Challenge!

問題152　１桁の足し算
Weekend Mathematics／問題／問題152　１桁の足し算

１５２．１桁の足し算

図１の１段目の□の中に１桁の整数を入れ、となり合った数の桁を計算し、 その一の位の数を２段目の□の中に入れます。同じように、２段目のとなり合った数の和を計算し、 その一の位の数を３段目の□の中に入れます。さらに、３段目のとなり合った数の和を計算し、 その一の位の数を４段目の□の中に入れます。 図２は、１段目に（３，０，５，９）を入れたときの例です。



いま、１段目から４段目までの10個の□の中に、０から９の10個の数字が １つずつ入るようにしたいと思います。ただし、６と９の 位置は図３のように決まっています。
このとき、次の各問いに答えてください。
(1)４段目の□に入る数は何ですか。
(2)ア、イに入る数を求めなさい。

問題の出典

センスのよい脳をつくる　大人の算数パズル
河瀬　厚　著
自由国民社
専修大学松戸中学校　2006年

答えと解説

解答・その1

（ペンネ－ム：やなせ）

問い１の答えは　　　０　です
問い２の答え　　　アには　４　で　　　イには　１　です。

でもなぜそうなるのか、他の数字ではなぜダメなのかの数学的証明は 相変わらず解らない・・・・・
しらみつぶしのエクセル頼り（マクロは使えない・・知らない）
最後が０ってのは、同じ数字を２度と使用しないって所から 推測がつきましたけどね（あくまでも推測です・・・感？）
そこから、６と９が既に使われているので ３段目は３と７か　　８と２意外に無いと考えて まっそんな所から、色々探っての答えです。

解答・その2

（ペンネ－ム：オヤジ）

解答　（１）　０　　（２）ア：４　　イ：１

∵　（１）途中の段で、０が現れると上下の段で同じ数字が現れるため。
　　（２）３図の３段目は、「２と８」または、「３と７」の２種類しか存在しない。　

          9      4     1     6

            3      5      7

              8      2

                0


解答・その3

（ペンネ－ム：teki）

１　０
２　ア　４　　イ　１

４段目は０しかあり得ません。
なぜかって？　３段目より上段に０があると、同一数字が必ず現れるからです。
で、３段目は（２．８）又は（３．７）の組み合わせとなります。
後は試行錯誤で・・・・・・。

９　４　１　６
　３　５　７
　　８　２
　　　０


解答・その4

（ペンネ－ム：三角定規）

(1) ４段目に入る数字は，0 …[答]
なぜなら，他の場所に 0 が入るとすると，隣の数との和が隣の数となり， 「数が 1 つずつ入る」 という条件に反するから。
(2) 図３のとき，空欄に入るすべての数は下の図のようになります。大変冗長になるので説明は省略します。



よって，ア は 4，イ は 1 …[答]

解答・その5

（ペンネ－ム：haya）

(1) 0
(2) 4, 1

【解き方】
(1) 一番下の箱以外で ０ を使うと隣の数字と同じ数値が下に出て重複してしまうので、 一番下の箱は必然的に ０ となる。
(2) そうすると、一つ上の箱は、3 と 7 か 2 と 8 となる。　 残った数字の組合せを試すと、3 と 7 では不成立、8 と 2 で下図のような組合せのみが題意を満足する。　 従って解は、4, 1 です。

　９ ４ １ ６
　　V  V  V
　　３ ５ ７
　　　V　V
　　 ８ ２
　　　 V
　　　 ０


解答・その6

（ペンネ－ム：バルタン星人）

１）０
２）ア４　イ１

考え方：
１）０が他の位置に来ると、同じ数が出来るので不適。
２）３段目の和は１０。６，９が使われているので（２，８）または（３，７）。
（２，８）ならば２段目に４は入れない（４＋８＝１２，４＋４＝８）
から、アが４。その左下は３。９が使われているのでその下は８。
以下、芋づるで

　　９　４　１　６
　　　３　５　７
　　　　８　２
　　　　　０
３段目が（３，７）なら１段目に４は入れないので２段目になるが ２段目でも４＋９＝１３，４＋３＝７と３段目の３または７を 作ることが出来ないため矛盾。 故に、上記が唯一解。

解答・その7

（ペンネ－ム：スモークマン）

0～9 までの和=45 なので...最後の下一桁は5のような気がしたけど...
0が途中にあったら同じ数がでるから...最後は0
その上は、2-8,3-7 しかない。
　7=2+5
しかし、2=6+6=3+9 なので無理。
　8=1+7=3+5
しかし、1=2+9=6+5
なので、無理。
つまり、8=3+5

9 4 1 6
 3 5 7
  8 2
   0
でビンゴ♪
逆だと無理なのは以下だから...
9 8 7 6
 7 5 3
  2 8
   0
結局、

(1)４段目の□に入る数は何ですか。・・・0
(2)ア、イに入る数を求めなさい。・・・ア：4,イ：1
の一通りに決定された♪

解答・その8

（ペンネ－ム：のっこん）

２段目を左からウ、エ、オ
３段目を左からカ、キ
４段目を ク とする

（１）０は１段目にも２段目にも３段目にも入ることができないので　ク＝０
　　（１段目に入ると１段目と２段目で数字が重複する、
　　　２段目に入ると２段目と３段目で数字が重複する、
　　　３段目に入ると３段目と４段目で数字が重複する）

（２）（カ、キ）＝（２、８）または（８、２）または（３、７）または（７、３）なのでこの４つの場合に分ける
Ａ．（カ、キ）＝（２、８）の時
　　（ウ、エ）＝（５、７）または（７、５）なので
　　（ウ、エ、オ）＝（５、７、１）または（７、５、３）・・・・いずれも不適
Ｂ．（カ、キ）＝（８、２）の時
　　（エ、オ）＝（５、７）または（７、５）なので
　　（ウ、エ、オ）＝（３、５、７）または（１、７、５）
　　（ウ、エ、オ）＝（３、５、７）は　（ア、イ）＝（４、１）の時、題意を満たす
　　（ウ、エ、オ）＝（１、７、５）・・・・不適
Ｃ．（カ、キ）＝（３、７）の時
　　（エ、オ）＝（２、５）または（５、２）なので
　　（ウ、エ、オ）＝（１、２、５）または（８、５、２）・・・・いずれも不適
Ｄ．（カ、キ）＝（７、３）の時
　　（ウ、エ）＝（２、５）または（５、２）なので
　　（ウ、エ、オ）＝（２、５、８）または（５、２、１）・・・・いずれも不適

答え・・・（ア、イ）＝（４、１）


解答・その9

（ペンネ－ム：falcon@中学教師）

＜答え＞
（１）　０
（２）　ア＝４、イ＝１

＜考え方＞
まず、１～３段目で０との加法が行われると段の上下で同じ数が出てきてしまうので ０が入るのは4段目に限られる。
したがって問題（１）の答えは　０

次に3段目を考える。
4段目で０が出るためには、足して１０になる2数の並びでないといけない。
ただし、1段目で９と６が使われているので
3段目の可能性は（２，８）、（８，２）、（３，７）、（３，７）の４通りになる。

いったん、ここで各□の中に入る数字が、どのような数の一の位であるかを図示すると・・・

 
１段目・・・９　　　　　　　　ア　　　　　　　　　　　イ　　　　　　　　　　　６
２段目・・・　　９＋ア　　　　　　　　　ア＋イ　　　　　　　　　イ＋６
３段目・・・　　　　　９＋２×ア＋イ　　　　　ア＋２×イ＋６
４段目・・・　　　　　　　　　　９＋３×（ア＋イ）＋６　　　　　　　　　　　　　　（２～４段目は左図の式で表される数の一の位）
４段目が０だとわかっているので
９＋３×（ア＋イ）＋６＝（１０の倍数）となり、
この関係式からわかるアとイの可能性は（１，４）、（４，１）、（２，３）、（３，２）、（７，８）、（８，７）
しかし、3段目の可能性が（２，８）、（８，２）、（３，７）、（３，７）だったことを考慮に入れると
アとイの可能性は（１，４）、（４，１）の２通りに絞られる。

あとは、代入して試してみる。
（ア，イ）＝（１，４）だとすると・・・
 
１段目・・・９　　　１　　　４　　　６
２段目・・・　　０　　　５　　　０
３段目・・・　　　　５　　　５
４段目・・・　　　　　　０
となり、不適
（ア，イ）＝（４，１）だとすると・・・
 
１段目・・・９　　　４　　　１　　　６
２段目・・・　　３　　　５　　　７
３段目・・・　　　　８　　　２
４段目・・・　　　　　　０
となり、うまくいく。
したがって問題（２）の答えは　ア＝４、イ＝１

解答・その10

（ペンネ－ム：転位反応）

(1) 1、2または3段目に、「0」を入れるとその下段に同じ数字が現れ、 題意を満たさない。よって、４段目の数字が０である。

(2) 3(5+ア+イ)の一位が0であること
かつ、3≦(ア+イ)≦15 であることから、ア、イは以下の条件を満たす。
　 3(5+ア+イ)=30 ・・・(1)
　または、
　3(5+ア+イ)=60　・・・(2)

　・ケース(1)： ア+イ=5
考えられる(ア,イ)として、(1,4)、(2,3)、(4,1)、(3,2)
　　　検証すると、(4,1)以外は題意を満たさない
　・ケース(2)： ア+イ=15
考えられる(ア,イ)として、(6,9)、(7,8)、(8,7)、(9,6)
　 検証すると、何れも題意を満たさない

よって、ア=4、イ=1



解答・その11

（ペンネ－ム：杖のおじさん）

答え　ア＝４　イ＝１　です。

①～⑩までの□の中に０を入れると下の段の□に同じ数字が出ますので ０は四段目の⑩に入ります。
三段目の⑧⑨の合計数字が０になる組合せは次の４パターンになります。
Ａ．３と７　　Ｂ．７と３　　Ｃ．２と８　　Ｄ．８と２

ＡとＢのパターンは０→３→1→３で３という同じ数字がでますので駄目です。
０→７→４を入れて検証すると左の３→４となり同じ数字が出るので駄目です。
従って８と２があるＣとＤのパターンを検証します。
三段目の⑧に８を入れると全ての□に0～９までの異なる数字を入れる事が出来ます。
三段目の⑧に２を入れると同じ数字が出来ますので駄目です。
従って図１の通りの数字の配置となり答えはア＝４　イ＝１が答えになります。



解答・その12

（ペンネ－ム：tt）

(1)１～3段目に0が入るとすると、同じ数字が二回入ってしまう（＝0の隣の数字 と、0の下の数字が同じになる）ので題意に反する。 従って、0が入るのは4段目しかあり得ない。答え　0
(別解:下段の数字は上段の二つの数字の和の一の位の数であるが、 和が二桁になる場合に十の位の数字を残していって、最後に一の位の数字を残して も 結果は同じになる。この性質を利用し、一段目から下段に向かって、 加えた数字の一の位だけを残すのでなく 十の位も含めた数字を記入していくとする。その上で更にすべての数字を足す と、和は

９＋ア＋イ＋６＋
（９＋ア）＋（ア＋イ）＋（イ＋６）＋
（９＋ア＋ア＋イ）＋（ア＋イ＋イ＋６）＋
（９＋ア＋ア＋イ＋ア＋イ＋イ＋６）
＝９×（ア＋イ）＋６０
となる。この一の位の数は 実際には10個の□内に0から9までの数字が一つずつ入っているのでその総和
　　0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
の一の位の数字、即ち５である。従って 9×（ア＋イ）の一の位が5であるので、（ア＋イ）は5又は15である。
（１≦（ア＋イ）≦15なので） (*)
4段目の数字は3×ア＋3×イ＋15＝3×（ア＋イ＋５）の一の位の数字であるところ、 （ア＋イ）が５又は15であることから（ア＋イ＋5）は10の倍数になる。以上から、 4段目の数字は0である。)

(2)上記 (*)から、まず二段目真ん中の□に入る数字（(ア＋イ)の一の位の数字)は5 と分かる。 そこで（ア＋イ）が5であるか15であるかを考えるが、15であるとする と、（ア、イ）＝（８，７）又は（７，８） のどちらかの場合しかあり得ない。ア＝８であるとすると二段目左の□には７が入る が、イ＝７であることから 重複してしまうので不可。ア＝７であるとすると二段目左の□には６が入るが、６は 既に一段目の一番右に 入っているのでこれも重複が生じ、不可である。従って、ア＋イ＝5である。これま でに0,5,6,9がどの□にはいるか 分かっているので、残る6つの□に1,2,3,4,7,8が一つずつ入ることになる。これら６ つの□に入る数字はそれぞれ 一段目（ア、イ）、二段目（（ア＋９）の一の位の数字、（イ＋６）の一の位の数 字）、三段目（（ア＋９＋５，即ちア＋１４）の一の位の数字、（イ＋６＋５、即 ちイ＋１１）の一の位の数字） となっているところ、二段目左は（ア－１）、三段目右は（イ＋１）である。以上 から、ア＋イ＝５、1≦ア≦４、1≦イ≦４であり、 かつ　イ、（イ＋１）、（ア－１）、アの４つの数字が相異なっている必要があ る。この条件を満たすのは イ＝１、ア＝４　以外にはなく、実際に計算してみて十個の□に0～9が一つずつ入る ことを確認した。

答え：　アは４，イは１。

解答・その13

（ペンネ－ム：巷の夢）

右図のように番号をふり題意を考える。
条件を整理すると、0～9の数は各々1回しか使用できない。
即ち、同じ数を2回使用してはいけないので0は最後の段でしか使用できないことになる。
因って、ク＝0となる。
これより、(カ、キ)は（2,　8）ないし（3、7）しかないことが分かる。
今、カ＝8、キ＝2としてみると、
ウ+エ＝1+7、7+1、3+5、5+3のどれかであり、エ+オも
各々に対し、
エ+オ＝7+5、5+7のどちらかである。即ち、
（ウ、エ、オ）＝（1,7,5）ないし（3,5,7）のどちらかである。
今、ウ＝1とすると、ア＝2となりキと同じ値となるので駄目である。そこで、ウ＝3とすると、
ア＝4となる。因って、ア＋イ＝4＋イ＝5よりイ＝1となる。イ+6＝1+6＝7＝オとなり題意を満たす。 即ち、これが求めるものである。 因って、ア＝4、イ＝1である。
次に(カ、キ)＝（2,　8）、（3,7）および（7,3）の3ケースについても同様な検討を行うと、全て矛盾が生じてしまう。 因って、前記解答が求めるものである。

解答・その14

（ペンネ－ム：夜ふかしのつらいおじさん）

(1)４段目の数は、０です。
０は何と足してもその数を変化させないので３段目までにあってはなりません。
１０個の場所に、１０種の数を入れることができなくなります。

(2)場合の数がそんなに多くないので条件を増やして狭めていきます。
１段目のアとイに、０，６，９がこないとすると
７P２＝７×６＝４２通り
さらに２段目の両端に０，６，９がこないことを条件として加えると
アに０，３，４を、イに０，１，７を用いないので、次の２２通りです。
　abcdefghijklmnopqrstuv
ア1111122225555777778888
イ2345834582348234582345

場合の数が多くないので具体的に書き出してみると、



アは１、イは４です。

解答・その15

（ペンネ－ム：T_Tatekawa）

(1) 4段目以外に0が入ると，そのすぐ下の□は隣の数字と同じになってしまう．よって4段目の□は0．

(2) (1) から3段目の□の和は10である．1段目で6と9が使われているので， (2, 8) か (3, 7) の組み合わせ．
奇数を o，偶数を e として1段目から並べてみる．
1段目に奇数か偶数のいずれかが揃うと

    9 o o 6  9 e e 6
     e e o    o o e
      e o      e o
となり，4段目が0（偶数）にならないのでダメ．
    9 o e 6  9 e o 6
     e o e    o o o
      o o      e e
       0        0
前者の場合，左側が7でないと2段目の o に適した数が入らない．
    9 o e 6   9 o e 6
     e o e     e o e
      7 3       3 7
       0         0
右側は，2段目のoを1にするとその右が6なので矛盾．
2段目のoを5にするとその右が2．1段目の6の左も6になり矛盾．
左側で2段目の o を 5 にすると，2段目は収まる．
    9 o e 6
     2 5 8
      7 3
       0
ところがこれでも1段目がだめ．9 3 2 6 では 2 と 3 が重複．
よって3段目に戻り，(2, 8) の組を考える．
1段目のeが残りの 4 になる．
    9 4 o 6  9 4 o 6
     o o o    o o o
      2 8      8 2
       0        0

    9 4 o 6  9 4 o 6
     3 o o    3 o o
      2 8      8 2
       0        0
左側は 3 の隣が 9 になるので矛盾．
残る答えは
    9 4 1 6
     3 5 7
      8 2
       0
である．アは 4，イは 1．

解答・その16

（ペンネ－ム：くっきー♪）

（１）０
（２）ア＝４、イ＝１

考え方：
１段目は問題より、９、ア、イ、６
２段目を左から順に、ウ、エ、オ
３段目を左から順に、 カ、キ
４段目を クとします。
記号「≡」を「１０で割ったあまりが等しい」ことを意味するとします
（１０を法とする剰余という言い方でいいんでしたっけ。。）。

（１）
たとえば、ウ＝０としてみると、カ≡ウ＋エ＝エ。
しかしながら、１桁の数字を一回づつ使うという条件から、
カ＝エはありえない。
したがって、ウ≠０。
同様に、ア～キは０ではありえません。
結局、０が入ることができるのは一番下のクのみです。

（２）
カ＋キを考えます。
ク≡カ＋キで、
ク＝０、カとキは一桁の数字なので、カ＋キ＝１０。
また、カ＋キ≡ウ＋オなので、ウ＋オ≡０。
これと、ウ＋オ≡９＋ア＋イ＋６から、ア＋イ≡５。

ア＋イ≡５を満たすアとイの組み合わせは、
（ア、イ）＝（１、４）、（４、１）、（７、８）、（８、７）の４通り。
（ア、イ）＝（１、４）は、ウ≡ア＋９≡０となり不適。
（ア、イ）＝（７、８）は、ウ≡ア＋９≡６となり不適。
（ア、イ）＝（８、７）は、ウ≡ア＋９≡７＝イとなり不適。
消去法で残るのは、（ア、イ）＝（４、１）の組み合わせ。
そして、このとき
（ア、イ、ウ、エ、オ、カ、キ、ク）＝（４、１、３、５、７、８、２、０）と なり、確かに題意を満たす解が得られる。

[補足]「カ＋キ≡ウ＋オ」について
カ＋キ≡０であり、カ≠キだから
カ≡５＋α、キ≡５－αとおけます（カ≡５－α、キ≡５＋αでも同じ）。
カ≡ウ＋エから、ウ＋エ≡５＋α
キ≡オ＋エから、オ＋エ≡５－α≡５＋（１０－α）
エは、ウ＋エとオ＋エに共通している因子だから、エ＝５と結論しました。
したがいまして、カ＋キ≡ウ＋エ＋オ＋エ≡ウ＋オ＋１０≡ウ＋オになりました。

解答・その17

（ペンネ－ム：迷子の雄猫）

図の升目に以下のとおり記号をつける。
１段目左から、９、ア、イ、６
２段目左から、　ウ、エ、オ
３段目左から、　　カ、キ
４段目左から、　　　ク

ア、イのマスのいずれかがが０だとすると、ウまたはオのマスが、９または６になってしまう。
同様に、ウ、エ、オ、カ、キのマスのいずれかがが０だとすると、
下の段の升目の数字が、上の段の升目の数字と同じになってしまうので、
１段目から４段目までの10個の□の中に、０から９の10個の数字が１つずつ入らなくなってしまう。
よって、０はクのマスに入る。

カ、キの組み合わせとしてありえるのは
（カ，キ）＝（１，９），（２，８），（３，７），（４，６），（５，５），
（９，１），（８，２），（７，３），（６，４）
であるが、９，６は既に使用されているので、
（カ，キ）＝（２，８），（３，７），（８，２），（７，３）

升目の配置より、 （９＋ア）＋（ア＋イ）＋（イ＋６）＝ウ＋エ＋オ　（mod 10）
（ウ＋エ）＋（エ＋オ）＝カ＋キ＝ク＝０　（mod 10）
（９＋ア）＋（ア＋イ）＋（イ＋６）＋（ア＋イ）＝０　（mod 10）
３ア＋３イ＋１５＝０　（mod 10）
３（ア＋イ＋５）＝０　（mod 10）
（ア，イ）の組み合わせとしてありえるのは
（ア，イ）＝（０，５），（１，４），（２，３），（３，２），（４，１），
（５，０），（６，９），（７，８），（８，７），（９，６）
であるが、０，９，６は既に使用されているので、
（ア，イ）＝（１，４），（２，３），（３，２），（４，１），（７，８），
（８，７）
であるが、（カ，キ）の升目には２か３の一方、７か８の一方は入ることから、
（ア，イ）＝（１，４），（４，１）

（ア，イ）＝（１，４）とすると

９１４６
 ０５０
　５５
 　０
となって数字が重複する。

（ア，イ）＝（４，１）とすると
９４１６
 ３５７
  ８２
　 ０
となって10個の数字が１つずつ入る。

解答・その18

（ペンネ－ム：浜田明巳）

(1) ０
(2) ア：４，イ：１

  Option Explicit
'9   a   b   6
'  c   d   e
'    f   g
'      h
Sub Macro1()
    Sheets("Sheet1").Select
    Cells(1, 1).Value = 0
    Dim a As Integer
    Dim b As Integer
    Dim c As Integer
    Dim d As Integer
    Dim e As Integer
    Dim f As Integer
    Dim g As Integer
    Dim h As Integer
    For a = 0 To 8
      If a <> 6 Then
        c = (9 + a) Mod 10
        If c <> 6 And c < 9 And a <> c Then
          For b = 0 To 8
            If b <> 6 And a <> b And b <> c Then
              d = (a + b) Mod 10
              If d <> 6 And d < 9 And a <> d And b <> d And c <> d Then
                e = (b + 6) Mod 10
                If e <> 6 And e < 9 And a <> e And b <> e And c <> e And d <> e Then
                  f = (c + d) Mod 10
                  If f <> 6 And f < 9 And a <> f And b <> f And c <> f And d <> f And e <> f Then
                    g = (d + e) Mod 10
                    If g <> 6 And g < 9 And a <> g And b <> g And c <> g And d <> g And e <> g And f <> g Then
                      h = (f + g) Mod 10
                      If a + b + c + d + e + f + g + h = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8 Then
                        Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
                        Cells(Cells(1, 1).Value, 2).Value = a
                        Cells(Cells(1, 1).Value, 3).Value = b
                        Cells(Cells(1, 1).Value, 4).Value = c
                        Cells(Cells(1, 1).Value, 5).Value = d
                        Cells(Cells(1, 1).Value, 6).Value = e
                        Cells(Cells(1, 1).Value, 7).Value = f
                        Cells(Cells(1, 1).Value, 8).Value = g
                        Cells(Cells(1, 1).Value, 9).Value = h
                      End If
                    End If
                  End If
                End If
              End If
            End If
          Next b
        End If
      End If
    Next a
End Sub


正解者

オヤジ teki のっこん
転位反応 スモークマン falcon@中学教師
迷子の雄猫 巷の夢 haya
くっきー♪ 杖のおじさん 浜田明巳
tt やなせ T_Tatekawa
夜ふかしのつらいおじさん 三角定規 バルタン星人

コメント

hayaさんから次のようなメールをいただきました。

ところで、9 と 6 の制約を外して、PCで解を検索すると、中途半端に 8 パターン出てきます。 左上の箱に 1 ～ 9 の数字がそれぞれ入って始まりますが、5 で始まるものがないのです。 5 はどのパターンでも2段目の中央にあって、 一番下の箱が 0 でなければならないのと同様な扱いをすべき数値となっていました。
そこが 5 だとわかっていれば話はもっと簡単になるのですが、証明できません。 使える数字は奇数5個と偶数5個ですから、5 が入る箱が奇数に限ることは証明できるのですが・・・。
さらに、問題の箱を題意に沿って満たすには、数字を均等にばら撒くことがポイントなようで、 成立したパターンを見ると、何れも一段目の合計は 20、二段目の合計は 15、三段目の合計は 10 でし た。丁度、1 ～ 9 の平均 5 の個数倍になっています。

考えてみました。右の図のように、各□をＡ～Ｊとします。
ＸとＹのそれぞれ１の位が等しいとき、Ｘ≡Ｙ　(mod 10)　と書くことにします。10で割った剰余が等しいということです。
　　Ｅ≡Ａ＋Ｂ　(mod 10)
　　Ｆ≡Ｂ＋Ｃ　(mod 10)
　　Ｇ≡Ｃ＋Ｄ　(mod 10)
　　Ｈ≡Ｅ＋Ｆ≡Ａ＋２Ｂ＋Ｃ　(mod 10)
　　Ｉ≡Ｆ＋Ｇ≡Ｂ＋２Ｃ＋Ｄ　(mod 10)
　　Ｊ≡Ｈ＋Ｉ≡Ａ＋３Ｂ＋３Ｃ＋Ｄ　(mod 10)

Ｊ＝０より、Ｊ≡（Ａ＋Ｄ）＋３（Ｂ＋Ｃ）≡０　(mod 10)・・・(1)　である。
ここで、全ての数の和　Ａ＋Ｂ＋・・・＋Ｊを考える。
　　Ａ＋Ｂ＋・・・＋Ｊ
　≡（Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ）＋（Ｅ＋Ｆ＋Ｇ）＋（Ｈ＋Ｉ）＋Ｊ　(mod 10)
　≡Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋（Ａ＋２Ｂ＋２Ｃ＋Ｄ）＋（Ａ＋３Ｂ＋３Ｃ＋Ｄ）＋（Ａ＋３Ｂ＋３Ｃ＋Ｄ）　(mod 10)
　≡４（Ａ＋Ｄ）＋９（Ｂ＋Ｃ）　(mod 10)
一方、Ａ＋Ｂ＋・・・＋Ｊ＝４５だから、
　　　４（Ａ＋Ｄ）＋９（Ｂ＋Ｃ）≡５　(mod 10)・・・(2)　
(1)より、３（Ｂ＋Ｃ）≡－（Ａ＋Ｄ）　(mod 10)　であるから、これを(2)に代入すると、
　　　Ａ＋Ｄ≡５　(mod 10)・・・(3)　
このとき、式(1)より、３（Ｂ＋Ｃ）≡－５≡５　(mod 10)　となり、 これより、Ｂ＋Ｃ≡５　(mod 10)となる。
Ｆ≡Ｂ＋Ｃ≡５　(mod 10) であり、Ｆは１桁の数だから、Ｆ＝５となる。

次に、段ごとの数の和を考えてみる。
４段目は、Ｊ＝０
３段目は、Ｈ＋Ｉ≡Ｊ　(mod 10)、Ｊ＝０であり、１桁の数２つの和 であることを考慮すると、Ｈ＋Ｉ＝１０
２段目は、Ｅ＋Ｆ＋Ｇ≡（Ａ＋Ｄ）＋２（Ｂ＋Ｃ）≡（Ａ＋Ｄ）＋２Ｆ≡（Ａ＋Ｄ）＋１０≡５　(mod 10)
１桁の数３つの和であることを考慮すると、Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＝１５
１段目は、Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ≡（Ａ＋Ｄ）＋（Ｂ＋Ｃ）≡０　(mod 10)
１桁の数４つの和であることを考慮すると、Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝２０

top