問題159　正方形の問題

下の長方形ABCDの面積を求めてください。ただし、長方形の中の24個の□はすべて１辺が１cmの正方形です。

問題の出典

算数オリンピックに挑戦
算数オリンピック委員会編
講談社ブルーバックス
2007年トライアル問題

答えと解説

解答・その1

（ペンネ－ム：再出発）

答は 36cm²

解答・その2

（ペンネ－ム：浜田　明巳）

グラフ作成ソフトＧＲＡＰＥで解答した．直線ＡＢは，直線ＵＶとなるので，この方程式をｆ(ｘ)＝２ｘ＋２とする．
直線ＣＤは，直線ＰＱとなるので，この方程式をｇ(ｘ)＝２(ｘ－２)とする．
ＡＢ⊥ＢＣから，直線ＢＣ，ＡＤの傾きは－１／２となる．
直線ＢＣの方程式をｈ(ｘ)＝－ｘ／２とする．
直線ＡＤの方程式をｆ₁(ｘ)＝－(ｘ－６)／２＋６とする．
Ａのｘ座標は，方程式ｆ(ｘ)＝ｆ₁(ｘ)の解，
Ｂのｘ座標は，方程式ｆ(ｘ)＝ｈ(ｘ)の解，
Ｃのｘ座標は，方程式ｇ(ｘ)＝ｈ(ｘ)の解，
Ｄのｘ座標は，方程式ｇ(ｘ)＝ｆ₁(ｘ)の解となるので，Ａ～Ｄの座標を計算で求められる（sol関数）．
ＡＢの長さ（len関数）とＢＣの長さの積が求める面積である．
答は３６ｃｍ^２である．

解答・その3

（ペンネ－ム：オヤジ）

長方形内に有る２４個の正方形の余白にできる、相似な直角三角形の大きいほうの鋭角をとすると、
　　

AD＝　・・・（Ⅰ）
AB＝　・・・(Ⅱ)

（Ⅰ），（Ⅱ）より
　　Ｓ＝ＡＤ×ＡＢ＝

∴　３６ｃｍ²

解答・その4

（ペンネ－ム：迷子の雄猫）

長方形の辺ＢＣ上で、長方形の中の24個の□と接している点をＥ、長方形の辺ＣＤ上で、長方形の中の24個の□と接している点をＦ、頂点Ｃから直線ＥＦにおろした垂線の足をＰとする。
長方形の中の24個の□の辺が、Ｘ・Ｙ軸と平行になるように、Ｘ・Ｙ軸を定める。このとき、長方形の中の□と接している具合から考えて、辺ＣＤはＸ軸の正方向に１単位移動すると、Ｙ軸の正方向に２単位移動するように傾いているので、辺ＢＣはＸ軸の正方向に２単位移動すると、Ｙ軸の負方向に１単位移動するように傾いているということになる。

このことより、PF、PC、EPの長さについて、以下の式が成り立つ。
　　PF:PC=1:2
　　EP:PC=2:1
　　EP+PF=4

これを解いて
　　PC=2PF
　　2PC=EP
　　2PC=4PF
　　EP=4PF
　　EP=4-PF
　　4PF=4-PF
　　5PF=4
　　PF=4/5
　　PC=8/5

よって三角形ＥＣＦの面積は4*(8/5)/2=16/5
頂点Ｂ，Ｄ付近の三角形も、三角形ＥＣＦと相似であるので、
（底辺が半分、高さが半分なので面積が1/4）面積は4/5

頂点付近の三角形の面積(16+4)*2/5=8
辺ＡＢ，ＣＤ上にある三角形４個の面積4*(1*2/2)=4
長方形の中の24個の□の面積24
長方形ＡＢＣＤの面積は、上記の面積の合計36

解答・その5

（ペンネ－ム：長崎島原かがみ）

三平方の定理を利用すると
長方形の長い方の辺は，短い方の辺はとなるので，
面積は３６cm²になる。

【答】　３６cm²

解答・その6

（ペンネ－ム：スモークマン）

残りの部分を中の正方形に相当するように数えればいいと...
10個分+2個分*3=16個、中に24個あるので...
　　　2*2+((2/√5)²+(4/√5)²)*2+24=4+8+24=36 cm²
になるのかな...^^?

解答・その7

（ペンネ－ム：杖のおじさん）

答え　３６cm²　です。

図を挿入して下さい A図の赤色部分の面積＝２㎝×４㎝＝８cm²
B図の青色部分の面積＝１㎝×２㎝×２＝２cm²
C図の黄色部分の面積＝４㎝×２㎝×３＝２４cm²
合計ABCDの長方形の面積＝８cm²＋２cm²＋２４cm²＝３６cm²

D図は赤色部分の面積が４㎝×２㎝＝８cm²の半分である証明です。
線分ADと接する点をGとする、Gから線分EFに垂直に下した交点をHとする。
面積ΔEGF=面積ΔEAG+面積ΔDFGの証明
　∠EAG＝∠EHG=＝∠GDH=９０°ど直角です。
　ΔEAGもΔDFGも三角形の高さはGHで同じです。
　ΔFDG=ΔFHGも一辺GFが同じで合同です。
従って面積ΔEGF=面積ΔEAG+面積ΔDFGであることが証明できます。

解答・その8

（ペンネ－ム：巷の夢）

今、右図に示す様に長方形の辺ADとBC各々に平行な辺EHとFGをそれぞれ引く。
又、辺ABとCD各々に平行な辺IKとJLを引く。即ち、4本の赤線となる。
ここで平行な辺の錯角は等しいので、△AEJ≡△LJE又、△DJH≡△LHJである。
即ち、△AEJ+△DJH＝△EJH＝（1/2）・長方形EJHM＝（1/2）・8＝4となる。△GIFについても全く同様な考察から面積は4となる。
又、長方形EFGH内に於ける4個の三角形の面積は各々1であるから、合計で4となる。
因って、求める長方形の面積は、24+4+8＝36である。

解答・その9

（ペンネ－ム：マオ）

解答：36 cm²

図の4点P，Q，R，Sを結んでできる四角形PQRSにおいて、 PQ，QRはそれぞれ隣辺が1：2の直角三角形の斜辺にあたるので、長方形PQRSは正方形である。
その面積は1辺1cmの正方形16個分 + 底辺1cm,高さ2cmの三角形4個分なので 16+4=20 となる。
よって、正方形PQRSの1辺の長さをaとすると(PQ=QR=a)、a×a=20 … (※1)
△TPSにおいてその面積は、TS×TP÷2 = 2×4÷2 = 4
PSを底辺に考えたとき、高さはAPとなるので、AP=bとすると(同様にQB=b)、
PS×AP÷2 = a×b÷2 = 4
よって、a×b = 8 … (※2)

長方形ABCDの面積は、AB×BC = (AP+PQ+QB)×BC
                           = (b+a+b)×a
                           = a×b + a×a + a×b
                    (※1),(※2)より
                           = 8 + 20 + 8
                           = 36

解答・その10

（ペンネ－ム：シュレーディンガーの三毛猫）

答：36(cm²)
■解法
＜方針＞　
・相似比を用いて三角形の部分の面積を求める。
長方形ABCDと、24個の正方形の塊とに挟まれてできる8つの三角形について考える。
これらがすべて直角三角形となっていることは図から明らかである。　・・・(1)
また、どの直角三角形も、自らの作る辺を含む長方形ABCDの辺上の異なる2点においてそれぞれ別の2つの直角三角形と接しており、同時に正方形の1頂点とも接している状態にある。
ここでこの接点の一つをとると、この点は正方形の頂点と接しているので、正方形を挟む2つの直角三角形の2角の和は
　　　180-90＝90（度）
となる。すなわち、この接点を共有する2つの直角三角形の角のうち、一つの三角形の頂角の角度を仮に「●」とおき、もう一つの直角三角形の接する頂角の角度を仮に「×」とおくとすると、
「●」＋「×」＝90（度）である。　・・・(2)
一方、三角形の内角の和は180度なので直角でない残りの内角の和は90度となるため、 (2)より、接点の頂角が「●」のとき、同じ三角形の余りの角は「×」。逆に接点の頂角が「×」のときは余りの角は「●」となることが分かる。
ところで、はじめに述べたように、この関係は長方形ABCDの辺上のどの三角形の頂点についても成り立っているので、 8つの直角三角形の、直角でない2角の角度はそれぞれ「●」および「×」となる。・・・(3)
(1)、(3)より、8つの直角三角形は互いに相似である（二角相等）。　・・・(4)
さらに図より、長方形ABCDの頂点を含まない4つの直角三角形は直角を挟む二辺の長さがそれぞれ1cm、2cmと等しくなっており、これらの4つの直角三角形は互いに合同で、面積はそれぞれ
　　　1×2÷2＝1　（cm²）
であり、斜辺の長さは三平方の定理より、
　　　√（1²＋2²）＝√5　（cm）　・・・(5)
また、長方形の頂点Aまたは頂点Cを含む2つの直角三角形は斜辺がそれぞれ4cmと互いに等しく合同であり、・・・(6)
同様に頂点Bまたは頂点Dを含む2つの直角三角形も斜辺がそれぞれ2cmと互いに等しく合同である。・・・(7)
さて、(4)より、(5)(6)(7)で挙げた三角形の組の斜辺の相似比はそれぞれ
　　　√5：4：2
となるので、面積比は各々2乗して
　　　5：16：4
となる。 (5)で挙げた直角三角形の面積が1cm² だったので、5で除するとcm²単位での面積比
　　　1：(16/5)：(4/5)
を得る。 8つの直角三角形の面積の和は
　　　1×4＋(16/5)×2＋(4/5)×2＝12(cm²)
ここに正方形24個の面積24cm²を足して、長方形ABCDの面積を
　　　12＋24＝36(cm²)
と得る。

解答・その11

（ペンネ－ム：URU）

底辺＝1　高さ＝2　に対する斜辺の長さは√1²+2²＝√5 であるので空白箇所の三角形の三辺比率は1：2：√5である。
辺A-B＝4/√5+√5+√5+4/√5
　　　＝2√5+8/√5
　　　＝（10+8）/√5
　　　＝18/√5
辺A-D＝8/√5+2/√5
　　　＝（8+2）/√5
　　　＝10/√5

長方形ABCD＝18/√5×10/√5
　　　　　＝180/5
　　　　A=36cm²となる。

解答・その12

（ペンネ－ム：falcon@中学教師）

３６ｃｍ²

＜考え方＞
24個の□の周りにできている直角三角形は全て相似であり、直角を挟む2辺の比は１：２。大きさが３種類あるので、大きい方からＬ，Ｍ，Ｓと名前をつけておく。（図１参照）

ＬとＳの相似比は２：１であるため、直角を挟む２辺の比が１：２であることから、ＬとＳを２つずつ組み合わせることで、縦２㎝、横４㎝の長方形Ｌ＆Ｓを作ることができる。（図２参照）
また、Ｍを２つを組み合わせて縦２㎝、横１㎝の長方形Ｍ＆Ｍを作ることができる。（図３参照）

したがって、

長方形ＡＢＣＤの面積＝□２４個の面積＋Ｌ＆Ｓの面積＋Ｍ＆Ｍの面積 × ２
　　　　　　　　　　　　　　＝２４ｃｍ² ＋８ｃｍ² ＋２ｃｍ²× ２
　　　　　　　　　　　　　　＝３６ｃｍ²

解答・その13

（ペンネ－ム：T_Tatekawa）

解答１
添付の図のように，正方形以外のところに着目します．
矢印で示した四つの直角三角形は，直角を挟む辺の長さが 1cm, 2cm です．
4つ合わせて面積は 1x2 / 2 x4 = 4 cm² です．
後は青い点と赤い点を打った三角形を考えます．
これらの三角形で，直角以外のところに着目します．
例えば線分ADの途中で正方形が接する事により，二つの三角形が区切られる訳ですが，この接点で向かい合う二つの三角形の角の角度の和は90度です．すると，線分ADを含む三角形で，線分AD上にないそれぞれの角の角度の和も 90度という事になります．つまり，頂点Dを含む小さい三角形を平行移動し，頂点Dと頂点Aを重ねると，大きな直角三角形が出来ます．この直角三角形の，直角を挟む部分の辺の長さは 2cm, 4cm です．線分 BC の側の二つの三角形も同様に考えます．青い点と赤い点を打った三角形の面積の合計は，
　　2x4 / 2 x 2 = 8 cm²
です．
もともと面積が分かっている正方形の面積を足すと，全体の長方形の面積がわかります．
　　24 + 4 + 8 = 36 cm²

解答２
添付の図の矢印で指し示した三角形は，直角三角形です．
斜辺の長さは √(1²+2²) = √5 cm です．
次に青い点，赤い点を打った三角形を考えますと，これらの角は矢印をつけた三角形の角の一つと，直角を挟んで向かい合います．
青い点，赤い点を打った三角形は長方形の頂点の一つを含むので，これらは直角三角形です．
すると，青い点，赤い点を打った三角形は，矢印で指し示した三角形と相似になります．
相似比は
　　青い点の三角形：矢印の三角形：赤い点の三角形＝ 4 : √5 : 2

線分ADの長さは
　　4 x 2/√5 + 2 x 1/√5 = 10/√5 = 2 √5 cm

線分ABの長さは
　　2√5 + 4 x 1/√5 + 2 x 2/√5 = 18/√5 cm

よって長方形の面積は
　　18/√5 x 2√5 = 36 cm²

解答・その14

（ペンネ－ム：のっこん）

AB上の３点をAに近い方からP,Q,R, BC上の点をS, CD上の３点をCに近い方からT,U,V, DA上の点をWとする

(1)PQを斜辺とする直角三角形とQRを斜辺とする直角三角形をあわせると
　１×２＝２（cm²)の長方形になる

(2)同様に　TUを斜辺とする直角三角形とUVを斜辺とする直角三角形をあわせると
　１×２＝２（cm²)の長方形になる

(3)PQを斜辺とする直角三角形と△RSBは相似で、相似比は√５：２、面積比は５：４となるから　△RSBと△VWDをあわせると
　２×４/５＝１.６（cm²）の長方形になる

(4)△RSBと△WPAは相似で、相似比は１：２、面積比は１：４となるから △WPAと△STCをあわせると
　１.６×４＝６.４（cm²)の長方形になる

よってABCDの面積は　２・２＋１.６＋６.４＋２４＝３６（cm²)

解答・その15

（ペンネ－ム：三角定規）

【解答】
図の水色の部分の面積は，正方形 8 個分
図の緑色の部分の面積は，正方形 4 個分
黄色の正方形が 24 個あるから
長方形 ABCD の面積は 36 cm²…［答］

解答・その16

（ペンネ－ム：バルタン星人）

３６ｃｍ²

考え方：
正方形を囲む８個の△は全て相似で直角を挟む辺が１：２の直角三角形
上下の４個の直角△を合体させると長方形になり
その面積は２×４の長方形の半分の２倍すなわち８ｃｍ²になる。
真ん中の直角△４個の面積は各１ｃｍ²で４ｃｍ²
正方形２４ｃｍ²に足すと３６ｃｍ²

解答・その17

（ペンネ－ム：転位反応）

長方形ＡＢＣＤの辺ＡＤ、ＢＣに対して平行に、線分ＥＨ、ＦＧ、ＩＪを引くことができる。
長方形ＦＩＪＧの面積は△ＦＩＧの面積の２倍であることから、
長方形ＦＩＪＧの面積は、（５×２÷２）×２＝１０
同様に、長方形ＥＦＧＨの面積は１０

一方、
長方形ＡＥＨＤの面積は△ＥＨＬの面積の２倍であることから、
長方形ＡＥＨＤの面積は、（４×２÷２）×２＝８
同様に、長方形ＩＢＣＪの面積は８
∴長方形ＡＢＣＤの面積は、１０＋１０＋８＋８＝３６

解答・その18

（ペンネ－ム：teki）

答え　　　３６cm²
正方形２４個からはみ出た部分の面積を考えます。
図のＣの部分は、計算が簡単で、１cm²です。（１×２÷２）
これが４つで、４cm²。
問題は、ＡとＢの部分ですが、面白い方法で計算できます。
ＡもＢも同じですが、これらを４つ並べると、真ん中に穴の開いた正方形ができます。
この形、weekend mathematicsの常連には、懐かしい形で真ん中の正方形は全体の面積の1/5になりますね。
で、残りの部分の合計は、丁度８cm²となります。
元の２４cm²と合わせて、２４＋８＋４＝３６cm²です。

解答・その19

（ペンネ－ム：やなせ）

解法その１
図１のように補助線を引いてからですが、同じ色の三角形を移動させれば１ｃｍの正四角形の集まりに収まることが解る。後はその数を数えるだけで千鳥模様の正四角形を数えると３６個有ることが解る。
答え　　３６cm²

図を書いて印刷しハサミでチョキチョキしましたけど　でも、これって数学的解法？

解法その２（右図参照）
直角三角形（１．２．３．４）は同型。　（７．８）は同型。　（５．６）は同型になる。
また直角三角形（１.７.５）は相似形になり、さらに三角形(５)の面積は(７)の1/4で有るのが解る。
直角三角形（１．２．３．４）それぞれの面積は図２からも解るように１ｃｍの正方形２個の半分すなわち１cm²です。
直角三角形（７.８）それぞれの面積は８÷√5×４÷√5÷２＝（３２÷１０）cm²
さらに直角三角形）（５.６）それぞれの面積は（３２÷４０）cm²
以上から直角三角形面積総合計を求める式は
１cm²×４＋（３２÷１０）cm²×２＋（３２÷４０）cm²×２＝１２cm²
四角形Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄの面積は１c㎡の正方形が２４個と直角三角形総面積を合計すれば良い
２４cm²＋１２cm²＝３６cm²

答え３６cm²

こっちが数学的だなぁ～

解答・その20

（ペンネ－ム：namiusagi）

　①②③はすべて相似形（縦２：横１の直角三角形）で、 ①の面積は16/5、②の面積は1、③の面積は4/5になり、④(正方形1*1)は２４個で面積は①*2+②*4+③*2+④*24=(32/5)+4+(8/5)+24=36(cm²)

①②③はすべて相似形（縦２：横１の直角三角形） AD:QS=2:√5 ,QS=5から AD=10/√5=2√5 AB=AP+PQ+QR+RS AP=4/√5=0.8√5,PQ=QR=√5,RB=0.8√5 AB=2*0.8√5+2*√5=3.6√5 面積はAB*AD=(2√5)*3.6√5=7.2*5=36(cm2)

解答・その21

（ペンネ－ム：haya）

長方形ABCDの面積は 36 cm² です。

【解き方】
(1) 1cm 角の正方形は24個で 24 cm²
(2) 線分AB及びCDの途中にある4個の三角形は2個ずつ組み合わせると正方形4個分、つまり 4 cm²
(3) 正方形以外の三角形は何れも辺の比が 1:2:√5 の相似な直角三角形なのであるが、
　Aを頂点とする三角形及びCを頂点とする三角形を2つ組み合わせると、
　二辺が　4/√5 及び 8/√5 の長方形を形成するから面積は 32/5 cm²
　同様にB、Dは相似比が 1/2 なので面積は 8/5 cm²
よって、求める面積 = (1) + (2) + (3) = 24 + 4 + 40/5 = 36 cm²

解答・その22

（ペンネ－ム：ykak）

解答　３６ｃｍ²

絵がかけないのでもどかしいですが。
ＡＢＣＤの中にできる三角形は大きさが３通りあり、これを大中小とすると、まずこれは全て相似形であることはすぐ分かる。
また中の三角形は底辺（一応短い方を底辺とする）１ｃｍ、高さ２ｃｍだから面積は１ｃｍ²
次に３通りの三角形の大きさを比べる。斜辺に注目すると、大の斜辺は４ｃｍ、小の斜辺は２ｃｍであることは明らか。
中は、底辺１ｃｍ、高さ２ｃｍだから、斜辺は√５ｃｍ
大中小は全て相似形だから、その面積比は辺の長さの比の２乗で、４：５：１６となる。
中の三角形の面積は１ｃｍ²だから、上の面積比を元に計算すると小は４/５ｃｍ²、大は１６/５ｃｍ²
ＡＢＣＤの面積は、１辺が１ｃｍの正方形２４個分と、大２個、中４個、小２個の面積を合わせたものになる。
　　２４　＋　１６/５×２　＋　４　＋　４/５×２　＝　３６

解答・その23

（ペンネ－ム：夜ふかしのつらいおじさん）

答えは、３６です。
図１のように小さな正方形の並びの上と下、右と左の部分を延長して正方形を作ります。図２のように色をつけた部分を移動します。

すると青２個、黄緑２個の４個の直角三角形の面積の合計が、赤２個の直角三角形の面積の合計と等しいことが分かります、このことは、三平方の定理（ピタゴラスの定理）と同じことです。相似の関係にある平面図形の面積は対応する辺の長さの２乗に比例します。赤、青、黄緑の３個の直角三角形は相似です。赤の直角三角形の各辺と３個の直角三角形の斜辺が同じ長さです。よって、「赤＝青＋黄緑」になります。

解答・その24

（ペンネ－ム：ＳＯＵ）

(1)　色をつけた三角形は全て相似
(2)　斜辺でない2辺の長さの比は1:2という二つの性質を使うと、右図のようになり、面積は36　//

正解者

namiusagi 夜ふかしのつらいおじさんバルタン星人

スモークマンのっこん再出発

T_Tatekawa オヤジ falcon@中学教師

マオ巷の夢迷子の雄猫

やなせ転位反応 ykak

teki URU 杖のおじさん

長崎島原かがみ浜田　明巳シュレーディンガーの三毛猫

三角定規 haya ＳＯＵ

２つ以上の三角形を組み合わせたり、相似の関係をうまく利用して面積を求めることができますね。
解答とともに、図を描いてご送付いただいた方も多くおいででした。どうもありがとうございました。

Challenge!