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問題155　拡大コピーの問題
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問題155　拡大コピーの問題

101% から 1% ごとに 199% まで拡大できるコピー機があります。 このコピー機を２回使ってある原稿をちょうど 200% に拡大する方法を求めてください。

問題の出典

算数オリンピックに挑戦
算数オリンピック委員会編
講談社ブルーバックス
2005年トライヤル問題

答えと解説

解答・その1

（ペンネ－ム：杖のおじさん）

答えは　１回目　１２５％→２回目　１６０％→２００％　又は
１回目　１６０％→２回目　１２５％→２００％　です。

Ａ／１００＊Ｂ／１００＝２００／１００の条件を充たすＡ，Ｂ（整数）を ＣＡＳＩＯ　ＦＸ－８７０Ｐ、ＦＸ－８９０Ｐ　で　プログラムを作り計算しました。
３０行～８０行のプログラムにより
（１９９－１０１＋１）×（１９９－１０１＋１）＝９９×９９＝９８０１回
のループにより計算し答えを出しました。４分４０秒（２８０秒）なので1秒間、 約３５回計算していることになります。プログラムは次の通りです。

１０．ＤＩＭ　Ｄ（２），Ｅ（２）
２０．ＰＲＩＮＴ“ＫＡＫＵＤＡＩ”：Ｆ＝１
３０．ＩＦ　ＩＮＫＥＹ＄＝“”ＴＨＥＮ　３０
４０．ＦＯＲ　Ａ＝１０１　ＴＯ　１９９
５０．ＦＯＲ　Ｂ＝１０１　ＴＯ　１９９
６０．Ｃ＝Ａ＊Ｂ
７０．ＩＦ　Ｃ＝２００００　ＴＨＥＮ　Ｄ（Ｆ）＝Ａ：Ｅ（Ｆ）＝Ｂ：Ｆ＝Ｆ＋１
８０．ＮＥＸＴ　Ｂ
９０．ＮＥＸＴ　Ａ
１００．ＢＥＥＰ　１
１１０．ＦＯＲ　Ｇ＝１　ＴＯ　Ｆ－１
１２０．ＰＲＩＮＴ“Ａ”；Ｇ；“＝”；Ｄ（Ｇ）；“％　＆　Ｂ”；Ｇ；“＝”；Ｅ（Ｇ）；“％”
１３０．ＮＥＸＴ　Ｇ
１４０．ＩＦ　ＩＮＫＥＹ＄＝“”　ＴＨＥＮ　１４０
１５０．ＣＬＳ：ＧＯＴＯ　２０

プログラムの説明
１０行のＤ（２）、Ｅ（２）は答えが２個あることが分かりましたので変数を（２）としました。
２０行でＫＡＫＵＤＡＩと表示されたらＥＸＥキーを押します。
１００行のＢＥＥＰ音が鳴り１２０行で次のようにディスプレイに答えが表示されます。
　　　Ａ（１）＝１２５％　＆　Ｂ（１）＝１６０％
　　　Ａ（２）＝１６０％　＆　Ｂ（２）＝１２５％
その間２８０秒です。エクセル等で作るユーザーフォームのVisual Basicなら瞬間に 答えが出ます。

解答・その2

（ペンネ－ム：浜田　明巳）

エクセルのマクロで解きました。複数組の答が出て来ても対応出来るようにしてあります。
１２５％と１６０％でコピーすればいいです。
同じ拡大率とすると、調和平均のいい例となります。つまり、１００√２％≒１４１％ですね。

Option Explicit
Sub Macro1()
    Sheets("Sheet1").Select
    Cells(1, 1).Value = 0
    Dim n1 As Long
    Dim n2 As Long
    For n1 = 101 To 199
      For n2 = n1 To 199
        If n1 * n2 = 20000 Then
          Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
          Cells(Cells(1, 1).Value, 2).Value = n1
          Cells(Cells(1, 1).Value, 3).Value = n2
        End If
      Next n2
    Next n1
End Sub


解答・その3

（ペンネ－ム：真夏のサンタ）

１２５パーセント×１６０パーセント＝２００パーセント です。
２００＝１６×１２．５にしてから１６と１２．５を１０で割るのがわかりやすいと思いました。

解答・その4

（ペンネ－ム：オヤジ）

０．０１≦a ,b≦０．９９
a≦　 b 但しa, bは０．０１刻み　・・・(1)

より

また　(1)より　b≧

ここで,　 とすると　

∴　１２５％　と　１６０％　の２回

解答・その5

（ペンネ－ム：namiusagi）

一回目の拡大率をX(1.01～1.99)とし、二回目の拡大率をYとして、 Y=2÷Xの商が小数点2桁迄で割切れればそれが答となる。
拡大率(X、Y)の小数点以下2桁目のどちらかが0か5なのでX=(21～39)/20=m/20、Y=(21～39)=n/20として、
XY=mn/400=2で、mn=800となり、800の約数のうち21から39の間にあるのは32,25の2個で夫々がmとnになる。
X=25/20=1.25、Y=32/20=1.6もしくはX=1.6、Y=1.25
故に一回目の拡大を125%、二回目を160%にするか、逆に一回目の拡大を160%、二回目を125%にすれば良い。

解答・その6

（ペンネ－ム：のっこん）

２００００＝２５・５４
よって２００００の約数の個数は６・５＝３０（個）
小さい方から数えて１５番目までを並べると
１、２、４、５、８、１０、１６、２０、２５、３２、４０、５０、８０、１００、１２５
題意より　２００００＝１２５・１６０

（答）１回目・・・１２５％、２回目・・・１６０％　（あるいはその逆）

いい問題ですね！感心しました。

解答・その7

（ペンネ－ム：haya）

【解答】
125% x 160% です。

【解き方】
m x n = 20000 となるような 101 ～ 199 の間の 2 つの整数 m, n を求める。
ところで、20000 = 25 * 54 であり約数は30個あって昇順に並べると、

      1
      2
      4
      5
      8
     10
     16
     20
     25
     32
     40
     50
     80
    100
    125
    160
    200
    250
    400
    500
    625
    800
   1000
   1250
   2000
   2500
   4000
   5000
  10000
  20000

となり、101 ～ 199 の間にあるものは、125 と 160 の 2 個。　これが、
125 * 160 = 20000 と題意を満たしている。

解答・その8

（ペンネ－ム：SOU）

a*b=20000　なる a,b を求める。
a 即ち 20000/b が整数であることから b は 20000 の約数。
そのような b に対応する a とで組を作ると、
条件を満たすものは 53 と 5*25 という組み合わせのみ。
即ち、125% と 160% という組み合わせのみが答で、他には存在しない。

解答・その9

（ペンネ－ム：スモークマン）

一瞬可能なんだろか・・・？って思いましたが...勘で、125*160=20000 になるんだ と思い計算してみました・・・
　　　(1+a/100)(1+b/100)=2
　　　(100+a)(100+b)=20000
　　　20000=25*54
これを100台の3桁同士の積にすればいいので...
　　　53=125,25*5=160
52 だけだと、22*52=100, 23*52=200 になってしまうので...ない。
　　　54=625＞200
けっきょく...一意に決まるんですね ^^
125%と160%を使えばいいわけですね（順番はどちらでもよい）♪

解答・その10

（ペンネ－ム：迷子の雄猫）

掛け算して分母が10,000、分子が20,000だから20,000を素因数分解して・・
199を超えない2つの整数に戻せばいいので、

　20000
=5*10*5*10*2*2*2
=5*5*5*5*2*2*2*2*2
=25*5*5*2*2*2*2*2
=125*5*2*2*2*2*2
=125*10*2*2*2*2
=125*160

答：125%と160%

解答・その11

（ペンネ－ム：マオ）

解答：160%でコピーした後、125％でコピーする（又はその逆）。
１回目のコピーの倍率をx % , ２回目の倍率をy % とする。
　　　1 × x/100 × y/100 = 2
より、xy = 20000
右辺を因数分解して、
　　　xy = 25 × 54
101 ≦ x ≦ 199、101 ≦ y ≦ 199
より、x＞yのとき
　　　x=25 × 5 = 160、y=53 = 125
これより、160%でコピーした後、125％でコピー（又はその逆）すれば、 ２回のコピーで200％にできる。

解答・その12

（ペンネ－ム：再出発）

20000=25*54
101以上199以下の積に変形して
　　20000=125*160
ということで、
125%と160%をつかう。・・・（答）

解答・その13

（ペンネ－ム：バルタン星人）

答え
１２５％と１６０％（逆順とあわせ２通り）

考え方
要は掛けて１０１～１９９の２数をかけて２００００にすれば良い。
まずは素因数分解。２5×５4
５の４乗は６２５なので、５の部分は２５と２５あるいは５と１２５
２５の場合は４倍で１００，８倍で２００となるので不適。
ゆえに唯一解は、１２５と１６０（＝５×３２）

解答・その14

（ペンネ－ム：長崎島原　かがみ）

２００％を２００００と考える。
例えば　１２０％×１６０％＝１９２００と考える。
このとき、題意を満たすには、２００００になればよい。
２００００＝２５×５４ だから
２５の約数と５４の約数の組合せを考えて、
｛１，２１，２２，２３，２４，２５｝と｛１，５１，５２，５３，５４｝の要素の掛け合わせの中で、２００００になるのは ５３ ×（２５×５）の組合せだけである。
すなわち、１２５×１６０＝２００００
したがって、１２５％と１６０％（順不同）の拡大コピーを１回ずつすればよい。

【答】　１２５％と１６０％

解答・その15

（ペンネ－ム：カリオカ）

125%×160%　で　200%です。
a/100×b/100=2=20000/10000なので、101≦a,b≦199で積が20000になる20000の約数 a,bの組合わせを求めればよい。
20000=25×54であることから該当するものを探 すと53×(5×25)即ち125×160がこれに当てはまる。

解答・その16

（ペンネ－ム：AND）

まず、問題を以下のような同等の問題に置き換えて考えてみました。

【問題１５５と同等の問題】
１００より大きく２００未満の整数、XとYとの積が20,000となるXとYの組合せを全て求めよ。

◆解法
まず、20,000を素因数分解してみました。

20,000＝25 * 54 = 32 * 625

３２は１００より小さく、６２５は２００より大きいため、 ３２＊５　と　６２５÷５　を試すと、１６０と１２５となり、 条件にあうことが分かる。
次に、１６０と１２５を基準として、その近傍の解の組合せを 試してみるが、いずれも１００以下か、200以上となるため、 上記の１６０と１２５が唯一の組合せとなる。

解答・その17

（ペンネ－ム：三角定規）

題意より，α，βを 1≦α，β＜100 の整数として，
　　　　(1＋α/100)(1＋β/100)＝2　∴ (100＋α)(100＋β)＝20,000＝25・54
が成り立つ。
100＋α，100＋β は 20,000 の約数で，それぞれ 101 以上，200 未満だから
　　　　100＋α＝53＝125，100＋β＝25・5＝160　（または，この逆）

よって，200％拡大するには，125％ と 160％ の拡大を行う。逆でもよい。…［答］

解答・その18

（ペンネ－ム：falcon@中学教師）

＜答え＞
順番は関係なく125％、160％を1回ずつ行う。

＜考え方＞
200％は、長さを2倍にするという意味なので 1回目のコピーでa倍、2回目のコピーでb倍にする、と文字を置くと
　　a×b＝2　
という式が得られる。

a倍⇔100a ％、　b倍⇔100b ％という対応であるので上記の式から
　　100a×100b＝20000　
という式が得られる。

100a、100bはそれぞれ「101以上199以下の整数」であるので 「かけて20000となる百の位が１である三桁の２つの整数の組」をさがせばよい。

20000を素因数分解すると、25 × 54 であるので、条件に合う組み合わせを探すと、
53 ＝ 125、　25 × 5 ＝160の組み合わせのとき、
125×160＝20000となり、うまくいく。

つまり125％と160％の組み合わせのときに200％の拡大が起きる。
この手順の順番は問わないので
2回のコピーで200％に拡大するには 順番は関係なく125％、160％を1回ずつ行えばよい。

＜考え方２＞
２回の拡大を終えて２００％、つまり２倍にすることとコピー機の倍率が有理数であることを考慮すると、
２回の拡大をそれぞれｂ/ａ倍、２ａ/ｂ倍と表せる。 （ａとｂは互いに素な整数）
倍率が１．０１倍～１．９９倍であるのでａ＜ｂ＜２ａ
またｂ/ａ、２ａ/ｂの候補は１０１/１００～１９９/１００なので
分母であるａとｂの候補は１００の約数に限られる。
（１００の約数は１、２、４、５、１０、２０、２５、５０、１００）
さらに、ａとｂは互いに素であり、ａ＜ｂ＜２ａであるので
（ａ，ｂ）＝（４，５）と決まる。
つまり、求める２回の拡大は
ｂ/ａ倍＝５/４倍＝１２５％、２ａ/ｂ倍＝８/５倍＝１６０％である。

解答・その19

（ペンネ－ム：teki）

答え
１２５％に拡大後、１６０％に拡大する。（順不同）

考え方
２０００００の約数は、２と５しかありません。（２０００００＝２５×５４）
で、２と５でけ使ってできる１０１から１９９の２数を求めればいいわけです。
かけて丁度２０００００になるのは、１２５と１６０の２数しかありません。

解答・その20

（ペンネ－ム：巷の夢）

1回目と2回目の倍率を各々A,Bとすると、
題意より　　　A・B＝20000　　・・・・・・(1)　
　　　　　　　101＜A,B　＜199　　・・・・(2)　　が成立する。
ところで、20000＝25×54　であるから、 (2)の条件より大きい方の値は最大でも25×5＝160であり、 このときもう一方は53　＝125となる。同様にして他の数がないか確かめると、 条件(2)が効いており無い事が分かる。
因って、求める倍率は125％と160％である。

解答・その21

（ペンネ－ム：転位反応）

この問題は、１０１≦Ｘ，Ｙ≦１９９　の範囲にある整数のうち、 ＸＹ＝２００００を満たす二つの約数を求めることに等しい。
２００００＝２５×５４　と素因数分解できるので
２５×５＝１６０、５３＝１２５　だけが上記条件を満足する。
よって、１２５％と１６０％の拡大コピーを各一回ずつ行えば目的を達成できる。

解答・その22

（ペンネ－ム：T_Tatekawa）

2回使って200%にするので，1AB % と 1CD % (A, B, C, D は 0-9 の数字) を 組み合わせて，200.00% にする事を考えます． 20000 を素因数分解すると，

　　　20000 = 2x2x2x2x2 x 5x5x5x5

です．ここから 100 より大きく 200 より小さい 20000 の約数を考えると， 125 と 160 しかありません．

　　　125 x 160 = 20000

なので，コピーは 125% と 160% を繰り返せば 200% に拡大できます．

解答・その23

（ペンネ－ム：シュレーディンガーの三毛猫）

原稿の拡大率の単位を％とし、1回目・2回目それぞれの拡大率をa,bとおく。
題意よりa,bの条件は、
　　101≦ a,b ≦199　(a,bは整数)　・・・（＊）
である。
もとの原稿の大きさをＳとおくと、1回目のコピーでは(a/100)×Ｓと拡大され、 2回目のコピーで原稿は｛（a/100）×Ｓ｝(b/100)の大きさとなる。 これが元の原稿の200％の大きさであることから、

　　（a/100）(b/100)×S＝（200/100）×Ｓ　・・・(1)

が成り立つ。①の両辺に10000をかけることで

　　a×b＝20000　・・・(2)

を得て、(2)および条件（＊）を満たすa,bが解となる。さて、

　　20000＝25×54　・・・(3)

と素因数分解できるので、0≦m≦5, 0≦n≦4なる整数m,nを用いて、(a,b)の組は

　　（a,b）＝（2m×5n, 25-m×54-n）　・・・(4)

と書き下すことができる。 ここで、(4)に対しnについて場合分けを行い、条件（＊）を満たす組を調べる。

(ⅰ）n＝0のとき
　　（a,b）＝{2m, 25-m×54}
となるが、mのとり得る全ての値において、25-m×54＝25-m×625＞199なので不適。

(ⅱ）n＝1のとき
　　（a,b）＝｛2m×5, 25-m×53｝
0≦m≦4の場合、25＜101なので不適。
m＝5の場合、(a,b)＝（160,125）　となって条件を満たす。

(ⅲ）n＝2のとき
　　（a,b）＝｛2m×52, 25-m×52｝
m＝0の場合、a＝25＜101となるので不適。
m＝1,2,3,4の場合、2m×52＜101なので不適。
m＝5の場合、b＝25＜101となるので不適。

(ⅳ)n＝3のとき
　　（a,b）＝｛2m×53, 25-m×5｝
m＝0の場合、(a,b)＝（125,160）となって条件を満たす。
1≦m≦5の場合、2m×53＝2m×125＞199なので不適。

(ⅴ）n＝4のとき
　　(a,b）＝｛2m×54, 25-m｝
となるが、mのとり得る全ての値において、2m×54＝2m×625＞199なので不適。

以上より、②および条件（＊）を満たす(a,b)の組

　　(a,b)＝（125, 160）, (160, 125)

を解として得る。

解答・その24

（ペンネ－ム：藍の空）

二つの倍率をそれぞれｘ，ｙ(%)（それぞれ自然数）とすると、
(x/100)・(y/100)=200/100
　　　　　　∴xy=20000
=25・54

このとき、倍率xについて考えると
xは 101≦x≦199 （…(1)） の範囲の自然数であるから
自然数ｍ，ｎ（1≦m≦5,1≦n≦4）を用いて
x=2m・5n　　と表せる。
このとき(1)を満たす(m,n)の組み合わせを考える。

[1] n=0　のとき　　101≦2m≦199 を満たすmの値は
　25=32＜101　より存在しない。

[2] n=1　のとき　101/5(=20,2)≦2m≦199/5(=39,8) を満たすmの値は
　24=16 , 25=32　　より　m=5

[3] n=2　のとき　101/25(=4,04)≦2m≦199/25(=7,96) を満たすmの値は
　22=4 , 23=8　　 より存在しない。

[4] n=3　のとき　101/125(=0,808)≦2m≦199/125(=1,592) を満たすmの値は
　20=1 , 21=2　　 よりm=0

[5] n=4　のとき　x=625　より不適。

よって、①を満たす(m,n)の組み合わせは
(m,n) = (5, 1) …(2)　, (0, 3) …(3)

　(2)のとき、 x=25・51 =160
　　また、　 y=20000/160 =125
　(3)のとき、 x=20・53 =125
　　また、　 y=20000/125 =160

よって、二回の拡大で元の原稿の大きさを二倍にするような拡大の仕方は
　125%⇒160%　 もしくは　　160%⇒125%　　の二通りである。

解答・その25

（ペンネ－ム：夜ふかしのつらいおじさん）

１０１から１９９の範囲の２整数の積が、２００００になればよいことになります。
２００００＝２×２×２×２×２×５×５×５×５と素因数分解されます。
５の分け方は、(1)４個と０個、(2)３個と１個、(3)２個と２個の３通りです。

(1)の５が４個の場合、積は６２５です。
これは１０１から１９９に入らないので、条件に合いません。
(3)の５が２個の場合、積は２５です。
残りの因数は２だけなので、２５×２×２＝１００、２５×２×２×２＝２００となり１０１から１９９に収まるようにはできません。
(2)の５が３個の場合、積は１２５です。
残りの因数の積２×２×２×２×２×５＝１６０です。
(2)の場合うまくいく例が見つかりました。
この他には例がないことが次のように考えると説明できます。
５を入れ替えてもうまくいきません。
(2)の状態から５のやりとりをすると、(1)か(3)の場合になりますが、ともにうまくいかないことが分かっています。
１２５に２をかけると１９９を超えうまくいきません。

以上から、１２５倍、１６０倍（逆も可）とコピーをすればうまくいきます。

正解者

namiusagi オヤジ スモークマン
falcon@中学教師 再出発
巷の夢
のっこん haya マオ
teki 転位反応 バルタン星人
迷子の雄猫 浜田明巳 杖のおじさん
夜ふかしのつらいおじさん カリオカ 長崎島原　かがみ
シュレーディンガーの三毛猫 藍の空 AND
T_Tatekawa SOU 真夏のサンタ
三角定規

コメント

この問題は、積が20000になる２つの整数の組合せを探してくるということになります。 多くの方が素因数分解を手掛かりに探してくださいました。
拡大率200%(２倍)というのは、相似比(長さの比）ですから、面積比でいうと４倍ということになります。 一般的なコピー機では、「Ａ４→Ａ３」、「Ｂ５→Ｂ４」という面積が２倍になる拡大がメニューにあると思います。 これは面積比２倍ですから、相似比(長さの比）√２倍の拡大を行っていることになります。 これを２回繰り返せば、相似比(長さの比）２倍、面積比４倍となります。 現実的にはこうするのでしょうが、今回は、 整数拡大しかできないコピー機を使ってお答えいただきましたので、これはだめですね。

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