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問題157　2010年の問題
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問題157　2010年の問題

次の式のＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄはそれぞれのけたの数字を表し、 同じ文字は同じ数字を表します。

　　　ＡＢＣＤ－ＡＢＣ－ＡＢ－Ａ＝２０１０

４けたの整数ＡＢＣＤを求めてください。

問題の出典

算数オリンピックに挑戦
算数オリンピック委員会編
講談社ブルーバックス
2004年トライアル問題　改題

答えと解説

解答・その1

（ペンネ－ム：浜田　明巳）

通常覆面算では，異なる文字には異なる数値を入れるのですが，それだと求められませんでしたので， その条件を取り払い解いてみました.
答は2259，2260の２個です．エクセルのマクロです．

  Option Explicit
'ABCD-ABC-AB-A=2010
'→ 2010
'      A
'     AB
'+   ABC
'-------
'   ABCD
Sub Macro1() 'A～Dが互いに異なる場合
    Sheets("Sheet1").Select
    Cells(1, 1).Value = 0 '解の個数
    Dim A As Integer
    Dim B As Integer
    Dim C As Integer
    Dim D As Integer
    Dim kuriagari(3) As Integer
    Dim gyou As Integer
    For A = 1 To 9
      For B = 0 To 9
        If A <> B Then
          For C = 0 To 9
            If A <> C And B <> C Then
              D = (0 + A + B + C) Mod 10
              If A <> D And B <> D And C <> D Then
                kuriagari(1) = (0 + A + B + C) \ 10
                If (1 + A + B + kuriagari(1)) Mod 10 = C Then
                  kuriagari(2) = (1 + A + B + kuriagari(1)) \ 10
                  If (0 + A + kuriagari(2)) Mod 10 = B Then
                    kuriagari(3) = (0 + A + kuriagari(2)) \ 10
                    If 2 + kuriagari(3) = A Then
                      Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
                      gyou = Cells(1, 1).Value * 6 - 5
                      Cells(gyou, 2).Value = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D
                      Cells(gyou + 1, 2).Value = -(A * 100 + B * 10 + C)
                      Cells(gyou + 2, 2).Value = -(A * 10 + B)
                      Cells(gyou + 3, 2).Value = -A
                      Cells(gyou + 4, 2).Value = 2010
                    End If
                  End If
                End If
              End If
            End If
          Next C
        End If
      Next B
    Next A
End Sub
Sub Macro2()
    Sheets("Sheet1").Select
    Cells(1, 1).Value = 0 '解の個数
    Dim A As Integer
    Dim B As Integer
    Dim C As Integer
    Dim D As Integer
    Dim kuriagari(3) As Integer
    Dim gyou As Integer
    For A = 1 To 9
      For B = 0 To 9
        For C = 0 To 9
          D = (0 + A + B + C) Mod 10
          kuriagari(1) = (0 + A + B + C) \ 10
          If (1 + A + B + kuriagari(1)) Mod 10 = C Then
            kuriagari(2) = (1 + A + B + kuriagari(1)) \ 10
            If (0 + A + kuriagari(2)) Mod 10 = B Then
              kuriagari(3) = (0 + A + kuriagari(2)) \ 10
              If 2 + kuriagari(3) = A Then
                Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
                gyou = Cells(1, 1).Value * 6 - 5
                Cells(gyou, 2).Value = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D
                Cells(gyou + 1, 2).Value = -(A * 100 + B * 10 + C)
                Cells(gyou + 2, 2).Value = -(A * 10 + B)
                Cells(gyou + 3, 2).Value = -A
                Cells(gyou + 4, 2).Value = 2010
              End If
            End If
          End If
        Next C
      Next B
    Next A
End Sub


解答・その2

（ペンネ－ム：Yamaちゃん）

与えられた等式は次の式と同値です。



したがって、A=2、B=A=2、C=1+A+B=1+2+2=5、 D＝A＋B+C=2+2+5=9．
問題の条件には「同じ文字は同じ数字」だけなので、もしA=Bを許容すれば、
答え 2259-225-22-2=2010
しかし、「異なる文字は異なる数字」だとすると、このときは解なし。

解答・その3

（ペンネ－ム：杖のおじさん）

答え　ＡＢＣＤ＝２２５９　又は　ＡＢＣＤ＝２２６０　の２つです。



Ａ＝２　Ｂ＝Ａ
Ｃ＝Ａ＋Ｂ＋１＝５　又は　Ｃ＝Ａ＋Ｂ＋２＝６　の２通りあります。
１の位が０になるＤを求めます。
Ｃ＝５　の時　Ｄ―２―２―５＝０　　Ｄ＝９です。
Ｃ＝６　の時　Ｄ―２―２―６＝０　　Ｄ＝１０なので１位から引けませんので１０の位のＣから１を引きます。そうするとＣ＝６－１＝５　となり　１位は１０－１０＝０となり　Ｄ＝０と決定されます。

解答・その4

（ペンネ－ム：teki）

＜解答＞　　２２５９と２２６０

  1. 各桁に繰り下がりが生じていないと仮定すると、
    　Ａ＝２
    　Ｂ＝Ａ
    　Ｃ＝Ａ＋Ｂ＋１
    　Ｄ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ
    これを解いて、（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（２，２，５，９）

  2. 十の位に繰り下がりがあると仮定すると、
    　Ａ＝２
    　Ｂ＝Ａ
    　Ｃ＝Ａ＋Ｂ＋２
    　Ｄ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ－１０
    これを解いて　（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（２，２，６，０）

  3. 百の位に繰り下がりがあると仮定すると、
    　Ａ＝２
    　Ｂ＝Ａ＋１
    　Ｃ＝Ａ＋Ｂ－９
    よって解なし。

  4. 最上位に繰り下がりがあると仮定すると、
    　Ａ＝３
    　Ｂ＝Ａ－１０
    よって解なし。

  5. 最上位及び百の位に繰り下がりがあると仮定すると、
    　Ａ＝３
    　Ｂ＝Ａ－９
    よって解なし。


解答・その5

（ペンネ－ム：巷の夢）

題意よりA＝2ないし3であることが分かる。これよりB≧Aである。
そこでB=2とすると、Cは5ないし6である。
そこでC＝5とすると、D＝A+B+CよりD=9となる。
ところで、C＝6とすると、D＝A+B+CよりD=0となる。
次にB=3とすると、C＝0という最小数でも引き算計算した結果の10の位は1にはならない。
又、A＝3とすると引き算計算した結果の100の位は0にはならない。
以上のことから求める4桁の整数ABCDは2259と2260である。

解答・その6

（ペンネ－ム：スモークマン）

ABCD-ABC-AB-A=2010
A(1000-100-10-1)+B(100-10-1)+C(10-1)+D=2010
D-A-B-C=0
C-A-B=1 or 2
B-A=0 or 1
A=2

2259
2260
236＊
237＊
後者2個は...それを満たす D >10 はないので...上二つが答えでいいのかな？

解答・その7

（ペンネ－ム：マオ）

解答：2259，2260

求める4桁の整数ABCDにおいて，
A,B,C,D∈Z , 1≦A≦9 , 0≦B,C,D≦9

条件より
　　(1000A+100B+10C+D)-(100A+10B+C)-(10A+B)-A=2010
変形して
　　889A+89B+9C+D=2010

A=1のとき
　　889+89B+9C+D=2010 より
　　これを満たすB，C，Dの値は存在しない。
　　A≧3のときも同様。よってA=2

A=2のとき
　　1778+89B+9C+D=2010
　　89B+9C+D= 232
　　B=1のとき
　　　89+9C+D=232 より
　　　これを満たすC，Dの値は存在しない。
　　　B≧3のときも同様。よってB=2
　　B=2のとき
　　　178+9C+D=232
　　　9C+D=54
　　　これを満たすのはC=6,D=0 または C=5,D=9

これより
　　A=2,B=2,C=6,D=0 または A=2,B=2,C=5,D=9
よって 2260と2259。

解答・その8

（ペンネ－ム：ＲＹＵ1128）

式を整理すると
　　　８８９Ａ＋８９Ｂ＋９Ｃ＋Ｄ＝２０１０＝2000+000+10+0
各項に対応させて
　　　2000－889Ａ＝０
Ａ＝２　あまり222
　　　222+0-89Ｂ＝0
Ｂ＝2　あまり44
　　　0+44-9Ｃ＝0
Ｃ＝６　あまり0
　　　Ｄ＝0
故にＡＢＣＤ＝２２６０
ただしＣ＝５　あまり9
Ｄ＝９
ＡＢＣＤ＝２２５９
という解もあり、この不定方程式には２通りの解がある。 どちらも正解と思うが第一の解の方が剰余の概念からするとスマートと思う。
尚、数学は完全な厳密性を保つことによる美を追求する学問であることから、スマー トさだけでは意味を持たない。したがって二通りの解を持って正解とするのが正しい というのが結論。
この種の問題にはより一般性を持たせたアルゴリズムがあるように記憶するがもうジ ジイなので忘れてしまった・・・・。
（題意からＡは1から９までの整数Ｂ，Ｃ，Ｄは0から9までの整数と勝手に解釈しま した。各々1文字とは書いてはいませんでしたが）

解答・その9

（ペンネ－ム：namiusagi）

　　　(1000-100-10-1)A-(100-10-1)B-(10-1)C-D=889A+89B+9C+D=2010
なので、Aに2をいれて（1だとBが2桁になってしまうので不可）、
　　　1778+89B+9C+D=2010で、89B+9C+D=232.
これにBに2を入れて、
　　　178+9C+D=232で、9C+D=54.
これにCに6を入れればDは0で、5を入れれば9になる。
よってA=2,B=2,C=6,D=0又はA=2,B=2,C=5,D=9で、2260および2059が求める4桁の整数となる。

解答・その10

（ペンネ－ム：falcon@中学教師）

＜答え＞
2260　と　2259

＜考え方＞
まず、
　　ＡＢＣＤ－ＡＢＣ－ＡＢ－Ａ＝2010
という与式の形から、千の位に着目すると「Ａは２か３」とわかる。 次に、与式を変形して
　　889Ａ＋89Ｂ＋9Ｃ＋Ｄ＝2010
とすると、Ａ＝3は不適と分かり、Ａ＝2と決まる。
次にＡ＝2を代入して整理すると
　　89Ｂ＋9Ｃ＋Ｄ＝232
という式がえられ、Ｂの可能性は0，1，2と容易に絞られる。
代入して確かめると、Ｂ＝0，1は不適と分かり、Ｂ＝2と決まる。
さらにＢ＝2を代入して整理すると
　　9Ｃ＋Ｄ＝54
という式がえられ、これを満たすＣとＤの組は（Ｃ，Ｄ）＝（6，0），（5，9）のみ。
したがって、与式を満たす４けたの整数ＡＢＣＤは2260と2259である。

解答・その11

（ペンネ－ム：夜ふかしのつらいおじさん）

　ＡＢＣＤ－ＡＢＣ－ＡＢ－Ａ
＝Ａ０００＋Ｂ００＋Ｃ０＋Ｄ－ＡＡＡ－ＢＢ－Ｃ
＝Ａ×（１０００－１１１）＋Ｂ×（１００－１１）＋Ｃ×（１０－１）＋Ｄ
＝８８９Ａ＋８９Ｂ＋９Ｃ＋Ｄ
と変形できます。

一方２０１０は、
　２０１０
＝８８９×２＋２３２
＝８８９×２＋８９×２＋５４
＝８８９×２＋８９×２＋９×５＋９
または、
＝８８９×２＋８９×２＋９×６＋０
と変形できるので、

Ａ＝２、Ｂ＝２、Ｃ＝５、Ｄ＝９
または、
Ａ＝２、Ｂ＝２、Ｃ＝６、Ｄ＝０です。

この問題はＡ＝Ｂとなってちょっと惜しい気がします。
あと３６年我慢して、２０４６年だとＡＢＣＤがすべて異なります。

解答・その12

（ペンネ－ム：オヤジ）

求める　４桁の自然数をＡＢＣＤ＝とすると、 与式は、下記の様になる
[　]：Gauss記号とすると

・・・（Ⅰ）
ここで、　と（Ⅰ）より




ここで　（Ⅰ）式は、単調非減少（単調増加ではない）であるから
∴　２２５９　と２２６０

∵　２２６０－２２６－２２－２＝２０１０
　　２２５９－２２５－２２－２＝２０１０
　　２２５８－２２５－２２－２＝２００９

解答・その13

（ペンネ－ム：再出発）

（解）

　　　　２０１０
　　　＋　ＡＢＣ
　　　＋　　ＡＢ
　　　＋　　　Ａ
　　　－－－－－
　　　　ＡＢＣＤ

繰り上がりを考えると明らかに
　　Ａ＝２
このときＢ＝２、３ですが
Ｂ＝２のときは成り立ちますが、
Ｂ＝３のとき
５≦５＋Ｃ≦１４より
　　１＋３＋２＋（５＋Ｃ）￥１０≦７
なので
Ａ＝Ｂ となり、成り立ちません。
ここまでで
Ａ＝Ｂ＝２となり

　　　　２０１０
　　　＋　２２Ｃ
　　　＋　　２２
　　　＋　　　２
　　　－－－－－
　　　　２２ＣＤ

ここで、４≦４＋Ｃ≦１３より
　　５＋（４＋Ｃ）￥１０＝Ｃ
から、
　　Ｃ＝５、６
　　Ｃ＝５のときＤ＝９
　　Ｃ＝６のときＤ＝０
したがって求める４桁の自然数は
　　　２２５９、２２６０・・・(答)

解答・その14

（ペンネ－ム：迷子の雄猫）

ＡＢＣＤ－ＡＢＣ－ＡＢ－Ａ＝２０１０
移項して足し算にすると、
　　ＡＢＣＤ＝２０１０＋ＡＢＣ＋ＡＢ＋Ａ
２０１０に３桁の数を加えるのだから答えは４０００未満。 よってＡは２か３。
２０１０に４００未満の数を加えるのだから答えは３０００未満。 よってＡは２。代入して
　　２ＢＣＤ＝２０１０＋２ＢＣ＋２Ｂ＋２
整理して
　　ＢＣＤ＝２３２＋ＢＣ＋Ｂ
２３２に２桁の数を加えるのだから答えは４００未満。 よってＢは２か３。
２３２に４０未満の数を加えるのだから答えは３００未満。 よってＢは２。代入して整理して
　　ＣＤ＝５４＋Ｃ
５４に１桁の数を加えるのだから答えは７０未満。 よってＣは５か６。
Ｃは５とするとＤ＝９
Ｃは６とするとＤ＝０
よって、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは順に２，２，５，９　または２，２，６，０
元の式　ＡＢＣＤ－ＡＢＣ－ＡＢ－Ａ＝２０１０　に代入すると
　　2259-225-22-2=2010
　　2260-226-22-2=2010
よってどちらも題意を満たす。
答：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは順に２，２，５，９　または２，２，６，０

解答・その15

（ペンネ－ム：T_Tatekawa）

ABCD-ABC-AB-A = 2010
左辺を少し書き換えると
　　889*A + 89*B + 9*C + D = 2010
となります．まず，A, B, C, D は0以上9以下なので，
　　A=2
しかありません．それ以外では式を満たしません．
　　89*B + 9*C + D =232
では，
　　B=2
しかありません．それ以外では式を満たしません．
　　9*C + D = 54
ここは2通りあります．
　　C=6, D=0
　　C=5, D=9
よって4桁の整数は 2259, 2260 の2つです．

解答・その16

（ペンネ－ム：のっこん）

ABCD=2010+ABC+AB+A

  1. A≧2だからA=2とする
    2BCD=2010+2BC+2B+2　・・・(1)　　違和感なし
    A=3とする
    3BCD=2010+3BC+3B+3　　右辺の和の千の位は2になるので不適
    A≧4の時も同様にして不適　　　　よってA=2

  2. (1)においてB≧2だからB=2とする
    22CD=2010+22C+22+2　・・・(2)　　違和感なし
    B=3とする
    23CD=2010+23C+23+2　　右辺の和の百の位は2になるので不適
    B≧4の時も同様にして不適　　　　よってB=2

  3. (2)においてC≧5だからC=5とする
    225D= 2010+225+22+2 これはD=9の時成立
    C=6とする
    226D=2010+226+22+2 これはD=0の時成立
    C=7とする
    227D=2010+227+22+2 右辺の和の十の位は6になるので不適
    C≧8の時も同様にして不適

よってABCD=2259または2260

解答・その17

（ペンネ－ム：三角定規）

題意より　ＡＢＣＤ＝2010＋ＡＢＣ＋ＡＢ＋Ａ …(1)
(1)の 1000 の位を比較して　Ａ＝2，このとき　2ＢＣＤ＝2010＋2ＢＣ＋2Ｂ＋2
∴ ＢＣＤ＝232＋ＢＣ＋Ｂ …(2)
(2)の 100 の位を比較して　Ｂ＝2，2ＣＤ＝232＋2Ｃ＋2　∴ ＣＤ＝54＋Ｃ …(3)
(3)を満たす C，D は，C=5，D＝9 および C＝6，D＝0。
以上より　ＡＢＣＤ＝2259，2260 …［答］

解答・その18

（ペンネ－ム：バルタン星人）

答え
２２５９，２２６０

考え方：判りやすいように足し算に変形します。

　　　　　２０１０
　　　　　　ＡＢＣ
　　　　　　　ＡＢ
　　　　　＋　　Ａ
　　　　　－－－－－
　　　　　ＡＢＣＤ

Ａは２または３だが繰り上がりは無いのでＡ＝２
Ｂも繰り上がらないので２
Ｃは５または６，この時、Ｄは９または０となり、
２２５９と２２６０どちらでも満足する。
虫食い算として考えれば簡単です。

解答・その19

（ペンネ－ム：長崎島原かがみ）

問題の式を変形するとＡＢＣＤ＝２０１０＋ＡＢＣ＋ＡＢ＋Ａ・・・(1)
(1)は、Ａ＝１の場合は、左辺＜右辺となり不適。
また、Ａ≧３の場合は、左辺＞右辺となり不適。
したがって、Ａ＝２である。
このとき、(1)は２ＢＣＤ＝２０１０＋２ＢＣ＋２Ｂ＋２
これを、 ２０００＋１００Ｂ＋１０Ｃ＋Ｄ＝２０１０＋２００＋１０Ｂ＋Ｃ＋２０＋Ｂ＋２
と書くと
２０００＋１００Ｂ＋１０Ｃ＋Ｄ＝２２３２＋１１Ｂ＋Ｃ
よって、８９Ｂ＋９Ｃ＋Ｄ＝２３２・・・(2)

(2)おいて、Ｂ≦１とＢ≧３は不適だから、Ｂ＝２である。
(2)より、１７８＋９Ｃ＋Ｄ＝２３２　となるので、９Ｃ＋Ｄ＝５４・・・(3)
(3)を満たすのは、Ｃ＝５、Ｄ＝９またはＣ＝６、Ｄ＝０の場合のみである。
したがって、求める整数は２２５９または２２６０である。

（答え）２２５９または２２６０

解答・その20

（ペンネ－ム：転位反応）

ＡＢＣＤ－ＡＢＣ－ＡＢ－Ａ＝２０１０　を変形して
　　　２０１０＋ＡＢＣ＋ＡＢ＋Ａ＝ＡＢＣＤ　
とし、 更に筆算形式で記述すると、以下の通り。



４桁の整数ＡＢＣＤについては、Ａ＝２または３の可能性が 考えられるが、百位から千位への繰り上がりが無いので Ａ＝３ではない。よって、Ａ＝２



同様に、 ４桁の整数２ＢＣＤについては、Ｂ＝２または３の可能性が 考えられるが、十位から百位への繰り上がりが無いので Ｂ＝３ではない。よって、Ｂ＝２



４桁の整数２２ＣＤについては、Ｃ＝５または６の可能性が 考えられる。
　　　Ｃ＝５のとき、Ｄ＝９
　　　Ｃ＝６のとき、Ｄ＝０

以上の結果から、 ４桁の整数は、２２５９、または２２６０

正解者

のっこん スモークマン 転位反応
teki バルタン星人 namiusagi
迷子の雄猫 falcon@中学教師 巷の夢
再出発 浜田　明巳 夜ふかしのつらいおじさん
マオ T_Tatekawa オヤジ
ＲＹＵ1128 長崎島原かがみ Yamaちゃん
杖のおじさん 三角定規

コメント

違う文字に対して同じ数をあてはめてよいかという質問をお受けしました。 今回の問題では、特に制限はありませんので、かまいません。
0から9の数字がそれぞれに対応する別の記号に置き換えられた計算式を与えられ、どの記号が何の数字に対応しているかを推理し、完全な計算式を導き出すものを覆面算と言います。 同じ文字のところには同じ数が、違う文字のところには違う数があてはまり、 一番上の桁は０を除外します。例えば、次にようなものです。挑戦してみてください。 

　　　　　　ＢＡＳＥ　
　　　＋　　ＢＡＬＬ
　　　－－－－－－－－
　　　　　ＧＡＭＥＳ

今回の問題も出題は引き算の形になっていますが、多くの方が足し算の形に変形してくださいました。 確かに、引き算より足し算の方が考えやすいですね。（プラス思考でいきましょう！）

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