Challenge!

問題148　階乗の問題
Weekend Mathematics／問題／問題148　階乗の問題

１４８．階乗の問題

正の整数に対し、ｎ！を ｎの階乗といい、ｎ以下の全ての正の整数の積を表すものとする。例えば、
　　　４！＝４×３×２×１＝２４である。

(1) ２０！を素因数分解せよ。
(2) ２０！の正の約数で、立方数であるものはいくつあるか。その個数を答えよ。 ここに、立方数とは、１、８、２７などのように、ある正整数の３乗で表される数のことをいう。
(3) ２０！の正の約数で、１９！の約数でないものはいくつあるか。 その個数を素因数分解した形で答えよ。
(4) ２０！の正の約数で、（１０進法で表したときの）各桁の和が２であるものは いくつあるか。その個数を答えよ。

問題の出典

広中杯ハイレベル中学数学に挑戦
算数オリンピック委員会監修
講談社ブルーバックス
2006年ファイナル問題

答えと解説

解答・その1

（ペンネ－ム：三角定規）

(1) 20!＝218・38・54・72・11・13・17・19

(2) 23＝a，33＝b，53=c とおくと，
　20!＝a6・b2・c・11・13・17・19　であるから，
　立方数である約数の個数は (6＋1)3＋1)(1＋1)＝42 個

(3) Pass

(4) 題意を満たすものは，
　2， 20， 200， 2000， 20000　← 2・(2・5)n (n＝0，1，2，3，4)
　11， 110， 1100， 11000， 110000　← 11・(2・5)n
　1001，10010，100100，1001000，10010000　← 7・11・13・(2・5)n
　の 15 個 がすぐ見つかる。この他には，
　101 は 3，7 を約数にもたない。
　10001 は，3，7，11，13，17，19 を約数にもたない。
　100001＝11・9091 で，9091 は 3，7，11，13，17，19 を約数にもたない。
　1000001＞969969＝3・7・11・13・17・19
　だから，ここまで調べればよく，その個数は，15 個。　■

解答・その2

（ペンネ－ム：迷子の雄猫）

(1)２０！＝１９＊１７＊１３＊１１＊７２＊５４＊３８＊２１８

(2) ２０！の正の約数で、立方数であるものは
（５０か５３）＊（３０か３３か３６）＊ （２０か２３か２６か２９か２１２か２１５か２１８）
であるから個数は、2*3*7個

(3) １９！は１９＊１７*１３*１１*７２＊５３＊３８＊２１６
であるから、
（１９０か１９１）＊
（１７０か１７１）＊
（１３０か１３１）＊
（１１０か１１１）＊
（７０か７１か７２）＊
（３０か３１か３２か３３か３４か３５か３６か３７か３８）＊
｛
　　（５４＊２０～２１６）
　　または
　　（５０～５４＊２１７～２１８）
｝
であるから
　２４＊３＊９＊（１７＋５＊２）
＝２４＊３＊９＊２７
＝２４＊３＊９＊３＊９
＝２４＊３６（個）

(4) ２０！の正の約数で、（１０進法で表したときの）各桁の和が２であるものは 候補として以下のものが考えられる。
　（あ）2＊（１００～１０４）
　（い）11＊（１００～１０４）
　（う）101＊（１００～１０４）
　（え）1001＊（１００～１０４）
　（お）10001＊（１００～１０４）
　（か）100001＊（１００～１０４）
　（き）1000001＊（１００～１０４）
10..01の形の整数は、2,3,5で割り切れないのは自明なので、
１９＊１７*１３*１１*７２＝2263261より10000001（０は６個）以上は約数に なりえない。
（１００～１０４）部分は（（２＊５）０～（２＊５）４）であるので２０！の約数 よって前半部分のみ調べる。以下（１）の結果より・・・
　（あ）２は２０！の約数、なので２０！の約数
　（い）１１は２０！の約数、なので２０！の約数
　（う）１０１は素数、なので２０！の約数ではない
　（え）１００１＝７＊１１＊１３、なので２０！の約数
　（お）１０００１は７～１９のいずれでも割り切れないので２０！の約数ではない
　（か）１００００１＝１１＊９０９１で、９０９１は7,13,17,19のいずれでも割り切れないので２０！の約数ではない
　（き）１０００００１は７～１９のいずれでも割り切れないので２０！の約数ではない
よって実際に２０！の正の約数で、（１０進法で表したときの）各桁の和が２であるものは
以下の３＊５（個）＝１５（個）
　（あ）2＊（１００～１０４）
　（い）11＊（１００～１０４）
　（え）1001＊（１００～１０４）

解答・その3

（ペンネ－ム：haya）

(1)答え 　218 * 38 * 54 * 72 * 11 * 13 * 17 * 19

(2)答え　42個

(3)答え　24 * 36

(4)答え　15個

【解き方】

(1) 1～20までの整数をそれぞれ素因数分解し、指数を合成する

(2) 1=13 を別格として、23, 33, 53 を組み合わせる
　[1] 1種類で
　　13
　　23, 26, 29, 212, 215, 218
　　33, 36
　　53
　[2] 2種類使って
　　23*33, 23*36, 23*53,
　　26*33, 26*36, 26*53,
　　29*33, 29*36, 29*53
　　212*33, 212*36, 212*53,
　　215*33, 215*36, 215*53,
　　218*33, 218*36, 218*53
　　33*53, 36*53
　[3] 3種類使って
　　23*33*53, 23*36*53,
　　26*33*53, 26*36*53,
　　29*33*53, 29*36*53,
　　212*33*53, 212*36*53,
　　215*33*53, 215*36*53,
　　218*33*53, 218*36*53
以上、計42個

(3) 217, 218, 54 が入ると19!の約数にならない
　[1] 217 または 218 が入っているが 54 が入っていないケース
　　2の累乗は2種類、3の累乗は0～8までの9種類、5の累乗は0～3までの4種類、
　　7は0～2までの3種類、11, 13, 17, 19 はそれぞれ 0～1 のバリエーションがあるから、
　　2*9*4*3*24
　[2] 217 及び 218 は入らず 54 が入っているケース
　　同様に、17*9*1*3*24
　[3] 217 または 218 と 54 が同時に入っているケース
　　2*9*1*3*24

求める個数は
　[1]+[2]+[3] = (2*4 + 17*1 + 2*1)*9*3*24 = 27*9*3*24 = 24 * 36

(4) 20 ! の約数は、a=0～18 , b=0～8, c=0～4, d=0～2, e=0～1, f=0～1, g=0～1, h=0～1 として、
　2a * 3b * 5c * 7d * 11e * 13f * 17g * 19h
と書ける。求める約数の桁を構成する数値が 2 が1個でそれ以外は 0 とすれば
　2*10i
の形に書ける。　これらを左右辺とする式を作り対数を取れば、
　a*log2 + b*log3 + c*log5 + d*log7 + e*log11 + f*log13 + g*log17 + h*log19 = log2 + i
b = d = e = f = g = h = 0 は必然で、
　log2 + i*(log2 + log5) = log2 + i
となるから、j = 0, 1, 2, 3, 4 を適用して、
　2
　20
　200
　2000
　20000

桁を構成する数値が 1 が2個、それ以外は 0 とすれば
　2a * 3b * 5c * 7d * 11e * 13f * 17g * 19h = (10i + 1)*10j
同様に両辺の対数を取ると
　a*log2 + b*log3 + c*log5 + d*log7 + e*log11 + f*log13 + g*log17 + h*log19 = log(10i + 1) + j
i = 1 と i = 3 の時にそれぞれ
　log11 + j(log2 + log5) = log11 + j
(log 7 + log11 + log13) + j(log2 + log5) = log1001 + j
となるから、j = 0, 1, 2, 3, 4 を適用して、
　11
　110
　1100
　11000
　110000
　と
　1001
　10010
　100100
　1001000
　10010000
を得る。　従って、解の個数は 15個

解答・その4

（ペンネ－ム：コウ）

(1)あらかじめ20！に現れる整数を素因数分解し指数の残る形で表すと、
20＝22*51、19＝191、18＝21*32、17＝171、16＝24、15＝31*51、
14＝21*71、13＝131、12＝22*31、11＝111、10＝21*51、9＝32、
8＝23、7＝71、6＝21*31、5＝51、4＝22、3＝31、2＝21
したがって20！＝218*38*54*72*11*13*17*19　ans.

(2) 20 ！ の正の約数をＮとすると
Ｎ＝2a * 3b * 5c * 7d * 11e * 13f * 17g * 19h
　と表せる。
（但し、a～hは、0≦a≦18、0≦b≦8、0≦c≦4、0≦d≦2、0≦e≦1、0≦f≦1、0≦g≦1、0≦h≦1を満たす整数）
Ｎが立方数となるためには、Ｎの素因数の指数つまりa～hが、すべて３の倍数となればよい。
よって条件を満たすaは7通り、bは3通り、cは2通り、d～hは1通り。
したがって題意を満たすＮの個数は7*3*2＝42個 ans.

(3)
20！＝218*38*54*72*11*13*17*19
19！＝216*38*53*72*11*13*17*19
したがって20！の正の約数のうち、217、218、54を 約数に持つものは19！の正の約数に含まれないことになる。

ⅰ）Ｎに217が含まれる場合
　　素因数２以外の指数は任意に選べるので
　　1*9*5*3*2*2*2*2＝24*33*5個
ⅱ）Ｎに218が含まれる場合
　　ⅰ）の場合と同様にして1*9*5*3*2*2*2*2＝24*33*5
ⅲ）Ｎに54が含まれる場合
　　素因数５以外の指数は任意に選べるので
　　19*9*1*3*2*2*2*2＝24*33*19
ⅳ）Ｎに54と217、もしくは4と218が含まれる場合
　　素因数２と５以外の指数は任意にに選べるので
　　2*9*1*3*2*2*2*2＝24*33*2

以上より求める個数は24*33*(5+5+19-2)＝24*36個 ans.

(4)
題意を満たす数は
[1] 2*10n
[2] Ｍ*10n　のどちらかの形で表される。
（但しＭはm桁の数で1位の数とm位の数は1）

[1] の場合
　　nは20！の2と5の指数の関係より0≦n≦4となるので求める個数は5個。
[2] の場合
　　まずＭについて考える。
　　Mは格桁の和が２であることと、１位の数が１であることより、少なくとも２，３，５の倍数ではない。
　　よってＭ≦72*11*13*17*19＝2263261
　　したがってＭ＝1000001，100001，10001，1001，101，11
　　このうち20！の約数であるのは1001（＝7*11*13）と11のみ
　　後は[1]と同様にして2*5＝10個。

以上より求める個数は15個 ans.

解答・その5

（ペンネ－ム：Kの人）

(1)
階乗の定義より
　20 ! =1×2×3×4×...×19×20　ですので、それぞれの因数を素因数分解すれば答えが得られます。
　4=22 , 6=3×2 , 8=23 , 9=32 , 10=5×2 , 12=22×3 , 14=7×2 ,
　15=3×5 , 16=24 , 18=32×2 , 20＝5×22 (素数は省略)
よって答えは、
　20 ! =218×38×54×72×11×13×17×19

(2)
(1)の答えを利用します。
すべての自然数は素数の積で表すことができ、しかもその組み合わせは1通りしかありません。
立方数の個数を求める以上、使用する素数は少なくとも同じものが3つなくてはいけません。
　よって 2 , 3 , 5
からいくつかの数を選んで掛け合わせたものになりますが、2からは最大6個、3からは最大2個、 5からは最大1個の数しか使うことが出来ません。
なので2からは0～6個の7通り、3からは0～2個の3通り、 5からは0～1個の2通りの選び方があることになるので答えは
　 7×3×2=42
となって42個の組み合わせ方があることになり、これが答えとなります。
　A, 42個

(3)
(1)の答えを利用します。
　20 ! =218×38×54×72×11×13×17×19
でしたので 19! はこれを 20=22×5 で割った数になります。すなわち
　19 ! =216×38×53×72×11×13×17×19
約数はそれぞれの素数からいくつかを選びかけ合わせたものになりますので(2)と同じ要領で
20 ! の約数の個数は
　19×9×5×3×2×2×2×2 (個)
19 ! の約数の個数は
　17×9×4×3×2×2×2×2 (個)
答えは (19×9×5×3×2×2×2×2)-(17×9×4×3×2×2×2×2)=24×33×((19×5)-(17×4)) =24×33×27=24×36
　 A.24×36 個

(4)
この場合各桁の数が2といくつかの0で構成されている場合と、2つの1といくつかの0で構成されている場合が考えられます。
2といくつかの0で構成されている場合必ず2が最初に付き、そのあとに0がいくつか続くという形になります。
これを素因数分解すると、
　2×(2×5)n
と表すことが出来ます。よってこの場合の個数は20 ! の素因数の5の選び方、すなわち5通りとなります。
2つの1といくつかの0で構成されている場合次のように素因数分解されますので、
　11×(2×5)n
この場合は5個存在することになります。
さらに、1が最初について間に0がいくつか入り最後に1がつくというもので考えてみた結果、 条件に当てはまるものとして、1001があります。
　1001×(2×5)n
この場合も5個存在します。
3つの数を合計して答えは15個

解答・その6

（ペンネ－ム：転位反応）

(1) ２０！＝２０×１９×１８×１７×１６×１５×１４×１３×１２×１１×１０×９×８×７×６×５×４×３×２×１
ここで、
　２０＝２×２×５
　１８＝２×３×３
　１６＝２×２×２×２
　１５＝３×５
　１４＝２×７
　１２＝２×２×３
　１０＝２×５
　　９＝３×３
　　８＝２×２×２
　　６＝２×３
　　４＝２×２
よって、 ２０！＝２18×３8×５4×７2×１１×１３×１７×１９

(2)素数の立方数は、１，２３，３３，５３ ・・・(1)
ここで、
２18＝４９＝８６＝１６４.５＝３２３.６＝６４３から、４３，８３，１６３，３２３，６４３も約数で立方数・・・(2)
３８＝９４から、９３も約数で立方数・・・(3)
これらの立方数を二つ組合せてできる約数は２０個・・・(4)



さらに、三つ組合せてできる約数は１２個・・・(5)



よって、(1)～(5)を合計して４２個

(3) ２０！＝２18×３8×５4×７2×１１×１３×１７×１９
　　　　　　＝２０×１９！
　　　　　　＝２2×５×１９！
よって、
１９！＝16×３8×５3×７2×１１×１３×１７×１９
題意の個数は、２０！の約数と１９！の約数の個数の差であるから、
　＝１９×９×５×３×２×２×２×２－１７×９×４×３×２×２×２×２
　＝（１９×５－１７×４）×９×３×２×２×２×２
　＝２７×９×３×２×２×２×２
　＝２４×３６

(4)各桁の和が２である整数は、１を２つ含む、或いは２をひとつ含み、残りの桁は０である。
具体的には、２、１１、及び一位と最上位が１で、他の位は全て０である整数（例えば１００１）と それらの１０倍、１００倍、１０００倍、１００００倍の整数である。
ここで、１００１＝７×１１×１３なので、１００１は、２０！の約数である。
このタイプの整数で、２０！の約数となるものは、他には無い。
検証は以下の通り。
１００・・・００１のタイプの整数は、明らかに２、３、５を約数に持たない。
それで、 ７2、１１、１３、１７、１９の約数の組合せで、一位が１となる組合せは、 以下の通りであるが、題意を満たす整数は１００１のみ。
　３×１７＝９１
　３×１７×１１＝１００１
　１３×１７＝２２１
　１３×１７×１１＝２４３１
　７×７×１９＝９３１
　７×７×１９×１１＝１０２４１
　７×７×１３×１７×１９＝２０５７５１
　７×７×１１×１３×１７×１９＝２２６３２６１

よって、題意を満たす整数は、以下の１５通り。
１１＝１１×１
１１０＝２×５×１１
１１００＝２×５×２×５×１１＝２２×５２×１１
１１０００＝２２×５２×２×５×１１＝２３×５３×１１
１１００００＝２３×５３×２×５×１１＝２４×５４×１１

１００１＝７×１１×１３
１００１０＝２×５×７×１１×１３
１００１００＝２×５×２×５×７×１１×１３＝２２×５２×７×１１×１３
１００１０００＝２×５×２２×５２×７×１１×１３＝２３×５３×７×１１×１３
１００１００００＝２×５×２３×５３×７×１１×１３＝２４×５４×７×１１×１３

２＝２×１
２０＝２×２×５＝２２×５
２００＝２２×５×２×５＝２３×５２
２０００＝２３×５２×２×５＝２４×５３
２００００＝２４×５３×２×５＝２５×５４


解答・その7

（ペンネ－ム：巷の夢）

（1）
20！＝20×19×18×・・・・・・・・・・×3×2×1
　　＝218×38×54×72×11×13×17×19

（2）
上記（1）より
・2のみで形成される：23,(22)3,(23)3,(24)3,(25)3,(26)3
・3のみで形成される：33,(32)3
・5のみで形成される：53
・2と3で形成される：(2×3)3,(22×3)3,(23×3)3,(24×3)3,(25×3)3,(26×3)3
(2×32)3,(22×32)3,(23×32)3,(24×32)3,(25×32)3,(26×32)3
・2と5で形成される：(2×5)3,(22×5)3,(23×5)3,(24×5)3,(25×5)3,(26×5)3
・3と5で形成される：(3×5)3,(32×5)3
・2と3と5で形成される：(2×3×5)3,(22×3×5)3,(23×3×5)3,(24×3×5)3,(25×3×5)3,(26×3×5)3
(2×32×5)3,(22×32×5)3,(23×32×5)3,(24×32×5)3,(25×32×5)3,(26×32×5)3
・1で形成される：13

即ち、42個となる。

（3）
19！＝19×18×・・・・・・・・・・×3×2×1
　　＝216×38×53×72×11×13×17×19
20！＝20×19×18×・・・・・・・・・・×3×2×1
　　＝20×19!
19！の約数の個数（16+1）・（8+1）・（3+1）・（2+1）・2・2・2・2　＝ 26×33×17
20！＝218×38×54×72×11×13×17×19
20！の約数は 24×33×5×19
因って、これらの差より　 24×33×5×19-26×33×17 ＝　24×36が求めるものである。

（4）
題意より2とその10の累乗倍のもの、11とその10の累乗倍のもの、101,1001,10001、・・・・・ が候補として考えられる。
10＝2×5であるから、2、2×（2×5）、2×（2×5）2、2×（2×5）3、2×（2×5）4
全く同様に11、11×（2×5）、11×（2×5）2、11×（2×5）3、11×（2×5）4
1001＝7×11×13であるから、上記と同様に
7×11×13、7×11×13×（2×5）、7×11×13×（2×5）2、7×11×13×（2×5）3、 7×11×13×（2×5）4
即ち、15個である。

解答・その8

（ペンネ－ム：BossF）
*　表の一部を修正します(5/6)。すいません。Junko

(1)次のような表を思い浮かべました

235711 131719
10642 1111
521　　　　　
2　　　　　　　
1　　　　　　　
18852 1111

20!=218・38・54・72・11・13・17・19　■

(2)(1)より立方数の因数になりうるのは 2,3,5、でその個数は各々6個2個1個まで
　∴(6+1)(2+1)(1+1)=42個　■

(3)20=22x5 だから　19!= 216・38・53・72・11・13・17・19
したがって
20の約数の個数-19の約数の個数=(19x5-17x4)x9x3x24=36x24　■

(4)各桁の和が2の20!の約数で一の位が0でないものは
2,11,1001のみ
各々に1,10,100,1000を乗じたものが求めるものであるから
3ｘ5＝15個　■

解答・その9

（ペンネ－ム：ＳＯＵ）

(1) 
　　218・38・54・72・11・13・17・19　■
(2) 
　　立方数になる可能性を持つ因数は、2,3,5 のみで、
    ( 1 + 23 + 26 + … + 218 )(1 + 33 + 36)(1 + 53)
    を展開して全ての立方数が得られます。
　　展開後の項数は 7*3*2=42 となり、これが答え　■
(3)
　　nの約数の集合をSnと定義します。
　　まず、20!の約数の出来方を考えると、
　　　20! = 20*19!
　　から、
　　　S20! = { s*t | s∈S20 , t∈S19! }
　　という形になっていることがわかりますから、
　　　S20! ⊃ S19!　　…※
    が云えます。

　　また、(2)のような考え方により、
　　　n(S20!) = 24･33･5･19
　　　n(S19!) = 26･33･17　…※※
　　とわかります。

　　※ と ※※ から、単純に引き算で済むことがわかっているので、
　　n(S20!) - n(S19!) = 24･36　が答え。　■
(4)
　　パターンとしては、
　　　[1]2が1つといくつかの0で構成されるもの
　　　[2]1が2つといくつかの0で構成されるもの
　　の2通り。

　　[1]に関しては、5が4つしか無いため、
　　　2 , 20 , 200 , 2000 , 20000 
　　　の5通りしか存在しません。

　　[2]について、さらに2通りに分けられ、
　　　　i) 10…01 のように1で終わっているもの(2と5を含まない)
　　　　ii)10…010…0 のように途中に1があり、0で終わっているもの
　　　のようになります。
　　　ii) については、因数である2と5を抜いてしまえば i) に帰着できるので、
　　　i) だけを考えます。
　　　
　　　まず、 
　　　　11∈S20!　　　　　 
　　　　1001=7･11･13∈S20! ･･･★
　　　が云えます。
　　　しかしそれ以外のこの形の数については、
　　　　101:素数
　　　　10001=73･137
　　　　100001=11･9091
　　　　1000001=101･9901
　      10000001=11･909091
　　　　100000001=17･5882353
　　　　1000000001=7･11･13･19･52579
　　　　10000000001=101･3541･27961
　　　となり、全て S20! に含まれません。
　　　(因数より2と5を除いた最大の数は2121322203なので、ここまでで十分)
　　　それらを S20! の元により表すことが出来ないため、
　　　結局②の形について、★から
　　　　11 , 110 , 1100 , 11000 , 110000
　　　　1001 , 10010 , 100100 , 1001000 , 10010000
　　　の10通りしかないことになります。

　　以上のことから、答えは15個 ■

解答・その10

（ペンネ－ム：オヤジ）

(1)１～２０までの素数は、｛２，３，５，７，１１，１３，１７，１９｝
[　]を、Gauss記号とする。

２０！＝２ａ×３ｂ×５ｃ×７ｄ×１１×１３×１７×１９ （素因数分解）とすると




従って
∴　２０！＝２１８×３８×５４×７２×１１×１３×１７×１９

(2)立方数は、下記の３つの集合から１つずつ選んだ数の積である。

従って　求める立方数の個数は　７×３×２＝４２　　　∴　４２個

(3) (1)より　２０！＝２１８×３８×５４×７２×１１×１３×１７×１９
同様に　　 １９！＝２１６×３８×５３×７２×１１×１３×１７×１９
求める個数は、（１９×５－１７×４）×９×３×２×２×２×２＝　３６×２４
　　　∴　３６×２４　個

(4)電卓で計算しましたが漏れていないか心配です。
２０！は下４桁　０が４個並ぶ　何故なら　１０＝２×５　と（１）より
各桁の和が　２となる　候補の最小例として　３種類のみ
｛２，１１，１００１｝　ただし　１００１＝７×１１×１３　従って
求める数は、｛２，２０，２００，２０００，２００００，１１，１１０，１１００，
１１０００，１１００００，１００１，１００１０，１００１００，１００１０００，
１００１００００｝の　１５個　　　　　　　　　　　　∴　１５個

解答・その11

（ペンネ－ム：のっこん）

（１）　２０！＝２１８・３８・５４・７２・１１・１３・１７・１９

（２）
（１）において２の指数は１８、１８以下の３の倍数は0，３，６，９，１２，１５，１８の７個
（１）において３の指数は８、８以下の３の倍数は０，３，６の3個
（１）において５の指数は４、４以下の３の倍数は０，３の2個
　立方数の個数は　７・３・２＝４２（個）

（３）
２０＝２２・５ だから　１９！＝２１６・３８・５３・７２・１１・１３・１７・１９
２０！の約数の個数は　１９・９・５・３・２・２・２・２
１９！の　　　〃　　　　　１７・９・４・３・２・２・２・２
求める個数は
　　２４・３３・５・１９－２６・３３・１７
　＝２４・３３（５・１９－２２・１７）
　＝２４・３３・２７
　＝２４・３６

（４）
[1]１が２つ（他は０）の時
７２・１１・１３・１７・１９について考える
その約数は次の４８個
１）末尾１となる約数・・・１，11，91,221,931，1001，2261，2431，10241，24871，205751，2263261
２）末尾３となる約数・・・13,133,143,323,833，1463，3553，9163，12103，29393，133133，323323
３）末尾７となる約数・・・7，17，77,187,247,637，1547，2717，7007，15827，17017，174097
４）末尾９となる約数・・・19，49,119,209,539，1309，1729，4199，10829，19019，46189，119119
このうち、１１と１００１は題意を満たす

（１）において５の指数は４だったから
１１の他に１１０，１１００，１１０００，１１００００も題意を満たす・・・・・※１
１００１の他に１００１０，１００１００，１００１０００，１００１００００も題意を満たす・・・・※２
１）の約数を８１倍しても１が２つ（他は０）になることはない
　　　〃　　６５６１倍　　　　　　　　　　〃
２）の約数を２７倍　　　　　　　　　　　〃
　　　〃　　２１８７倍　　　　　　　　　　〃
３）の約数を３倍　　　　　　　　　　　　〃
　　　〃　　２４３倍　　　　　　　　　　　〃
４）の約数を９倍　　　　　　　　　　　　〃
　　　〃　７２９倍　　　　　　　　　　　　〃
[2]２が１つ（他は０）の時
明らかに、２，２０，２００，２０００，２００００の５個が題意を満たす・・・・※３

※１、※２、※３より　求める個数は１５（個）


解答・その12

（ペンネ－ム：バルタン星人）

(1) ２18×３8×５4×７2×１１×１３×１７×１９
(2) ４２
(3) ２4×３6
(4) １５個

考え方：
（１）地道に数えました。２⇒偶数１０個＋５個（４の倍数）＋２個（８の倍数）＋１個（１６）
（２）３乗を持つのは２，３，５で各７通り、３通り、２通り（０乗含む）可能なのでその積７×３×２＝４２
（３）約数の総数を積の形で求めその差を考える。
　２０！の約数の個数＝１９×９×５×３×２×２×２×２
　１９！の約数の個数＝１７×９×４×３×２×２×２×２
　引き算して、（９５－６８）×２4×３3＝２4×３6
（４）２になるのは２が１個または１が２個
　２×１０nと考えたとき５は４乗までなので、５個
　１１×１０nも同じく５個
　和が２なので３は素因数に含まれない。
　そこで７，１１，１３，１７，１９の組合せで２になる可能性を考える。
　７×１３×１１＝１００１これも同じく５個できる。


解答・その13

（ペンネ－ム：teki）

１．２１８×３８×５４×７２×１１×１３×１７×１９
１～２０までに２の倍数は、１０個、４の倍数は５個、８の倍数は２個、１６の倍数は１個あります。
よって２は１０＋５＋２＋１＝１８個。
同様に３は８個、５は４個、７は２個、１１，１３，１７，１９は各１個。

２．４２個
一般的に　Ｎ＝ap*bq*cr・・・・・・・・　　とすると、
Ｎの約数の個数（１及びその数自身を含む）は、(p+1)*(q+1)*(r+1)・・・・
であることを利用します。

立方数はｎ３の形になるので、これが可能な因数は２，３，５の３つです。
２は、２３、２６、２９、２１２、２１５、２１８の６種類、 ３は、３３、３６ の２種類、５は５３の１種類ですので、
（６＋１）×（２＋１）×（１＋１）＝４２ 個です。

３．３６×２４
２と同様に約数の個数の定理を使います。
２０！の約数の個数は、
　（１８＋１）×（８＋１）×（４＋1）×（２＋１）×２×２×２×２個
一方、１９！の約数の個数は、
　（１６＋１）×（８＋１）×（３＋1）×（２＋１）×２×２×２×２個
２０！の約数は必ず１９！の約数なので、この２つの差が題意の個数です。
　９×３×１６×（１９×５－１７×４）＝３３×２４×２７＝３６×２４

４．２、２０、２００、２０００、２００００、１１、１１０、１１００、１１０００、１１００００ １００１、１００１０、１００１００、１００１０００、１００１００００　の計１５個

難問です。
まず、各桁の和が２である数は、３の倍数ではあり得ません。
また、１０の倍数でない５の倍数でもあり得ません。
[1]　２・・・・・　のパターン（・・・・・は０の連続）
２０！には、因数５が４つあるので、０の連続は最大４個。
[2]　１・・・１・・・　のパターン（・・・は０の連続）
後半の０の連続は、[1]でも述べたとおり、最大で４つです。
問題は、１と１の間の０の連続個数ですが、
　７２×１１×１３×１７×１９　＝２２６３２６１
なので、０個から６個まで調べれば十分です。
１１、１０１、１００１、１０００１、１００００１、１０００００１、１００００００１の うち、７、１１、１３、１７、１９の因数のみを持つのは、１１及び１００１ （＝７×１１×１３）の２つのみです。
（１００００１＝１１×９０９１。１００００００１＝１１×９０９０９１ですが、 いずれも７、１１、１３、１７、１９で割り切れません。）

解答・その14

（ペンネ－ム：T_Tatekawa）

(1)
1～20 で素数は 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
　　2で割り切れる合成数は 9個．
　　22=4 で割り切れる合成数は 5個．
　　23=8 で割り切れる合成数は 2個．
　　24=16 で割り切れる合成数は 1個．
　　3で割り切れる合成数は 5個．
　　32=9 で割り切れる合成数は 2個．
　　5で割り切れる合成数は 3個．
　　7で割り切れる合成数は 1個．

以上から，
　　20 ! = 2(1+9+5+2+1) x 3(1+5+2) x 54 x 72 x 11 x 13 x 17 x 19
　　　　 = 218 x 38 x 54 x 72 x 11 x 13 x 17 x 19

(2)
立方数である約数を作るには，23, ..., 218, 33, 36, 53 のいずれかを含む合成数を作ればよい．
　　 (1+6) x (1+2) x (1+1) = 42 通り

(3)
20 = 22 x 5
なので，20! の正の約数で，19! の約数でないものの数は，
　　　19 x 9 x 5 x 3 x 24 - 17 x 9 x 4 x 3 x 24
　　=(95-68) x 33 x 24
　　= 27 x 33 x 24
　　= 24 x 36 個

(4)
　2, 20, 200, 2000, 20000
　11, 110, 1100, 11000, 110000
　1001 =(7x11x13), 10010, 100100, 1001000, 10010000
合計15個

解答・その15

（ペンネ－ム：kiyo）

1)
　　20 ! =218*38*54*72*11*13*17*19

2)
　　20 ! =(23)6*(33)2*32*(53)*5*72*11*13*17*19
　　(6+1)*(2+1)*(1+1)=42

3)
　　　(18+1)*(8+1)*(4+1)*(2+1)*(1+1)*(1+1)*(1+1)*(1+1)-(16+1)*(8+1)*(3+1)*(2+1)*(1+1)*(1+1)*(1+1)*(1+1)
　　=(8+1)*(2+1)*(1+1)*(1+1)*(1+1)*(1+1)((18+1)*(4+1)-(16+1)*(3+1))
　　=32*3*24*(19*5-17*4)
　　=24*33*(95-68)
　　=24*33*27
　　=24*33*33
　　=24*36

4)
　　15個。

         2=2
        11=11
        20=22*5
       110=2*5*11
       200=23*52
      1001=7*11*13
      1100=22*52*11
      2000=24*53
     10010=2*5*7*11*13
     11000=23*53*11
     20000=25*54
    100100=22*52*7*11*13
    110000=24*54*11
   1001000=23*53*7*11*13
  10010000=24*54*7*11*13


解答・その16

（ペンネ－ム：杖のおじさん）

（１）２０！＝２１８＊３８＊５４＊７２＊１１＊１３＊１７＊１９・・・[1]
となります。

（２）２３，３３，５３のブロックに含めた積の式を作る。
２０！＝（２３）６＊（３３）２＊５３＊（３２＊５＊７＊１１＊１３＊１７＊１９）
したがって
（６＋１）＊（２＋１）＊（１＋１）＝４２個

（３）２０！の正の約数の数は
（１８＋１）（８＋１）（４＋１）（２＋１）（１＋１）（１＋１）（１＋１）（１＋１） ＝１９＊９＊５＊３＊２４ ＝１９＊３３＊５＊２４個・・・[2]
１９！の階乗は
１９！＝２１６＊３８＊５３＊７２＊１１＊１３＊１７＊１９＊２＊２・・・[3]
１９！の正の約数は（１６＋１）（８＋１）（３＋１）（２＋４）＋２４＝２～６＊３＊３＊１７個です。
従って、
その差[2]―[3]＝２４＊３＊３＊５＊１９－２６＊３３＊１７ ＝２４＊３３＊（９５－６８）＝２４＊３３＊２７＝２４＊３６個です。

（４） １が２つか、２が一つのものを探しました。
合計が２になるのは次の５つが考えられます。
２と１１，１０１，１００１，１０００１，１００００１の５つですがその中で
１０１、１０００１、１００００１の３つは７２＊１１＊１３＊１７＊１９の約数ではありませんので除きます。
従って
２と１１と１００１とその数の１０倍、１００倍、１０００倍、１００００倍になります。
したがって３×５＝１５個になります。

解答・その17

（ペンネ－ム：スモークマン）

(1)
20 ! = 218*38*54*72*11*13*17*19

(2)
20!= 218*38*54*72*11*13*17*19 なので、3乗数の数は、、、
　18/3=6
　8/3=2
　4/3=1　から、、、
7*3*2=42 個（これで1も含まれる）

(3)
20=22*5 なので、
　20 ! の約数の個数ー19 ! の約数の数
=(19*5-17*4)*9*3*24
=27*9*3*24
=36*24 個

(4)
5は4個なので、
2,20,200,2000,20000
11,110,1100,11000,110000
1001=7*11*13,10010,100100,1001000,10010000

72* 11 * 13 * 17 * 19 = 2263261 なので、
10001,100001までにはない。
101 はない。
以上から、
2,11,1001 の3種類 x 5個＝15個

解答・その18

（ペンネ－ム：夜ふかしのつらいおじさん）

（１）
20！＝1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12×13×14×+15×16×17×18×19×20
＝2×3×22×5×2･3×7×23×32×2･5×11×22･3×13×2･7×3･5×24×17×2･32×19×22･5
＝218×38×54×72×11×13×17×19

（２）
23＝A、33＝B、53＝Cとおくと
20！の約数で立方数の最大は、A6×B2×C1
だから、7×3×2＝42個

（３）
20！の約数の個数は、19×9×5×3×2×2×2×2＝41040
19！＝216×38×53×72×11×13×17×19より
19！の約数の個数は、17×9×4×3×2×2×2×2＝29376
だから、　41040－29376＝11664＝24×36

（４）
各桁の和が2になる数は、
　ａ）最上位の数字が2で他の数字が0である場合
　ｂ）1が2個で他は全部0である場合
とにわかれます。

ａ）の場合、20！の約数は
　2，20，200，2000，20000
　2＝2
　20＝2×(2×5)
　200＝2×(2×5)2
　2000＝2×(2×5)3
　20000＝2×(2×5)4
以上の５個

ｂ）の場合は
11，101，110，1001，1010，1100，・・・・・・などです。

　11素数→○
　101素数→×
　110＝11×(2×5) →○
　1001＝11×7×13 →○
　1010＝101×(2×5)→×
　1100＝11×(2×5)2→○
　10001＝73×137→×
　10010＝11×7×13×(2×5)→○
　10100＝101×(2×5)2→×
　11000＝11×(2×5)3→○
　100001＝11×9091→×
　100010＝73×137×(2×5)→×
　100100＝11×7×13×(2×5)2→○
　101000＝101×(2×5)3→×
(あ)110000＝11×(2×5)4→○
　1000001＝101×9901→×
　1000010＝11×9091×(2×5)→×
　1000100＝73×137×(2×5)2→×
　1001000＝11×7×13×(2×5)3→○
　1010000＝101×(2×5)4→×
　1100000＝11×(2×5)5→×
　10000001＝11×909091→× ※909091に20！の因数はありません
　10000010＝101×9901×(2×5)→×
　10000100＝11×9091×(2×5)2→×
　10001000＝73×137×(2×5)3→×
(い)10010000＝11×7×13×(2×5)4→○
　10100000＝101×(2×5)5→×
　11000000＝11×(2×5)6→×
　100000001＝17×58823535→×　　※5882353に20！の因数はありません
　100000010＝11×909091×(2×5)→×
　100000100＝101×9901×(2×5)2→×
　100001000＝11×9091×(2×5)3→×
　100010000＝73×137×(2×5)4→×
　100100000＝11×7×13×(2×5)5→×
　101000000＝101×(2×5)6→×
　110000000＝11×(2×5)7→×
　・・・・

11×10kの形は、(あ)が最大です。
101×10kの形は、101が素数なのでだめです。
1001×10kの形は、(い)が最大です。
10001×10kの形は、73×137が因数なのでだめです。
100001×10kの形は、9091が素数なのでだめです。
1000001×10kの形は、101×9091が因数なのでだめです。
10000001×10kの形は、909091が20！の約数を因数にもたないのでだめです。
100000001×10kの形は、5882353が因数なのでだめです。

これ以降可能性はありません。
100･･･01の形の数（0が8個以上）は、奇数でかつ3の倍数ではありません。
だから、2と3と5を因数にもちません。
20！の因数でそれ以外の因数の積を計算すると、72×11×13×17×19＝2263261。
この数は、2263261より大きいので、20！の7から19の因数では作れません。
以上から、10個です。
合わせると合計15個です。

正解者

バルタン星人 オヤジ コウ
巷の夢 haya スモークマン
のっこん teki kiyo
T_Tatekawa 夜ふかしのつらいおじさん 転位反応
迷子の雄猫 杖のおじさん ＳＯＵ
Kの人 BossF 三角定規

コメント

２０！は、とても大きな数ですから、(1)がヒントになっているように、 素因数分解をした形で考えるといいですね。
(4)については、「２」と「１０・・・０１」が基本形で、 その１０ｎ倍（ただし、０≦ｎ≦４）に限定されます。

top