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問題172　コインの問題

２種類の異なる重さのコインが各４枚ずつ、計８枚のコインがあります。 天秤を２回以下しか使わずに、重さが異なるコインを１枚ずつ取り出すにはどのようにすればよいでしょうか。

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問題の出典

ジュニア数学オリンピック 2003-2008
数学オリンピック財団　編

解答

解答・その1

（ペンネ−ム：オヤジ）

２種類のコインそれぞれ、○○○○および、●●●●とします。
○より●の方が重いとしても一般性は、失われません。
例えば天秤左右に２個のコインを載せ、

　　釣り合ったときを、例えば　　（○● △ ○●）
　　左に傾いた時を、　　（●○ ▲ ○○） の様に表します。

１．１回目に天秤の左右が釣り合った場合・・・・・３種類あります。

　（１）　（○● △ ○●）　　　（２）（○○　△　○○）　　（３）（●●　△　●●）

（１）〜（３）の釣り合った場合は、２回目は、例えば天秤の右側の２個を１個づつ天秤で計ります。
　（11）（○　▲　●）と傾き、重さの異なる○と●が得られる。　∴（１）ＯＫ
　（21）（○　△　○）と釣り合うので、釣り合った４個のうちの１個の○と１回目に、計量しなかった４個の●の内の１個の●で、
　　　重さの異なる○と●が得られる。　　∴（２）ＯＫ
　（31）(●　△　●)　と釣り合うので、釣り合った４個のうちの１個の●と１回目に、 計量しなかった４個の○の内の１個の○で、
　　　重さの異なる○と●が得られる。　　∴（３）ＯＫ

２．１回目に釣り合わない場合、左側が下がるとして一般性を失わない・・・・３種類あります。

　（４） （●○　▲　○○）　　　（５）（●●　▲　○○）　　　（６）（●●　▲　●○）

（４）〜（６）の釣り合わなかった場合は、天秤の左右から、各１個づつ持ってきて２回目の天秤に載せる。
　（41）（●　▲　○）と傾き、重さの異なる○と●が得られる。
　（42）（○　△　○）　と釣り合う時は、１回目の計量で残った、２個の重さの異なる○と●が得られる。
　　　従って、（41）（42）より　　　　　　　　　　　　　　　　　∴（４）ＯＫ
　（51）（●　▲　○）と傾き、重さの異なる○と●が得られる。　∴（５）ＯＫ
　（61）(●　△　●) と釣り合う時は、１回目の計量で残った、２個の重さの異なる●と○が得られる。
　（62）（●　▲　○）と傾き、重さの異なる●と○が得られる。
　　　従って、（61）（62）より　　　　　　　　　　　　　　　　　∴（６）ＯＫ

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解答・その2

（ペンネ−ム：迷子の雄猫）

手順１:天秤の両側に２枚づつのコインを載せる。左の皿に載せたコインを Ａ，Ｂ、右の皿に載せたコインをＣ，Ｄとする。

手順２Ａ：手順１でつりあった場合、同じ皿に載せたＡ，Ｂのコインを量る。
　　手順２Ａでつりあった場合、
　　　Ａ，Ｂのコインは同じものである。手順１でつりあったＣ，Ｄのコインも同じものであるから、コインＡと一度も量ってい ないコインは別の種類のコインである。
　　手順２Ａで傾いた場合、
　　　Ａ，Ｂのコインは別の種類のコインである。
手順２Ｂ：手順１で傾いた場合、異なる皿に載せたＡ，Ｃのコインを量る。
　　手順２Ｂでつりあった場合、
　　　Ａ，Ｃのコインは同じものである。手順１で傾いた以上、Ｂ，Ｄのコインは別の種類のコインである。
　　手順２Ｂで傾いた場合、
　　　Ａ，Ｃのコインは別の種類のコインである。

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解答・その3

（ペンネ−ム：atsuhiro）

1回目:8枚のうち4枚を選び2枚ずつ乗せる

�T　釣り合わなかったとき
　　→上がった方は軽2，下がった方は重2
　　　or上がった方は軽1重1，下がった方は重2
　　　or上がった方は軽2，下がった方は軽1重1

　2回目:それぞれの皿から1枚ずつ取る
　　イ:釣り合わなかったとき
　　　→天秤上にある2枚でクリア
　　ロ:釣り合ったとき
　　　→2回目の操作で天秤から退けた2枚でクリア

�U　釣り合ったとき
　　→4枚全て同じ重さ
　　　orそれぞれの皿に重軽1枚ずつ

　2回目:どちらか一方の天秤上にある2枚を1枚ずつ乗せる
　　イ:釣り合ったとき
　　　→最初の4枚のうちから1枚，残りの4枚から1枚取ってクリア
　　ロ:釣り合わなかったとき
　　　→天秤上にある2枚でクリア

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解答・その4

（ペンネ−ム：ちょろんは太太）

（１回目）　左右の皿に、２枚ずつコインをのせます。

A：　つりあった場合
（両皿に、�Tそれぞれ重いコイン１枚、軽いコイン１枚がのっているか、または、�U重いコイン２枚ずつ、または、�V軽いコイン２枚ずつがのっている。）
　　（２回目）片方の皿の２枚のコインを残し、１枚ずつ左右の皿にのせてはかる。
　　　　AA:つりあった場合、�Uまたは、�Vのケース。１回目にのせた４枚のコインは、すべて同じ重さになる。
　　　　　１回目にのせなかった４枚は、違う重さのコイン。 １回目にのせたコイン１枚と、のせなかったコイン１枚をとりだせばよい。
　　　　AB: 　つりあわなかった場合、�Tのケース。この左右の１枚ずつが違う重さのコインである。

B：　つりあわない場合
（左右に重さの違うコインが少なくとも１枚はのっている）
　　（２回目）　左右それぞれの皿から、１枚ずつコインをとって、残った１枚ずつを比べる。
　　　　BA:　つりあった場合、１枚ずつとったコインが、違う重さのコイン。
　　　　BB:　つりあわなかった場合、この左右の１枚ずつが違う重さのコインである。

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解答・その5

（ペンネ−ム：マシャ）

まず, 天秤に2枚ずつコインを乗せる. (天秤使用1度目)
このとき, 「つり合う」と「傾く」の2通りの結果が考えられる.
説明のため異なるコインを A, Bと呼ぶことにする.

(i)「つり合う」場合
この結果では 「合計4枚が等しい(AA-AA or BB-BB)」と「異なるコインが1枚ずつ(AB-AB)」 の2通りがありうる.
このとき天秤に乗せた片方の2枚を1枚ずつにして天秤に乗せる. (天秤使用2度目)

(ia)「つり合う」場合
天秤使用一度目の結果が「合計4枚が等しい(AA-AA or BB-BB)」と分かるので,
使用した1枚と全く使用しなかった1枚を取り出せば 「重さが異なるコインを１枚ずつ取り出す」ことが可能.

(ib)「傾く」場合
天秤使用一度目の結果が「異なるコインが1枚ずつ(AB-AB)」と分かるので, 2度目に使用した2枚を取り出せば
「重さが異なるコインを１枚ずつ取り出す」ことが可能.

(ii)「傾く」場合 この結果では, 「AA-BB」「AB-BB or AB-AA」の2通りである.
このとき天秤に乗せた4枚のうち各皿ごとに1枚選び天秤に乗せる(天秤使用2度目)

(iia)「つり合う」場合
天秤使用1度目の結果が「AB-BB or AB-AA」と分かる
つまり, 2度目に使用しなかった2枚を取り出せば
「重さが異なるコインを１枚ずつ取り出す」ことが可能.

(iib)「傾く」場合
天秤使用2度目の2枚を取り出せば
「重さが異なるコインを１枚ずつ取り出す」ことが可能.

以上

【過程】
始めに1枚ずつで思考してみると「傾く」場合にはいいですが,「つり合う」場合の対処に困っていました. なので, 虱潰しに考えようと2枚ずつを乗せる場合を考えたら上記のような結果になりました.

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解答・その6

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

●重りをaとbで表します。
また天秤の皿を括弧(　)で表すことにします。
どちらが重くてもかまわないのでaの方が重いとします。
これを（a）＞（b）と表すことにします。
また、釣り合う場合は（a）＝（a）と表すことにします。

●天秤の皿に2枚ずつコインをのせると、次の場合があります。
・釣り合う場合
　�T（aa）＝（aa）　：残りのコイン｛bbbb｝
　�U（ab）＝（ab）
　�V（bb）＝（bb）　：残りのコイン｛aaaa｝

・釣り合わない場合
　�W（aa）＞（ab）
　�X（aa）＞（bb）
　�Y（ab）＞（bb）

●2回目のコインののせ方を考えます。
（１）釣り合ったときは、一方の皿にあった重りを別々の皿に1個ずつのせると、次の場合があります。
・さらに釣り合う場合
　�T（a）＝（a）または、�V（b）＝（b）
2回目も釣り合うなら、初めに皿にのせた4個が同じ重さです。（1回目の残りの重りも同じ重さです） その4個のなかから1個、残りの4個の中から1個を選べばよいことになります。 ・釣り合わない場合
その2個を選べばよいことになります。
　�U（a）＞（b）

（２）釣り合わなかったときは、左右のそれぞれの皿から1個ずつ重りを抜き取ります。
2回目に釣り合わなければその2個を選び、釣り合えば抜き取った2個を選べばよいことになります。
　�W（a）＞（b）
　�W（a）＝（a）　：　抜き取った2個｛ab｝

　�X（a）＞（b）

　�Y（a）＞（b）
　�Y（b）＝（b）　：　抜き取った2個｛ab｝

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解答・その7

（ペンネ−ム：Ryu1128）

コインの重さにしたがってａ，ｂのコインとします。
１回目はコインを天秤に、無作為に２枚ずつ乗せます。
つり合う場合○つり合わない場合×とします
天秤の左右と天秤に乗せなかった残りを表にする次のようになります。

つり合い	左	右	残り
○	aa	aa	bbbb	�T
×	aa	ab	bbba	�U
×	aa	bb	bbaa	�V
×	ab	bb	aaab	�W
○	bb	bb	aaaa	�X
○	ab	ab	bbaa	�Y

２回目は１回目○の場合�T�X�Y右（左でも良い）と残りから１枚ずつ取り出し乗せます
�Tと�Xはつり合いませんから、そのまま選べば良いです。
�Yの場合のみ、つり合うケースがありますが、その場合は同じ天秤皿に載った残りが 必ず重さの違うコインになりますからそれを選べば良いです。
×の場合、左右の天秤皿から1枚ずつ選び、つりあった場合、残りの天秤皿の2枚が重 さの違うコインとなります。

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解答・その8

（ペンネ−ム：のっこん）

8枚を○○○○●●●●とする
4枚を選ぶこととし、
選ばれた4枚をＡ群、選ばれなかった4枚をＢ群とする

・Ａ群を2枚ずつに分け、天秤の左右にのせてみる

(1)つりあう時
　　○○-○○、○●-○●、●●-●●のどれかと考えられるので
　　左（あるいは右）の2枚を1枚ずつに分け、天秤の左右にのせてみる

　　　 　　１）つりあう時・・・Ａ群から1枚、Ｂ群から1枚取り出せばよい
　　２）つりあわない時・・・○●を取り出したことになる

(2)つりあわない時
　　○○-○●、○○-●●、○●-●●のどれかと考えられるので
　　左の2枚の中から1枚を選んで天秤の左に
　　右の2枚の中から1枚を選んで天秤の右にのせてみる

　　１）つりあう時・・・左の2枚の中で選ばれなかった方と
　　　　　　　　　　　　右の2枚の中で選ばれなかった方を取り出せばよい
　　２）つりあわない時・・・○●を取り出したことになる

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解答・その9

（ペンネ−ム：杖のおじさん）

１回目は最初に４個ずつに分けて、天秤で量ります。
２回目は次の方法で量ります。
（１）　つりあった場合
　片側の４個を２個ずつにわけて天秤で量る
　　(i) つりあった場合　 →どちらかの天秤のコインを２個取ります。
　　(ii)つりあわなかた場合　→両方の天秤から１個づつコインを取ります。

（２）　つりあわなかった場合
　（例１）重い方の４個を２個ずつにわけて天秤で量る
　　(i) つりあった場合　　　→天秤で量ったコインを１個と１回目量った時、軽かった 方の天秤のコインを１個取ります。
　　(ii)つりあわなかた場合　→軽い方天秤のコインを２個取ります。
　（例２）軽い方の４個を２個ずつにわけて天秤で量る
　　(i) つりあった場合　　　→天秤で量ったコインを１個と１回目量った時、重かった方の天秤のコインを１個取ります。
　　(ii)つりあわなかた場合　→重い方天秤のコインを２個取ります。

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解答・その10

（ペンネ−ム：haya）

適宜4個ずつの2群に分けて最初の計測をする。

　最初の計測で不平衡の時、重い皿のコインを更に2群に分けて2度目の計測にかける。　それが、
1 平衡だったら、最初の計量の重い皿の任意の1枚と軽い皿の任意の1枚を使う。
2 不平衡だったら、2度目の計測の軽い皿の2枚のコインを使う

　最初の計測で平衡だった時は、
3 上と同様に（どちら側の皿でもよいが）更に2分割して2度目の計測にかけて、
　不平衡であれば、その左右の皿から1枚ずつ取り出して使う。
　平衡であればどちらかの皿の2枚を使う。

【解き方】
Lを僅かに軽い、Hを重いコインとして、天秤の右が下がることを L ＜ H のように書くものとする。
8枚のコインを半分に分けた時のLとHの配分と天秤の傾きは、対称のダブりを排して下の3つのパターンとなる。
　　1.. LLLL ＜ HHHH
　　2.. LLLH ＜ LHHH
　　3.. LLHH ＝ LLHH
1 の場合、右の重い皿のコインを更に半分ずつにしても天秤は平衡を保ったままとなる。
　　HH ＝ HH
この場合は最初の計量の重い皿の任意の一個と軽い皿の任意の一個を組み合わせれば求める組み合わせとなる。

2 の場合、右の重い皿のコインを半分ずつにすると天秤は傾く。
　　LH ＜ HH
となるから、二度目の計量の軽い皿の2枚のコインが求めるものとなる。

3 の場合、最初の計量では平衡しているからどちらの皿を使ってもよいが、2度目の計量では
　　LL ＜ HH
　　LH ＝ LH
の２つの場合に分かれる。
上の不平衡な場合はそれぞれの皿から一個ずつ、 下の平衡している場合はどちらかの皿の2枚を使えば求めるコインの組合せとなる。

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解答・その11

（ペンネ−ム：teki）

１　８個のうち、４個を天秤の両側に２個ずつ載せる。
２　釣り合わない場合は、両側から１個ずつを取って計る。
３　これで釣り合えば、取った２個が重さの違うペアです。
４　釣り合わなければ、天秤に載っている２個が重さの違うペアです。
５　１で釣り合った場合は、片側の２個をもう一方の側に移動し、１で残った４個を空いた側に載せる。
６　これで釣り合えば、移動した２個（又は最初から載っている２個）が重さの違うペアです。
７　５で釣り合わない場合は、両側から１個ずつ取れば、重さの違うペアとなります。

　最初の操作で釣り合った場合の判定方法の問題ですね。
　２個ずつ載せて釣り合うのは、（軽、軽）、（軽、軽）と（重、重）、（重、重）又は（軽、重）、（軽、重）の場合しかないので、この３つのケースを見分ける方法に帰着します。
　で、残りの４個と比較すれば、この３つのケースの見分けができるわけです。

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解答・その12

（ペンネ−ム：MVH）

この解答では, コインの重い方, 軽い方をそれぞれ「重」, 「軽」と書き表すことに します.
まず, 8枚のうち, 好きな4枚を選び, 天秤の左右に2枚ずつ乗せます. そして・・・

�T）つりあった場合.
次の3つの場合のいずれかです.
「重重　重重」, 「重軽　重軽」, 「軽軽　軽軽」.
そこで, さらに, つりあっている天秤の一方にある2枚のコインを1枚ずつ新たに天秤の左右に乗せて・・・
　�@）つりあった場合　→　選んだ４枚のコインのどれか1枚と, 残りの4枚のコインのうちのどれか1枚を取り出せば良い.
　�A）つりあわなかった場合　→　その2枚を取り出せば良い.

�U）つりあわなかった場合.
次の3つの場合のいずれかです.
「重重　重軽」, 「重重　軽軽」, 「重軽　軽軽」.
そこで, さらに, 天秤の左右から1枚ずつコインを取り出し, 新たに天秤の左右に乗せて・・・
　�@）つりあった場合　→　最初の天秤に残っている2枚を取り出せば良い.
　�A）つりあわなかった場合　→　その2枚を取り出せば良い.

以上の方法により, 天秤を2回以下しか使わずに, 重さが異なるコインを1枚ずつ取り出すことができます.

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解答・その13

（ペンネ−ム：転位反応）

下記のように場合分けを行って検討する。
【方法１】任意の２枚のコインを取り出して天秤で重さを比較する
　　起こりうるケースは下記の２通り。
　　(1)　２枚の重さが異なる
　　　　天秤使用１回で題意を満足
　　(2)　２枚の重さが同じ
　　　　残り６枚のコインには、最初の２枚と異なる重さのコインが４枚含まれるが、あと１回の天秤の使用で、目的とするコインを常に特定できるとは限らない。
　∴方法1の方法は不適当

【方法２】任意の４枚のコインを取り出し、２枚ずつ天秤で重さを比較する
　　起こりうるケースは下記の２通り。但し、重さが異なるコインをＡ、Ｂとした。
　　(1)　２枚ずつの重さが異なる
　　　　可能な組合せは、ＡＡ−ＢＢ、ＡＡ−ＡＢ（ＢＢ−ＢＡでも本質的に同じ)の２通り。
　　　　天秤の両方の皿から任意に１枚のコインを取り去り、残ったコインの重さを比べる。
　　　　・２枚のコインが同じ重さのとき
　　　　　ＡＡ−ＡＢ　→　Ａ−Ａ　　(取り除いたコインはＡ、Ｂに確定：題意を満足)
　　　　・２枚のコインの重さが異なるとき
　　　　　ＡＡ−ＢＢ　→　Ａ−Ｂ　　（題意を満足）
　　　　　ＡＡ−ＡＢ　→　Ａ−Ｂ　　(両方の皿からＡを取り除いたとき：題意を満足)

　　(2)　２枚ずつの重さが同じ
　　　　可能な組合せは、ＡＡ−ＡＡ(ＢＢ−ＢＢでも本質的に同じ)、ＡＢ−ＡＢの２通り。
　　　　何れか一方の天秤の皿にある２枚のコインの重さを比べれば、どちらの組合せかを特定できる。
　　　　・ＡＡ−ＡＡの場合：２枚のコインの重さは同じなので、残り４枚はＢと確定
　　　　・ＡＢ−ＡＢの場合：２枚のコインの重さは異なるので、題意を満足
　∴方法２により目的を達成できる

【方法３】任意の６枚のコインを取り出し、３枚ずつの重さを天秤で比較する
　　起こりうるケースは下記の２通り。但し、重さが異なるコインをＡ、Ｂとした。
(1)　３枚ずつの重さが同じ
　　　可能な組合せは、ＡＡＢ−ＡＡＢ（本質的にＡＢＢ−ＡＢＢも同じ）の１通り。
　　　何れか一方の天秤の皿にある３枚のコインのうち、任意の２枚の重さを比べれば、Ａ、Ｂを特定できる。
　　　　・Ａ−Ａの場合：コインの重さは同じなので、残りの一枚はＢと確定
　　　　・Ａ−Ｂの場合：コインの重さは異なるので、Ａ、Ｂと確定
　　(2)　３枚ずつの重さが異なる
　　　可能な組合せは、ＡＡA−ＢＢＢ、ＡＡA−ＡＢＢ（本質的にＡＡＢ−ＢＢＢも同じ）、ＡＡＢ−ＡＢＢの３通り。
　　　コインの重さをＡ＞Ｂとすると、重い方の皿のコインはＡＡＡ、またはＡＡＢである。
　　　３枚のコインのうち任意の２枚の重さを比べても、常にＢを特定できるとは限らない。
　　　また、両方の天秤の皿から任意の２枚のコインを取り去って重さを比べた場合、ＡＡＢ−ＡＢＢのみ、 Ａ、Ｂを常に特定できるとは限らない

　∴方法３は目的を達成できない

【方法４】８枚のコインを４枚ずつに分けて、重さを比較する。
　　起こりうるケースは下記の２通り。但し、重さが異なるコインをＡ、Ｂとした。
(1)　４枚ずつの重さが異なる
　　　　可能な組合せは、ＡＡＡＡ−ＢＢＢＢ、ＡＡＡＢ−ＡＢＢＢの２通りであるが、
　　　　コインの重さをＡ＞Ｂとすると、重い方の皿のコインは、ＡＡＡＡ、またはＡＡＡＢと特定できる。
　　　　さらに、４枚のコインを２枚ずつに分けて天秤で重さを比べる。
　　　　・２枚ずつのコインが同じ重さのとき
　　　　　ＡＡＡＡと特定できて、残り４枚のコインはＢと判明。
　　　　・２枚ずつのコインの重さが異なるとき
　　　　　重い方の皿のコインはＡＡと特定され、もう一方の皿のコインはＡＢと判明。

(2)枚ずつの重さが同じ
　　　　可能な組合せは、ＡＡＢＢ−ＡＡＢＢの１通り。
　　　　一方の天秤の皿にある４枚のコインを２枚ずつに分けて天秤で重さを比べる。
　　　　・ＡＢ−ＡＢの場合：コイン２枚ずつの重さは同じなので、それぞれの皿のコインはＡＢと確定
　　　　・ＡＡ−ＢＢの場合：コイン２枚ずつの重さは異なるので、それぞれの皿のコインはＡＡ、ＢＢと確定。

　∴方法４により目的を達成できる

　従って、題意を満たすのは、方法２、または方法４である。

正解者

haya	転位反応	マシャ
teki	Ryu1128	ちょろんは太太
夜ふかしのつらいおじさん	迷子の雄猫	のっこん
atsuhiro	オヤジ	杖のおじさん
MVH

コメント

この問題を解決するには、起こり得る可能性をもれなく、過不足なく整理して、検証していく必要がありそうですね。
天秤の左右に同じ枚数のコインをのせて比較をしますが、何枚ずつのせればよいか。 転位反応さんが検証してくださいました。２枚ずつ、または４枚ずつですね。 １枚ずつではつりあった時に情報が少なすぎるし、３枚ずつの場合も同様で、コインを特定できません。

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