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問題180　３と７の問題

2001 以下の正の整数のうち、一の位が３または７であるものすべての積をＸとする。 Ｘの十の位を求めてください。

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問題の出典

数学オリンピック
日本評論社
第21回日本数学オリンピック予選(2011年)

解答

〜到着順にご紹介します〜

解答・その1

（ペンネ−ム：T_Tatekawa）

十の位には百の位，千の位を含む掛け算は影響を与えないので，整数の下二桁に着目する． つまり，1から100までを考える．ここで一の位が 3 または 7 であるものは
　　3, 13, 23,..., 93
　　7, 17, 27,..., 97
である．十の位と一の位を分離し，十の位が０にならない掛け算の部分を抜き出す 事を考える．
十の位を1回，一の位を19回掛けた掛け算と，一の位だけを掛けた掛け算だけになる．
　　(0+10+20+...+90) * 3⁹ * 7¹⁰+ (0+10+20+...+90) * 3¹⁰ * 7⁹ + 3¹⁰ * 7¹⁰
　= 450* 3⁹ * 7⁹ * (3+7) + 21¹⁰
となり，最後の 21¹⁰ だけが十の位に影響を及ぼす．
　　21¹⁰ = (20+1)¹⁰ = A * 100 + 10 x 20 x 1⁹ + 1¹⁰ = 100 A + 200 + 1
ここでAは自然数．
よって，1から100までで一の位が 3 または 7 であるものの積の下2桁は 01 になる．
2001以下の正の整数で，一の位が 3 または 7 であるものの全ての積の 下2桁は "01" の 20 乗なので，やはり "01" になる．
よって X の十の位は 0 である．

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解答・その2

（ペンネ−ム：のっこん）

X=3・7・13・17・23・27・　・・・・・・　・1983・1987・1993・1997

　3・7＝21
　13・17＝221
　23・27＝621
　・・・・・・・・・・
　1983・1987＝3940221
　1993・1997＝3980021
（１）Xの下2桁を求めるのに必要なのは各々についての下2桁である
（２）各々について下2桁は21である
　　　（10a+3)(10a+7)=100a²+10a(3+7)+21=100(a²+a)+21
よって　21²⁰⁰ の下2桁を求めればそれがXの下2桁となる
　21¹の下2桁は21
　21²の下2桁は41
　21³の下2桁は61
　21⁴の下2桁は81
　21⁵の下2桁は01
　21⁶の下2桁は21
　・・・・・・・・・・・・・・

つまり、21^mの下2桁は 　　m=5n　 の時 01
　　m=5n+1 の時 21
　　m=5n+2 の時 41
　　m=5n+3 の時 61
　　m=5n+4 の時 81
200=5n だから21²⁰⁰ の下2桁は01 よってXの十の位は0

※ 3+7=10 がポイントでしょうか？
※今年は2011年だから「2011以下」という問題にしてもよかったのではないかと思いました。

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解答・その3

（ペンネ−ム：haya）

答： Xの十の位は 0 です

【解き方】
問題の対象は 1 から 2001 までの正の整数ですが、解は10の位の数値を求める問題なので、下2桁に注目してればよい。
1の位が3または7の数字の2桁以下の整数は、
　　3, 7, 13, 17, 23, …, 93, 97
ですが、これより大きな整数の10の桁より大きな数値は本問の積には無意味で、 Xの下2桁は上の97までの結果を周期的に繰り返す。従って、本問の解は、
　　3*7*13*17*23*…*93*97
の積の下2桁の数字を求めることと同じ。

上の図では都合の良いことに、 　　3*7, 13*17, …, 93*97
と2個ずつの組にすると100の剰余は何れも 21 となる。 同様に2個ずつ組み合わせた積の剰余を右の列に求めると 61。 最後にこの 61 と対になり損ねた 41 の積の100の剰余を求めると 1。
よって求める解は 0 である。

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解答・その4

（ペンネ−ム：マシャ）

【解答】
3, 7, 13, 17, …, 1993, 1997と1の位が3または7の数字は同じ数だけある。
このペア(10a+3と10a+7とおく)をかけると
　　(10a+3)*(10a+7)=100a²+100a+21
となるので10の位は21のみに依存することなる
よって問題は21の200(a=0,1,…,199)乗の10の位を求めればいいことになる。
21²⁰⁰=(20+1)²⁰⁰ =20²⁰⁰+(₂₀₀C₁₉₉)20¹⁹⁹*1¹+…+(₂₀₀C₁)20¹*1¹⁹⁹+1²⁰⁰
となるので, 10の位は0

答え　0

(別解)
21の累乗の10の位と1の位を計算すると
21, 41, 61, 81, 01, 21と循環する。よって200乗の10の位は　0

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解答・その5

（ペンネ−ム：スモークマン）

3も7も10の中に１組ずつあるから...2000/10=200組

3*7=21
21→21²=41→21³=61→21⁴=81→21⁵=01→21⁶=21
2⁵=01
200は5の倍数なので...
2²⁰⁰=(2⁵)⁴⁰=1⁴⁰=1
10の位は...「0」

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解答・その6

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

一の位が3と7の数を2つずつペアにして並べてみます。

No	三	七	積
1	3	7	21
2	13	17	221
3	23	27	621
4	33	37	1221
･･･	･･･	･･･	･･･
199	1983	1987	3940221
200	1993	1997	3980021

この2つの積は下一桁が1になります。
上の表をみると、各行の積の下二桁が21になっています。これは、
　　(10k＋3)(10k＋7)＝100k²＋(70＋30)k＋21＝100(k²＋k)＋21
より、納得できます。
十の位が分かれば良いので、21²⁰⁰ の計算を考えればよいことになります。

【考え１】
一の位が１の２桁の数の十の位は十の位の数の和になります。
　　(10m＋1)(10n＋1)＝100mn＋(10m＋10n)＋1＝100mn＋10(m＋n)＋1
　21¹の十の位は2
　21²の十の位は4 (2＋2)、
　21³の十の位は6 (4＋2)、
　21⁴の十の位は8 (6＋2)、
　21⁵の十の位は0 (8＋2)
以降は、｛2、4、6、8、0｝の繰り返しです。
200は5で割り切れるので、答えは、0です。

【考え２】
(20＋1)²⁰⁰ の十の位の数が分かればよいのでパスカルの三角形を考えます。

展開の20¹･1¹⁹⁹の項の係数が200なので、十の位は0です。

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解答・その7

（ペンネ−ム：エルドス）

答えは０です。10の位だけが知りたいので、かけるたびに下二桁にするようにして計算しました。

１０進BASIC

CLEAR
LET x=1
FOR i=1 TO 2001
   IF MOD(i,10)=3 OR MOD(i,10)=7 THEN LET x=MOD(x*i,100)
NEXT i
PRINT x-MOD(x,10)
END

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解答・その8

（ペンネ−ム：浜田　明巳）

２００１以下の一の位が３の正の整数
　　３，１３，２３，………，１９９３
と，２００１以下の一の位が７の正の整数
　　７，１７，２７，………，１９９７
のすべての積を１００で割った余りを１０で割った商が答である．
　積を計算するときには，それぞれのときの１００で割った余りを求めるだけでよい． この考えを用いてマクロを作った．
　答は０である（積を１００で割った余りは１になる）．

Option Explicit
Sub Macro1()
　　　Sheets("Sheet1").Select
　　　Dim X As Long
　　　Dim n As Integer
　　　Dim j As Integer
　　　X = 1
　　　For j = 3 To 7 Step 7 - 3
　　　　　　For n = j To 1990 + j Step 10
　　　　　　　　　X = (X * n) Mod 100
　　　　　　Next n
　　　Next j
　　　Cells(1, 1).Value = X \ 10
　　　Range("A1").Select
End Sub

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解答・その9

（ペンネ−ム：ちょろんは太太）

積の結果の十の位を求めるので、百の位以上の部分は考えなくてよい。
十の位以上が同じで、一の位が３と７の整数の積は、
　　(M×10+3)×(M×10+7)=M²×100+M×10×(3+7)+21=(M²+M)×100+21
必ず、下２桁は、21になる。数値Xは、こうした下２桁が21の整数２００個の積であるから
その下２桁は、　21²⁰⁰と一致する。二項定理を使うと、

　　

第２項は　4000　　第3項以降も　20²を因数にもつので、下２桁は、00
従って、Xの下2桁は、01　になる。
（答え）　0

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解答・その10

（ペンネ−ム：杖のおじさん）

答え　　十位は０です

２００１以下の数字の中に３と７は２００個あります。
それらの積Ｘは次の通りです
　　Ｘ＝３^２００×７^２００＝２１^２００
Ｘの十位を調べます。
　　２１^１＝２１→２
　　２１^２＝４４１→４
　　２１^３＝９２６１→６
　　２１^４＝１９４４８１→８
　　２１^５＝４０８４１０１→０
　　２１^６＝８５７６６１２１→２
　　２１^７＝１８０１０８８５４１→４
この検証の結果５で割り切れれば十位は０であると分かります。
２００は５で割り切れますので十位は０となります。

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解答・その11

（ペンネ−ム：まめ）

2011年も今月で最後・・・だから2011以下と思いきや、2001なんですね。
尤も、2001と2011では1セットしか違わないから、 2011なら答えは「2」なんですが、2001の問題として解きます。

出展が「算数オリンピック」なので、小学生が解くものとして、 まずは小学生でも分かりそうな解き方で。
一の位が3または7の数字を小さい方から順に取り出して、 2つずつ積を求めてみると、
　 3× 7＝ 21
　13×17＝ 221
　23×27＝ 621
　33×37＝1221
　43×47＝2021
　53×57＝3021
　・・・
となり、下2桁が必ず21であることが分かる。
インド式計算法のアレですね。
さて、次にこれらの積を取っていく。
ただし、十の位を求めればよいから、計算結果の100以上の部分は無視して、
　21× 221→21×21＝ 441→41
　41× 621→41×21＝ 861→61
　61×1221→61×21＝1281→81
　81×2021→81×21＝1701→01
　01×3021→01×21＝21
なので、順番に掛けていくと十の位が2、4、6、8、0と循環することが分かる。
2001ということは、この繰り返しがちょうど40回なので、答えは「0」。

高校生くらいの人なら次のように解くのでしょうか。
まず、求める数は、
　Π(10n＋3)(10n＋7)
と書ける。 但し、n＝0〜199である。 この式を変形して、
　Π(10n＋3)(10n＋7)＝Π{100n(n＋1)＋21}＝Π(100an＋21)
　＝(100a0＋21)(100a1＋21)・・・(100an＋21)　→　A式とする
A式を展開することを考えると、21ⁿ⁺¹の項以外は全て100を因数に持つ つまり、A式で十の位に関与するのは21ⁿ⁺¹の項のみ。
n＋1＝mとして2項定理を用いると、
　21^m＝(20＋1)^m
　＝_mC₀・20^m＋_mC₁・20^m-1＋ ・・・＋_mC_m-1・20¹＋_mC_m・20⁰
ここで、20²＝4・100なので、20²以上の項もやはり全て100を因数に持つ。
そこで、A式を展開した際に100を因数にもつ全ての項から、 共通因数100を括り出した多項式をPとすると、A式は
　Π(10n＋3)(10n＋7)＝100P＋20m＋1
と書けることになる。
20mの一の位は0であるから、繰り上がりもない。
よって、計算結果の十の位に関与するのは20mの項のみである。
（十の位が偶数しか取り得ないことの証明にもなっている）
n＝199より、20m＝20(n＋1)＝20×200＝4000なので、十の位は「0」

考察
これは一の位が足して10になることがポイントになっているようですので、 一の位が1と9とか、2と8とかでも考えてみました。
・1と9：Π(10n＋1)(10n＋9)＝100P＋9ⁿ
　この場合は9ⁿがポイントとなる。
　が、9ⁿの十の位なんて計算する方法はちょっと思いつかない。
　実際に計算すると、9¹⁰の十の位が0になるので、答えは「0」。
　 ・2と8：Π(10n＋2)(10n＋8)＝100P＋16ⁿ
　これもすぐには計算できなさそうですね。
　ただ、これも実際に計算してみると、十の位は 　1、5、9、3、7の繰り返しっぽいから、この場合の答えは「7」。
　 ・4と6：Π(10n＋4)(10n＋6)＝100P＋24ⁿ
　これまた実際に計算してみると、十の位は2と7の繰り返しになっており、 　やはり答えは「7」。
　 ・5：Π(10n＋5)
　これが一番難儀かも。
　やっぱりこれも実際計算すると、十の位は最初の0の後、
　7、7、2、2の繰り返しなので、最終的に「2」に行きつきます。
4と6の場合の十の位が2と7の繰り返しなのはなんか証明できそうですね。
暇なときにでもトライしてみよ〜っと。

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解答・その12

（ペンネ−ム：Part Marty）

2001 以下の正の整数のうち、一の位が３または７であるものすべての積をＸとする。
Ｘの十の位を求めてください。まず、Ｘの十の位を求めるのだから、100剰余演算を用いて考える。
下２桁だけを考えればよく、一の位が３の場合、03,13,23,33,43,53,63,73,83,93の積のmodを求める。
（3+0)*(3+10)*....*(3+80)*(3+90)=3¹⁰+Σn*10*3⁹+......２番目までの項を考えればよい。
mod(3¹⁰,100)=mod(3⁵,100)²=mod(43,100)²=49
mod(450*3⁹,100)=mod(450,100)*mod(3⁵,100)*mod(3⁴,100)=mode(50*43*81,100)=50
よってmod(3+0)*(3+10)*....*(3+80)*(3+90),100)=49+50=99=-1であり
各要素が２０個ずつあるので、 一の位が３の場合は、mod((-1)²⁰,100)=1となる。
一の位が７の場合、07,17,27,37,47,57,67,77,87,97の積は、 -93-83,-73,-63,-53,-43,-33,-23,-13,-03の積であり、
(40+50)*(-1)¹⁰=99=-1であり、mod((-1)²⁰,100)=1となる。
一の位が３と一の位が７の積は１となり、Ｘの十の位の数字は、０となる。
注）剰余演算:mod(m, n)整数 m を n で割ったとき、その剰余を示す。下記の様に、数式処理のソフトmaximaで確認しました。

kill(all);
nnn:1$for a:0 thru 2 do    
　for b:0 thru 9 do        
　　for c:0 thru 9 do            
　　　for d:0 thru 9 do                
　　　　if d=3 or d=7 then                   
　　　　nnn:mod((a*1000+b*100+c*10+d)*nnn,100)
$nnn;　

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解答・その13

（ペンネ−ム：転位反応）

具体的に計算式を書き下してみると、以下の通り。
Ｘ=3×7×13×17×23×27×…×1993×1997
　=(3×7)×(10+3)×(10+7)×(20+3)×(20+7)×…×(1990+3)×(1990+7)
　=21×(100+30+70+21)×(400+60+140+21)×…×(3960100+5970+13930+21)
　=21×(200+21)×(600+21)×…×(3980000+21)
さて、この計算式において、Ｘの十位に影響するのは21だけを全て掛け合わせたものである。
21は全部で200個あるので、21²⁰⁰　が検討の対象となる。

具体的に書き下してみると、以下の通り。
　21¹=21
　21²=21×21=441
　21³=441×21=9261
ここで、十位に影響するのは下二桁の数字なので、441×21については、41×21を考えれば良い。
　21³ ： 41×21=861
　21⁴ ： 61×21=1281
　21⁵ ： 81×21=1701
　21⁶ ： 1×21=21
　21⁷ ： 21×21=441
　21⁸ ： 41×21=861
　　・・・

以上より、21ⁿについて、n=1,2,3,4,5,6,7,8・・・に対して、十位の数字は、 2,4,6,8,0,2,4,6・・・と循環する。
∴　n=200の場合、十位の数字は0である。
∴　Ｘの十の位の数字は0である。

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解答・その14

（ペンネ−ム：オヤジ）

求めるXの１０の位の数は、積を取ると１００以上の数は、１００未満の数には影響しないので ：　mod100　で考えれば十分である。そこで
　　３×１３×２３×３３×４３×５３×６３×７３×８３×９３≡９９≡−１　mod100　・・(1)
同様に
　　９７×８７×７７×６７×５７×４７×３７×２７×１７×７
　≡（−３）×（−１３）×（−２３）×（−３３）×（−４３）×（−５３）×（−６３）×（−７３）×（−８３）×（−９３）
　≡３×１３×２３×３３×４３×５３×６３×７３×８３×９３≡９９≡−１　mod100　・・(2)
従って
１〜１００迄の１の位が３または７であるものの積で１０以下の数は、(1)　(2)より
　　３×１３×２３×・・・×９３×７×１７×２７×・・・×９７≡　１　mod100　・・（�T）
よって １〜２００１以下の１の位が３または７であるものの積で１０以下の数は、
（�T）の２０乗　従って
　　３×７×１３×・・・×１９９３×１９９７≡　１^２０　≡　１　mod100
　∴　Xの十の位の数＝０

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解答・その15

（ペンネ−ム：ソフィアアクトゥーダ）

X＝3×7×13×17×23×27×・・・×1993×1997
　＝(3×7)×{(10+3)×(10+7)}×{(20+3)×(20+7)}×…×{(1990+3)×(1990+7)}
　＝21×(10² + 10×10 + 21) ×(20² + 20×10 + 21) ×・・・×(1990² + 1990×10 + 21)
これを展開すると、
X＝100N＋21²⁰⁰　（Nは整数）となる。
整数Mの下2桁をF(M)で表すと、
　F(21¹) = 21
　F(21²) = 41
　F(21³) = 61
　F(21⁴) = 81
　F(21⁵) = 01
　F(21⁶) = 21
　…
となるので，F(21²⁰⁰)＝01
したがって，Xの十の位は0．

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解答・その16

（ペンネ−ム：うめぞー）

百の位以上の数字にどんな整数をかけても十の位に影響しないのでmod100で考えればよい。
　　Ｘ＝3×7×…×93×97×103×107×…×1993×1997
　　　≡(3×7×…×93×97)×(3×7×…×93×97)×…×(3×7×…×93×97)　←カッコ20個
カッコ内について、aを0または一桁の自然数とすると
　　(10a＋3) (10a＋7)＝100 (a²＋a)＋21≡21
より
　　(3×7)×…×(93×97)≡21¹⁰＝((21×21)×(21×21×21))²≡(41×61)²≡1²＝1
よって
　　Ｘ≡1²⁰＝1
求める数は十の位なので０

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解答・その17

（ペンネ−ム：Ryu1128）

2001以下の正の整数の内、1の位が3と7の数を並べると
　　3,7,13,17,23,27,・・・・1993,1997
です。1から10までの間に1の位に1つづつ3と7が含まれるので
各々2001までに200個づつ出てきます・・・・・(1)
この数列の積を小さい順に2項ずつまとめます
　　Ｘ=(3×7)・(13×17)・(23×27)・(33×37)・・・・・・(1993×1997)
（）を一塊と考え、ｉ番目の積に着目します。
ｉ番目の積は
　((ｉ-1）×10+3) ×((ｉ-1）×10+7)
=((ｉ-1）×10)²　+　(3+7) ×((ｉ-1）×10)　+　3×7
=100 ×（ (ｉ-1）²　+ (ｉ-1）)　+　21
となり、10の位は常に2、1の位は常に1となります100の位以上の部分は Ｘの10の位に影響しませんから、Ｘの10の位を求めるには結局
　　21²⁰⁰・・・・・(2)
の10の位を求めればよいことが解ります。 ここで(2)を次のように変形し2項展開を考えて見ます。
　　(2)=(20+1)²⁰⁰
この2項展開で20のべき乗が10の位にとどまるのは1と0だけでその時の2項係数は200と1です。
つまり200×20¹×1¹⁹⁹　+　1×20⁰×1²⁰・・・(3)
を調べればよいわけでこれは4001となり10の位は0となります。・・・・答え

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解答・その18

（ペンネ−ム：まろん）

答え: 0です。

計算機を使って解きました。

(define (seq start end)
         ; start -- inclusive  end -- exclusive  (if (>= start end)
      '() 
     (cons start (seq (+ start 1) end))))
(define (remove test l)  (apply append (map (lambda (e) (if (test e) '() (list e))) l)))
(define (tens_digit n)  (modulo (quotient n 10) 10))
(define (main args)  (display (tens_digit (apply *
                              (remove (lambda (n)
                                        (let ((r (modulo n 10)))
                                          (not (or (= r 3) (= r 7)))))
                                      (seq 1 2002)))))  (newline))

scheme版プログラム

#include 
intmain(){
        int i, x;
        for (i = x = 1; i <= 2001; i++) {
                if (i % 10 == 3 || i % 10 == 7) {
                        x = x * i % 100;
                }
        }
        printf("%d\n", x / 10);
        return 0;}

C言語版プログラム

どちらのプログラムも、問題文を素直に実行しているだけです。ただし、微妙に違いがあります。
scheme版プログラムは、最初に1〜2001のリストを作り、そのリストから一の位が3または7のものだけを 選んだ(別の)リストを作り、その要素のすべての積を(1147桁の数です)求め、その十の位を書き出しています。
一方、C言語版プログラムは、最初に、xを1にしておき、iを1から2001まで1づつ増やしながら、もし、 iの一の位が3または7だったら「x * i % 100」を計算しその値をxの新しい値として再設定、 最後に、その時点のxの十の位を書き出ています。
プログラムだけみればC言語版プログラムの方がシンプルにみえますが、それとは裏腹に、 「計算の手順」がこと細かく指示されていたりするうえ、最後の時点で、xの値がXの下二桁になっている というのも、あまり自明ではありません。

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解答・その19

（ペンネ−ム：迷子の雄猫）

2001 以下の正の整数のうち、一の位が３または７であるものの集合を A｛a₁,a₂,a₃ , ....｝とおき、集合Aに含まれる整数すべての積をＸとする。
集合Aに含まれる整数は、w,x,y,zをそれぞれ0から9までの整数として
　　1000× w ＋ 100× x ＋10×y ＋ 3
または
　　1000× w ＋ 100× x ＋10×y ＋ 7
とあらわせる。

Ｘの十の位を求めるには、X mod 100 を計算すれば十分なので、積と剰余の性質 上、計算途中で100以上の位は無視してかまわない。
一の位が３である整数と一の位が７である整数は同じ数だけ存在するので、まず 213,217のように十以上の位が同じ数字同士の積を計算してみる。
　　（1000× w ＋ 100× x ＋10×y ＋ 3）×（1000× w ＋ 100× x ＋10×y ＋ 7）　mod100
　　＝（10×y ＋ 3）×（10×y ＋ 7）　mod100
　　＝（100×y×y＋70×y ＋ 30×y ＋ 21）　mod100
　　＝（100×y×y＋100×y ＋ 21）　mod100
　　＝（21）　mod100
よってXの十の位は21を何乗かした値の十の位である。さて、1から100の間には 一の位が３または７である整数がそれぞれ10個存在するので、Xの十の位はは21 の10乗を何乗かした値、つまり21の5乗の2乗を何乗かした値の十の位と同じである。
21の5乗は4084101であるので、Xの十の位は1を何乗かした値の十の位と同じであ る。1を何乗しようが値は1のままなので、Xの十の位は0。

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解答・その20

（ペンネ−ム：-hiryu）

一の位が３である数字と７である数字は、 それぞれ１〜１０の中に１つずつ、１１〜２０の中に１つずつ、…、１９９０から２０００の中にひとつずつある。
（１０ｎ＋１）〜（１０ｎ＋１０）（ただし、０≦ｎ≦１９９）の中で、 一の位が３である数字は１０ｎ＋３、一の位が７である数字は１０ｎ＋７とあらわされる。
これらをかけると、
　　　（１０ｎ＋３）（１０ｎ＋７）
　　＝１００ｎ²＋（３＋７）１０ｎ＋２１
　　＝１００（ｎ²＋１）＋２１
となる。
よって、どのようなｎをとっても、（１０ｎ＋１）〜（１０ｎ＋１０）（ただし、０≦ｎ≦１９９）の中での 一の位が３である数字と７である数字をかけた数字の下二桁は２１になる。
０≦ｎ≦１９９であり、Ｘは２００１以下の正の整数のうち、一の位が３または７であるものすべての積であるから、 その十の位は２１の２００乗と同じになる。
また、
　　　２１¹＝２１
　　　２１²＝４４１
　　　２１³＝４４１×２１＝９２６１
　　　２１⁴＝９２６１×２１＝１９４４８１
　　　２１⁵＝１９４４８１×２１＝４０８４１０１
　　　２１²⁶＝４０８４１０１×２１＝８５７６６１２１
ここで、下二桁が２１になったので、十の位に注目すると、
　　　２　→　４　→　６　→　８　→　０　→　２　→　･･･
となり、　「２→４→６→８→０」　を繰り返している。
ここで、Xの下二桁は２１²⁰⁰と同じであった。
２００＝４０×５と表すことができるので、Xの十の位は０である。

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解答・その21

（ペンネ−ム：三角定規）

1の位が3または7である連続する2数は10k＋3，10k＋7（k＝0，1，2，…）と書ける。
これらの，小さい方から順に2n＋2個の積をa_nと書くと

　　

a_nの下2桁はa_nを100で割った余りであり，(1)より

　　

(2)より，a_nの10の位は，n＝0，1，… のとき，2，4，6，8，0，2，… と周期5で変化する。
求めるものはa₁₉₉₉の2の位で，n＝0の2から数えて2000＝5×400番目であるから，それは　0 …[答]

コメント

一の位が３の数を７の数をペアにして積を考えると、 必ず下２桁が「２１」となっています。
　　(10k＋3)(10k＋7)＝100k²＋(70＋30)k＋21＝100(k²＋k)＋21
「３＋７＝１０」がポイントですね。これについては、まめさんが考察してくださいました。
この問題は、十の位を求めたいわけですから、下２桁だけに注目すればよいわけです。 ところが２１の積を計算してみると、下２桁は周期的に変化をするから、後は２１を何回かければよいかということに 帰着されるわけですね。

因みに、数学オリンピック予選問題のオリジナルは、「２０１１以下の」となっていますね。 したがって、解答は「２」です。失礼しました。

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