問題143　５桁の整数

１４３．５桁の整数

[１]，[１]，[２]，[２]，[３]，[３]，[４]，[４]，[５]，[５]と書かれた10枚のカードがある。これら10枚の中から５枚を選んで、左から右へ並べ、５桁の(正の)整数を作る。たとえば、[１]，[１]，[２]，[３]，[４]と並べると、11234となる。このようにしてできる５桁の整数がＭ通りあるとして、以下の問いに答えよ。

(1)Ｍの値を求め、Ｍが10の倍数であることを確認せよ。
(2)これらＭ通りの数のうち、小さいほうからＭ/2番目の数を答えよ。
(3)これらＭ通りの数のうち、小さいほうからＭ/5番目の数を答えよ。
(4)これらＭ通りの数のうち、小さいほうからＭ/10番目の数を答えよ。

問題の出典

広中杯ハイレベル中学数学に挑戦
算数オリンピック委員会監修
講談社ブルーバックス
2004年ファイナル問題

答えと解説

解答・その1

（ペンネ－ム：浜田　明巳）

　エクセルのマクロで解きました．
(1) M=2220=222*10
(2) 33255
(3) 15544
(4) 13441

 
Option Explicit
Dim a(5) As Integer
Sub Macro1()
    Sheets("Sheet1").Select
    Cells(1, 1).Value = 0
    Call saiki(1)
    '
    If Cells(1, 1).Value Mod 10 = 0 Then
      Cells(1, 3).Value = Cells(Cells(1, 1).Value / 2, 2).Value
      Cells(1, 4).Value = Cells(Cells(1, 1).Value / 5, 2).Value
      Cells(1, 5).Value = Cells(Cells(1, 1).Value / 10, 2).Value
      Range("C1").Select
    Else
      Range("A1").Select
    End If
End Sub
Sub saiki(ByVal n As Integer)
    a(n) = 1
    While a(n) <= 10
      If onaji(n) = 0 Then
        If n < 5 Then
          Call saiki(n + 1)
        Else
          Call check(1)
        End If
      End If
      a(n) = a(n) + 1
    Wend
End Sub
Sub check(ByVal x As Integer)
    Dim n As Long
    Dim deta As Integer
    Dim j As Integer
    n = 0
    For j = 1 To 5
      n = n * 10 + num(a(j))
    Next j
    deta = 0
    j = 1
    While deta = 0 And j <= Cells(1, 1).Value
      If n = Cells(j, 2).Value Then
        deta = 1
      Else
        j = j + 1
      End If
    Wend
    If deta = 0 Then
      Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
      Cells(Cells(1, 1).Value, 2).Value = n
      Range("B" & Cells(1, 1).Value).Select
    End If
End Sub
Private Function onaji(ByVal n As Integer) As Integer
    Dim j As Integer
    onaji = 0
    j = 1
    While onaji = 0 And j < n
      If a(j) = a(n) Then
        onaji = 1
      Else
        j = j + 1
      End If
    Wend
End Function
Private Function num(ByVal n As Integer) As Integer
    Select Case n
      Case 1, 2
        num = 1
      Case 3, 4
        num = 2
      Case 5, 6
        num = 3
      Case 7, 8
        num = 4
      Case Else
        num = 5
    End Select
End Function

解答・その2

（ペンネ－ム：長崎島原　かがみ）

（問１）
(ⅰ)　A、A、B、B、C を選んで並べるパターン(同一数字が２種類)
　並べ方は５！÷２！÷２！＝３０通り
　A、B、C の選び方は　₅Ｃ₂×₃Ｃ₁＝３０通り
　∴３０×３０＝９００通り
(ⅱ)　A、A、B、C、D を選んで並べるパターン(同一数字が１種類)
　並べ方は５！÷２！＝６０通り
　A、B、C、D の選び方は　₅Ｃ₁×₄Ｃ₃＝２０通り
　∴６０×２０＝１２００通り
(ⅲ)　A、B、C、D、E を選んで並べるパターン(同一数字が無い)
　∴並べ方は５！＝１２０通り
よってＭ＝９００＋１２００＋１２０＝２２２０通りであり、１０の倍数である。

（問２）Ｍ÷２＝１１１０番目の数を求める。
(1)　１▲▲▲▲　の順列について
　(i)　▲がA、A、B、B の場合
　　　 ₄Ｃ₂×４！÷２！÷２！＝３６通り
　(ii)　▲がA、A、B、C の場合
　　　₄Ｃ₁×₄Ｃ₂×４！÷２！＝２８８通り
　(iii)　▲がA、B、C、D の場合
　　　₅Ｐ₄＝１２０通り
　　　　　合計　３６＋２８８＋１２０＝４４４通り＜ここまでで４４４番目＞
(2)　２▲▲▲▲　の順列について
　 (1)と同様に４４４通り＜ここまでで８８８番目＞
(3)　３▲▲▲▲　の順列について
　(i)３１▲▲▲について
　　　(ア)　▲がA、A、B の場合
　　　　₃Ｃ₁×４×３＝３６通り
　　　(イ)　▲がA、B、C の場合
　　　　₅Ｐ₃＝６０通り
　　　　　計９６通り＜ここまでで９８４番目＞
　(ii)３２▲▲▲について　　　(i)と同様に９６通り＜ここまでで１０８０番目＞
　(iii)３３▲▲▲について
　　　(ア)　３３１１▲　で３通り＜ここまでで１０８３番目＞
　　　(イ)　３３１２▲　で４通り＜ここまでで１０８７番目＞
　　　(ウ)　３３１４▲　で４通り＜ここまでで１０９１番目＞
　　　(エ)　３３１５▲　で４通り＜ここまでで１０９５番目＞
　　　(オ)　３３２１▲　で４通り＜ここまでで１０９９番目＞
　　　(カ)　３３２２▲　で３通り＜ここまでで１１０２番目＞
　　　(キ)　３３２４▲　で４通り＜ここまでで１１０６番目＞
　　　(ク)　３３２５▲　で４通り＜ここまでで１１１０番目＞
　　　よって１１１０番目は　３３２５５　である。

（問３）Ｍ÷５＝４４４番目の数を求める。
（問２）の(1)(iii)より、１▲▲▲▲の最後の数１５５４４が４４４番目となる。
よって　４４４番目は　１５５４４　である。

（問４）Ｍ÷１０＝２２２番目の数を求める。
(1)　１１▲▲▲について
　(i) ▲がA、A、B の場合
　　　₄Ｃ₁×３×３＝３６通り＜ここまでで３６番目＞
　(ii)▲がA、B、C の場合
　　　₄Ｐ₃＝２４通り　　　　＜ここまでで６０番目＞
(2)　１２▲▲▲について
　(i)▲がA、A、B の場合
　　　₃Ｃ₁×４×３＝３６通り＜ここまでで９６番目＞
　(ii)▲がA、B、C の場合
　　　₅Ｐ₃＝６０通り　　　　＜ここまでで１５６番目＞
(3)　１３▲▲▲について
　(i)１３１▲▲の場合
　　　(ア)　▲がA、A の場合３通り＜ここまでで１５９番目＞
　　　(イ)　▲がA、B の場合₄Ｐ₂＝１２通り＜ここまでで１７１番目＞
　(ii)１３２▲▲の場合
　　　(ア)　▲がA、A の場合２通り＜ここまでで１７３番目＞
　　　(イ)　▲がA、B の場合₅Ｐ₂＝２０通り＜ここまでで１９３番目＞
　(iii)１３３▲▲の場合
　　　(ア)　▲がA、A の場合３通り＜ここまでで１９６番目＞
　　　(イ)　▲がA、B の場合₄Ｐ₂＝１２通り　＜ここまでで２０８番目＞
　(iv)１３４▲▲の場合
　　　１３４１２・・・２０９番目
　　　１３４１３・・・２１０番目
　　　１３４１４・・・２１１番目
　　　１３４１５・・・２１２番目
　　　１３４２１・・・２１３番目
　　　１３４２２・・・２１４番目
　　　１３４２３・・・２１５番目
　　　１３４２４・・・２１６番目
　　　１３４２５・・・２１７番目
　　　１３４３１・・・２１８番目
　　　１３４３２・・・２１９番目
　　　１３４３４・・・２２０番目
　　　１３４３５・・・２２１番目
　　　１３４４１・・・２２２番目
よって　２２２番目は　１３４４１　である。

☆ちなみにＭを求めるための一覧表☆

＜選んできた文字＞通り合計
１　１　２　２　３　・・・３０小計９００通り
１　１　２　２　３　・・・３０
１　１　２　２　４・・・３０
１　１　２　２　５・・・３０
１　１　３　３　２・・・３０
１　１　３　３　４・・・３０
１　１　３　３　５・・・３０
１　１　４　４　２・・・３０
１　１　４　４　３・・・３０
１　１　４　４　５・・・３０
１　１　５　５　２・・・３０
１　１　５　５　３・・・３０
１　１　５　５　４・・・３０
２　２　３　３　１・・・３０
２　２　３　３　４・・・３０
２　２　３　３　５・・・３０
２　２　４　４　１・・・３０
２　２　４　４　３・・・３０
２　２　４　４　５・・・３０
２　２　５　５　１・・・３０
２　２　５　５　３・・・３０
２　２　５　５　４・・・３０
３　３　４　４　１・・・３０
３　３　４　４　２・・・３０
３　３　４　４　５・・・３０
３　３　５　５　１・・・３０
３　３　５　５　２・・・３０
３　３　５　５　４・・・３０
４　４　５　５　１・・・３０
４　４　５　５　２・・・３０
４　４　５　５　３・・・３０
１　１　２　３　４・・・６０小計１２００通り
１　１　２　３　５・・・６０
１　１　２　４　５・・・６０
１　１　３　４　５・・・６０
２　２　１　３　４・・・６０
２　２　１　３　５・・・６０
２　２　１　４　５・・・６０
２　２　３　４　５・・・６０
３　３　１　２　４・・・６０
３　３　１　２　５・・・６０
３　３　１　４　５・・・６０
３　３　２　４　５・・・６０
４　４　１　２　３・・・６０
４　４　１　２　５・・・６０
４　４　１　３　５・・・６０
４　４　２　３　５・・・６０
５　５　１　２　３・・・６０
５　５　１　２　４・・・６０
５　５　１　３　４・・・６０
５　５　２　３　４・・・６０
１　２　３　４　５・・・１２０小計１２０通り
　Ｍ合計２２２０通り

＜選んできた文字＞	通り	合計
１　１　２　２　３	・・・３０	小計９００通り
１　１　２　２　３	・・・３０
１　１　２　２　４	・・・３０
１　１　２　２　５	・・・３０
１　１　３　３　２	・・・３０
１　１　３　３　４	・・・３０
１　１　３　３　５	・・・３０
１　１　４　４　２	・・・３０
１　１　４　４　３	・・・３０
１　１　４　４　５	・・・３０
１　１　５　５　２	・・・３０
１　１　５　５　３	・・・３０
１　１　５　５　４	・・・３０
２　２　３　３　１	・・・３０
２　２　３　３　４	・・・３０
２　２　３　３　５	・・・３０
２　２　４　４　１	・・・３０
２　２　４　４　３	・・・３０
２　２　４　４　５	・・・３０
２　２　５　５　１	・・・３０
２　２　５　５　３	・・・３０
２　２　５　５　４	・・・３０
３　３　４　４　１	・・・３０
３　３　４　４　２	・・・３０
３　３　４　４　５	・・・３０
３　３　５　５　１	・・・３０
３　３　５　５　２	・・・３０
３　３　５　５　４	・・・３０
４　４　５　５　１	・・・３０
４　４　５　５　２	・・・３０
４　４　５　５　３	・・・３０
１　１　２　３　４	・・・６０	小計１２００通り
１　１　２　３　５	・・・６０
１　１　２　４　５	・・・６０
１　１　３　４　５	・・・６０
２　２　１　３　４	・・・６０
２　２　１　３　５	・・・６０
２　２　１　４　５	・・・６０
２　２　３　４　５	・・・６０
３　３　１　２　４	・・・６０
３　３　１　２　５	・・・６０
３　３　１　４　５	・・・６０
３　３　２　４　５	・・・６０
４　４　１　２　３	・・・６０
４　４　１　２　５	・・・６０
４　４　１　３　５	・・・６０
４　４　２　３　５	・・・６０
５　５　１　２　３	・・・６０
５　５　１　２　４	・・・６０
５　５　１　３　４	・・・６０
５　５　２　３　４	・・・６０
１　２　３　４　５	・・・１２０	小計１２０通り
	Ｍ	合計２２２０通り

解答・その3

（ペンネ－ム：のっこん）

（１）
aabbcのタイプ　　選び方は₅Ｃ₂・₃Ｃ₁＝30通り　並べ方は30・5！/（2！・2！）＝900通り
aabcdのタイプ　　選び方は₅Ｃ₁・₄Ｃ₃＝20通り　並べ方は20・5！/2！＝1200通り
abcdeのタイプ　　選び方は₅Ｃ₀・₅Ｃ₅＝1通り　並べ方は1・5！＝120通り
　　Ｍ＝900＋1200＋120＝2220＝222・10

（２）
Ｍ/2＝1110
1○○○○の個数は　2220/5＝444個
２○○○○の個数も　　　　　　　444個・・・・累計888個
３○○○○の個数も　　　　　　　444個・・・・累計1332個
よって求める数は　３○○○○

３１○○○の個数は（１）と同様の計算を行って９６個・・・・累計９８４個
３２○○○の個数も　　　　　　　　　　　　　　　９６個・・・・累計１０８０個
３３○○○の個数は　　　　　　　　　　　　　　　６０個・・・・累計１１４０個
よって求める数は　３３○○○

３３１○○の個数は　６０/４＝１５個・・・・累計１０９５個
３３２○○の個数も　　　　　　１５個・・・・累計１１１０個
よって３３２○○の最大数が答えとなる　　　　　（答え）３３２５５

（３）
Ｍ/５＝444
（２）において　１○○○○の個数は444個だったから
１○○○○の最大数が答えとなる　　　　　　　（答え）１５５４４

（４）
Ｍ/10＝222
１１○○○の個数は３３○○○の個数と同じだから６０個
１２○○○の個数は３１○○○の個数と同じだから９６個・・・・累計１５６個
１３○○○の個数も　　　　　　　　　　　　　　　　　９６個・・・・累計２５２個
よって求める数は１３○○○

１３１○○の個数は３３１○○の個数と同じだから１５個・・・・累計１７１個
１３２○○の個数は（１）と同様の計算を行って２２個・・・・累計１９３個
１３３○○の個数は１３１○○の個数と同じだから１５個・・・累計２０８個
１３４○○の個数は１３２○○の個数と同じだから２２個・・・・累計２３０個
よって求める数は１３４○○

１３４１○の個数は４個・・・・累計２１２個
１３４２○の個数は５個・・・・累計２１７個
１３４３○の個数は４個・・・・累計２２１個
よって１３４４○の最小数が答えとなる　　　　　　（答え）１３４４１

解答・その4

（ペンネ－ム：巷の夢）

（1）
(i)5種類全てを使う場合
₅P₄＝5×4×3×2＝120
(ii)1種類だけ同じ数を
使う場合
・同じ数は5種類・その同じ数の並べ方は₅C₂＝5×4/2＝10
・その他の3数は4種類の中から選ぶので₄P₃＝4×3×2＝24
因って、5×10×24＝1200
(iii)2種類同じ数を使う場合
・同じ数の組み合わせは₅C₂＝5×4/2＝10
・その並べ方は₅C₂×₃C₂＝5×4×3/2＝30
・残りの数は3種類
因って、10×30×3＝900
以上の数を全部加えて、求める数は120+1200+900＝2220となる。確かに10の倍数である。

(2)
求めるものは小さい方から2220/2＝1110番目である。ほぼ真ん中の値と推察される。
出来る数を書き出すと、
1○○○○、2○○○○、3○○○○、4○○○○及び5○○○○になることが分かる。
因って、各々の数は2220/5＝444づつあると推定される。即ち、3○○○○である。
ところで、3○○○○の次の桁を書くと、
31○○○、32○○○、33○○○、34○○○及び35○○○であり、33○○○以外の各々の書き出される数値の数は同じである。因って、33○○○の真ん中に近いと分かる。
小さい順に考えると、331○○は1,2,24,4,5,5の中から2数選ぶ事となり、同じ数の組み合わせは3通り、異なる数の組み合わせは₄P₂＝4×3＝12通り、因って15通りである。332○○、 334○○、335○○も全く同じであるので真ん中の小さい方の数は33255である。

(3)
求めるものは小さい方から2220/5＝444番目である。
これは上記(2)で考察したように1○○○○の一番大きな数であるから、自ずと15544となる。

(4)
求めるものは小さい方から2220/10＝222番目である。
ところで、11○○○、12○○○、13○○○、14○○○及び15○○○で出来る数は11○○○のみが少なく、他は全て同じである。12○○○を考えると、1,2,3,3,4,4,5,5の中から3数を選ぶ事になる。
・残り3数全てが異なる数の組み合わせは、5P3＝5×4×3＝60
・残り3数中同じ数がある場合は、3,4,5の3種類で残りの数は4種類から選ぶので 3×3×4＝36となる。
因って、60+36＝96となる。これが4種類あるので444-96×4＝60が11○○○の個数である。これらより222＝60+96+66となる。即ち、13○○○の小さい方から66番目の数となる。
13○○○を小さい順に表すと、131○○、132○○、133○○、134○○及び135○○なので 133○○と推察される。
ところで、上記と同じ考えで考察すれば、131○○と133○○の数は同じで、 132○○、134○○及び135○○も同じである。
後者の132○○は、1,2,3,4,4,5,5から2数を選べば良く、
・異なる数の場合は5P2＝5×4＝20となる
・同じ数は2通りである。
因って、22通りが3種類あり、131○○と133○○の合計数は96-22×3＝30となる。即ち、 131○○、132○○、133○○の合計は52であり、66番目は134○○の小さい方から14番目の数となる。 1341○は4個、1342○は5個、1343○は4個であるから、求めるものは13441となる。

解答・その5

（ペンネ－ム：転位反応）

題意を満たす５桁の整数には、各桁の数が全て異なる場合、一組の同じ数を含む場合、二組の同じ数を含む場合の、３つのパターンが存在する。万位が１の場合、５桁の整数は４４４通りが考えられる。（表１）
例えば、１２□□□の場合
　(i)全て異なる数を含む場合：３×２×１＝６通り
　(ii)一組の同じ数を含む場合：５４通り
　　　・「１」を二つ含む場合：３×３×２＝１８通り
　　　・「２」を二つ含む場合：３×３×２＝１８通り
　　　・「３」、「４」または「５」を二つ含む場合：３×３×２＝１８通り
　(iii)二組の同じ数を含む場合：３６通り　　　・「１」と「２」を二つずつ含む場合：３×２×３＝１８通り
　　　・「１」を一組、「３」、「４」または「５」を一組含む場合：３×３＝９通り
　　　・「２」を一組、「３」、「４」または「５」を一組含む場合：３×３＝９通り

表１

５桁の整数数が全て
異なる一組の同じ
数を含む二組の同じ
数を含む小計累計
11□□□ 0 24 36 60 60
12□□□ 6 54 36 96 156
13□□□ 6 54 36 96 252
14□□□ 6 54 36 96 348
15□□□ 6 54 36 96 444

５桁の整数	数が全て異なる	一組の同じ数を含む	二組の同じ数を含む	小計	累計
11□□□	0	24	36	60	60
12□□□	6	54	36	96	156
13□□□	6	54	36	96	252
14□□□	6	54	36	96	348
15□□□	6	54	36	96	444

(1)万位が２～５の場合についても、それぞれ４４４通りの整数が存在するので

　　　Ｍ=４４４×５=２２２０＝２２２×１０

１０の倍数である。

(2)表３より、１１４０番目の整数は、３３□□□で最大であることから３３５５４。
よって、Ｍ／２＝１１１０番目の整数は、３３５５４より３０番目に小さい整数となる。
順に書き並べて求める、３３２５５。

表３

５桁の整数数が全て
異なる一組の同じ
数を含む二組の同じ
数を含む小計累計
31□□□ 6 54 36 96 984
32□□□ 6 54 36 96 1080
33□□□ 0 24 36 60 1140
34□□□ 6 54 36 96 1236
35□□□ 6 54 36 96 1332

５桁の整数	数が全て異なる	一組の同じ数を含む	二組の同じ数を含む	小計	累計
31□□□	6	54	36	96	984
32□□□	6	54	36	96	1080
33□□□	0	24	36	60	1140
34□□□	6	54	36	96	1236
35□□□	6	54	36	96	1332

(３)Ｍ／５＝４４４番目の数は、表１から１５５４４。

(４)表１より、２５２番目の整数は、１３□□□で最大であることから１３５５４。
よって、Ｍ／１０＝２２２番目の整数は、１３５５４より３０番目に小さい整数となる。
順に書き並べて求めると、１３４４１。

解答・その6

（ペンネ－ム：三角定規）

(1)
　<1> ５つの数字がすべて異なるもの　5！＝120 個 …(#1)
　<2> １組の同じ数を含むもの …　5・4・60＝1200 個 …(#2)
　　・同じ数は何か … 5 通り
　　・他の３数は何か … ₄C₃＝4 通り
　　・それらの並べ方 … 5！/2＝60 通り
　<3> ２組の同じ数を含むもの … 10・3・30＝900 個 …(#3)
　　・同じ数は何と何か … ₅C₂＝10 通り
　　・他の１つの数は何か … 3 通り
　　・それらの並べ方 … 5！/2・2＝30 通り
(#1)(#2)(#3)より，５桁の数の総数は 120＋1200＋900＝2220 個 ←10 の倍数。[答]

(2)
　<1> 数 1○○○○ の総数は 2220/5＝444 個 …(#4)
　<2> 数 112○○ は 15 個あるから，数 11○○○ は 15・4＝60 個 … (#5)
　<3> 数 121○○，数 122○○ はそれぞれ 15 個，数 123○○ は 22 個あるから，数 12○○○ は 15・2＋22・3＝96 個 … (#6)
M/2＝1110＝444＋444＋96＋96＋30 だから，1110 番目の数の最上位は(#4)より 3。
数 31○○○，32○○○ は(#6)よりそれぞれ 96 個。よって，左から 2 つ目は 3。
よって，1110 番目の数は，33△△△ の小さい方から 30 番目で，(#5)より，33255 [答]

(3)
M/5＝444
これは，(#4)より 1○○○○ の最大数で，それは　15544 [答]

(4)
M/10＝222＝60＋96＋66，66＝15＋22＋15＋14 だから
222 番目の数は 134△△ の小さい方から 14 番目で，それは 13441 [答]

解答・その7

（ペンネ－ム：ミイ）

(1)　１○○○○のタイプの数を求めて、５倍すればよい。
下の○○○について、１°・２°のように分類して数える。
１°はabc（３つの数字が異なる）タイプ
２°はaab（２つの数字が同じ）タイプ
　１１○○○・・・１°₄Ｐ₃ 通り、２°4×3×3 通り・・・計60通り
　１２○○○・・・１°₅Ｐ₃ 通り、２°3×4×3 通り・・・計96通り
　１３○○○、１４○○○、１５○○○も１２○○○と同数なので、
　１○○○○のタイプの数は、60＋96×4＝444通り
よって、Ｍ＝444×5＝2220
これより、Ｍは１０の倍数である。

(2)　万の位が１、２、３、４、５であるものはそれぞれ同数なので、Ｍ/2番目の数は、３○○○○に含まれる。
このうち、千の位が１、２、４、５であるものはそれぞれ同数なので、Ｍ/2番目の数は、３３○○○に含まれる。
このうち、百の位が１、２、４、５であるものはそれぞれ同数なので、Ｍ/2番目の数は、３３２○○のタイプで最も大きい数である。
よって、求める５桁の数は、３３２５５

(3)　万の位が１、２、３、４、５であるものはそれぞれ同数なので、Ｍ/5番目の数は、１○○○○のタイプで最も大きい数である。よって、求める５桁の数は、１５５４４

(4)　万の位が１、２、３、４、５であるものはそれぞれ同数なので、Ｍ/10＝222番目の数は、１○○○○のタイプに含まれる。
(1)の計算結果より、
　１１○○○・・・60通り
　１２○○○・・・96通り
また、下の○○で、３°をab タイプ、４°をaa タイプとして
　１３１○○・・・３°4×3通り、４°3通り・・・合計15通り
　１３２○○・・・３°5×4通り、４°2通り・・・合計22通り
　１３３○○・・・１３１○○と同じで、15通り
　１３４１○・・・4通り、１３４２○・・・5通り、１３４３○・・・4通り
以上で、60＋96＋15＋22＋15＋4＋5＋4＝221個
すなわち、222番目の数は、１３４４○の一番小さい数である。
したがって、求める数は１３４４１

解答・その8

（ペンネ－ム：迷子の雄猫）

問題(1)
同じ数字のカードは２枚しかないので、５枚のカードの組み合わせは、下記のいずれかである。
（あ）２枚－２枚－１枚、同じ数字のカードの組が２組と、単独の数字カード１枚
（い）２枚－１枚－１枚－１枚、同じ数字のカードの組が１組と、単独の数字カード３枚
（う）１枚－１枚－１枚－１枚－１枚、同じ数字のカードの組が０組と、単独の数字カード５枚

（あ）の場合
　　ペアのカードの組の選び方（５×４÷２）通り
　　単独の数字カードの選び方（３）通り
　　左から右への並べ方（５×４×３×２×１÷２÷２）通り
　　合計９００通り
（い）の場合
　　ペアのカードの組の選び方（５）通り
　　単独の数字カードの選び方（４×３×２÷３÷２）通り
　　左から右への並べ方（５×４×３×２×１÷２）通り
　　合計１２００通り
（う）の場合
　　ペア数字のカードの組の選び方（１）通り
　　単独の数字カードの選び方（１）通り
　　左から右への並べ方（５×４×３×２×１）通り
　　合計１２０通り

（あ）～（う）の合計　２２２０通り（末尾が０なので１０の倍数）

問題(2)
　　Ｍ通りの数のうち、先頭が[１][２][３][４][５]の数字は同数ずつある。
　　Ｍ/5番目の数は、先頭が[３]である数字のうち中間の数、
　　よって先頭２桁は３３、３桁目は[２]である数字のうち最大の数、よって３３２５５

問題(3)
　　Ｍ/5番目の数は、先頭が[１]である数字のうち最大の数、よって１５５４４

問題(4)
　　Ｍ/10番目の数は、先頭が[１]である数字（４４４通り）のうちのいずれか。
同じ数字のカードは2枚しかないので、残り３枚のカードの組み合わせは、下記のいずれかである。
（え）２枚－２枚－１枚、ペアのカードの組が１組と、単独の数字カード１枚
（お）２枚－１枚－１枚－１枚、ペアのカードの組が０組と、単独の数字カード３枚
先頭が１５、１４、１３、１２の数の場合：９６通り×４＝３８４通り
　　先頭が１２である場合、残りのカードは１２３３４４５５であるので、
　　（え）の場合
　　　　ペアのカードの組の選び方（３）通り：（３３，４４，５５のうちの、いずれか）
　　　　単独の数字カードの選び方（４）通り：（５５を選んだら残りは１２３４の、いずれか）
　　　　左から右への並べ方（３）通り
　　　　合計３６通り
　　（お）の場合
　　　　ペアのカードの組の選び方（１）通り
　　　　単独の数字カードの選び方（５×４×３÷３÷２）＝（１０）通り
　　　　左から右への並べ方（３×２×１）＝（６）通り
　　　　合計６０通り

先頭が１１の数：６０通り先頭が１１である場合、残りのカードは２２３３４４５５であるので、
　　（え）の場合
　　　　ペアのカードの組の選
び方（４）通り：（２２、３３，４４，５５のうちの、いずれか）
　　　　単独の数字カードの選び方（３）通り：（５５を選んだら残りは２３４の、いずれか）
　　　　左から右への並べ方（３）通り
　　　　合計３６通り
　　（お）の場合
　　　　ペアのカードの組の選び方（１）通り
　　　　単独の数字カードの選び方（４×３×２÷３÷２）＝（４）通り
　　　　左から右への並べ方（３×２×１）＝（６）通り
　　　　合計２４通り

　　Ｍ/10番目（２２２番目）の数は、
　　　先頭が１１の数：６０通り
　　　先頭が１２の数：９６通り（累計１５６通り）
　　　先頭が１３の数：９６通り（累計２５２通り）
　　同様に、先頭が１３１の数：１５通り（累計１７１通り）
　　　　　　先頭が１３２の数：２２通り（累計１９３通り）
　　　　　　先頭が１３３の数：１５通り（累計２０８通り）
　　　　　　先頭が１３４の数：２２通り（累計２３０通り）
　　　　　　先頭が１３５の数：２２通り（累計２５２通り）
　　先頭が１３４の数は、以下の２２個。
　　　　１３４１２（２０９番目）
　　　　１３４１３（２１０番目）
　　　　１３４１４（２１１番目）
　　　　１３４１５（２１２番目）
　　　　１３４２１（２１３番目）
　　　　１３４２２（２１４番目）
　　　　１３４２３（２１５番目）
　　　　１３４２４（２１６番目）
　　　　１３４２５（２１７番目）
　　　　１３４３１（２１８番目）
　　　　１３４３２（２１９番目）
　　　　１３４３４（２２０番目）
　　　　１３４３５（２２１番目）
　　　　１３４４１（２２２番目）
　　　　１３４４２（２２３番目）
　　　　１３４４３（２２４番目）
　　　　１３４４５（２２５番目）
　　　　１３４５１（２２６番目）
　　　　１３４５２（２２７番目）
　　　　１３４５３（２２８番目）
　　　　１３４５４（２２９番目）
　　　　１３４５５（２３０番目）
　　Ｍ/10番目（２２２番目）の数は、１３４４１。

解答・その9

（ペンネ－ム：スモークマン）

(1)
5!=120
₅C₁*₄C₃*5!/2!=1200
₅C₂*₃C₁*5!/2!2!=900
合計＝2220 となり、10の倍数♪

(2)
M/2 は、1,2,3,4,5 から、先頭は3
31,32,33,34,35 から、33であり、、、
331,332,334,335 から、332・・の段の最大の数だから、、、33255

(3)
M/5 番目ということは、先頭の数は、1～5なので、それぞれ、M/5 こずつあるはずだから、先頭が1の一番大きい数のはず＝15544

(4)
M/10 は、1・・・・の段の中(M/5)の半分(M/5)/2 だから、、、
11,12,13,14,15 だが、11・・・は、 ₄C₃*3!+₄C₁*₃C₂* 3!/2!=24+36=60 だが、、、
12,13,14,15 は、(2220/5-60)/4=96 なので、
2220/10=222
60+96*2=252
252-222=30
つまり、13554 の30個前の数。
13554,
13553,13552,13551,13545,13544,13543,13542,13541,13535,13534,
13532,13531,13525,13524,13523,13522,13521,13515,13514,13513,
13512,13455,13454,13453,13452,13451,13445,13443,13442,13441,13435,
から、13441

解答・その10

（ペンネ－ム：夜ふかしのつらいおじさん）

まず、これらの数がいくつあるかを調べます。
その１
・各位の数字がすべて異なるものは、₅Ｐ₅＝１２０通り
・同じ数字が１組あるものは、₅Ｃ₁×₄Ｃ₃×５！／２！＝１２００通り
　（同じ数字の選び方、残り３数の選び方、同じものを含む順列）
・同じ数字が２組あるものは、₅Ｃ₂×₃Ｃ₁×５！／（２！×２！）＝９００通り
　（同じ数字の選び方、残り１数の選び方、同じものを含む順列）
の計Ｍ＝２２２０通りです。

その２
別の考えで確認してみます。
●万の位が、１のとき
（あ）万と千の位が同じ数字のとき
・残りの３数字が異なるものは、₄Ｐ₃＝２４通り
・残りに同じ数字があるものは、₄Ｃ₁×₃Ｃ₁×３！／２！＝３６通り
　（同じ数字の選び方、もう１つの数字の選び方、同じものを含む順列）
の計６０通り

（い）万と千の位の数字が１，２のとき
・すべての位の数字が異なるものは、₃Ｐ₃＝６通り
・残りに１，２以外で、同じ数字の組があるものは、₃Ｃ₁×₂Ｃ₁×３！／２！＝１８通り
　（同じ数字の選び方、残りの数字の選び方、同じものを含む順列）
・残り３数に、１か２のどちらか一方だけを含み、他は数字が異なるものは、２×₃Ｃ₂×₃Ｐ₃＝３６通り
　（場合が２通り、他の数字の選び方、順列）
・残り３数に１か２のどちらか一方だけを含み、もう1組同じ数字の組があるものは、２×₃Ｃ₁×３！／２！＝１８通り
　（場合が２通り、同じ数字の選び方、同じものを含む順列）
・残り３数に１と２の両方を含む場合、₃Ｃ₁×₃Ｐ₃＝１８通り
　（残りの数字の選び方、３数字の並び方）
の計９６通り

（う）～（お）は、（い）と同じ考え方なので、（あ）～（お）の合計は、６０＋４×９６＝４４４通り

●すべての場合は、Ｍ＝５×４４４＝２２２０通り
※　万と千の位の数字が同じときは、場合の数が６０通りで、異なるときは９６通りで注意が必要です。

（１）
Ｍ＝２２２０なので１０の倍数です。

（２）
Ｍ／２番目の数は、最小と最大の平均値（33333）より小さな最大の数です。

小さい順に並べた数　大きい順に並べた数

万千百十一　万千百十一

1 1 2 2 3 　 5 5 4 4 3
1 1 2 2 4 　 5 5 4 4 2
1 1 2 2 5 　 5 5 4 4 1
1 1 2 3 2 　 5 5 4 3 4
・・・　・・・

左右を見比べると、同じ位の数字の合計が６になるような対になります。
だから、求める数は、３３２５５です。

小さい順に並べた数		大きい順に並べた数
万	千	百	十	一	万	千	百	十	一
1	1	2	2	3	5	5	4	4	3
1	1	2	2	4	5	5	4	4	2
1	1	2	2	5	5	5	4	4	1
1	1	2	3	2	5	5	4	3	4
・・・		・・・

（３）
Ｍ／５番目の数は、万の位が１で始まる最大の数です。
だから、１５５４４です。

（４）
Ｍ／１０番目の数は、万の位が１で始まる数の中央付近の数です。
感覚的には（２）のときのように、１３３２５と答えたくなりますが、これはＭ／１０＝２２２番目ではありません。
６０＋９６＋１＝１５７番目が、１３１２２です。
13??? となっている９６個の数を調べると、

　万千百十一
157 1 3 1 2 2
158 1 3 1 2 3
159 1 3 1 2 4
160 1 3 1 2 5
161 1 3 1 3 2
162 1 3 1 3 4
163 1 3 1 3 5
164 1 3 1 4 2
165 1 3 1 4 3
166 1 3 1 4 4
167 1 3 1 4 5
168 1 3 1 5 2
169 1 3 1 5 3
170 1 3 1 5 4
171 1 3 1 5 5

　万千百十一
172 1 3 2 1 2
173 1 3 2 1 3
174 1 3 2 1 4
175 1 3 2 1 5
176 1 3 2 2 1
177 1 3 2 2 3
178 1 3 2 2 4
179 1 3 2 2 5
180 1 3 2 3 1
181 1 3 2 3 2
182 1 3 2 3 4
183 1 3 2 3 5
184 1 3 2 4 1
185 1 3 2 4 2
186 1 3 2 4 3
187 1 3 2 4 4
188 1 3 2 4 5
189 1 3 2 5 1
190 1 3 2 5 2
191 1 3 2 5 3
192 1 3 2 5 4
193 1 3 2 5 5

　万千百十一
194 1 3 3 1 2
195 1 3 3 1 4
196 1 3 3 1 5
197 1 3 3 2 1
198 1 3 3 2 2
199 1 3 3 2 4
200 1 3 3 2 5
201 1 3 3 4 1
202 1 3 3 4 2
203 1 3 3 4 4
204 1 3 3 4 5
205 1 3 3 5 2
206 1 3 3 5 3
207 1 3 3 5 4
208 1 3 3 5 5

　万千百十一
209 1 3 4 1 2
210 1 3 4 1 3
211 1 3 4 1 4
212 1 3 4 1 5
213 1 3 4 2 1
214 1 3 4 2 2
215 1 3 4 2 3
216 1 3 4 2 4
217 1 3 4 2 5
218 1 3 4 3 1
219 1 3 4 3 2
220 1 3 4 3 4
221 1 3 4 3 5
222 1 3 4 4 1
223 1 3 4 4 2
224 1 3 4 4 3
225 1 3 4 4 5
226 1 3 4 5 1
227 1 3 4 5 2
228 1 3 4 5 3
229 1 3 4 5 4
230 1 3 4 5 5

解答・その11

（ペンネ－ム：杖のおじさん）

（１）２２２０通り　（２）３３２５５　（３）１５５４４　（４）１３４４１

(1) ５枚のカードで作る５桁の数字の組み合わせは　
ＡＡＢＢＣＣＤＤＥＥとすると次の３パターンに分けられます。
１°ＡＢＣＤＥ　　２°ＡＡＢＣＤ　　３°ＡＡＢＢＣ　の３種類です。

１°の組み合わせは５×４×３×２×１＝１２０通り
２°の組み合わせはＡ～Ｅまで同じ数字を含むのは５通り
そして選ばれた数字のどれを使うか見ると４種類あります。その並び替えは次の通りです。
　５×４×（５×４×３×２×１）/２×１＝１２００通り
３°の組み合わせはＡ～ＥとＡ～Ｅまでの数字２個づつ含む数字は、次の１０通りです。
　ＡＡＢＢ，ＡＡＣＣ、ＡＡＤＤ，ＡＡＥＥ，ＢＢＣＣ，
　ＢＢＤＤ，ＢＢＥＥ，ＣＣＤＤ．ＣＣＥＥ．ＤＤＥＥ．
それぞれに３つの組み合わせがあります。従って１０×３＝３０通り
これの組み合わせは次の通りです。
　１０×３×（５×４×３×２×１）/（２×１）×（２×１）＝９００通り

合計　　１°＋２°＋３°＝１２０＋１２００＋９００＝２２２０通りです。

（２）
M/2の解答→３３３３３３に近い小さい方からの最大の数字なので３３２５５である事が分かります。

（３）
M/5の解答→１及び２及び３及び４及び５から始まる５桁の数字は同数なので１から始まる小さい方からの数字で最大のものと分かり１５５４４です。

（４）
M/10の解答→１１２２３～５５４４３まで２２２０個の数字があります。頭が１、２，３，４，５となる数字は同数です。444個あります。従ってM/10は444/2=222番目は１から始まる5桁の数字の下4桁が１２２３から５５４４までの2分の１（中間）なのでエクセルで下図の通り数えて見ました。その結果222番目は１３４４１と分かりました。

解答・その12

（ペンネ－ム：teki）

１　５桁の数字を作る場合、
　　（１）　５つとも数字が違う場合、５！＝１２０通り
　　（２）　１組だけ同一数字の場合、５×４×５！÷２＝１２００通り
　　（３）　２組の同一数字がある場合、１０×３×５！÷４＝９００通り
合計、２２２０通りで、１０の倍数です。
最初の５と１０は、₅C₁と₅C₂、次の４と３は、₄C₁と₃C₂、最後の２と４は、２！及び２！×２！です。（説明は省略します。）いずれにせよ、この条件で５桁の数を作る方法は、３０の倍数といえます。

２　３３２５５
この条件でできる最大数と最小数の和、２番目に大きい数と２番目に小さい数の和・・・・・・・・　は常に６６６６６です。（ガウスの足し算の要領）つまり、作れる数の平均は、３３３３３ですので、題意の数はこれに最も近い３３３３３を超えない数と言えます。

３　１５５４４
作れる数の１万、千、百、十、一の位には、１～５が均等に現れます。よって、題意の数は、言い換えれば、「１万の位が１の最大数」ということになります。

４　１３４４１
うまい方法が見つからず、結局２２２番目まで、並べました。（並べ損ねてないことを祈るだけです(^^;;）

正解者

のっこん夜ふかしのつらいおじさん迷子の雄猫

巷の夢 teki 長崎島原　かがみ

転位反応浜田　明巳スモークマン

杖のおじさんミイ三角定規

皆さん、お忙しい時期なのか、問題が難しかったのでしょうか、解答をお寄せいただいた方が少ない月でした。
(2)は、Ｍ通りの５桁の整数のうち、半数は３３３３３より小さく、半数は３３３３３より大きいということから、求めることができます。
(3)は、先頭の数が、１，２，３，４，５になる５桁の整数は、同数あるという対称性から求めることができます。
(4)は、丁寧に数えるしかなさそうです。

Challenge!