問題182　ケーキ屋さんの問題

あるケーキ屋さんで、１個300円 (原価150円) のケーキを作って販売しています。過去100日間での販売個数の実績は次の表のとおりでした。

１日の販売個数 90 100 110 120 130

日数 (過去100日のうち) 20 40 20 10 10

１日の販売個数	90	100	110	120	130
日数 (過去100日のうち)	20	40	20	10	10

すなわち、１日で90個のケーキが売れたのは過去100日のうち20日、 100個のケーキが売れたのは (過去100日のうち) 40日、 110個売れたのは (過去100日のうち) 20日、 120個売れたのは (過去100日のうち) 10日、 130個売れたのは (過去100日のうち) 10日でした。
今後もこの割合で売れると予測しています。このとき、利益が最も多くなるのは、１日何個のケーキを作ればよいでしょうか。ただし、ケーキは10個単位で販売するとします。

（選択肢）
１．90個　　２．100個　　３．110個　　４．120個　　５．130個

問題の出典

ビジネス数学検定
日本数学検定協会　編
創成社

解答

～到着順にご紹介します～

解答・その1

（ペンネ－ム：スモークマン）

売り上げを10x とすると...
x は9以上になるはず...
たとえば...x=10 のとき...
9個しか売れなかったら...(10-9)=1個分はチャラになる...^^;
つまり...9-(10-9)=8個分の売り上げ...

x=10...のとき...
(9-(10-9))*2+10*(4+2+1+1)=16+80=96
x=11...
(9-(11-9))*2+(10-(11-10))*4+11*(2+1+1)=14+36+44=94
x=12...
(9-(12-9))*2+(10-(12-10))*4+(11-(12-11))*2+12*(1+1)=12+32+20+24=88
x=13...
(9-(13-9))*2+(10-(13-10))*4+(11-(13-11))*2+(12-(13-12))+13=10+28+18+11+13=80
ちなみに...
x=9...
9*(2+4+2+1+1)=90

予想通り...100個のときの売り上げが最大♪
もっと簡単にできるのかしら...?

解答・その2

（ペンネ－ム：haya）

答：２．100個です。

【解き方】
ケーキの作成個数を増やせば、ある個数までは売り上げ増となるが、作り過ぎによる売れ残りが収益を下げる。
一日にケーキが売れる個数の確率は下のTable1の如し。

この確率でのケーキの作成個数と損益の期待値の式はTable2の如し。

上の結果はTable3となる。

期待値が一番大きくなるのは２.の100個作成のケースで、この時の儲けは \14,400 となる。

PS: 原価が高過ぎで、余り実的でないというのが実感です。原価を \100 にするとTable4、\50 ではTable5 となります。現実にはこちらでしょう。

解答・その3

（ペンネ－ム：オヤジ）

１００日間の販売した利益を考える。

（１）１日９０個作った場合
　　　生産コスト
　　　　９０個×１５０円×１００日＝１３５万円
　　　売り上げ
　　　　９０個×３００円×１００日＝２７０万円
　　　利益
　　　　２７０万円－１３５万円＝１３５万円

（２）１日１００個作った場合
　　　生産コスト
　　　　１００個×１５０円×１００日＝１５０万円
　　　売り上げ
　　　　１００個×３００円×８０日＝２４０万円
　　　　９０個×３００円×２０日＝　５４万円
　　　従って
　　　　２４０万円＋５４万円＝２９４万円
　　　利益
　　　　２９４万円－１５０万円＝１４４万円

（３）１日１１０個作った場合
　　　生産コスト
　　　　１１０個×１５０円×１００日＝１６５万円
　　　売り上げ
　　　　１１０個×３００円×４０日＝１３２万円
　　　　１００個×３００円×４０日＝１２０万円
　　　　９０個×３００円×２０日＝　５４万円
　　　従って
　　　　１３２万円＋１２０万円＋５４万円＝３０６万円
　　　利益
　　　　３０６万円－１６５万円＝１４１万円

（４）１日１２０個作った場合
　　　生産コスト
　　　　１２０個×１５０円×１００日＝１８０万円
　　　売り上げ
　　　　１２０個×３００円×２０日＝　７２万円
　　　　１１０個×３００円×２０日＝　６６万円
　　　　１００個×３００円×４０日＝１２０万円
　　　　９０個×３００円×２０日＝　５４万円
　　　従って
　　　　７２万円＋６６万円＋１２０万円＋５４万円＝３１２万円
　　　利益
　　　　３１２万円－１８０万円＝１３２万円

（５）１日１３０個作った場合
　　　生産コスト
　　　　１３０個×１５０円×１００日＝１９５万円
　　　売り上げ
　　　　１３０個×３００円×１０日＝　３９万円
　　　　１２０個×３００円×１０日＝　３６万円
　　　　１１０個×３００円×２０日＝　６６万円
　　　　１００個×３００円×４０日＝１２０万円
　　　　９０個×３００円×２０日＝　５４万円
　　　従って
　　　　３９万円＋３６万円＋６６万円＋１２０万円＋５４万円＝３１５万円
　　　利益
　　　　３１５万円－１９５万円＝１２０万円

従って　（１）～（５）より
　　　∴　１００個

解答・その4

（ペンネ－ム：のっこん）

便宜上、100日間を10日間に縮めて考える
すなわち、10日のうち2日は90個
　　　　　　　　　　　　　4日は100個
　　　　　　　　　　　　　2日は110個
　　　　　　　　　　　　　1日は120個
　　　　　　　　　　　　　1日は130個売れたことにする

売値300円、原価150円だから
1個売れると150円もうけ、1個売れ残ると150円損をする
つまり、a個売れると150a円もうけ
b個売れ残ると150b円損をする

利益は150a-150b=150(a-b)で計算される
従って(a-b)の大小を比較すればよい

(1)1日に90個作った時
　売れ残る日はないからb=0、a=90・10=900
　a-b=900

(2)1日に100個作った時
　10個売れ残る日が2回あるからb=20、a=100・10-20=980
　a-b=960

(3)1日に110個作った時
　10個売れ残る日が4回、20個売れ残る日が2回あるから
　b=80、a=110・10-80=1020
　a-b=940

(4)1日に120個作った時
　10個売れ残る日が2回、20個売れ残る日が4回、30個売れ残る日が2回あるから
　b=160、a=120・10-160=1040
　a-b=880

(5)1日に130個作った時
　10個売れ残る日が1回、20個売れ残る日が2回、30個売れ残る日が4回、
　40個売れ残る日が2回あるから　b=250、a=130・10-250=1050
　a-b=800

(a-b)は1日に100個作った時に最大となるから利益を最も多くするには1日に100個のケーキを作ればよい

※1日平均では105個売れるから、1日100個でも110個でも同じかと思いましたが、違うんですねえ～

解答・その5

（ペンネ－ム：転位反応）

(1)販売利益は１５０円／個、売れ残りによる損失は１５０円／個である。
(2)１日当たりの平均販売個数は、１０５個である。
　　９０×０．２＋１００×０．４＋１１０×０．２＋１２０×０．１＋１３０×０．１＝１０５

(1)(2)より、できるだけ売れ残り個数を少なくして、販売個数を増やすことが利益の最大化につながるので、１日当たりの平均販売個数である１０５個に近い、１００個、または、１１０個が解の候補として考えられる。
ケーキ１個当たりの販売利益と損失の絶対値は等しいので、総販売個数から総売れ残り個数を差し引いた数をもとに利益最大のケースを選択できる。検証の結果は以下の通り。よって、選択肢２の１００個が求める解である。

解答・その6

（ペンネ－ム：ちょろんは太太）

ケーキを x個作ったときの利益の期待値 y を考える。
ｘ＜90の場合、すべての日ですべて販売されるので、
　　　y=300×ｘ-150×x=150×x

期待値 y は、x=100で、増加から減少に転じる。
　　　　（答え）　２．１００個

解答・その7

（ペンネ－ム：迷子の雄猫）

ある日の売り上げは（販売個数　と　製造個数　の小さいほう）×300円
製造原価は（製造個数）×150円
利益は（売り上げ－製造原価）
計算すると以下の表のようになる。

売り上げ／製造 90 100 110 120 130

90 13,500 12,000 10,500 9,000 7,500

100 13,500 15,000 13,500 12,000 10,500

110 13,500 15,000 16,500 15,000 13,500

120 13,500 15,000 16,500 18,000 16,500

130 13,500 15,000 16,500 18,000 19,500

売り上げ／製造	90	100	110	120	130
90	13,500	12,000	10,500	9,000	7,500
100	13,500	15,000	13,500	12,000	10,500
110	13,500	15,000	16,500	15,000	13,500
120	13,500	15,000	16,500	18,000	16,500
130	13,500	15,000	16,500	18,000	19,500

それぞれに過去の販売実績（日数）を加味して・・・

製造個数 90 100 110 120 130

販売個数日数　
90 20 270,000 240,000 210,000 180,000 150,000

100 40 540,000 600,000 540,000 480,000 420,000

110 20 270,000 300,000 330,000 300,000 270,000

120 10 135,000 150,000 165,000 180,000 165,000

130 10 135,000 150,000 165,000 180,000 195,000

利益合計 1,350,000 1,440,000 1,410,000 1,320,000 1,200,000

製造個数	90	100	110	120	130
販売個数	日数
90	20	270,000	240,000	210,000	180,000	150,000
100	40	540,000	600,000	540,000	480,000	420,000
110	20	270,000	300,000	330,000	300,000	270,000
120	10	135,000	150,000	165,000	180,000	165,000
130	10	135,000	150,000	165,000	180,000	195,000
利益合計	1,350,000	1,440,000	1,410,000	1,320,000	1,200,000

よって、数学の問題として考えると
最も利益が大きくなるのは毎日100個作ったときの1,440,000円である。

が、現実問題として考えるなら毎日110個は作るべきだろう。
100日のうち40日、70人ものお客を逃すのは痛いと思うからである。
100日で30,000円の利益が減少するが、一日あたりでは300円で、ケーキ1個分にしかならない。
あまったケーキは近くの施設に寄付しちゃえば社会貢献にもなるし、買いに来て売切れていたお客のうち一部は二度と来なくなるだろうから、次の100日で売れた実績が90個：100個：110個：120個：130個＝30：40：20：10：0 になるリスクもあるし。

解答・その8

（ペンネ－ム：浜田　明巳）

　製造個数で場合分けする．
i). ９０個の場合，利益は，
　　９０×３００×(２０＋４０＋２０＋１０＋１０)／１００－９０×１５０
　＝２７０００－１３５００＝１３５００（円）
ii). １００個の場合，利益は，
　　９０×３００×２０／１００＋１００×３００×(４０＋２０＋１０＋１０)／１００－１００×１５０
　＝５４００＋２４０００－１５０００＝１４４００（円）
iii). １１０個の場合，利益は，
　　９０×３００×２０／１００＋１００×３００×４０／１００＋１１０×３００×(２０＋１０＋１０)／１００－１１０×１５０
　＝５４００＋１２０００＋１３２００－１６５００＝１４１００（円）
iv). １２０個の場合，利益は，
　　９０×３００×２０／１００＋１００×３００×４０／１００＋１１０×３００×２０／１００＋１２０×３００×(１０＋１０)／１００－１２０×１５０
　＝５４００＋１２０００＋６６００＋７２００－１８０００＝１３２００（円）
v). １３０個の場合，利益は，
　　９０×３００×２０／１００＋１００×３００×４０／１００＋１１０×３００×２０／１００＋１２０×３００×１０／１００＋１３０×３００×１０／１００－１３０×１５０
　＝５４００＋１２０００＋６６００＋３６００＋３９００－１９５００＝１２０００（円）
　故に最大の利益を上げるには，１００個製造すればよい．選択肢は２である．

　エクセルのマクロでは，次の通り．

Option Explicit

Sub Macro1()

    Sheets("Sheet1").Select

    Dim j As Integer

    Dim jj As Integer

    Cells(1, 1).Value = "個数"

    Cells(1, 2).Value = "利益"

    For j = 1 To 5

      Cells(j + 1, 1).Value = kosuu(j)

      Cells(j + 1, 2).Value = 0

      For jj = 1 To 5

        Cells(j + 1, 2).Value = Cells(j + 1, 2).Value + (kosuu(Application.Min(j, jj)) * 300 - kosuu(j) * 150) * nissuu(jj) / 100

      Next jj

    Next j

    Cells(7, 1).Value = "最大値"

    Cells(7, 2).Value = "=MAX(B2:B6)"

    For j = 2 To 6

      If Cells(j, 2).Value = Cells(7, 2).Value Then

        Range("B" & j).Select

      End If

    Next j

End Sub

Private Function kosuu(ByVal n As Integer) As Long

    Select Case n

      Case 1

        kosuu = 90

      Case 2

        kosuu = 100

      Case 3

        kosuu = 110

      Case 4

        kosuu = 120

      Case Else

        kosuu = 130

    End Select

End Function

Private Function nissuu(ByVal n As Integer) As Integer

    Select Case n

      Case 1

        nissuu = 20

      Case 2

        nissuu = 40

      Case 3

        nissuu = 20

      Case 4

        nissuu = 10

      Case Else

        nissuu = 10

    End Select

End Function

解答・その9

（ペンネ－ム：T_Tatekawa）

100日間の利益で比較する．売ると利益が150円，売れ残ると損失が150円．

まず1日90個作る時の利益は，
　　　90*(20+40+20+10+10)*150=1,350,000円

1日100個作る事にすると，80日は完売し，20日は10個売れ残る．すると利益は
　　　(100-90)*150*80 - 150*20*10 = 90,000円
増える．

1日110個作る事にすると，売れる個数は 40*10=400 個増えるが，売れ残りが 60*10=600 個増えるので損失が増える．

1日120個作ると，売れる個数はさらに 20*10=200 個増えるが，売れ残りが 800個増える．
1日130個作ると，売れる個数が100個増え，売れ残りが 900個増える．

よって，利益がもっとも多くなるのは1日100個作るとき．

解答・その10

（ペンネ－ム：次郎長）

毎日90個作ったときは、原価150*90*100=135万
売上は300*90*100=270万　　利益135万

毎日100個作ったときは、原価150*100*100=150万
売上は300*100*80+300*90*20=294万　利益144万

毎日110個作ったときは、原価150*110*100=165万
売上は300*110*40＋300*100*40+300*90*20=306万　利益141万

毎日120個作ったときは、同様に　　　利益132万

毎日130個作ったときは、同様に　　　利益120万

となり、「毎日100個作ったときの利益が最大」となります。

解答・その11

（ペンネ－ム：杖のおじさん）

答え　１００個作った時が一番利益があります。

○ 一日９０個作った場合の販売個数と利益
９０×１００＝９０００個
売上金　９０００個×３００円＝２７０００００円
原　価　９０個×１００日×１５０円＝１３５００００円
９０個作る時の利　益　１３５００００円

○ 一日１００個作った場合の販売個数と利益
９０×２０＋１００×８０＝９８００個
売上金　９８００×３００円＝２９４００００円
原　価　１００個×１００日×１５０円＝１５０００００円
１００個作る時の利　益　１４４００００円

○ 一日１１０個作った場合の販売個数と利益
９０×２０＋１００×４０＋１１０×４０＝１０２００個
売上金　１０２００個×３００円＝３０６００００円
原　価　１１０個×１００日×１５０円＝１６５００００円
１１０個作る時の利　益　１４１００００円

○ 一日１２０個作った場合の販売個数と利益
９０×２０＋１００×４０＋１１０×２０＋１２０×２０＝１０４００個
売上金　１０４００個×３００円＝３１２００００円
原　価１２０個×１００日×１５０円＝１８０００００円
１２０個作る時の利　益　１３２００００円

○ 一日１３０個作った場合の販売個数と利益
９０×２０＋１００×４０＋１１０×２０＋１２０×１０＋１３０×１０＝１０５００個
売上金　１０５００個×３００円＝３１５００００円
原　価　１３０個×１００日×１５０円＝１９５００００円
１３０個作る時の利　益　１２０００００円

従って一日１００個を作った時が一番利益があります。

解答・その12

（ペンネ－ム：まめ）

1日90個生産時は、生産した分全てが毎日売り切れるので、
　製造原価＝90×100×150＝135万円＝利益

1日100個生産時は、
　製造原価＝100×100×150＝150万円
90個売れる日が20日、100個売れる日が80日あるので、
　売り上げ＝(90×20＋100×80)×300＝294万円
よって、
　利益＝294‐150＝144万円
以下同様に、
110個生産時
　利益＝141万円
120個生産時
　利益＝132万円
130個生産時
　利益＝120万円
以上より、1日100個生産した場合の利益144万円が最多となる。
答えは「２」。

解答としては以上です。
普通に、売れる個数の最頻値が答えなので、
逆に本当に正しいのか不安になってしまいます。

あえてポイントを探るとすると、
110個売れる日に100個しか作ってなくてもその100個は必ず売れる、
ということでしょうか。

ただ、ビジネスの世界では、100個しかなくて110個売れる日に変えなかった1人、
10日間で述べ20人の人が他店に流れる可能性も考慮することも必要かも。
120個や130個の日も合わせると述べ70人のお客さんを手放すことになるかも。
130個以上は売れないって予め分かっているのならば、
130個作って、売れ残りそうな日は値引きしてでも売った方が良かったりして。

解答・その13

（ペンネ－ム：Ryu1128）

上記より100個・・・回答2

解答・その14

（ペンネ－ム：kazz）

計算を簡単にするため、原価a円、定価2a円(実際はa=150)とします。

1個当たりの利益は2a-a=a円なので、作ったケーキがすべて売れれば
　　(見込みの利益)=(作った個数)×a 円・・・(1)
となります。

しかし、実際には1日の販売個数以上作ることがあるので、多く作りすぎた分は売れ残りとなり、損失が生じます。
もともと売れると見込んだ2a円が0円となるので
　　(損失)=(売れ残りの数)×2a 円・・・(2)
となります。

実際の利益は(1)-(2)で求めることができます。
それぞれの損失を求めます。
　90個/日→0 円
　100個/日→(10×20)×2a=400a 円
　110個/日→(20×20+10×40)×2a=1600a 円
　120個/日→(30×20+20×40+10×20)×2a=3200a 円
　130個/日→(40×20+30×40+20×20+10×10)×2a=5000a 円

よって、それぞれの実際の利益を計算すると、
　90個/日→90×100×a-0=9000a 円
　100個/日→100×100×a-400a=9600a 円
　110個/日→110×100×a-1600a=9400a 円
　120個/日→120×100×a-3200a=8800a 円
　130個/日→130×100×a-5000a=8000a 円

したがって、*100個/日*のとき利益が最大になります。

解答・その15

（ペンネ－ム：夜ふかしのつらいおじさん）

次のようにそれぞれの個数つくったときに上がる利益を比べると、１日に１００個作るときが利益の最大です。

解答・その16

（ペンネ－ム：三角定規）

例えばケーキを 110 個作った場合，販売実績によれば，90 個売れる可能性が 20％， 100 個売れる可能性が 40％，110 個すべて売れる可能性が 40％だから，販売見込みは
　　90×0.2＋100×0.4＋110×0.4＝102 個
である。
同様にして，90 個～130 個すべての場合について，販売見込と利益は表のようになるから，利益が最も多くなるのは，
　２．100 個 … [答］

ケーキが売れれば利益が出るが、売れ残れば原価分だけ損をします。販売実績に基づいて、シミュレーションをすることになり、そうすると、毎日１００個販売するケースが最も利益が大きいことがわかります。この問題えは、シンプルにモデル化されていますが、実際の場面では、もっと複雑な要因や、販売戦略が関係するのでしょうね！

Challenge!