問題170 正三角形の問題
１辺の長さが30である正三角形ＡＢＣがある。
これを、１辺の長さが１の小正三角形に分割する。
(1) 全部でいくつの小正三角形に分かれますか。
(2) 辺ＢＣ上に、ＢＰ＝１０となる点Ｐをとる。
直線ＡＰによって２つの部分に分けられる小正三角形はいくつあるか。
(3) 辺ＡＢ上に点Ｑを、辺ＢＣ上に点Ｒを、辺ＣＡ上に点Ｓを、
それぞれＡＱ＝ＢＲ＝ＣＳ＝３．３３３となるようにとる。
三角形ＱＲＳの周が通る小正三角形はいくつあるか。
(4) 三角形ＡＢＣを、１辺の長さが１の正三角形（あ）と、
（あ）を図のように２枚くっつけたタイル（い）を用いて、
タイルを重ねることなく覆いたい。
このとき、（あ）のタイルは少なくとも何枚必要になるでしょうか。
問題の出典
広中杯 ハイレベル中学数学に挑戦
講談社
2004年第５回ファイナル問題
解答
解答・その1
（ペンネ－ム：ちょろんは太太）
(1) 三角形内部の水平な線の上下に線の長さと同じ個数の小正三角形があり、
長さ３０の底辺には、上側だけに小正三角形がある。これをすべて加えると、
(1+2+3+･･･+29)×2+30=(29×(1+29))/2×2+30=900
(2) 直線APは、Aから３０段下がって、１０個分右によるのだから、３段下がって、１個分右により、４段目の小三角形の頂点を通る。その間によぎる小正三角形は、４個。それを１０回繰り返すので、直線が通過する小正三角形は、全部で、
4×10=40
(4)このように、色分けすると、白い小正三角形は、
1+2+･･･+29=((29+1)×29)/2=435
黒い小正三角形は、
1+2+･･･+30=((30+1)×30)/2=465
（い）のタイルで、覆うと必ず、白と黒の部分を1つずつ覆う。
従って、（い）をできるだけ多く使うとしても、４３５枚まで。
４３５ヶ所の黒の部分は、（い）で覆うことができるが、
465-435=30
は、（あ）のタイルが必要になる。
解答・その2
（ペンネ－ム：スモークマン）
(1) 1+3+5+...+(2*29+1)=1+3+5+...+59=60*30/2=900 個
面積から...302/12=900 個
(2) 10/59...整数でないので...格段の正三角形２個通る...
最初と最後は1個になるので...2*28+2=58 個
(4) 格段奇数なので...大きい三角形の外側の２頂点はペアでは無理...
30/2=15...2*15=30 枚は(あ)が必要...
で合ってるかな...?
解答・その3
（ペンネ－ム：オヤジ）
（１）
１＋３＋５＋・・・＋（２ｎ－１）＝ｎ２ より 求める個数は、
１＋３＋５＋・・・＋（２×３０－１）＝３０２＝９００
∴ ９００個
（２）
図の正三角形ＡＢＣに、B（０，０），Ａ（０，３０），Ｃ（３０，０）となるような
点Ｔ（ｘ，ｙ）とするｘｙ軸の斜交座標をいれる。Ｐ（１０，０）となるから、
従って直線ＡＰは、
また、小三角形の頂点は、ｘ,ｙともに０以上の整数の格子点となる
線分ＡＰは、１１個の格子点（０，３０），（１，２７）・・・（９，３），（１０，０）を通り
各格子点間で線分ＡＰは、４個の小三角形を通るので、従って
４×１０＝４０
∴ ４０個
（４）
一般に 一辺ｎの正三角形では、（い）は、最高 ｎ(ｎ－１)/2 個、（あ）は、最低 ｎ 個 必要
∵ 
∴ ３０個
解答・その4
（ペンネ－ム：バルタン星人）
答え：
(1) ９００，(2) ４０，(4) ３０
考え方：
１）（１＋２＋・・・・＋２９）×２＋３０＝３０×３０＝９００
別解：相似比３０の２乗で９００
２） 交点を通る上下は１個、それ以外は２個の△を分ける。
線は水平線を１：２に分ける点を通るので長さが３の倍数の時、交点を通る。
（１＋２＋１）×１０＝４０
４）頂点部分を含む△を黒にぬり市松模様に塗り分けると黒が白より３０個多くなるので（あ）は３０個必要
解答・その5
（ペンネ－ム：Ryu1128）
問1
題意は「小三角形」＝「一辺が1の小三角形」と読み回答します。（それ以外の小
三角形の記述が無いので）
回答1
問題は「１辺30の正三角形を１辺１の正三角形に分割」とありますがこれは、
「１辺１正三角形と１辺がその３０倍の正三角形」と同値です。
したがって、「相似形の平面図形は、辺の長さがｎ倍になれば面積はｎの２乗に
なる」が適用できます。
よって、30の2乗で900この小三角形が出来ます。
回答2
一列目 1
二列目 3
三列目 5
四列目 7
・・・
ｎ列目 2ｎ-1
この等差数列の和を求めると（1+（2ｎ-1））×ｎ/2＝ｎ2
回答1と同じ結果となります
因みに（子どもに説明した方法ですが）尖がった正三角形と逆さまの正三角形
に分けると
| 尖がった | 逆さま | |
|---|---|---|
| 一列目 | 1 | 0 |
| 二列目 | 2 | 1 |
| ・・・ | ||
| ｎ列目 | ｎ | ｎ-1 |
この総和なので尖がったほうはｎ（ｎ+1）/2逆さまのほうにｎを足してｎを ひけばｎ（ｎ+1）/2-ｎ
この合計を計算してもｎ2となります。
（差が１の等差数列の和は一番最初に学びますので）
回答３
回答1の派生ですがすこしトポロジカルに考えて正三角形を正方形に変えます 図の数字問題の列（行と言うべきか）に当たります。この図から全体の個 数が辺の倍数の２乗に比例するのが判ります。
考察
この問題は立体に拡張できますね。正４面体で同じ問題を作ると27000個の四
面体になります。立方体で考えると簡単な問題でも見慣れない形になると戸惑うもの
ですね。
問2
先ず、（この文章の中でのみ）三角形及び小三角形の水平部を底辺と呼びます。
他の2辺を斜辺と呼びます。またもとの三角形を大三角形と呼びそれに相似な三角形を中
三角形と呼びます。
線分ＡＰが小三角形の頂点を通る場合はその頂点の上下段は小三角形を一つしか分け
（切り）ません。頂点を通らない場合斜辺を切るので斜辺を切った段では2個の小三
角形を切ります。（大三角形の内部（0＜ＢＰ＜ＢＣ）では同じ段の隣り合った小三
角形は斜辺を共有しているので）
線分ＡＰが、何回頂点を通るかを計算すると上記から分けられる（切られる）小三角
形が分ります。
基本的には全ての段で斜辺が切られるとすればｎ段（今回は30ですが）あれば2ｎ個
の小三角形が切られることになります。ところが上記の通り小三角形の頂点を通る場
合斜辺が切られないので頂点を通るたびに切られる個数が2個ずつ減ることになりま
す。
特に最上段と最下段が頂点を通る場合は合わせて2個減ると考えると一般化しやすい
と思います。
ΔＡＢＰと大三角形の斜辺とｉ段目の底辺の交点をＢ´としｉ段目の底辺の交点と線
分ＡＰとの交点をＰ´とします。ΔＡＢＰとΔＡＢ´Ｐ´は相似です。
さらにＢ´Ｐ´が自然数になる場合線分ＡＰは小三角形の頂点を通ります。
その自然数を探すために少し計算します
ＡＢ：ＢＰ＝ＡＢ´：Ｂ´Ｐ´＝30：10・・(1)
Ｂ´Ｐ´＝ＡＢ´×ＢＰ/ＡＢ＝ＡＢ´×ＢＰ/ｎ＝ＡＢ´×10/30＝ＡＢ´×1/3・・・(2)
Ｂ´Ｐ´が自然数となるのはＡＢ´が3の倍数でありその数は（最上下段を合わせて1
とすると）30/3＝10です。
（ここでＢ´Ｐ´が自然数となるのは(2)の右辺を既約分数にし、その分母に注目し
ます。したがってＡＰ＝20の場合と結果は同じになります）
切られる数は斜辺が全て切られる場合より10×2＝20減るので30×2-20＝40でこの
場合の回答は40となりました。
この問題の題意は、何個の小三角形を切れるかという
より頂点を何回通るのかという事だった気がします。
ＡＰが自然数でｎ段の三角形の場合で考えると頂点を通る回数は最上下段合わせて
1とすると
Ⅰ ｎ（この問題ではＡＢ）が素数の場合1・・上下段しか頂点は通らない
Ⅱ ｎ合成数の場合 因数により
因数にＡＰを含む場合は頂点を通る。通る回数はｎ/ＡＰの既約分数の分母でｎを割った数。
因数にＡＰを含まない場合（ＡＰとｎが互いに素）は上下段しか頂点は通らない。Ⅰと同じ
さて、どんな大きなｎを選んでも1＜ＡＰ＜ｎ-1を適当に選べば決して小三角形の頂
点を通らないようなＰを選ぶことは可能でしょうか。（なにかεδのようになってし
まいましたが）・・・。
この答えは不可能です。
ｎを素数列の積に選べば、ＡＰ（1＜ＡＰ＜ｎ-1）の素因数は必ずｎの中に含まれる
のでｎとＡＰが互いに素とはならないからです。
逆に、ｎがどんなに大きくとも素数に選べばＰをどこにおいても、上下段以外の小三
角形の頂点は通りませんね。
蛇足ですが、ｎが偶数の場合、切る三角形を最小にするのはＡＰ＝ｎ/2（つまり中
央）でその数はｎになることは自明です。
解答・その6
（ペンネ－ム：T_Tatekawa）
(1) 水平方向に輪切りにした台形を考えると，
上辺の長さと下辺の長さの和が小正三角形の数に比例する．
1+(1+2)+(2+3)+...+(29+30)
= 29 x (29+1) + 30
= 900 (=302)
(3) まず三角形 AQS, BRQ, CSR について，
AQ=BR=CS，SA=QB=RC，角A=角B=角C なので，
これらの三角形は合同である．
よって，三角形QRSの一辺が通る小正三角形の数を数え，3倍すればよい．
辺QR に着目する．
点Qは「30段」の上から4段目に位置する．直線QRの傾きは辺ABより急である．
また線分QRは正三角形の頂点と交差しない．
点Qを含む段を除いて，1段通るごとに小正三角形を2つ通る．
点Qを含む段は小正三角形を1つ通る．
よって，線分QRが通る小正三角形の数は
(30-4)x2 + 1 = 53個
線分RSを考えると，一番下の段の2つの小正三角形は線分QR，線分RSが両方とも
通る．重複度を考慮して3倍すると，求める答えは
(53-2) x 3 = 153個
(4) 元の正三角形で，点Aを含む小正三角形を黒く塗る．次にこの小正三角形に
隣接する小正三角形を白く塗る．以後，白く塗った小正三角形に隣接する
小正三角形を黒に，黒く塗った小正三角形に隣接する小正三角形を白にする．
塗り終わったところで辺ABの側から水平方向右側に各段を見ていくと，
黒，白，黒，白...と小正三角形が並ぶ．そして辺CAと辺を共有する
小正三角形が全て黒くなる．
言い換えると，（あ）の向きの小正三角形は黒，上下逆さの小正三角形は白で
ある．
（い）を上半分を黒，下半分を白にして，塗ったところに重ねていくと，
最終的に黒の小正三角形が30個のこる．
よって（あ）は少なくとも30枚必要．
解答・その7
（ペンネ－ム：のっこん）
（1）小三角形とＡＢＣの相似比は1：30だから面積比は1：900
よって小三角形は全部で900個
（2）1辺の長さが3である正三角形Ａ´Ｂ´Ｃ´を考える
辺Ｂ´Ｃ´上にＢ´Ｐ´=1となる点Ｐ´をとると直線Ａ´Ｐ´によって
4個の小正三角形が2つの部分に分けられる
※この時、Ａ´Ｐ´は4本の直線と交わることに注意する
この際、格子点（小三角形の頂点）においては1本の直線と交わるものとみなす
よって1辺の長さが30である正三角形ＡＢＣにおいては
4×10=40個の小三角形が2つの部分に分けられる
（3）Ａ（0、15√3）、Ｂ（0、0）、Ｃ（30、0）とし、
（3、0）をＶ、（4、0）をＷ、（7/2、√3/2）をＸ、（9/2、√3/2）をＹとする
ＲＳの場合について考える
Ⅰ 傾きが-√3の直線とＲＳ
ＲＳは（4、0）、（5、0）、（6、0）、・・・・、（29、0）、（30、0）を通る直線と交わる・・・・27本と交わる
Ⅱ 傾きが√3の直線とＲＳ
ＣＡ上に点ＴをＣＴ=4となるようにとると Ｔを通る傾き√3の直線は（26、0）を通るから、
ＲＳは（4、0）、（5、0）、（6、0）、・・・・、（25、0）、（26、0）を通る直線と交わる・・・・23本と交わる
Ⅲ 傾きが0の直線とＲＳ
ＲＳはy=√3/2、√3、3√/2と交わる・・・・3本と交わる
あわせて53本の直線と交わる
（ＲＳが交わる直線の数）=（ＲＳが通る小三角形の数）だから、ＲＳは53個の小三角形を通る
Ⅳ 重複についての検討
Ｒ近辺について考える
１）ＱＲ、ＲＳともに△ＸＶＷを通る
２）ＱＲが辺ＸＷと交わるならばＱＲ、ＲＳともに△ＸＷＹを通る
ＲＸの延長とＡＢとの交点のx座標は1111/222=5.0045・・・、
Ｑのx座標は 15-1.6665=13.3335 だから
ＱＲは辺ＸＷと交わる
よってＲの近辺においてはＱＲとＲＳがともに通る小三角形が2個あることになる
ＱＲ、ＳＱともに53個の小三角形を通り
Ｑ近辺、Ｓ近辺でも直線が2本通る小三角形が2個あるから
ＱＲ、ＲＳ、ＳＱが通る小三角形は全部で （53-2）×3=153個
※ＱＲ、ＲＳ、ＳＱとも格子点を通らないが、それについての説明は省略する
（4）Ａを含む小三角形を白、それと隣りあう下向きの小三角形を黒、
その左右を白というように市松模様に塗り分けると
白は全部で1＋2＋3＋・・・・＋30=465
黒は全部で1＋2＋3＋・・・・＋29=435
よって（あ）が少なくとも465-435=30枚必要
解答・その8
（ペンネ－ム：杖のおじさん）
(1) 上段から１，２，３、・・・２９，３０と１，２，３、・・・２８，２９個
の正三角形がありますので合計します。
（１＋３０）×３０÷２＋（１＋２９）×２９÷２＝１５×６０＝９００個です。
(2) ＢＣ＝３０ＢＰ＝１０である。この比率で通る直線は３段目の左側から１番目を通ります。
６段目の左側から２番目を通ります。そうなると２つに分けられる正三角形は３段当たり４個と分かります。
これを計算します。
３０÷３×４＝４０個です。
(3)（直線ＱＲが横切る辺ＡＣと平行な直線＋辺ＡＢと平行な直線＋辺ＡＣに平行な直線―（重複した線三角形の数）×３で計算します。
下の図は５段目までの図で黄色い部分が重複して数えますので差し引きます。
２６＋２６＋３－２＝５３になります。
３辺ありますので３倍します。すると３か所の２つがダブル計算になりますので
その分を引きます。
５３×３－（３×２）＝１５３
(4) いのタイルは最終段の数だけ使用しますので３０段で終わりますので３０枚使用となります。
解答・その9
（ペンネ－ム：転位反応）
(１)
小正三角形と正三角形ＡＢＣの相似比は１：３０なので
それらの面積比は、１：９００
∴小正三角形の数は９００
(２)
正三角形ＡＢＣの頂点Ａから３段目までの正三角形ＡＤＥを考える。
正三角形ＡＤＥと正三角形ＡＢＣの相似比は１：１０なので
直線ＡＰは、辺ＤＥ上の点でＤＱ＝１を満たす点Ｑを通る。
さて、正三角形ＡＤＥについて、直線ＡＰによって二つの部分に分けられる小正三角形は４個ある。
∴正三角形ＡＢＣについては、４×１０＝４０
(３)
求める小正三角形の数は、三角形ＱＲＳの周が小正三角形の頂点を通過するかどうかによって決まる。
下記のような非直交座標系をとると、その交点は小正三角形の頂点と一致し、
直線ＱＲの式は、ｙ＝－（２６．６６７／３．３３３）x＋２６．６６７
X=1 y≒18.7
X=2 y≒10.7
X=3 y≒2.7
よって、直線ＱＲは正三角形ＡＢＣの上部４段目から３０段までを通過するとき、
４段目については、ひとつの小正三角形を通過し、
５段目から３０段については、一段について二つの小正三角形を横切るため、
直線ＱＲについて題意を満たす小正三角形の数は、
（３０－４）×２＋１＝５３。
直線ＲＳ、ＳＱについても、その相対的な位置関係は直線ＱＲと同じであることから、
題意を満たす小正三角形の数は何れも５３。
但し、頂点Ｑ、Ｒ、Ｓ近傍で各２つずつ重複して数えているため、
５３×３－６＝１５３
∴三角形ＱＲＳについて１５３
ｘ＝１，２，３に対して、yは整数値を取らないので、直線ＱＲは小正三角形の何れの頂点も通らない。
よって、直線ＱＲは正三角形ＡＢＣの上部４段目から３０段までを通過するとき、
４段目については、ひとつの小正三角形を通過し、
５段目から３０段については、一段について二つの小正三角形を横切るため、
直線ＱＲについて題意を満たす小正三角形の数は、（３０－４）×２＋１＝５３。
直線ＲＳ、ＳＱについても、その相対的な位置は直線ＱＲと同じであることから、
題意を満たす小正三角形の数は何れも５３。
但し、頂点Ｑ、Ｒ、Ｓで重複して数えていることを考慮して、５３×３－３＝１５６
∴三角形ＱＲＳについては１５６
(４)
正三角形ＡＢＣを以下のように色分けすると、
黒の小正三角形は、（１＋３０）×１５＝４６５枚
白の小正三角形は、 ９００－４６５＝４３５枚
さて、(い)のタイルで正三角形ＡＢＣを覆うことができるとすると、
黒と白のタイルは同数となるはずである。
ところが、黒が４６５－４３５＝３０枚多いので、(あ)のタイルは３０枚必要となる。
∴少なくとも３０枚
解答・その10
（ペンネ－ム：haya）
(1) 全部で900個の小三角形に分かれる
(2) 直線APによって2つの部分に分けられる小三角形の数は40個
(3) 三角形QRSの周が通る小三角形の数は153個
(4) 必要な(あ)のタイル数は30個
【解き方】
(1) 
(2) 下の(4)の(い)のタイルを右斜め上にもう一個繋いだ平行四辺形を単位として、一番上の点と
下の点を結ぶ図形が３段目毎に繰り返され、それぞれ４個の三角形を横切っているから、
4x30/3=4x10=40
(3) 作図すると、三辺はどの小三角形の頂点とも交わらず一辺につき53個の小三角形に関係している。
単純に3倍すると、頂点のある小三角形と直近の小三角形で2重に数えられることになるのでそれを補正して、
53x3-2x3=153
(4) 上から順に「い」で隙間なく敷き詰めることができるが、
最下段の正立の小三角形30個のみ「あ」を使う必要があるから、30個
解答・その11
（ペンネ－ム：falcon@中学教師）
＜答え＞
（１）９００個
（２）４０個
（３）１５３個
（４）３０枚
＜考え方＞
（１）上の段から1個、３個、５個・・・と増えていきます。
30段目には三角形の個数が５９になるのでそれを全て足し合わせると９００個となります。
（２）直線ＡＰは3段ごとに小三角形の頂点を通過します。
その3段の間に２つの部分に分けられる小三角形は４個あります。
全体では３０段なのでこのくり返しが１０回あると考えて、
２つの部分に分けられる小三角形は10×４＝４０個となります。
（３）三角形ＱＲＳの各辺は小三角形を１＋２×２６＝５３個通ります。
単純に三角形ＱＲＳの辺の数から３倍して１５９個。
これでは端々で重複して数えてしまう小三角形が２個ずつあるので、そのぶんを引いて１５３個。
（４）いろいろなやり方で考えてはみましたが、３０枚より少なくくが思いつかなかったです。
解答・その12
（ペンネ－ム：teki）
＜解答＞
１ ９００個
２ ４０個
３ １５３個
４ ３０枚
＜解法＞
１ ３０段あるので３０２＝９００個。（別解として、面積が９００倍になるので９００個。）
２ ３段の正三角形を考えれば、４個が分割され、格子点を通るので、4/3×３０＝４０個。
３ 与えられた数値が中途半端（3/10でも1/3でもない）なので、おそらく
線分ＱＲ、ＲＳ、ＱＳ上に格子点はないだろうと思いましたが、検証が
できず、悩んでました(^^;;
で、仕方なく背理法による方程式で証明することにしました。
線分ＱＲ上に格子点があると仮定し、これをＴとすると、ＡＢ上にＢＣと
ＵＴが平行になるような点Ｕを取ると、点Ｕも格子点になります。
ＡＵ＝ｘ、ＵＴ＝ｙとおくと、三角形の相似から、以下の式が成立します。
２６．６６７÷３．３３３＝（ｘ－３．３３３）÷ｙ
変形して、３．３３３ｘ－２６．６６７ｙ＝３．３３３２
ｘ、ｙは整数なので、これは矛盾です。
よって、ＱＲ上に格子点はありません。
ＲＳ、ＱＳ上も同様に格子点はありません。
さて、線分ＱＲとＡＢ、ＢＣ、ＣＡに平行な線分との交点の数は、それぞれ
３、２６、２３で合計５２個ですので、
ＱＲに分割される三角形の数は５２＋１＝５３個です。
ＲＳ、ＱＳも同様に５３個の三角形を分割しますが、それぞれの頂点付近
では、２つの線分によって分割される三角形が２個ずつあります。
よって題意の個数は、５１×３＝１５３個。
４ 最下段を（あ）の図形で埋めてしまえば、後は（い）の図形で埋めることができる
ので３０個。（市松模様に埋めてしまえば、これが最小であることもわかります。）
解答・その13
（ペンネ－ム：SOU）
x軸を底辺y軸を左側の斜辺として見ます。
(1)
三角形の面積は450 なので、面積1/2 の三角形は 900//
(2)
直線AP の方程式は
y=-3x+30
で、格子点を通る。格子点からyが3動くと4つの三角形を分断するので 40//
(3)
直線QR の方程式は
y = -(26.667/3.333)x + 26.667
となるがこれはこの三角形の中で整数解を持たないので、
yが1動く度に必ず2つの三角形を分断する。従ってQRは
26*2 + 1 = 53
の三角形を通る。また、頂点付近で2つの直線が2つの三角形を
共有しており他の2本の直線の分と重なるので、
53*3 - 2*3 = 153 //
(4)
△を▲として、▽と色を分ける。(い)の図形はこの2つの三角形が組になっている。
▲は▽よりも30個多いので、どんな取り方をしても、少なくとも30個の▲はペアが作れず余る。//
解答・その14
（ペンネ－ム：夜ふかしのつらいおじさん）
（１）
相似の関係にある図形の面積は対応する長さの2乗に比例します。
一辺の長さが1の小三角形の面積を基準とすると一辺が30の大三角形の面積は、302=900 倍です。
よって、小三角形は900個あります。
（２）
AB：BP＝3：1なのでAPは右の図のようになっています。
上から3段目までで2つの部分に分けられる小正三角形は4個あります。
よって4×10＝40個です。
（３）
小三角形の底辺の左端から下に8個小三角形分左下に下がり底辺の右端を結ぶ線を引きます。
１つ横線を下がるにつれ底辺は1／8(＝0.125)ずつ増えていきます。（赤で表示）
点Qがある小三角形においてQRが底辺のどの位置を横切るかを調べます。
すると、底辺の左から
のところを横切ることがわかります。
をいくつ足しても整数にはなりません。
線分QRが横線を1本横切ると小三角形2個を通ることになります。
Qを含む小三角形は上から4個目めの横線が底辺になるところにあります。
そこから29個目の横線が底辺になる小三角形まで横線は29－4＋1＝26本あります。
よってQRが横切る小三角形は2×26＋1＝53個あります。
次にQRを考えますが、図の青の小三角形と赤○をつけた小三角形が重なっています。
よって、三角形QRSが横切る小三角形は3×(53－2)＝153個になります。
（４）
上から菱型で隙間なく覆っていくと一番下のところで30個の小三角形が残ります。
最下段の左端の小三角形を菱型で覆うと下から2段目のところで半端の小三角形ができます。
半端な小三角形を他の小三角形とつなげて菱型をつくるといままで菱型だった部分を崩してしまいます。
この半端な小三角形をつなげることができないので30個の小三角形を減らすことができません。
（あ）の小三角形は30個必用です。
解答・その15
（ペンネ－ム：迷子の雄猫）
(1)上向きの三角形が1,2,3,4, ..... ,29,30枚
下向きの三角形が0,1,2,3,4, ..... ,29枚
下向きの三角形を逆から数えて 29,28,27,26, .... , 1, 0枚、
上向きの三角形が 1, 2, 3, 4, .... ,29,30枚。
上下を加えて30,30,30,30,30 ...... が合計30組。
よって30*30=900枚。
(2)頂点Ａをとおり、辺ＢＣ上の、ＢＰ＝１０となる点Ｐをとおるのだから、
３段分降りるごとに辺ＡＢから１だけ（距離を水平に計ると）離れていくことに
なる。
よって、３段分降りるごとに順に１，２，１個の小正三角形を通るので、合計
４０個。
(3)４段目の途中から３０段目まで線がとおり、５段目から２９段目までは２個
の小三角形を通るので、５０個＊３＋３で１５３個。
三角形ＱＲＳが、頂点を通らないという証明
辺ＡＢをＹ軸、辺ＢＣをＸ軸、点Ｂを原点となるように座標変換する。
点Ｑの座標は (x,y)=(0,30-3.333)=(0,26.667)
点Ｒの座標は (x,y)=(3.333,0)
点Ｓの座標は辺ＡＣをAS:SC=26.667:3.333に内分する点であるから (x,y)=(26.667,3.333)
直線ＱＲの方程式は ｙ＝ -8.000900090009 x + 26.667
直線ＲＳの方程式は ｙ＝ 0.14283877603497 x +-0.47608164052456
直線ＳＱの方程式は ｙ＝ -0.87501406232422 x + 26.667
どの方程式も、すくなくとも0≦x≦30の範囲内ではx,yがともに整数となる解を持
たない。元の図でいう正三角形の頂点は、座標変換後のx,yがともに整数となる
点になるので、直線ＱＲ、直線ＲＳ、直線ＳＱはともに、元の図でいう正三角形
の頂点を通ることは無い。
(4) タイル（い）を用いると問題(1)で数えた上向きの三角形と下向きの三角形
とを両方覆うことになる。
よってその差と同じ30個のタイル（あ）が必要となる。
正解者
| teki | スモークマン | haya |
| T_Tatekawa | 迷子の雄猫 | falcon@中学教師 |
| のっこん | 転位反応 | 夜ふかしのつらいおじさん |
| Ryu1128 | 杖のおじさん | SOU |
| オヤジ | ちょろんは太太 | バルタン星人 |
コメント
特に今回は、(3)が難しかったですね。頂点の近くで、三角形ＱＲＳが小三角形を２回通る場合がありますので、
重複を考慮しなければなりません。
また、三角形ＱＲＳが頂点を通らないということを確認する必要もありますね。
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