×f×gは次の4通り
[1]e×ｆ×g=1×3×5=15の時
a×b×c×d=2×4×6×7=336 となる
その和は351・・・・・3の倍数だから不可
[2]e×f×g=1×3×7=21の時
a×b×c×d=2×4×5×6=240 となる
その和は261・・・・・3の倍数だから不可
[3]e×f×g=1×5×7=35の時
a×b×c×d=2×3×4×6=144 となる
その和は179・・・・・素数だから題意を満たす
[4]e×f×g=3×5×7=105の時
a×b×c×d=1×2×4×6=48 となる
その和は153・・・・・3の倍数だから不可
よってこの形で表せる素数は179だけである
※ [1]、[2]、[4]については3と6が2つの項に分かれるから不可としてもよいかと思いました
解答・その5
（ペンネ−ム：次郎長）
a*b*c*dをＡグループ、e*f*gをＢグループと呼ぶと
素数である以上、
１）２と４と６が Ａ、Ｂグループに分かれては、共に２の倍数になるので不可。
２）同様に、３と６が Ａ、Ｂグループに分かれては、共に３の倍数になるので、不可
上記１）の条件を満たすには、
Ａグループに２，４，６をまとめた場合、残りの一数が
１の場合、Ａ（１，２，４，６） Ｂ（３，５，７）
３の場合、Ａ（３，２，４，６） Ｂ（１，５，７）
５の場合、Ａ（５，２，４，６） Ｂ（１，３，７）
７の場合、Ａ（７，２，４，６） Ｂ（３，５，７）
Ｂグループに２，４，６をまとめた場合、Ａグループは１，３，５，７
Ａ（１，３，５，７） Ｂ（２，４，６）
上記５つの組合せに、条件２）を加えると、
Ａ（３，２，４，６） Ｂ（１，５，７）の場合のみがOK
計算すると、3*2*4*6＋1*5*7＝179
答え 179（ひとつしかなかったのですが）
解答・その6
（ペンネ−ム：迷子の雄猫）
1×5×7+2×3×4×6=179
表計算ソフトで全検索しましたが・・・考えてみればこれ一通りしかありませんね（苦笑）
偶数または３で割り切れる数が＋記号の両方にあれば素数になりえないので、
２，３，４，６は片方にないといけないのは自明でした（汗）
解答・その7
（ペンネ−ム：オヤジ）
相異なる７以下の自然数
｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇ｝＝｛１，２，３，４，５，６，７｝なので
明らかに求める素数は、２より大きな素数なので求める素数は、奇数である
従って ａ×ｂ×ｃ×ｄ＋ｅ×ｆ×ｇ の２項は、偶数と奇数の和となら無ければならない，
また積が奇数となるのは、掛ける数が全て奇数でなければならないから。
よって， ａ×ｂ×ｃ×ｄ＋ｅ×ｆ×ｇ が素数となるのは，
掛ける順番は異なるかもしれないが，
２×３×４×６＋１×５×７＝１４４＋３５＝１７９ しかない
その他の奇数は、
１×２×４×６＋３×５×７＝１５３：合成数
１×３×５×７＋２×４×６＝１５３：合成数
２×４×５×６＋１×３×７＝２６１：合成数
２×４×６×７＋１×３×５＝３５１：合成数
∴ １７９
解答・その8
（ペンネ−ム：Ryu1128）
ａ×ｂ×ｃ×ｄ＋ｅ×ｆ×ｇ
の各変数に1から7までの数を当てはめると7Ｃ3＝35で35通りを全て総当りで検討すれ
ばよいのですが少し工夫してみます。
ａ×ｂ×ｃ×ｄ＋ｅ×ｆ×ｇが素数となるためにはそれ以前に奇数とならなければなりません
そのケースは
1項目が奇数で2項目が偶数・・・[1]
1項目が偶数で2項目が奇数・・・[2]
1から7までの数に偶数は2,4,6の3つありますので
[1]のケースは 1×3×5×7＋2×4×6＝153しかなくこれは3と17を因数とする合成数です
[2]のケースは 1項目に偶数（2×4×6=48)を全て入れると4通りになり次のとおり
48×1+3×5×7=153 [1]と同じで合成数 因数 3 17
48×3+1×5×7=179 素数
48×5+1×3×7=261 合成数 因数 3 29
48×7+1×3×5=351 合成数 因数 3 13
よって素数は
48×3+1×5×7=179・・・回答
おまけ
7を任意の偶数にして1項目と2項目を同数にするとケース[1]しか検討する必要がなくなります。
また任意の偶数から初めて任意の偶数で終わる自然数列で1項目と2項目の数を1つ違いにしても同様ですね。
解答・その9
（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）
用いる整数は｛1,2,3,4,5,6,7｝の七つです。
このうち｛2,4,6｝は「＋」の記号の左右に分かれず同じ側にあります。
同様に｛3,6｝も同じ側にあります。
すると、素数の可能性があるのは、
2×4×6×3＋1×5×7＝179
のときだけです。
なので、√179が13以下の素数｛2,3,5,7,11,13｝で割り切れなければ素数です。
式の成り立ちから｛2,3,5,7｝で割り切れないのは明らかです。
179÷11＝16.2･･･、179÷13＝13.7･･･なので179は素数です。
解答・その10
（ペンネ−ム：転位反応）
Ｐ＝ａ×ｂ×ｃ×ｄ＋ｅ×ｆ×ｇ ＝Ａ＋Ｂ
但し、Ａ＝ａ×ｂ×ｃ×ｄ、Ｂ＝ｅ×ｆ×ｇ と置く。
さて、ここで、
[1]２、４、６は２を約数に持ち、Ｐが素数であることから、これらの数はＡまたはＢの何れか一方の約数である。
[2]３、６は３を約数に持ち、Ｐが素数であることから、これらの数はＡまたはＢの何れか一方の約数である。
∴上記[1][2]を同時に満たす唯一の組み合わせは、２、３、４、６がＡの約数であること。
∴Ｂの約数は、残りの数である１、５、７である。
∴Ｐ＝２×３×４×６＋１×５×７ ＝１７９
解答・その11
（ペンネ−ム：ちょろんは太太）
a, b, c, d と、e, f, g のグループのそれぞれに共通の因数を持つ数字が入ると、
a×b×c×d + e×f×gは、その共通の因数を因数にもつので、素数ではなくなる。
したがって、2, 4, 6 は、同じグループ。
また、3, 6 も同じグループになるので、2, 3, 4, 6 は、同じ場合グループ。
これより、a, b, c, d は、2, 3, 4, 6、になり、従って、e, f, g は、1, 5, 7
求める答えは、a×b×c×d+e×f×g=2×3×4×6+1×5×7=179のひとつだけ。
解答・その12
（ペンネ−ム：T_Tatekawa）
(a, b, c, d) をグループ1，(e, f, g)をグループ2と呼ぶ事にする．
7以下の正の整数で合成数は4, 6．
a x b x c x d + e x f x g において，
aからdの部分とeからgの部分に合成数とその約数である素数を
異なるグループに分けて配置してはならない．
なぜならば，例えばa=2，e=4とすると，
a x b x c x d + e x f x g= 2 x (b x c x d + 2 x f x g)
という合成数になるからである．
1) 6 = 2 x 3 なので，2, 3, 6 は同じグループに含める必要がある．
2) 4 = 2 x 2 なので，2, 4 は同じグループに含める必要がある．
1), 2) を同時に満たすのは，(a, b, c, d)=(2, 3, 4, 6) の場合のみ．
よって求める素数は
2x3x4x6 + 1x5x7 = 144+35 = 179
だけである．
解答・その13
（ペンネ−ム：浜田 明巳）
ａ×ｂ×ｃ×ｄ＋ｅ×ｆ×ｇ＞１×２×３＝６であるから，この素数は奇数である．
故に
ａ×２×４×６＋ｅ×ｆ×ｇ，ａ×ｂ×ｃ×ｄ＋２×４×６
の２種類の場合が考えられる．
また３の倍数でないので，
２×３×４×６＋１×５×７＝１７９
の場合しか考えられない．
√１７９＝１３.………
であり，
１７９÷５＝３５・・・４
１７９÷７＝２５・・・４
１７９÷１１＝１６・・・３
１７９÷１３＝１３・・・１０
であるので，１７９は素数である．これのみが求める答である．
エクセルのマクロでは，次の通り．
Option Explicit
Sub Macro1()
Dim a As Integer
Dim b As Integer
Dim c As Integer
Dim d As Integer
Dim e As Integer
Dim f As Integer
Dim g As Integer
Dim p As Integer
Cells(1, 1).Value = 0
For a = 1 To 7 - 3
For b = a + 1 To 7 - 2
For c = b + 1 To 7 - 1
For d = c + 1 To 7
For e = 1 To 7 - 2
If a <> e And b <> e And c <> e And d <> e Then
For f = e + 1 To 7 - 1
If a <> f And b <> f And c <> f And d <> f Then
g = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 - a - b - c - d - e - f
If a <> g And b <> g And c <> g And d <> g And g > f Then
p = a * b * c * d + e * f * g
If prime(p) Then
Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
Cells(Cells(1, 1).Value, 2).Value = p
Cells(Cells(1, 1).Value, 3).Value = a
Cells(Cells(1, 1).Value, 4).Value = b
Cells(Cells(1, 1).Value, 5).Value = c
Cells(Cells(1, 1).Value, 6).Value = d
Cells(Cells(1, 1).Value, 7).Value = e
Cells(Cells(1, 1).Value, 8).Value = f
Cells(Cells(1, 1).Value, 9).Value = g
Range("B" & Cells(1, 1).Value).Select
End If
End If
End If
Next f
End If
Next e
Next d
Next c
Next b
Next a
End Sub
Private Function prime(ByVal n As Integer) As Integer
Dim j As Integer
prime = 1
j = 2
While prime And n >= j * j
If n Mod j = 0 Then
prime = 0
Else
j = j + 1
End If
Wend
End Function
解答・その14
（ペンネ−ム：teki）
＜答え＞
１７９
＜解法＞
１〜７までには偶数（２の倍数）が３個、３の倍数が２個（３，６）あります。
a,b,c,dとe,f,gの両方のグループの中に２の倍数および３の倍数が存在すれば、
その和は必ず２の倍数または３の倍数になります。（従って、素数（正確には２以外の素
数）にはなりません。
よって、１〜７を（２，３，４，６）と（１，５，７）に分けるしか素数となる可能性
はありません。
実際、２×３×４×６＋１×５×７＝１７９ となり、これは素数です。
解答・その15
（ペンネ−ム：kazz）
7以下の整数の集合を U={1,2,3,4,5,6,7} とする。
Uを2つの集合 A={a,b,c,d},B={e,f,g} に分け、
α=(Aの元をすべて掛けた数)
β=(Bの元をすべて掛けた数)
とする。
目標:α+βが素数となるようにA,Bを決めること。
そのために、次の事実を使う。
「素数pに対し、pの倍数がA,Bの片方に全て含まれるとき、α+βは素数。」
証明は容易。背理法で示す。
pの倍数がA,Bの両方に含まれると仮定すると、
α=p×α´ β=p×β´ (α´,β´は整数)
と表せるので、
α+β=p×(α´+β´)
より、α+βはpの倍数となってしまい、素数にならない。
したがって、上の事実を得る。
これより、
p=2に対して、2,4,6は同じ集合に含まれなければならない。
p=3に対して、3,6は同じ集合に含まれなければならない。
よって、2,3,4,6は同じ集合に含まれなければならないので、
考えられるA,Bの組み合わせは
A={2,3,4,6},B={1,5,7}
の1通り。(このとき、α+β=2×3×4×6+1×5×7=179)
以上より、題意を満たす素数は179のみ。
解答・その16
（ペンネ−ム：浦岡）
全体集合Ｕ＝｛１，２，３，４，５，６，７｝に対して、
その各元を２つの部分集合Ａ＝｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝とＢ＝｛ｅ，ｆ，ｇ｝に分けることを考える。
このとき、２，４，６は同じ集合に属する。（∵ａ×ｂ×ｃ×ｄ＋ｅ×ｆ×ｇは偶数にはならない）
また、３，６は同じ集合に属する。（∵ａ×ｂ×ｃ×ｄ＋ｅ×ｆ×ｇは３の倍数にはならない）
∴Ａ＝｛２，３，４，６｝、Ｂ＝｛１，５，７｝と１通りに定まる。
∴ａ×ｂ×ｃ×ｄ＋ｅ×ｆ×ｇ＝２×３×４×６＋１×５×７＝１７９
（１７９は√１７９以下の素数２，３，５，７，１１，１３のいずれでも割り切れないので、たしかに素数である。）
以上より、題意を満たす素数は１７９のみである。
解答・その17
（ペンネ−ム：まーりんａｎｄさとりん）
Ａ＝ａ×ｂ×ｃ×ｄ、Ｂ＝ｅ×ｆ×ｇとすると、
Ａ＋Ｂが素数になるなら、
Ａ：奇数でＢ：偶数 か、Ａ：偶数でＢ：奇数 のどちらかである。
Ａ，Ｂが奇数のときの因数はすべて奇数となる。
ここで、３と６が、ＡとＢに分かれて因数となる場合は、Ａ＋Ｂは３の倍数になるので成立しない。
よって、Ａ＋Ｂが素数となり得るのは、
Ａ＝１×５×７
Ｂ＝２×３×４×６
の場合のみである。
１×５×７＋２×３×４×６＝１７９
１７９は素数なので、
答 .１７９
解答・その18
（ペンネ−ム：杖のおじさん）
答え １７９です。
Ｘ＝A×B×C×D+E×F×Gとして
Ａ＝１×２×３×４ Ｂ＝５×６×７ とします。
Ｘ＝Ａ＋Ｂを検証します。
Ｘ＝６（１×４＋５×７）で素数ではありません
従って、同じグループに２、３，４，６を入れなければなりません。
（２×３×４×６）＋（１×５×７）＝１７９となります。
その結果答えは１７９となります。
解答・その19
（ペンネ−ム：クロワッサン）
abcd+efg が素数で、これは2より大きいので奇数
よって abcd か efg のどちらかに 2,4,6 がすべて含まれる
また、 abcd+efg は3より大きい素数であるから
abcd か efg のどちらかに 3,6 がすべて含まれる
以上より、
abcd か efg のどちらかに 2,3,4,6 がすべて含まれる
efg は3数の積だから
abcd に 2,3,4,6 が含まれていることになる
よって、
abcd+efg=2･3･4･6+1･5･7
=144+35
=179
となる
これが求める唯一の素数である
解答・その20
（ペンネ−ム：三角定規）
N ＝abcd ＋efg …(1)
4つの数 a，b，c，d と 3 つの数 e，f，g が共通因数を持てば N が素数にはならないから，
a，〜，g に 1，〜，7 を配置するには，a，〜，d に 2，3，4，6 を，e，f，g に 1，5，7 あてるしかなく
N ＝2･3･4･6＋1･5･7＝179
1 つのみ。［答]
解答・その21
（ペンネ−ム：まめ）
素数とは、1と自身以外に約数を持たない数なので、
a×b×c×dとe×f×gが互いに素であることが条件。
a〜gは全て異なるので、1〜7が1つずつ対応する。
1〜7の中では、2、4、6が「2」を、3、6が「3」を共通因数を持つ。
ゆえに2と3と4と6が同じ項に存在する必要があり、
この時点で（a，b，c，d）＝（2，3，4，6）と（e，f，g）＝（1，5，7）
しか解が存在し得ない。実際に計算すると、
2×3×4×6＋1×5×7＝144＋35＝179
もし179が素数ではなかったら解無し、ということに・・・。
なりますが、実際は179は素数なので、「179」が唯一解。
余談その1
179が素数であることを示すには次のようにすればよい。
179の1つ下の平方数は13×13＝169
であるから、2〜13の間に179を割り切る数がなければよい。
179は偶数ではないから実際には3、5、7、9、11、13で割ってみて、
割り切れないことが確認できるから、179は素数である。
（ちなみに、各位の数字の和が17だから3の倍数ではないし、
3の倍数でない時点で9の倍数でもないし、明らかに5の倍数ではないから、作業的には7、11、13のみでよい）
余談その2
互いに素な数値どうしの和が素数とは限らないですから、
問題によっては「解無し」もあり得る訳ですね。
例えば1〜9とa×b×c×d×e×f＋g×h×iの例では、
2×3×4×6×8×9＋1×5×7＝10368＋35＝10403＝101×103
なので「解無し」
解答・その22
（ペンネ−ム：けんたん）
【答え】 １７９
【過程】
Ａ＝ａ×ｂ×ｃ×ｄ
Ｂ＝ｅ×ｆ×ｇ とする。
このとき、Ａ・Ｂが共に偶数ならば、Ａ＋Ｂも偶数となり素数ではない。
よって、ＡとＢの組み合わせは、
（Ａ，Ｂ）＝（偶数、奇数） もしくは（Ａ，Ｂ）＝（奇数、偶数）となります。
（Ａ，Ｂ）＝（奇数、偶数）の場合
Ａ＋Ｂ＝１×３×５×７＋２×４×６
＝３×（１×５×７＋２×４×２）で３の倍数となり素数とはならない。
（Ａ，Ｂ）＝（偶数、奇数）の場合
Ａ＋Ｂは下記の４通りで表せる。
[1]Ａ＋Ｂ＝１×２×４×６＋３×５×７
[2]Ａ＋Ｂ＝３×２×４×６＋１×５×７
[3]Ａ＋Ｂ＝５×２×４×６＋１×３×７
[4]Ａ＋Ｂ＝７×２×４×６＋１×３×５
このうち、[1][3][4]は３の倍数となり素数とはならない。
よって、[2]のみ素数である可能性があり、検分の結果
３×２×４×６＋１×５×７＝１７９の素数である。
解答・その23
（ペンネ−ム：新中学二年生）
答え 179
解き方
ａ×ｂ×ｃ×ｄ＋ｅ×ｆ×ｇが最大になるのは
ａ×ｂ×ｃ×ｄ＋ｅ×ｆ×ｇ＝7×6×5×4＋3×2×1の場合
7×6×5×4＋3×2×1＝846
あとは846以下の素数でａ×ｂ×ｃ×ｄ＋ｅ×ｆ×ｇが成り立つものを調べ上げました
846以下の素数
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,
101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,
211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,293,
307,311,313,317,331,337,347,349,353,359,367,373,379,383,389,397,
401,409,419,421,431,433,439,443,449,457,461,463,467,479,487,491,499,
503,509,521,523,541,547,557,563,569,571,577,587,593,599,
601,607,613,617,619,631,641,643,647,653,659,661,673,677,683,691,
701,709,719,727,733,739,743,751,757,761,769,773,787,797,
809,811,821,823,827,829,839,
ａ×ｂ×ｃ×ｄ＋ｅ×ｆ×ｇの解(7C4より35通り−かぶり)
142, 144,146, 153, 162, 166, 176, 179, 183, 198,208, 234, 261, 272, 298,351,
374, 432, 514, 638,846,
の21通り
この二つの条件の両方に当てはまるもの
179
コメント
多くの方から解答を寄せていただきました。どうもありがとうございました。
ａ×ｂ×ｃ×ｄ と ｅ×ｆ×ｇ
という２つの項に分けて考えると、両者に共通の因数があってはいけませんので、必然的に、
２，３，４，６ と １，５，７
という組み合わせ以外にはないということがわかりますね。
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