問題174　立方体に潜む正多角形

立方体を１つの平面で切断するとき、表面に切り口としてできる正多角形として可能なものをすべて答えてください。

問題の出典

キュートな数学名作問題集
小島寛之著

解答

解答・その1

（ペンネ－ム：スモークマン）

・正三角形はすぐできますね。
・正方形も明らか。
・正六角形も各辺の中点を結んで行けば可能。
平面では最高で６本の辺しか切れない...辺と面でできるのは1点だけだから...高々６角形まで...
・では、正五角形は可能か？

添付図のように可能 !!
2a²=(1-a)²+b²
これが、辺の長さ1以上であればもう１点が取れる...
2a²≧1
a≧√2/2
b²=a²+2a-1=(a+1)²-2≧(√2/2+1)²-2=√2-1≦1
で、図形的にあり得ることがわかる ^^
けっきょく...
正3～6角形まで可能 ^^

Junko
正五角形は、５辺の長さが等しく、かつ内角も等しくなければなりませんが、この点はいかがでしょうか。

そっか...角も等しくならなきゃいけないんだ...^^;
最後の角は明らかに90°未満になっちゃうから...180*3/5=108°を満たさないから...作れないって...そんなに簡単に言えるのだろうか...^^;...?
そうなるのは...両隣の点からは...上の位置にあるはずなので=両隣の点を見下ろすことになるので...90°以上にはなれないことがわかるでいいのかなぁ...?

解答・その2

（ペンネ－ム：もげぴ）

答
正三角形，正方形及び正六角形

理由
次の１ないし３のとおり。
(本当なら，正五角形ができないこと，正七角形以上の正多角形ができないことも説明すべきと思いますが，時間切れとなりました。)

１　正三角形
　　証明を省略しても許していただけると思います。一つの頂点を構成する３面の正方形の対角線で構成される三角形は，その各辺の長さが等しいため正三角形となります。

２　正方形
　　ある面と水平にカットすると，その断面は正方形となります。

３　正６角形
　　きれいな図じゃなくて恐縮ですが，立方体４個を図のように積み上げる。辺ＡＣ，辺ＥＦ，辺ＨＩの中点（説明の便宜上，頂点の一部についてＡないしＦと命名）を結ぶと正三角形になり，ここから，ＡＣ，ＢＣ，ＣＤの各辺の中点を結んでできる正三角形，ＢＦ，ＥＦ，ＦＧの各辺の中点を結んでできる正三角形，ＤＨ，ＧＨ，ＨＩの各辺の中点を結んでできる正三角形を切り取ると残った六角形の各頂点の角度はいずれも１２０度(180-60)であり，また，その六角形の各辺の長さは等しい（いずれも正方形の４辺の中点を結んでできる正方形の１辺と等しい長さ）。よって，この六角形は正六角形。

解答・その3

（ペンネ－ム：杖のおじさん）

答え　　正三角形、正四角形、正六角形の三種類となります。

立方体を切った時の正多角形について調べます。
切った時に接する辺は３～６辺となります。従って、出来る多角形は三角形～六角形になります。
正三角形、正四角形、正六角形は下図のようになります。

立方体（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ）の説明
点　Ｉ，Ｋ，Ｌ，Ｊ，Ｍ，Ｐ，Ｏ，は各辺の中点とします。各辺の長さをＸとします。
(1)　図の正三角形Ａ，Ｇ，Ｈの各辺の長さは√２×Ｘとなります。
三角形の切り方は辺ＤＣ，ＤＢ，ＤＨ，の辺上のＤから同じ長さの点を通るように切っても正三角形になります。
(2) 正四角形　図ではＩ，Ｊ，Ｋ，Ｌですが各立方体の平面に垂直か平行に切断すれば、正四角形になります。各辺の長さはＸとなります。
(3)　正六角形Ｉ，Ｐ，O，Ｌ，Ｎ，Ｍ　で　正六角形の各辺の長さは√２/２×Ｘとなる。
五角形は５辺を通れば出来ますが、正五角形は出来ません。

解答・その4

（ペンネ－ム：teki）

答え　　正三角形、正方形、正六角形

立方体には、面が６面あります。
理論的には、正三角形から正六角形の４種類ができる可能性があるんですが、正五角形はどう切断しても作れません。
正三角形は、立方体の角を等距離に切り落とせばできます。
正方形は、立方体の面と平行な面で切断すればできます。
正六角形がちょっと複雑ですが、立方体の上面の角を挟む２辺の中点を結んだ線分と下面の対角を挟む２辺の中点を結ぶ線分を含む平面で切断すれば、この切断面は正六角形となります。
なお、通常の５角形はできるんですが、正五角形はどのような切断面で切断しても不可能です。

解答・その5

（ペンネ－ム：haya）

立方体を一つの平面で切断するときに現れる正多角形の断面形状は、正三角形・正方形・正六角形の３つである。

【解き方】
正三角形はFig.1のように3つの頂点を含む平面で切断するか、これと平行な平面で可能。

正方形はFig.2のように平行な4辺の中点を通る平面か、これと平行な平面で可能。

正六角形Fig.3のように6辺の中点を通る平面で切断することによって可能。

七角形以上は立方体が6面体であることからできない。
また、正五角形もできない。
五角形の断面はFig.3の二点 a, b を X-Y 軸上の c に統合すれば作図可能であるが、形成される頂角 c' は90°より大きくできない。　正五角形の頂角は全て108°であることより正五角形はできない。

解答・その6

（ペンネ－ム：オヤジ）

立方体の一辺を１にして　立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨに直交座標をいれる。
Ａ（０，０，１）　Ｂ（１，０，１）　Ｃ（１，１，１）　Ｄ（０，１，１）
Ｅ（０，０，０）　Ｆ（１，０，０）　Ｇ（１，１，０）　Ｈ（０，１，０）とすると

例えば　△ＡＦＨ：一辺の正三角形となる。
例えば　立方体の各面に平行な平面で切ると一辺１の正方形となる。
例えば　ＡＤの中点、ＡＢの中点、ＢＦの中点、ＦＧの中点、ＧＨの中点、ＨＤの中点を通る平面で切ると一辺１/√2　の正六角形となる。

ここで、正五角形が出来ないか考察する。一辺ａとすると

従って正五角形とならない。
正六角形以上の正多角形は、出来ないので
　∴　正三角形，正方形、正六角形

解答・その7

（ペンネ－ム：三角定規）

立方体の平面による切断面として現れるものは，
　・正三角形 … ひとつの頂点から等距離にある３辺上の３点を通る平面で切断する
　・正方形　 … ひとつの面に平行な平面で切断する
　・正六角形 … ６辺の中点を通る平面で切断する
の３つ《図》(by Grapes3D)。

正五角形はできないものかといろいろ計算し，等五辺形までは行き着いたのですが，残念ながらこの五辺形は一平面上にありませんでした。
正五角形および正七角形以上は，キチンと証明できたわけではありませんが，無理なのではないでしょうか。

解答・その8

（ペンネ－ム：夜ふかしのつらいおじさん）

●正n角形の1つの内角の大きさは、

なので、次のようになります。

●立方体を1つの平面で切るとき、
正三角形、正方形、（正六角形）ができるのはすぐにわかります。

正三角形と正方形は問題ないと思います。

正六角形は図で各辺の中点を結んだものです。
●念のため図形ABCDEFが正六角形であることを確かめます。
対称性から各辺の長さ、内角が等しいことはわかります。
点A、B、C、D、E、Fが同一平面上にあることを調べます。
上の図のように、一辺の長さが1の立方体をおきます。
各点の座標を次のようにとります。

この式は、点C、D、Eの座標を代入しても成立するので、点A、B、C、D、E、Fは同一平面上にあります。

●問題は、正五角形や正七角形以上ができないことです。

正五角形以上は、一つの内角が鈍角（直角より大）です

図のように一辺の長さ1の立方体をおきます。
点A、B、Cの座標はZ座標とします。
（ c≦ａ≦ｂ　とします）

より、

となるので、θは鈍角にはなりません。
（cosθの値が負のときに、鈍角になります。
c=a または、c=b のとき、cosθ=0 となり、θ＝90°となります）

つまり、平面が3つの平行な辺を横切るような場合は正五角形以上にはなりません。
（例えば、c=0 のとき、5角形になることはありますが、正五角形にはなりません）
平面が平行な3つの平行な辺を横切らないような場合は、6角形ができます。
5角形と7角形以上はできません。

●以上からできるのは、正三角形、正方形、正六角形です。

解答・その9

（ペンネ－ム：転位反応）

立方体を１つの平面で切断するとき、立方体のひとつの面に対して最大で１つの辺が形成されるので、
正多角形の辺の数は最大で６が考えられる。また、平面を形成するには少なくとも３辺が必要である。
以上より、正多角形の可能性としては、正三角形、正方形、正五角形、正六角形である。
正三角形、正方形、正六角形については、以下の図の通り。

さて、正五角形について検証を行う。
立方体の展開図と正三角形及び正六角形の切断線を以下に示した。
正三角形と正六角形の場合には、それぞれ三つの面、六つの面を切断する長さを同じにできるが、
同様な方法で五つの面を切断する線を引くことはできない。
よって、正五角形は形成できない。

解答・その10

（ペンネ－ム：T_Tatekawa）

まず，立方体の面は6つなので，平面で切断する限りにおいては 6つの辺までしか断面に含む事が出来ず，七角形以上はできない．
立方体の頂点の一つを原点に取り，そこから伸びる辺をそれぞれ x軸，y軸，z軸に重ねて座標をとる．

1. 正三角形
例えば (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) を通る平面で切断する．

2. 正方形
xy 平面，yz 平面， zx 平面に平行な平面で切断する．

3. 正六角形
(0.5, 0, 0), (0, 0.5, 0), (1, 0, 0.5), (0, 1, 0.5), (0.5, 1, 1), (1, 0.5, 1) を通る平面で切断する．

四角形以上の断面を取ろうとすると，立方体の4つ以上の面に切り口が入る．
立方体は向かい合う面が平行なので，切り口の多角形は四角形以上の場合は，必ず平行な一対以上の辺が存在する．
一方で正五角形には平行な辺がない．このため，立方体の断面で正五角形を作る事は出来ない．

よって正三角形，正方形，正六角形の三つが得られる．

解答・その11

（ペンネ－ム：のっこん）

一辺の長さが２の立方体で考える
A(-1,1,1),B(-1,-1,1),C(1,-1,1),D(1,1,1),
E(-1,1,-1),F(-1,-1,-1),G(1,-1,-1),H(1,1,-1)とする

１）正三角形ができるかどうか検討する
EF上の点（Fを含む）をP、EH上の点（Hを含む）をQとした時
A、P、Qを通る平面で切断すると三角形ができる

AF=AH=FH=2√2だから A、F、Hを通る平面で切断すると一辺の長さが2√2の正三角形ができる

２）正四角形ができるかどうか検討する
平面ABCDあるいは平面CGHDあるいは平面DHEAに平行な平面で切断すると
一辺の長さが2の正四角形ができる

３）正五角形ができるかどうか検討する
FG上の点をP、HG上の点をQとした時
A、P、Ｑを通る平面で切断すると五角形ができる
この時、切断面とBFの交点をR、切断面とDHの交点をSとする

平面AEFBと平面CGHDは平行だからARとSQは平行
平面BFGCと平面DHEAは平行だからRPとASは平行

２組の辺が平行である五角形ARPQSは正五角形にはなりえない
（正五角形はどの２辺をとっても平行ではない）

４）正六角形ができるかどうか検討する
AB上の点をP、AD上の点をQ、FG上の点をRとした時
P、Q、Rを通る平面で切断すると六角形ができる
ABの中点をS、ADの中点をT、FGの中点をUとし
S、T、Uを通る平面で切断すると
一辺の長さが√2の正六角形ができる

立方体を１つの平面で切断する時に７個以上の交点ができることはないから切り口として可能な多角形は正三角形、正四角形、正六角形の３種類がすべてである

正五角形が不可能であることの論証に苦労しました
今月もまた「単純なのにむずかしい」いい問題でした

解答・その12

（ペンネ－ム：Ryu1128）

立方体は、正六面体です。
平面と平面の交差は直線（線分）になります。
よって、任意の平面と下記線分方程式との交差部は線分になるか解無しとなります。

立方体を、Ａ(0,0,0)を原点として各々の頂点を(x,y,z)の立体座標で表現します。
Ｂ(1,0,0)　Ｃ(1,1,0)　Ｄ(0,1,0)　Ｅ(0,0,1)　Ｆ(1,0,1)　G(1,1,1)　H(0,0,1)

立方体の各辺の方程式は次のように12の線分方程式なります

上から順番に(1)～(12)とします。

任意の平面方程式を次のようにおきます。
　　ａｘ+ｂｙ+ｃｚ-ｄ＝0・・・(13)
うまく任意の平面を12辺と交差させて交差した線分の長さが全て一致し且つ、任意の平面状におけるとなりあう線分の交差角度が全て一致すると正12角形が出来ます。しかしながら頂面から（どの面から切ってもよいのですが）入るとして、立方体の切られる辺（又は頂点）は最大６です。
その理由は全ての面（６面）を切った場合多角形の頂点は６になるからです。
切られた段面は必ずその頂点が両隣の面と共有することになります。そして平面で切るため立方体の一つの面を切る場合最大でも2辺しか切ることができません。
立方体は6面でありその全ての面を切った場合6×2辺÷2（共有）で頂点数は6となります。
正多角形の定義の議論は避けて通るために正2角形は考えません・・・。

先ず正三角形から
これは、任意の平面がｘ、ｙ、ｚ軸上の同じ値ｋ（但しｋ＞0、ｋ＜＝3）を通るようにすれば良いわけ（他にも立方体の各頂点から同じ値をとることも）ですから可能です。因みに平面方程式の解の一つは、ｘ+ｙ+ｚ＝ｋ²。他にも解はＢＣＤから等距離を取ると3種類あります。

つぎに正方形ですが床、屋根壁に平行な平面で切ると全て正方形になります。
その他、x²+y²=1、y²+ｚ²=1、 x²+ｚ²=1と(13)の連立で表される平面群も立方体を正方形に切ります。

正5角形を飛ばして正6角形を考えます。
前述したとおり6面を全て切る平面を考えます。床から入って、4壁を通り、屋根へ抜ける平面を考えます。
このとき床と屋根を切る辺及び対面する壁を切る辺は平行になります。
ＡＢ、ＢＦ、ＦＧ、ＧＨ、ＨＤ、ＤＡ上に点ｋ₁～ｋ₆を取ります。
平面(13)がｋ₁～ｋ₆を全て通り、ｋ_iｋ_i+1＝ｋ_i+1ｋ_i+2（ｉ＝1～4）《各辺が等しい》且つｋ_iｋ_i+3＝ｋ_i+1ｋ_i+4　（ｉ＝1～2）《対角線が等しい》が言えれば正6角形が出来ます。
立方体の各辺（ＡＢ、ＢＦ、ＦＧ、ＧＨ、ＨＤ、ＤＡ）の中点にｋ₁～ｋ₆ を取ると上記条件を全て満たします。
よって正6角形は可能です。

最後に飛ばした正5角形ですが、5角形は6角形に切る場合の一面において立方体の辺を切らずに頂点を切ることによってのみ可能です。
6角形で検討した通り、頂点の対辺以外の隣り合わない辺は必ず平行となってしまうため正五角形に切るのは不可能です。
このことは、壁に平行でないどんな平面で切っても切られた壁は平行になってしまうことから明らかです。

解答・その13

（ペンネ－ム：ちょろんは太太）

立方体は、面が6枚であるので、1平面と交わってできる直線は6本まで。
切り口に作られる多角形は、三角形、四角形、五角形、六角形だけで、それより大きいものは、できない。

上図のように、正三角形は、３頂点を通る面で切れば作られる。
正四角形は、４辺の中点を通る面できればよい。
正六角形も、図のように、６辺の中点を通る面で切れば、作ることができる。

また、平行している２枚の面と平面が交わった場合、それぞれの面と交わったところにできる直線は、互いに平行になる。
立方体は、３組の２枚の平行面で作られている。これを考慮すると、切り口にできる５角形には、２組の平行線がなければならない。
正五角形の各辺は平行ではないので、切り口に正五角形を作ることはできない。

よって、答えは、正三角形、正四角形、正六角形の３種類である。

解答・その14

（ペンネ－ム：MVH）

結論から述べます.
立方体を1つの平面で切断するとき, 表面に切り口としてできる正多角形として可能なものは, 以下で全てです.
「正三角形, 正方形（正四角形）, 正六角形」

ⅰ）まずは, この3つが実現可能であることを示します.
立方体の８頂点を, (±1,±1,±1)（複号任意）とします（このとき, 立方体の一辺の長さは2となります）.
正三角形：3点(－1,－1,1),(1,－1,－1),(1,1,1)を通る平面x－y+z－1=0：で切断すると, 切り口は正三角形になります.
正方形：3点(0,－1,1),(0,1,1),(0,1,－1)を通る平面：x=0で切断すると, 切り口は正方形になります.
正六角形：3点(－1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)を通る平面x－y+z=0：で切断すると, 切り口は正六角形になります.

ⅱ）次に, 切り口が正五角形にはならないことを示します.
次の2つ「平行でない2つの平面が交わると直線ができる」, 「立方体の向かい合う面は平行である」は証明なしに認めることにします. また, 立方体の辺に沿った平面で切断する場合, 切り口は長方形にしかならないので, この場合を除外して考えます. 補題を2つ用意します.

補題1：立方体の1つの面には, 切り口の五角形の1つの辺しか現れない.

（証明）1つの面に切り口の五角形の2つ以上の辺が現れると仮定すると, 上記で認めたことに矛盾します. □

補題2：平行な2平面P, Qに1つの平面Rが交わってできる2つの直線ｌ, ｍは平行である.

（証明）PとQは平行なので, その一部であるｌとｍが交わることはあり得ません. また, ｌとｍは両方ともR上の直線なので, ねじれの位置にはありません. よって, ｌとｍは平行です.

さて, 証明に入ります.
立方体を平面で切断し五角形をつくると, その辺は, 補題１により立方体の5つの面に1つずつ現れます. 一方, 立方体の６つの面は2つずつが平行ですから, 切り口の5つの辺のうち, うまい2辺の組合せを考えると, それらは平行な2つの面にそれぞれ現れていることになります. 補題2により, このようにして見つけた2つの辺は必ず平行になることが分かります. よって, 立方体を平面で切断して作った五角形は, 平行な2つの辺を含む形にしかなりません. ところが, 正五角形の辺はどの2本も平行ではないですから, 正五角形を作ることはできません. □

ⅲ）切り口が七角形以上にはならないことを示します.
（証明）立方体が6面であることと補題１（に相当する議論）により自明です。□
以上ⅰ）～ⅲ）により, 冒頭の結論を得ます. ■

〔解き終えて〕
題材としては中学生辺りが対象でしょうが, 正五角形が何故作れないのか, という問いは, なかなか興味深いものでした.

解答・その15(追加 9/11)

（ペンネ－ム：浦岡）

［解答］正三角形、正方形、正六角形

［考え方］
上記の正三角形以外は辺の長さではなく、辺の位置関係を考慮すればよい。
立方体を１つの平面で切断したときに切り口としてできる多角形を考えるにあたり、次の１°と２°を考慮すれば十分である。

１° 辺は立方体の面上にあり、いずれの面もその上にある辺は高々１つである。
２° 立方体の対面上に２つの辺があれば、それらは平行である。

１°より、切り口としてできる多角形は高々６つの辺であるから、三角形、四角形、五角形、六角形に限られる（七角形以上はできない）。
２°より、正五角形は平行な辺をもたないのでできない。

［２°の補足］
平行な２つの平面を別の平面で切断したときにできる切り口は、２つの平行な直線になる。

正解者

teki ちょろんは太太スモークマン

T_Tatekawa のっこん転位反応

夜ふかしのつらいおじさん Ryu1128 haya

オヤジ杖のおじさん三角定規

MVH もげぴ

問題はシンプルですが、正五角形がなぜできないかを示すとなると、ちょっと考えてしまいますね。

Challenge!