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１４５．２００９年の問題

[ｘ]でｘを超えない最大の整数を表します。たとえば、[２．５]＝２、[０．２]＝０です。 ｘが１から２００９までの整数の値をとるとき、
　　
は、何通りの値をとりえますか。

　○ ｘを超えない最大の整数を表す[ｘ]をガウス記号と呼びます。

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問題の出典

広中杯ハイレベル中学数学に挑戦
算数オリンピック委員会監修
講談社ブルーバックス
2002年ファイナル問題 改題

答えと解説

解答・その1

（ペンネ−ム：巷の夢）

ｘの小さい値と大きな値を代入して表にまとめると、以下の様になる。

x	x2/20	[x2/20]	抜け数	抜け個数
1	0.05	0
2	0.2	0
3	0.45	0
4	0.8	0
5	1.25	1
6	1.8	1
7	2.45	2
8	3.2	3
9	4.05	4
10	5	5
11	6.05	6
12	7.2	7
13	8.45	8
14	9.8	9
15	11.25	11	10	1
16	12.8	12	13	1
17	14.45	14	15	1
18	16.2	16	17	1
19	18.05	18	19	1
20	20	20	21	1
21	22.05	22	23	1
22	24.2	24	25	1
23	26.45	26	27	1
24	28.8	28	29,30	2
25	31.25	31	32	1
26	33.8	33	34,35	2
27	36.45	36	37,38	2
28	39.2	39	40,41	2
29	42.05	42	43,44	2
30	45	45	46,47	2
31	48.05	48	49,50	2
32	51.2	51	52,53	2
33	54.45	54	55,56	2
34	57.8	57	58,59,60	3
35	61.25	61	62,63	2
36	64.8	64	65,66,67	3
37	68.45	68	69,70,71	3
38	72.2	72	73,74,75	3
39	76.05	76	77,78,79	3
40	80	80	81,82,83	3
41	84.05	84	85,86,87	3
42	88.2	88	89,90,91	3
43	92.45	92	93,94,95	3
44	96.8	96	97,98,99,100	4
45	101.25	101	102,103,104	3
46	105.8	105	106,107,108,109	4
47	110.45	110	111,112,113,114	4
2003	200600.45	200600		199
2004	200800.8	200800		200
2005	201001.25	201001		199
2006	201201.8	201201		200
2007	201402.45	201402		200
2008	201603.2	201603		200
2009	201804.05	201804

即ち、抜け数の数に限らず、1〜199までは同じ数の抜け数が必ず10箇所づつ存在する。 但し、抜け数200個は4箇所である。因って、
（1+2+3+・・・・・+198+199）×10+200×4＝199800となる。
この数を201804から引くと、2004となるが、0も存在するので一つ加え、求めるものは2005である。

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解答・その2

（ペンネ−ム：浜田明巳）

エクセルのマクロで解きました．答は2005通りです．2009通りの答になるような問題だとさらに良かったかな？

Option Explicit
Const MAX As Long = 1000000
Sub Macro1()
    Sheets("Sheet1").Select
    Cells(1, 1).Value = 0
    Dim x As Long
    Dim xx As Long
    Dim a(MAX) As Long
    Dim kotae As Long
    Dim j As Long
    For j = 1 To MAX
      a(j) = 0
    Next j
    For x = 1 To 2009
      xx = Int(x * x / 20)
      a(xx) = 1
      Cells(x, 2).Value = x
      Cells(x, 3).Value = xx
      Range("C" & x).Select
    Next x
    kotae = 0
    For j = 0 To MAX
      kotae = kotae + a(j)
    Next j
    Cells(1, 1).Value = kotae
    Range("A1").Select
End Sub
 
--------------------------------------------------------------------------------
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解答・その3

（ペンネ−ム：杖のおじさん）

答え　２００５個です。

解１．
F(1)=INT(1`2/20)=0 F(2)=INT(2`2/20)=0 F(3)=INT(3`2/20)=0 F(4)=INT(4`2/20)=0
F(5)=INT(5`2/20)=1 F(6)=INT(6`2/20)=1　F(7)=INT(7`2/20)=2　F(8)=INT(8`2/20)=3

上記からF(7)〜F(2009)まではそれぞれ異なる整数である事が分かります。
従って（２００９−７）＋１＝２００３
F(1)F(6)までの２を加算して2003+2=2005個です。

解２．
CASIO　FX -870P及びFX-890Pでプログラムを作り数えました。

　１０, PRINT ”2009ネン　ノ　モンダイ” ; C=1: D=0  
　２０, IF  INKEY$= ” ”  THEN  20  
　３０, FOR  X=1  TO  2009
　４０, E=INT(X^2/20) : PRINT ” * ” ;  
　５０, IF  E>D  THEN  C=C+1  
　６０, D=E   
　７０, NEXT 　X  
　８０, CLS : BEEP : BEEP : PRINT”セイスウ　ノ　カズハ” ;C; ”コ デス” 
　９０, IF  INKEY$= ” ”  THEN  90  
　１００, GOTO  10  

上記のプログラムの説明
２０行でプログラムは停止していますので何かのキーを押すと２０行〜７０行の２００９回の計算をします。 ８０行でCLSで表示画面を消して2回のBEEP音で計算結果が出たことを教えてくれます。 そして９０行でプログラムは停止していますので何かのキーを押すと１０行に戻ります、 計算中は４０行のプログラムで１回の計算で＊が表示されますので２００９回＊が連続して表示され計算中であることが分かります。
CASIO FX-870Pで計測するとスタートして６分１８秒で結果２００５と表示されます。

Office2007のエクセルのユーザーフォームで作りました。答えが瞬時に表示されます。
テキストボックスに数字を入れると前の答えが消えます。右側にコードが書いてあります。

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解答・その4

（ペンネ−ム：のっこん）

f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0
f(5)=f(6)=1
f(7)=2
f(8)=3
f(9)=4
f(10)=5

(x+1)²-x²=2x+1 だから
x≧10 の時、(x+1)²＞x²+20
よってx≧10の時、f(x)とf(x+1)が同じ値をとることはない
2009-4=2005（答え）

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解答・その5

（ペンネ−ム：kohji）

x＞9のとき
(x+1)²-x²=2x+1＞20
従って[x²/20]の値とxは一対一に対応する。また
[1²/20]=0,[2²/20]=0,[3²/20]=0,[4²/20]=0,[5²/20]=1,
[6²/20]=1,[7²/20]=2,[8²/20]=3,[9²/20]=4,[10²/20]=5
なので、f(x)は全部で2009-4=2005通りを取りうる。

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解答・その6

（ペンネ−ム：オヤジ）

(�T）１≦ｘ≦１０のとき
　（�@）１≦ｘ≦４のとき
　　　
　　　従って　ｆ（ｘ）＝０
　（�A）ｘ＝５、６のとき　　ｆ（ｘ）＝１
　（�B）７≦ｘ≦１０のとき
　　　ｆ（７）＝２、ｆ（８）＝３、ｆ（９）＝４、ｆ（10）＝５

（�U）ｘ＞１０のとき
　（ｘ＋１）^２−ｘ^２＝２ｘ＋１≧２１より
　ｆ（ｘ＋１）＞ｆ（ｘ）：ｆ（ｘ＋１）、ｆ（ｘ）は自然数
　求める数は、　２００９　―（３＋１）＝２００５
　∴　２００５

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解答・その7

（ペンネ−ム：転位反応）

ｘ=1,2,3, …10に対して、ｆ（ｘ）を求めると以下の通り。

ｘ	[ｘ２/20]	ｆ（ｘ）
1	［1/20］	0
2	［4/20］	0
3	［9/20］	0
4	［16/20］	0
5	［25/20］	1
6	［36/20］	1
7	［49/20］	2
8	［64/20］	3
9	［81/20］	4
10	［100/20］	5

さて、二つの連続する整数ｘ,　ｘ＋１に対して、ｆ（ｘ）が異なる整数 を取るためには、

　　　ｆ（ｘ＋１）−ｆ（ｘ）＝［（ｘ＋１）^２／２０］−［ｘ^２／２０］≧１　

［ｘ^２＋２ｘ＋１］≧［ｘ^２＋２０］　と変形して
２ｘ＋１≧２０　から　ｘ≧９．５
よって、整数ｘ≧１０に対して、ｆ（ｘ）は全て異なる整数を取る
ｘ=1,2,3, …9 に対して、5通り
x=10,…,2009に対して、2000通り
計　2005通り （解答)

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解答・その8

（ペンネ−ム：スモークマン）

(10*k+a)²=100k²+20ak+a² なので、、、
[x²/20]=5k²+ak+[a²/20]

0≦a≦4・・・a²＜20・・・0
5²=25・・・1
6²=36・・・1
7²=49・・・2
8²=64・・・3
9²=81・・・4

k が1以上ならすべて異なる。
つまり、x が10以上ならすべて異なる。
2009-9=2000
1〜9 までは、上から、5種類なので、
2000+5=2005 通り
でいいのかな ♪

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解答・その9

（ペンネ−ム：三角定規）

x≧10 のとき
　{( x＋1)²−x²}/20＝( 2x＋1)/20≧( 2・10＋1)/20＞1
だから
x≧10 のとき　[ ( x＋1)²/20 ]≠[ x²/20 ]
よって，x が 10 以上の整数のとき [ x²/20 ] は異なる値をとる。

x＝1，2，3，4 のとき [ x²/20 ]＝0
x＝5，6 のとき　　　 [ x²/20 ]＝1
x＝7 のとき 　　　　　[ x²/20 ]＝2
x＝8 のとき 　　　　　[ x²/20 ]＝3
x＝9 のとき 　　　　　[ x²/20 ]＝4
x＝10 のとき　　　　　[ x²/20 ]＝5

であるから，x が 1 から 2009 までの整数値をとるとき，[ x²/20 ]　は，2005 通り の値をとる。

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解答・その10

（ペンネ−ム：迷子の雄猫）

ｆ（ｘ）　の値は必ず整数である。

（命題１）ｘ　が１から１０までの整数の値をとるとき、
　　　ｆ（ｘ）　は６通りの値をとる。

（命題２）ｘ≧１０　の場合、ｆ（ｘ）　＜　ｆ（ｘ＋１）　である。
　　　すると、ｘ　が１１から２００９までの整数の値をとるとき、
　　　ｆ（ｘ）　は１９９９通りの値をとることになる。
よって、ｘが１から２００９までの整数の値をとるとき、ｆ（ｘ）は、２００５通りの値をとりえる。

（命題１）の証明
ｆ（１）　＝［１÷２０］＝０
ｆ（５）　＝［５×５÷２０］＝［２５÷２０］＝１
ｆ（７）　＝［７×７÷２０］＝［４９÷２０］＝２
ｆ（８）　＝［８×８÷２０］＝［６４÷２０］＝３
ｆ（９）　＝［９×９÷２０］＝［８１÷２０］＝４
ｆ（１０）　＝［１０×１０÷２０］＝［１００÷２０］＝５
ｆ（１１）　＝［１１×１１÷２０］＝［１２１÷２０］＝６
上記より、
ｘ　が１から１０までの整数の値をとるとき、ｆ（ｘ）　は６通りの値をとる。
証明終わり

（命題２）の証明
１からａ^２までの整数で、２０の倍数である整数の個数が、ｆ（ａ）と等しい。
ｇ（ｘ）＝ｘ^２と定義する。
ｘ　≧　１０の場合、
ｇ（ｘ＋１）−ｇ（ｘ）−１
　＝（ｘ＋１）^２−（ｘ）^２−１
　＝　ｘ^２＋２ｘ＋１−（ｘ）^２−１
　＝　２ｘ＋１−１
　≧　２０
であるから、ｇ（ｘ）を超えてｇ（ｘ＋１）以下の整数のうち、２０の倍数である整数 が少なくとも１つは含まれる。
証明終わり

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解答・その11

（ペンネ−ム：teki）

答え　　２００５通り

最初は設定が２００９までなので、ぎょえ〜！と思いましたが、１１まで 計算すればいいとわかって、ほっとしました。
なぜ、１１までかというと、ｎ^２−（ｎ−１)^２＝２ｎ−１　なので、これ以上 は、前の数との差が１を超えるため、与式は全て異なる数となるからです。
実際に１１までは、与式＝０，０，０，０，１，１，２，３，４，５，６　となり、７種類の数が現れます。
で、２００９−１１＋７＝２００５通り　ってわけです。

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解答・その12

（ペンネ−ム：ぐりま）

初めに　ｘ₁, x₂≧10 のとき、 ｘ₁≠ｘ₂ ならば、ｆ（ｘ₁）≠ｆ（ｘ₂） をいいます。
x₁≠ｘ₂ なので、x₁＞x₂とします。
ｘ₁²−ｘ₂² ＝ (x₁＋x₂)(x₁−x₂) ≧ 20(x₁−x₂) ≧ 20
よって、　　x₁² /20 ≧　x₂²/20＋1
従って、　［x₁² /20］ ＞　［x₂²/20］
即ち、　f(x₁) ≠ f(x₂) が成り立ちます。
このことから、ｘ が10から2009までの２０００個の値をとれば、ｆ（ｘ）は２０００個の異なる値をとります。

一方、f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝0,　f(5)＝f(6)＝1,　f(7)＝2,　f(8)＝3,　f(9)＝4,　f(10)＝5　ですから、
ｘ が１から９までのときは、f(ｘ)は４以下の異なる５個の値をとり、
ｘ が１０以上のときは、f(ｘ)は５以上の２０００個の異なる値をとることになります。

以上のことから、ｆ(ｘ)は、異なる２００５個の値をとります。・・・・・・・（答）

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解答・その13

（ペンネ−ム：haya）

問題145 2009年の問題 の解は 2005 です。
【解き方】
隣り合った整数が同じ値になったとすると、

　　　x ＜ 9.5

従って、せいぜい 1〜8 までの範囲の整数の重複を調べて除外すればよい。
実際、

x	f(x)
1	0
2	0
3	0
4	0
5	1
6	1
7	2
8	3

となり、重複は4個なので、取り得る値の数は 2009 - 4 = 2005

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解答・その14

（ペンネ−ム：T_Tatekawa）

まず，x=k の場合と x=k+1 の場合を比較します．
(k+1)² = k² + (2 k+1)
です．もし (2k+1) > 20 ならば，
[(k+1)²/20] と [k²/20] は異なる値を取ります．
2k+1 > 20 となる整数 k は 10 です．よって x が 10 以上 2009 以下の範囲では，[x²/20] は全て異なる値となります．
x が 1 から 9 までの時の，各々の 2 乗は
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
なので，[x²/20] は
0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 3, 4, 5
で 6 通りです．答えは
(2009-10) + 6 = 2005 通り

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解答・その15

（ペンネ−ム：バルタン星人）

答え：２００５
ちょっと見、とっつきにくそうですが、Ｘが１増えた時に新たな数となるかどう かを考えれば良いだけの簡単な新春サービス問題。

Ｘ＝１〜４ではｆ（ｘ）＝０
Ｘ＝５〜６はｆ（ｘ）＝１
Ｘ＝７で２、Ｘ＝８で３
Ｘ＝９で４，Ｘ＝１０で５
Ｘ＝１１以上では、Ｘが１増えたとき二乗の数は２０以上増加するので ｆ（ｘ）は必ず１以上増え、新しい数となる。
かぶっている数は４個なので２００９−４＝２００５

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解答・その16

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

ｆ(ｘ)＝
(ｘ＋１)^２−ｘ^２＝２ｘ＋１＞２０より
ｘ≧１０の整数で
ｆ(ｘ)＜ｆ(ｘ＋１)となります。
だから、ｘ＝１０までを調べてみます。

x	ｘ２			省く個数
1	1	0.05	0
2	4	0.20	0	1
3	9	0.45	0	2
4	16	0.80	0	3
5	25	1.25	1
6	36	1.80	1	4
7	49	2.45	2
8	64	3.20	3
9	81	4.05	4
10	100	5.00	5

以上から
ｆ(ｘ)の取りえる値の個数は
２００９−４＝２００５通り。

正解者

teki	バルタン星人	スモークマン
のっこん	転位反応	夜ふかしのつらいおじさん
浜田明巳	巷の夢	haya
杖のおじさん	迷子の雄猫	オヤジ
T_Tatekawa	ぐりま	三角定規
kohji

コメント

とりあえず小さい方から確認して、10くらいまでいけば検討がつきますね。 f(x)のとりうる値を知りたいので、重なりだけ調べればよいわけです。 そして、10くらいまで調べてあれば、もうそれで充分というわけです。

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