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問題146　パイ生地作り
Weekend Mathematics／問題／問題146　パイ生地作り

１４６．パイ生地作り

xの方程式
　　　｜2｜2｜2x-1｜-1｜-1｜＝x2
の0＜x＜1 における解の個数を求めなさい。

問題の出典

広中杯ハイレベル中学数学に挑戦
算数オリンピック委員会監修
講談社ブルーバックス
2000年ファイナル問題

答えと解説

解答・その1

（ペンネ－ム：巷の夢）

両方のグラフを書いて交点をもとめると7個（0＜ｘ＜1の範囲）となる。



解答・その2

（ペンネ－ム：杖のおじさん）

答えは７通りです。

X2=｜２｜２｜２X－１|－１｜－１｜

これはY=X2とY=｜２｜２｜２X－１|－１|－１｜のグラフを描いてその交点の数を数えました。
グラフの交点は
線分 (1)A－F と (2)F－B と (3)B－G と (4)G－C と (5)C－H と (6)H－D と (7)D－I と (8)I―E の８点ですが
条件が０＜X＜１なので上記の (8)I－E を除いた７点になります。従って７通りあります。 次の通りです。
絶対値のグラフを描きます。





解答・その3

（ペンネ－ム：teki）

答え　　７個

グラフで考えました。
与式のグラフは、y=2x-1　のグラフを３回、折りたたんでy軸方向に移動 させ、それを２倍するという操作を繰り返した折れ線グラフになります。
（このあたりの様子が、タイトルの「パイ生地作り」さながらですね。）
一方、y=x2のグラフは、x＞0で単調増加ですから、この２つのグラフの 共有点の個数は、x＜1におけるy=x2の傾きが２より小さいことから、x=1 を含めて８点です。
問題は、0＜x＜1の範囲ですので、７個ですね。


解答・その4

（ペンネ－ム：迷子の雄猫）

0＜x＜1の範囲では、解は以下の７個。
　0.123105626
　0.127016654
　0.358898944
　0.394448725
　0.582575695
　0.68337521
　0.795831523

　　　｜2｜2｜2x-1｜-1｜-1｜＝x２

場合分けの都合上、以下のとおり式１～式６を定義する。
式１＝ 　　　2x-1　　
式２＝　　　｜2x-1｜　　
式３＝ 　　2｜2x-1｜-1　　　　＝2（式２）-1
式４＝　 ｜2｜2x-1｜-1｜　
式５＝　2｜2｜2x-1｜-1｜-1　　＝2（式４）-1
式６＝｜2｜2｜2x-1｜-1｜-1｜　＝与式の左辺


解答・その5

（ペンネ－ム：オヤジ）

絶対値の場合分けなんて懐かしいです。

（Ⅰ）のとき　 （１）の式は、　　　 ∴　

（Ⅱ）のとき　 （１）の式は、　　　 ∴　

（Ⅲ）のとき　 （１）の式は、　　　 ∴　

（Ⅳ）のとき　 （１）の式は、　　　 ∴　

（Ⅴ）のとき　 （１）の式は、　　　 ∴　

（Ⅵ）のとき　 （１）の式は、　　　 ∴　

（Ⅶ）のとき　 （１）の式は、　　　 ∴　

（Ⅷ）のとき　 （１）の式は、　　　 ∴　　解なし

（Ⅰ）～（Ⅷ）より　　　∴　７個

解答・その6

（ペンネ－ム：のっこん）

  1. x≦0.125の時　　1-8x=x2 　 x=-4+=0.123・・・　　　適
  2. 0.125＜x≦0.25の時　　8x-1=x2 x=4-=0.127・・・　　　適
  3. 0.25＜x＜0.375の時　　　3-8x=x2 x=-4+=0.358・・・　　　適
  4. 0.375≦x＜0.5の時　　　8x-3=x2 x=4-=0.394・・・　　　適
  5. 0.5≦ｘ≦0.625の時　　　5-8x=x2 x=-4+=0.582・・・　　　適
  6. 0.625＜x＜0.75の時　　　8x-5=x2 x=4-=0.683・・・　　　適
  7. 0.75≦x＜0.875の時　　　7-8x=x2 x=-4+=0.795・・・　　　適
  8. 0.875≦xの時　　　8x-7=x2 x=1,x=7 不適

　　（答え）解の個数は7

ル-トの中が11、13、15、17、19、21、23となり興味深いところです

解答・その7

（ペンネ－ム：スモークマン）

左辺は直線、右辺は x2 (02=0、12=1)なので、 左辺が、x=0 でマイナス、x=1 で1より大きいとき、左辺が0より大きく、x=1 で1より小さければ1点で交わる。
+-あるので、23=8 個の方程式で考えればいいと思うので、、、

  1. +++ のとき、
    　8x-7=x2
    　x=0 のとき、左辺= -7、x=1 のとき、左辺=1
    　つまり、x=1 の1点で交わるので、0＜x＜1 を満たさない。
  2. ++- のとき、
    　-8x+1=x2
    　x=0 で、左辺=1、x=1 で、左辺=-7
    　つまり、0＜x＜1 の間で1点で交わる。
  3. +-- のとき、 　8x-3=x2
    　左辺は、-3 と5 なので、1点交わる。
  4. +-+ のとき、 　-8x+5=x2
    　左辺は、5 と-3 なので、1点交わる。
  5. --- のとき、 　-8x+3=x2
    　左辺は、3 と-5 なので、1点交わる。
  6. --+ のとき、 　8x-5=x2
    　左辺は、-5 と3なので、1点交わる。
  7. -+- のとき、 　8x-1=x2
    　左辺は、-1 と7なので、1点交わる。
  8. -++ のとき、 　-8x+7=x2
    　左辺は、7 と-1なので、1点交わる。

以上より、7点 でいいのかな ^^v

解答・その8

（ペンネ－ム：エルドス）

解答　 左辺の絶対値を順に外すと　

(1) 1/2≦x＜1のとき [2[4x-3 ]-1]
　　(1-1) 3/4≦x＜1のとき　[8x-7 ]
　　　　(1-1-1) 7/8≦x＜1のとき　　　 8x-7
　　　　(1-1-2) 3/4≦x＜7/8のとき　　　-8x+7
　　(1-2) 1/2≦x＜3/4のとき　[-8x+5]
　　　　(1-2-1) 5/8≦x＜3/4 のとき　　　 8x-5
　　　　(1-2-2) 1/2≦x＜5/8のとき　　　-8x+5
(2) 0＜x＜1/2のとき[2[-4x+1]-1]
　　(2-1) 1/4≦x＜1/2のとき　[ 8x-3 ]
　　　　(2-1-1) 3/8≦x＜1/2のとき　　　 8x-3
　　　　(2-1-2) 1/4≦x＜3/8のとき　　　-8x+3
　　(2-2) 0＜x＜1/4のとき　[-8x+1]
　　　　(2-2-1) 1/8≦x＜1/4のとき　　　 8x-1
　　　　(2-2-2) 0＜x＜1/8のとき　　　-8x+1

y＝[2[2[2x-1 ]-1]-1]・・・・(1)とy=x2・・・・(2)のグラフをかき、0＜x＜1での交点の個数を数えると７個存在する。


解答・その9

（ペンネ－ム：バルタン星人）

答え：7個
f(X)＝Ｘ2－｜2｜2｜2Ｘ-1｜-1｜-1｜＝０とすると

7/8≦Ｘ＜0 　 　Ｘ2－8Ｘ＋７＝０　Ｘ＝１，７　　　　　解なし
3/4≦Ｘ＜7/8　　Ｘ2＋8Ｘ－７＝０　Ｘ＝－４±　　＋の方のみ
5/8≦Ｘ＜3/4　　Ｘ2－8Ｘ＋５＝０　Ｘ＝　４±　　－の方のみ
1/2≦Ｘ＜5/8　　Ｘ2＋8Ｘ－５＝０　Ｘ＝－４±　　＋の方のみ
3/8≦Ｘ＜1/2　　Ｘ2－8Ｘ＋３＝０　Ｘ＝　４±　　－の方のみ
1/4≦Ｘ＜3/8　　Ｘ2＋8Ｘ－３＝０　Ｘ＝－４±　　＋の方のみ
1/8≦Ｘ＜1/4　　Ｘ2－8Ｘ＋１＝０　Ｘ＝　４±　　－の方のみ
0＜Ｘ＜1/8 　　 Ｘ2＋8Ｘ－１＝０　Ｘ＝－４±　　＋の方のみ
解を求めずに個数を求める場合はf(0)＜0、f(1/8)＞0よりこの間に１個のよ うに下記、境目の正負が逆転していくので各１個。
f(1/4)＜0　f(3/8)＞0　f(1/2)＜0　f(5/8)＞0　f(3/4)＜0 f(7/8)＞0　f(1)＝０
最後の区間のみ解なしが求まりますね

解答・その10

（ペンネ－ム：haya）

パイ生地作り の解は 7個です。
【解き方】
絶対値の記号で式が三重にネストされているから、 中身が正になる場合と負になる場合それぞれ2つに場合分けされ合計 23=8 に場合分けされる。 それぞれについて解があることを確かめると、





より、解は 7個となる。

解答・その11

（ペンネ－ム：浜田明巳）

　｜２｜２｜２ｘ－１｜－１｜－１｜＝ｘ２（０＜ｘ＜１）
　「｜ｘ｜＝ａ　⇔　ｘ≧０のときｘ＝ａ，ｘ＜０のときｘ＝－ａ」
を使うと大変そうなので，
　「｜ｘ｜＝ａ　⇔　ｘ＝±ａかつａ≧０」
を解答方針とする．
　与方程式から，
　　２｜２｜２ｘ－１｜－１｜－１＝±ｘ２
　　∴｜２｜２ｘ－１｜－１｜＝(１±ｘ２)／２
i). ｜２｜２ｘ－１｜－１｜＝(１＋ｘ２)／２（＞０）の時，
　　２｜２ｘ－１｜－１＝±(１＋ｘ２)／２
　　∴｜２ｘ－１｜＝{１±(１＋ｘ２)／２}／２
i).-i). ｜２ｘ－１｜＝{１＋(１＋ｘ２)／２}／２＝(３＋ｘ２)／４（＞０）の時，
　　４(２ｘ－１)＝±(３＋ｘ２)
i).-i).-i). ４(２ｘ－１)＝３＋ｘ２の時，
　　ｘ２－８ｘ＋７＝０
　　∴(ｘ－１)(ｘ－７)＝０
　これは０＜ｘ＜１に反する．
i).-i).-ii). ４(２ｘ－１)＝－(３＋ｘ２)の時，
　　ｘ２＋８ｘ－１＝０
　　∴ｘ＝－４±
　－４－＜０であり，
　　－４＋ ＝－＞０
　　(－４＋)－１ ＝－５ ＝－＜０
　　∴０＜－４＋＜１
　　∴ｘ＝－４＋
i).-ii). ｜２ｘ－１｜＝{１－(１＋ｘ２)／２}／２＝(１－ｘ２)／４の時，
　０＜ｘ＜１から，(１－ｘ２)／４＞０となる．
　この時，
　　４(２ｘ－１)＝±(１－ｘ２)
i).-ii).-i). ４(２ｘ－１)＝１－ｘ２の時，
　　ｘ２＋８ｘ－５＝０
　　∴ｘ＝－４±
　－４－＜０であり，
　　－４＋ ＝－＞０
　　(－４＋)－１ ＝－５ ＝－＜０
　　∴０＜－４＋＜１
　　∴ｘ＝－４＋
i).-ii).-ii). ４(２ｘ－１)＝－(１－ｘ２)の時，
　　ｘ２－８ｘ＋３＝０
　　∴ｘ＝４±
　４＋＞１であり，
　　４－ ＝－＞０
　　(４－)－１ ＝３－ ＝－＜０
　　∴０＜４－＜１
　　∴ｘ＝４－
ii). ｜２｜２ｘ－１｜－１｜＝(１－ｘ２)／２（＞０）の時，
　　２｜２ｘ－１｜－１＝±(１－ｘ２)／２
　　∴｜２ｘ－１｜＝{１±(１－ｘ２)／２}／２
ii).-i). ｜２ｘ－１｜＝{１＋(１－ｘ２)／２}／２＝(３－ｘ２)／４の時，
　０＜ｘ＜１から，(３－ｘ２)／４＞０となる．
　この時，
　　４(２ｘ－１)＝±(３－ｘ２)
ii).-i).-i). ４(２ｘ－１)＝３－ｘ２の時，
　　ｘ２＋８ｘ－７＝０
　　∴ｘ＝－４±
　－４－＜０であり，
　　－４＋ ＝－＞０
　　(－４＋)－１＝－５ ＝－＜０
　　∴０＜－４＋＜１
　　∴ｘ＝－４＋
ii).-i).-ii). ４(２ｘ－１)＝－(３－ｘ２)の時，
　　ｘ２－８ｘ＋１＝０
　　∴ｘ＝４±
　４＋＞１であり，
　　４－＝－＞０
　　(４－)－１＝３－ ＝－＜０
　　∴０＜４－＜１
　　∴ｘ＝４－
ii).-ii). ｜２ｘ－１｜＝{１－(１－ｘ２)／２}／２＝(１＋ｘ２)／４（＞０）の時，
　　４(２ｘ－１)＝±(１＋ｘ２)
ii).-ii).-i). ４(２ｘ－１)＝１＋ｘ２の時，
　　ｘ２－８ｘ＋５＝０
　　∴ｘ＝４±
　４＋＞１であり，
　　４－ ＝－＞０
　　(４－)－１ ＝３－ ＝－＜０
　　∴０＜４－＜１
　　∴ｘ＝４－
ii).-ii).-ii). ４(２ｘ－１)＝－(１＋ｘ２)の時，
　　ｘ２＋８ｘ－３＝０
　　∴ｘ＝－４±
　－４－＜０であり，
　　－４＋ ＝－＞０
　　(－４＋)－１ ＝－５ ＝－＜０
　　∴０＜－４＋＜１
　　∴ｘ＝－４＋
　まとめると，
　　ｘ＝－４＋， －４＋， －４＋， －４＋， ４－， ４－， ４－
の７個ある．
　実際ＧＲＡＰＥＳを使って，ｆ(ｘ)＝｜２ｘ－１｜として，グラフｙ＝ｆ(ｆ(ｆ(ｘ)))（青色），ｙ＝ｘ２（緑色）を図示してみると， ０＜ｘ＜１の部分で７個の交点が存在する事が分かる．



　念の為，－０.１≦ｘ≦０.３，－０.１≦ｙ≦０.３の範囲に拡大したグラフを図示しても， 確かにこの範囲で２点で交わっている事が分かる．



解答・その12

（ペンネ－ム：転位反応）

f(x)=｜2｜2｜2x-1｜-1｜-1｜とする。

１．2x-1≧0の場合：1/2≦x＜1
　　　f(x)=｜2｜2(2x-1)-1｜-1｜
　　　　　=｜2｜4x-3｜-1｜

ここで、
　・4x-3≧0の場合：3/4≦x＜1
　　　f(x)=｜2(4x-3)-1｜
　　　　　=｜8x-7｜
さらに、
　　　・8x-7≧0の場合：つまり、7/8≦x＜1で、f(x)=8x-7
　　　・8x-7＜0の場合：つまり、3/4≦x＜7/8で、f(x)=7-8x

　・4x-3＜0場合：1/2≦x＜3/4
　　　f(x)=｜2(3-4x)-1｜
　　　　　=｜5-8x｜
さらに、
　　　・5-8x≧0の場合：つまり、1/2≦x≦5/8で、f(x)=5-8x
　　　・5-8x＜0の場合：つまり、5/8＜x＜3/4で、f(x)=8x-5

２．2x-1＜0の場合についても同様に処理し、１．の結果と共に整理すると以下の通り。 従って、0＜x＜1を満たすf(x)=x2の解を求めれば良い。

xf(x)
0＜x≦1/81-8x
1/8＜x≦1/48x-1
1/4＜x＜3/83-8x
3/8≦x＜1/28x-3
1/2≦x＜5/85-8x
5/8＜x＜3/48x-5
3/4≦x＜7/87-8x
7/8≦x＜18x-7



解答・その13

（ペンネ－ム：三角定規）



解答・その14

（ペンネ－ム：T_Tatekawa）

問題の題名の意味は，グラフを描いて初めて分かりました．
y=x2 と y=| 2 | 2 | 2x-1 | -1 | -1 | のグラフを添付します．
物理でも，例えばインクを水に垂らした時の拡散の話で， 「パイこね変換」という話が出てきます．



0＜x＜1 の解を求めて，ひたすら場合分けしていきます．
1) | 2 | 2 (2x-1) -1 | -1 | = x2 (x=> 1/2)
　　　| 2 | 4x-3 | -1 | = x2
1A) | 2 (4x-3) -1 | = x2 (x => 3/4)
　　　 | 8x-7 | = x2
1Aa) 8x-7 = x2 (x => 7/8)
　　　解は x=1, 7→条件から無し
1Ab) -8x+7 = x2 (7/8 -> x => 3/4)
　　　解は x=-4+, -4-
　　　→適した解は x=-4+
1B) | 2 (-4x+3) -1 | = x2 (3/4 => x => 1/2)
　　　| -8x + 5 | = x2
1Ba) -8x+5 = x2 (5/8 => x => 1/2)
　　　解は x=-4+, -4-
　　　→適した解は x=-4+
1Bb) 8x-5 = x2 (3/4 => x => 5/8)
　　　解は x=4+, 4-
　　　→適した解は x=4-
2) | 2 | 2 (-2x+1) -1 | -1 | = x2 (x <= 1/2)
　　　| 2 | -4x+1 | -1 | = x2
　　　2A) | 2 (-4x+1) -1 | = x2 (x <= 1/4)
　　　| -8x+1 | = x2
2Aa) -8x+1 = x2 (1/8 => x)
　　　解は x=-4+, -4-
　　　→適した解は x=-4+
2Ab) 8x-1 = x2 (1/4 => x => 1/8)
　　　解は x=4-, 4+
　　　→適した解は x=4-
2B) | 2 (4x-1) -1 | = x2 ( 1/2 => x => 1/4 )
　　　| 8x-3 | = x2
2Ba) 8x-3 = x2 (1/2 => x => 3/8)
　　　解は x=4-, 4+
　　　→適した解は x=4-
2Bb) -8x+3 = x2 (3/8 => x => 1/4)
　　　解は x=-4+, -4-
　　　→適した解は x=-4+
以上から，0＜x＜1 に存在する解は 7個．

解答・その15

（ペンネ－ム：夜ふかしのつらいおじさん）



これらの直線と放物線のグラフの交点の個数を数えて解は７個です。

解答２
式の成り立ちを考えてあんちょこに解いてみます。
つまり、２倍して１を引いて絶対値をとるという操作が三重になっています。

y = | 2 x - 1 | のグラフを書いてみます。（図１）
赤の補助線は、 y = x の線です。
x=0 と x=1 でグラフ値は１、x=1/2 でグラフの値は０になっています。
この範囲で | 2 x - 1 | という関数はそういう働きをしています。

次に、この | 2 x - 1 | の値を ｘ と思ってこの働きを図にしてみます。
赤いVの字を見ながらグラフを書きます。（図２）

さらに、この値を x と思ってこの働きを図にしてみます。
赤いWの字を見ながらグラフを書きます。（図３）



すると解答１と同様なグラフができます。
あとは放物線のグラフと重ねて交点の個数を数えます。

正解者

teki 巷の夢 オヤジ
のっこん 浜田明巳 夜ふかしのつらいおじさん
スモークマン 転位反応 迷子の雄猫
T_Tatekawa 杖のおじさん エルドス
三角定規 haya バルタン星人

コメント

タイトルの「パイ生地作り」を疑問に思った方もいらっしゃると思います。

左辺を関数f(x)とします。
　　　f(x)=｜2｜2｜2x-1｜-1｜-1｜
これは、g(x)=｜2x-1｜とするならば、g(x)=f(f(f(x)))、つまり、 関数g(x)を３回合成することになります。 ここで関数g(x)について、グラフを描いて考えてみます。



関数 y=x のグラフからスタートします。
(1)関数 y=2x のグラフは、y=xのグラフを縦方向に２倍することによって得られます。
(2)次に、関数 y=2x-1 のグラフは、y=2xのグラフを縦（下）方向に１ずらすことによって得られます。
(3)そして、g(x)=｜2x-1｜のグラフは、y=2x-1をx軸で上側に折り返すことで得られます。


関数f(x)のグラフは、これを３回繰り返せばいいわけです。 のばして、ずらして、折り返す、 これって、まさに「パイ生地作り」だと思いませんか？


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