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問題159 正方形の問題
Weekend Mathematics問題/問題159 正方形の問題

問題159 正方形の問題

下の長方形ABCDの面積を求めてください。 ただし、長方形の中の24個の□はすべて1辺が1cmの正方形です。




問題の出典

算数オリンピックに挑戦
算数オリンピック委員会編
講談社ブルーバックス
2007年トライアル問題

答えと解説

解答・その1

(ペンネ−ム:再出発)


答は 36cm2


解答・その2

(ペンネ−ム:浜田 明巳)

グラフ作成ソフトGRAPEで解答した. 直線ABは,直線UVとなるので,この方程式をf(x)=2x+2とする.
直線CDは,直線PQとなるので,この方程式をg(x)=2(x−2)とする.
AB⊥BCから,直線BC,ADの傾きは−1/2となる.
直線BCの方程式をh(x)=−x/2とする.
直線ADの方程式をf1(x)=−(x−6)/2+6とする.
Aのx座標は,方程式f(x)=f1(x)の解,
Bのx座標は,方程式f(x)=h(x)の解,
Cのx座標は,方程式g(x)=h(x)の解,
Dのx座標は,方程式g(x)=f1(x)の解 となるので,A〜Dの座標を計算で求められる(sol関数).
ABの長さ(len関数)とBCの長さの積が求める面積である.
答は36cmである.



解答・その3

(ペンネ−ム:オヤジ)


長方形内に有る24個の正方形の余白にできる、相似な直角三角形の大きいほうの鋭角を とすると、
  

AD= ・・・(T)
AB= ・・・(U)

(T),(U)より
  S=AD×AB=

∴ 36cm2


解答・その4

(ペンネ−ム:迷子の雄猫)

長方形の辺BC上で、長方形の中の24個の□と接している点をE、 長方形の辺CD上で、長方形の中の24個の□と接している点をF、 頂点Cから直線EFにおろした垂線の足をPとする。
長方形の中の24個の□の辺が、X・Y軸と平行になるように、X・Y軸を定める。 このとき、長方形の中の□と接している具合から考えて、 辺CDはX軸の正方向に1単位移動すると、Y軸の正方向に2単位移動するように 傾いているので、辺BCはX軸の正方向に2単位移動すると、 Y軸の負方向に1単位移動するように傾いているということになる。

このことより、PF、PC、EPの長さについて、以下の式が成り立つ。
  PF:PC=1:2
  EP:PC=2:1
  EP+PF=4

これを解いて
  PC=2PF
  2PC=EP
  2PC=4PF
  EP=4PF
  EP=4-PF
  4PF=4-PF
  5PF=4
  PF=4/5
  PC=8/5

よって三角形ECFの面積は4*(8/5)/2=16/5
頂点B,D付近の三角形も、三角形ECFと相似であるので、
(底辺が半分、高さが半分なので面積が1/4)面積は4/5

頂点付近の三角形の面積(16+4)*2/5=8
辺AB,CD上にある三角形4個の面積4*(1*2/2)=4
長方形の中の24個の□の面積24
長方形ABCDの面積は、上記の面積の合計36


解答・その5

(ペンネ−ム:長崎島原かがみ)

三平方の定理を利用すると
長方形の長い方の辺は , 短い方の辺は となるので,
面積は36cm2になる。

【答】 36cm2


解答・その6

(ペンネ−ム:スモークマン)

残りの部分を中の正方形に相当するように数えればいいと...
10個分+2個分*3=16個、中に24個あるので...
   2*2+((2/√5)2+(4/√5)2)*2+24=4+8+24=36 cm2
になるのかな...^^?


解答・その7

(ペンネ−ム:杖のおじさん)

答え 36cm2 です。



図を挿入して下さい A図の赤色部分の面積=2p×4p=8cm2
B図の青色部分の面積=1p×2p×2=2cm2
C図の黄色部分の面積=4p×2p×3=24cm2
合計ABCDの長方形の面積=8cm2+2cm2+24cm2=36cm2

D図は赤色部分の面積が4p×2p=8cm2の半分である証明です。
線分ADと接する点をGとする、Gから線分EFに垂直に下した交点をHとする。
面積ΔEGF=面積ΔEAG+面積ΔDFGの証明
 ∠EAG=∠EHG==∠GDH=90°ど直角です。
 ΔEAGもΔDFGも三角形の高さはGHで同じです。
 ΔFDG=ΔFHGも一辺GFが同じで合同です。
従って面積ΔEGF=面積ΔEAG+面積ΔDFGであることが証明できます。


解答・その8

(ペンネ−ム:巷の夢)

今、右図に示す様に長方形の辺ADとBC各々に平行な辺EHとFGをそれぞれ引く。
又、辺ABとCD各々に平行な辺IKとJLを引く。即ち、4本の赤線となる。
ここで平行な辺の錯角は等しいので、△AEJ≡△LJE又、△DJH≡△LHJである。
即ち、△AEJ+△DJH=△EJH=(1/2)・長方形EJHM=(1/2)・8=4となる。△GIFについても全く同様な考察から面積は4となる。
又、長方形EFGH内に於ける4個の三角形の面積は各々1であるから、合計で4となる。
因って、求める長方形の面積は、24+4+8=36である。


解答・その9

(ペンネ−ム:マオ)

解答:36 cm2

図の4点P,Q,R,Sを結んでできる四角形PQRSにおいて、 PQ,QRはそれぞれ隣辺が1:2の直角三角形の斜辺にあたるので、 長方形PQRSは正方形である。
その面積は1辺1cmの正方形16個分 + 底辺1cm,高さ2cmの三角形4個分なので 16+4=20 となる。
よって、正方形PQRSの1辺の長さをaとすると(PQ=QR=a)、a×a=20 … (※1)
△TPSにおいてその面積は、TS×TP÷2 = 2×4÷2 = 4
PSを底辺に考えたとき、高さはAPとなるので、AP=bとすると(同様にQB=b)、
PS×AP÷2 = a×b÷2 = 4
よって、a×b = 8 … (※2)

長方形ABCDの面積は、AB×BC = (AP+PQ+QB)×BC = (b+a+b)×a = a×b + a×a + a×b (※1),(※2)より = 8 + 20 + 8 = 36




解答・その10

(ペンネ−ム:シュレーディンガーの三毛猫)

答:36(cm2)
■解法
<方針> 
・相似比を用いて三角形の部分の面積を求める。
長方形ABCDと、24個の正方形の塊とに挟まれてできる8つの三角形について考える。
これらがすべて直角三角形となっていることは図から明らかである。 ・・・(1)
また、どの直角三角形も、自らの作る辺を含む長方形ABCDの辺上の異なる2点において それぞれ別の2つの直角三角形と接しており、同時に正方形の1頂点とも接している状態にある。
ここでこの接点の一つをとると、この点は正方形の頂点と接しているので、 正方形を挟む2つの直角三角形の2角の和は
   180-90=90(度)
となる。 すなわち、この接点を共有する2つの直角三角形の角のうち、一つの三角形の頂角の角度を仮に「●」とおき、 もう一つの直角三角形の接する頂角の角度を仮に「×」とおくとすると、
「●」+「×」=90(度)である。 ・・・(2)
一方、三角形の内角の和は180度なので直角でない残りの内角の和は90度となるため、 (2)より、接点の頂角が「●」のとき、同じ三角形の余りの角は「×」。 逆に接点の頂角が「×」のときは余りの角は「●」となることが分かる。
ところで、はじめに述べたように、この関係は長方形ABCDの辺上のどの三角形の頂点についても成り立っているので、 8つの直角三角形の、直角でない2角の角度はそれぞれ「●」および「×」となる。・・・(3)
(1)、(3)より、8つの直角三角形は互いに相似である(二角相等)。 ・・・(4)
さらに図より、長方形ABCDの頂点を含まない4つの直角三角形は直角を挟む二辺の長さがそれぞれ1cm、2cmと 等しくなっており、これらの4つの直角三角形は互いに合同で、面積はそれぞれ
   1×2÷2=1 (cm2
であり、斜辺の長さは三平方の定理より、
   √(12+22)=√5 (cm) ・・・(5)
また、長方形の頂点Aまたは頂点Cを含む2つの直角三角形は斜辺がそれぞれ4cmと互いに等しく合同であり、・・・(6)
同様に頂点Bまたは頂点Dを含む2つの直角三角形も斜辺がそれぞれ2cmと互いに等しく合同である。・・・(7)
さて、(4)より、(5)(6)(7)で挙げた三角形の組の斜辺の相似比はそれぞれ
   √5:4:2
となるので、面積比は各々2乗して
   5:16:4
となる。 (5)で挙げた直角三角形の面積が1cm2 だったので、5で除するとcm2単位での面積比
   1:(16/5):(4/5)
を得る。 8つの直角三角形の面積の和は
   1×4+(16/5)×2+(4/5)×2=12(cm2)
ここに正方形24個の面積24cm2を足して、 長方形ABCDの面積を
   12+24=36(cm2)
と得る。


解答・その11

(ペンネ−ム:URU)

底辺=1 高さ=2 に対する斜辺の長さは√12+22=√5 であるので空白箇所の三角形の三辺比率は1:2:√5である。
辺A-B=4/√5+√5+√5+4/√5
   =2√5+8/√5
   =(10+8)/√5
   =18/√5
辺A-D=8/√5+2/√5
   =(8+2)/√5
   =10/√5

長方形ABCD=18/√5×10/√5
     =180/5
    A=36cm2となる。




解答・その12

(ペンネ−ム:falcon@中学教師)

36cm2

<考え方>
24個の□の周りにできている直角三角形は全て相似であり、直角を挟む2辺の比は1:2。 大きさが3種類あるので、大きい方からL,M,Sと名前をつけておく。(図1参照)


LとSの相似比は2:1であるため、直角を挟む2辺の比が1:2であることから、 LとSを2つずつ組み合わせることで、縦2p、横4pの長方形L&Sを作ることができる。(図2参照)
また、Mを2つを組み合わせて縦2p、横1pの長方形M&Mを作ることができる。(図3参照)


したがって、

長方形ABCDの面積=□24個の面積 + L&Sの面積 + M&Mの面積 × 2
              =24cm2 + 8cm2 + 2cm2× 2
              =36cm2


解答・その13

(ペンネ−ム:T_Tatekawa)

解答1
添付の図のように,正方形以外のところに着目します.
矢印で示した四つの直角三角形は,直角を挟む辺の長さが 1cm, 2cm です.
4つ合わせて面積は 1x2 / 2 x4 = 4 cm2 です.
後は青い点と赤い点を打った三角形を考えます.
これらの三角形で,直角以外のところに着目します.
例えば線分ADの途中で正方形が接する事により,二つの三角形が区切られる 訳ですが,この接点で向かい合う二つの三角形の角の角度の和は90度です. すると,線分ADを含む三角形で,線分AD上にないそれぞれの角の角度の和も 90度という事になります. つまり,頂点Dを含む小さい三角形を平行移動し,頂点Dと頂点Aを重ねると, 大きな直角三角形が出来ます.この直角三角形の,直角を挟む部分の辺の 長さは 2cm, 4cm です. 線分 BC の側の二つの三角形も同様に考えます. 青い点と赤い点を打った三角形の面積の合計は,
  2x4 / 2 x 2 = 8 cm2
です.
もともと面積が分かっている正方形の面積を足すと,全体の長方形の面積が わかります.
  24 + 4 + 8 = 36 cm2

解答2
添付の図の矢印で指し示した三角形は,直角三角形です.
斜辺の長さは √(12+22) = √5 cm です.
次に青い点,赤い点を打った三角形を考えますと,これらの角は矢印を つけた三角形の角の一つと,直角を挟んで向かい合います.
青い点,赤い点を打った三角形は長方形の頂点の一つを含むので, これらは直角三角形です.
すると,青い点,赤い点を打った三角形は,矢印で指し示した三角形と 相似になります.
相似比は
  青い点の三角形:矢印の三角形:赤い点の三角形= 4 : √5 : 2

線分ADの長さは
  4 x 2/√5 + 2 x 1/√5 = 10/√5 = 2 √5 cm

線分ABの長さは
  2√5 + 4 x 1/√5 + 2 x 2/√5 = 18/√5 cm

よって長方形の面積は
  18/√5 x 2√5 = 36 cm2


解答・その14

(ペンネ−ム:のっこん)

AB上の3点をAに近い方からP,Q,R, BC上の点をS, CD上の3点をCに近い方からT,U,V, DA上の点をWとする

(1)PQを斜辺とする直角三角形とQRを斜辺とする直角三角形をあわせると
 1×2=2(cm2)の長方形になる

(2)同様に TUを斜辺とする直角三角形とUVを斜辺とする直角三角形をあわせると
 1×2=2(cm2)の長方形になる

(3)PQを斜辺とする直角三角形と△RSBは相似で、相似比は√5:2、面積比は5:4となるから  △RSBと△VWDをあわせると
 2×4/5=1.6(cm2)の長方形になる

(4)△RSBと△WPAは相似で、相似比は1:2、面積比は1:4となるから △WPAと△STCをあわせると
 1.6×4=6.4(cm2)の長方形になる

よってABCDの面積は 2・2+1.6+6.4+24=36(cm2)


解答・その15

(ペンネ−ム:三角定規)

【解答】
図の水色の部分の面積は,正方形 8 個分
図の緑色の部分の面積は,正方形 4 個分
黄色の正方形が 24 個あるから
長方形 ABCD の面積は 36 cm2…[答]


解答・その16

(ペンネ−ム:バルタン星人)

36cm2

考え方:
正方形を囲む8個の△は全て相似で直角を挟む辺が1:2の直角三角形
上下の4個の直角△を合体させると長方形になり
その面積は2×4の長方形の半分の2倍すなわち8cm2になる。
真ん中の直角△4個の面積は各1cm2で4cm2
正方形24cm2に足すと36cm2


解答・その17

(ペンネ−ム:転位反応)

長方形ABCDの辺AD、BCに対して平行に、線分EH、FG、IJを引くことができる。
長方形FIJGの面積は△FIGの面積の2倍であることから、
長方形FIJGの面積は、(5×2÷2)×2=10
同様に、長方形EFGHの面積は10

一方、
長方形AEHDの面積は△EHLの面積の2倍であることから、
長方形AEHDの面積は、(4×2÷2)×2=8
同様に、長方形IBCJの面積は8
∴長方形ABCDの面積は、10+10+8+8=36


解答・その18

(ペンネ−ム:teki)

答え   36cm2
正方形24個からはみ出た部分の面積を考えます。
図のCの部分は、計算が簡単で、1cm2です。(1×2÷2)
これが4つで、4cm2
問題は、AとBの部分ですが、面白い方法で計算できます。
AもBも同じですが、これらを4つ並べると、真ん中に穴の開いた正方形ができます。
この形、weekend mathematicsの常連には、懐かしい形で 真ん中の正方形は全体の面積の1/5になりますね。
で、残りの部分の合計は、丁度8cm2となります。
元の24cm2と合わせて、24+8+4=36cm2です。



解答・その19

(ペンネ−ム:やなせ)

解法その1
図1のように補助線を引いてからですが、同じ色の三角形を移動させれば 1cmの正四角形の集まりに収まることが解る。後はその数を数えるだけで 千鳥模様の正四角形を数えると36個有ることが解る。
答え  36cm2

図を書いて印刷しハサミでチョキチョキしましたけど でも、これって数学的解法?

解法その2(右図参照)
直角三角形 (1.2.3.4)は同型。 (7.8)は同型。 (5.6)は同型になる。
また直角三角形(1.7.5)は相似形になり、さらに三角形(5)の面積は(7)の1/4で有るのが解る。
直角三角形 (1.2.3.4)それぞれの面積は図2からも解るように1cmの正方形2個の半分 すなわち1cm2です。
直角三角形(7.8)それぞれの面積は8÷√5×4÷√5÷2=(32÷10)cm2
さらに直角三角形)(5.6)それぞれの面積は(32÷40)cm2
以上から直角三角形面積総合計を求める式は
1cm2×4+(32÷10)cm2×2+(32÷40)cm2×2=12cm2
四角形A.B.C.Dの面積は1cuの正方形が24個と直角三角形総面積を合計すれば良い
24cm2+12cm2=36cm2

答え 36cm2

こっちが数学的だなぁ〜


解答・その20

(ペンネ−ム:namiusagi)


 @ABはすべて相似形(縦2:横1の直角三角形)で、 @の面積は16/5、Aの面積は1、Bの面積は4/5になり、C(正方形1*1)は24個で 面積は@*2+A*4+B*2+C*24=(32/5)+4+(8/5)+24=36(cm2)


@ABはすべて相似形(縦2:横1の直角三角形) AD:QS=2:√5 ,QS=5から AD=10/√5=2√5 AB=AP+PQ+QR+RS AP=4/√5=0.8√5,PQ=QR=√5,RB=0.8√5 AB=2*0.8√5+2*√5=3.6√5 面積はAB*AD=(2√5)*3.6√5=7.2*5=36(cm2)


解答・その21

(ペンネ−ム:haya)

長方形ABCDの面積は 36 cm2 です。

【解き方】
(1) 1cm 角の正方形は24個で 24 cm2
(2) 線分AB及びCDの途中にある4個の三角形は2個ずつ組み合わせると正方形4個分、つまり 4 cm2
(3) 正方形以外の三角形は何れも辺の比が 1:2:√5 の相似な直角三角形なのであるが、
 Aを頂点とする三角形及びCを頂点とする三角形を2つ組み合わせると、
 二辺が 4/√5 及び 8/√5 の長方形を形成するから面積は 32/5 cm2
 同様にB、Dは相似比が 1/2 なので面積は 8/5 cm2
よって、求める面積 = (1) + (2) + (3) = 24 + 4 + 40/5 = 36 cm2


解答・その22

(ペンネ−ム:ykak)

解答 36cm2

絵がかけないのでもどかしいですが。
ABCDの中にできる三角形は大きさが3通りあり、これを大中小とすると、ま ずこれは全て相似形であることはすぐ分かる。
また中の三角形は底辺(一応短い方を底辺とする)1cm、高さ2cmだから面積は1cm2
次に3通りの三角形の大きさを比べる。斜辺に注目すると、大の斜辺は4cm、小の斜辺は2cmであることは明らか。
中は、底辺1cm、高さ2cmだから、斜辺は√5cm
大中小は全て相似形だから、その面積比は辺の長さの比の2乗で、4:5:16となる。
中の三角形の面積は1cm2だから、上の面積比を元に計算すると 小は4/5cm2、大は16/5cm2
ABCDの面積は、1辺が1cmの正方形24個分と、大2個、中4個、小2個の面積を合わせたものになる。
  24 + 16/5×2 + 4 + 4/5×2 = 36


解答・その23

(ペンネ−ム:夜ふかしのつらいおじさん)

答えは、36です。
図1のように小さな正方形の並びの上と下、右と左の部分を延長して正方形を作ります。 図2のように色をつけた部分を移動します。


すると青2個、黄緑2個の4個の直角三角形の面積の合計が、赤2個の直角三角形の面積の合計と等しいことが分かります、 このことは、三平方の定理(ピタゴラスの定理)と同じことです。 相似の関係にある平面図形の面積は対応する辺の長さの2乗に比例します。 赤、青、黄緑の3個の直角三角形は相似です。 赤の直角三角形の各辺と3個の直角三角形の斜辺が同じ長さです。 よって、「赤=青+黄緑」になります。





解答・その24

(ペンネ−ム:SOU)


(1) 色をつけた三角形は全て相似
(2) 斜辺でない2辺の長さの比は1:2という二つの性質を使うと、右図のようになり、面積は36 //

正解者

namiusagi 夜ふかしのつらいおじさん バルタン星人
スモークマン のっこん 再出発
T_Tatekawa オヤジ falcon@中学教師
マオ 巷の夢 迷子の雄猫
やなせ 転位反応 ykak
teki URU 杖のおじさん
長崎島原かがみ 浜田 明巳 シュレーディンガーの三毛猫
三角定規 haya SOU

コメント

2つ以上の三角形を組み合わせたり、相似の関係をうまく利用して面積を求めることができますね。
解答とともに、図を描いてご送付いただいた方も多くおいででした。どうもありがとうございました。


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