１４２．９進数のかけ算
９進数で表された５数８８８８、８８８７、８８８６、８８８５、８８８４の積
８８８８×８８８７×８８８６×８８８５×８８８４
を９進法で表したときの下４桁を求めよ。
問題の出典
広中杯ハイレベル中学数学に挑戦
算数オリンピック委員会監修
講談社ブルーバックス
2006年トライヤル問題
答えと解説
解答・その1
（ペンネ－ム：のっこん）
９進法用のかけ算九九表を作る
２・５＝１１、２・６＝１３、２・７＝１５、２・８＝１７
３・３＝１０、３・４＝１３、３・５＝１６、３・６＝２０、３・７＝２３、３・８＝２６
４・３＝１３、４・４＝１７、４・５＝２２、４・６＝２６、４・７＝３１、４・８＝３５
５・２＝１１、５・３＝１６、５・４＝２２、５・５＝２７、５・６＝３３、５・７＝３８、５・８＝４４
６・２＝１３、６・３＝２０、６・４＝２６、６・５＝３３、６・６＝４０、６・７＝４６、６・８＝５３
７・２＝１５、７・３＝２３、７・４＝３１、７・５＝３８、７・６＝４６、７・７＝５４、７・８＝６２
８・２＝１７、８・３＝２６、８・４＝３５、８・５＝４４、８・６＝５３、８・７＝６２、８・８＝７１
表に従い、かけ算を行う
（下４桁が求められているので、下４桁に関係する計算のみ行う）
１）８８８８×８８８７＝８８８８×７＋８８８８×８０＋８８８８×８００＋８８８８×８０００
→８８８２＋８８１０＋８１００＋１０００→０００２
２）８８８６×２→８８８３
３）８８８３×８８８５＝８８８３×５＋８８８３×８０＋８８８３×８００＋８８８３×８０００
→８８５６＋８３６０＋３６００＋６０００→００２６
４）８８８４×２６＝８８８４×６＋８８８４×２０→８８５６＋８７８０→８７４６
（答）８７４６
解答・その2
（ペンネ－ム：赤影）
基本は力ずくで愚直に計算することだと思われるが、計算量を減らす工夫を考える。
真ん中の８８８６＝ｎと置くと、
与式＝（ｎ－２）（ｎ－１）ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）
となるから、因数分解の公式を使って
与式＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ－１）（ｎ＋２）（ｎ－２）
＝ｎ（ｎ２－１）（ｎ２－４）・・・・・(1)
これならば、ｎ２を計算すれば、３つの数の積ですむのでまともに５数の積を計算するよりは良さそうだし、計算誤りのリスクも少ないと思われる。
さて、ｎ＝８８８６であるから、
ｎ２を計算する。
愚直に筆算すると、
より、ｎ２＝８８８６×８８８６＝８８８３００１０となる。
ゆえに、
(1)の第２項＝８８８３００１０－１＝８８８８３０００８
(1)の第３項＝８８８３００１０－４＝８８８８３０００５ となる。
そこで、まず①の第２項と第３項の積を求める。
最終的に求めるのは下４桁だから、上記筆算のやり方を見れば、それぞれの下４桁の積を求めれば十分である。
第２項（下４桁）×第３項（下４桁）＝０００８×０００５＝８×５＝４４
よって、(1)の下４桁＝８８８６×４４の下４桁＝４３８７４６の下４桁＝８７４６。
以上より、求める答えは８７４６
ちなみに、計算順序を第１項×第２項を先にして、後から第３項をかけても同様の結果を得たから、上記答えは正しいと思う。
解答・その3
（ペンネ－ム：オヤジ）
| ８８８８×８８８７×８８８６×８８８５×８８８４ （９） | |
| ＝ | （１００００－１）×（１００００－２）×（１００００－３）×（１００００－４）×（１００００－５） （９） |
| ＝ | （１００００）５－１６×（１００００）４＋１０４×（１００００）３ －２７０×（１００００）２＋３３４×１００００－１４３ （９） |
| ＝ | １０００００１０４０００００３３４００００ |
| －） １６０００００２７００００００１４３ | |
| ＝ | ８８７３０１０３８６２００３３３８７４６ （９） |
∴ ８７４６
解答・その4
（ペンネ－ム：長崎島原 かがみ）
８８８８(9)
＝８×９３＋８×９２＋８×９１＋８(10)
＝５８３２＋６４８＋７２＋８ (10)
＝６５６０(10)
となるので
∴８８８７(9)＝６５６０－１＝６５５９(10)
∴８８８６(9)＝６５６０－２＝６５５８(10)
∴８８８５(9)＝６５６０－３＝６５５７(10)
∴８８８４(9)＝６５６０－４＝６５５６(10)
だから
８８８８×８８８７×８８８６×８８８５×８８８４(9)
＝６５６０×６５５９×６５５８×６５５７×６５５６(10)
＝１２１２９８９４１５３０５１０３７４４０(10)
＝８８７３０１０３８６２００３３３８７４６(9) ※下記の＜割り算＞による
したがって、下４桁は ８７４６ になります。
割り算
解答・その5
（ペンネ－ム：巷の夢）
9進数の8886をAとすると、
8888×8887×8886×8885×8884＝（A+2）（A+1）A（A-1）（A-2）＝（A2-4）（A2-1）A
これより下4桁は4×Aにしか表れないので、A＝8×93+8×92+8×9+6に注意して4×Aの計算を行い9の累乗に注意して表すと、
8×93+7×92+4×9+6となる。
因って、求めるものは8746である。
この後、じっくり考えていたら、8888の次は9進法で10000である事に気付き、問題の数は各々1～5を引いたものだからと分かりました。うーんー、上手に問題を作ってありますね。しかし、こんな問題を中学生が短時間で解いてしまうのですか・・・・？小職など何時間も考えてやっと辿り着いたのに・・・・、やはり才能の差というものは認めざるを得ませんね。脱帽です。
先ほどの計算が正に色褪せて・・・・・。
8888×8887×8886×8885×8884＝（10000-1）（10000-2）（10000-3）（10000-4）（10000-5）
であるから9進法の下4桁は10000-1×2×3×4×5であるから、9進法で表して、
8888+1-143＝8746となる。
解答・その6
（ペンネ－ム：転位反応）
９進数を１０進数に変換して計算し、その結果を９進数に変換する。
| ８８８８（9） | ＝８×９＋８×９2＋８×９1＋８×９0 |
| ＝（９－１）×９3＋（９－１）×９2＋（９－１）×９1＋（９－１）×１ | |
| ＝９4－１ |
よって、１０進数に変換した５数の積は、次式で与えられる。
| （９4－１）（９4－２）（９4－３）（９4－４）（９4－５） | |
| ＝ | ９4（９16－１５×９12＋３７×９8＋１５×９4＋２７４）－１２０ |
| ＝ | ９4（９16－１５×９12＋３７×９8＋１５×９4＋２７３）＋９4－１２０ |
| ＝ | ９4（９16－１５×９12＋３７×９8＋１５×９4＋２７３）＋６４４１ |
これを９進数に変換すれば良いが、第一項は、９で４回割りきれるので、 第二項についてのみ考えれば良い。
６４４１÷９＝７１５ 余り６
７１５÷９＝ ７９ 余り４
７９÷９＝ ８ 余り７
８÷９＝ ０ 余り８
よって、下４桁は、８７４６
解答・その7
（ペンネ－ム：杖のおじさん）
答えは８７４６です、
8888×8887×8886×8885×8884
8889=10000なので8888=10000-1となるので下記のようにして考えました。
１００００Nー１×２×３×４×５（Nは正の整数）
上記のを９進法で下記のように計算します。
矢印の左が１０進法で右が９進法に変換した数字です。
１×２＝ ２→ ２・・・(1)
３×４＝１２→１３・・・(2)
５→５・・・(3)
(1) ×(2)＝２×１３＝２６→２６・・・(4)
(3)×(4)＝５×２６＝５×６＋５×２×１０＝１３０＝３０＋１００
９進法に変換→３３＋１１０＝１４３・・・(5)
１００００＝８８８９なので次の式になります。
８８８９－１４３＝８７４６が答えです。
解答・その8
（ペンネ－ム：スモークマン）
8888=10000-1
8887=10000-2
8886=10000-3
8885=10000-4
8884=10000-5
8888*8887*8886*8885=(10000-1)(10000-2)(10000-3)(10000-4)(10000-5)
の下4桁は、0000-5! になるから、、、
120=92+4*9+3 だから、
0000-143=8746 （9進法）
でいいのかな ^^
解答・その9
（ペンネ－ム：こまったコ）
9進法なので 88888+1=100000 になる。
これを応用すると問題の式は
(10000-1) (10000-2) (10000-3) (10000-4) (10000-5) になる。
10000 = A とすると
(A-1) (A-2) (A-3) (A-4) (A-5) = a5 -16a4 +14a3 -270a2 +334a -143
+334a -143 の部分だけで 33388746
上の部分を計算しても下4桁に影響はない。
よって答えは 8746
解答・その10
（ペンネ－ム：ぐりま）
A=94 とすると、
8888(9)=A－1、8887(9)=A－2、8886(9)=A－3、8885(9)=A－4、8884(9)=A－5
P =8888(9)・8887(9)・8886(9)・8885(9)・8884(9)
=(A－1)(A－2)(A－3)(A－4)(A－5)
=A5－15A4＋85A3－225A2＋274A－120
ここで、係数は１０進数です。
また、9=a とおくと、A=a4だから、
P = a20－15a16＋85a12－225a8＋274a4－120
=8a19+(93－15) a16＋84a12＋(94－225)a8＋273a4＋(94－120)
ここで、下線部分は９進表示すると下４桁は０となるので、求める下４桁は
94－120 を９進表示したものとなります。
考察
P = a20－15a16＋85a12－225a8＋274a4－120
=( a16－15a12＋85a8－225a4＋273)a4＋(94－120)
とすれば、下線部≧０は自明だから、この変形で十分かな？
解答・その11
（ペンネ－ム：三角定規）
以下、数値はすべて９進法で表記します。
《解》
8888=104-1、～、8884=104-5 ・・・(1)
であるから、
8888×8887×8886×8885×8884
=(104-1) (104-2) (104-3) (104-4) (104-5) ・・・(2)
(2)の下４けたは、(2)を104で割った余りに他ならない。また、
104-1≡-1 (mod 104) ・・・(3)
だから、
(104-1) (104-2)≡-1・(104-2)=104+2≡2
(mod 104) ・・・(4)
これらを繰り返し用いると、
(104-1) (104-2) (104-3) (104-4) (104-5)
≡(-1) (-2) (-3) (-4) (-5)≡-143≡8746 (mod 104)
[答] 8746
解答・その12
（ペンネ－ム：バルタン星人）
答え
８７４６
プロセス
８８８８×８８８７×８８８６×８８８５×８８８４＝
(10000-1)(10000-2)(10000-3)(10000-4)(10000-5)
10000の項は下４桁は０になるので10000-10進法表記の120を計算すれば良い
120=81+4×9+3＝９進法で143
９進法で筆算計算
１００００
－ １４３
＝８７４６
解答・その13
（ペンネ－ム：ミイ）
<9>は９進法、<10>は１０進法の数
８８８８<9>＝１００００－１ <9>
８８８７<9>＝１００００－２ <9>
８８８６<9>＝１００００－３ <9>
８８８５<9>＝１００００－４ <9>
８８８４<9>＝１００００－５ <9>
これらをすべてかけあわせると
（１００００ｎ－１×２×３×４×５） <9> （ｎは自然数）・・・(1)
となる。ここで
１×２×３×４×５ <9>
＝１×２×３×４×５ <10>
＝１２０ <10>
＝１×８１＋４×９＋３ <10>
＝１４３ <9>
であるから、(1)は
１００００（ｎ－１）＋１００００－１４３ <9>
＝１００００（ｎ－１）＋８７４６ <9>
よって、下４桁は ８７４６
解答・その14
（ペンネ－ム：迷子の雄猫）
答 8746
8888×8887×8886×8885×8884
= (10000-1)×(10000-2)×(10000-3)×(10000-4)×(10000-5)
９進数で表された５数の下4桁（aとする）を求めるのだから、10000との積は無視して
いい。
a = (10000 - 1×2×3×4×5) ( mod 10000)
= (10000 - 143) ( mod 10000)
= 8746
解答・その15
（ペンネ－ム：teki）
答え ８７４６
問題の５数は、９４－１、９４－２、９４－３、９４－４、９４－５ です。
下４桁を求める場合、９４以上の桁は考える必要がないので、
結局、９４－１２０（１０進）の９進法の下４桁を求めればいいわけです。
１２０＝９２＋４×９１＋３ なので、１００００（９進）－１４３（９進）＝８７４６
解答・その16
（ペンネ－ム：ＳＯＵ）
以下、扱う値は全て9進とします。
104 同士の和・差・積は下4桁に依存しませんから、104 の関数Rとしてまとめることにし、
下4桁のみを表す関数をLFD()とすると、
答え = LFD(与式) = LFD( (104 - 1) (104 - 2) (104 - 3) (104 - 4) (104 - 5) ) = LFD(R(104) - 143) = 104 - 143 = 8746 //
解答・その17
（ペンネ－ム：kohji）
以下の式は9進数表記によるものである。
8888*8887*8886*8885*8884=(10000-1) (10000-2) (10000-3) (10000-4) (10000-5)
≡(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)
≡-143
≡8746 (mod 10000)
従って与式の下4桁は 8746 である。
解答・その18
（ペンネ－ム：T_Tatekawa）
以下，[ ] で囲まれているのは10進数，そうでないものは
9進数を表す事にします．
9進数で考えると，
8888=10000-1
8887=10000-2
8886=10000-3
8885=10000-4
8884=10000-5
ですので，
8888x8887x8886x8885x8884
=(10000-1)x(10000-2)x(10000-3)x(10000-4)x(10000-5)
です．下4桁だけを考えるので，10000が一つでもかかるかけ算の
結果は影響しないから，
(10000-1)x(10000-2)x(10000-3)x(10000-4)x(10000-5)
= A x 10000 - 1x2x3x4x5
= (A-1) x 10000 + (10000- 1x2x3x4x5)
という形で考えればいいことになります．(Aは定数）
1x2x3x4x5 = [120] = [1x9x9 + 4x9 + 3] = 143
なので，
10000 - 143 = 8746
です．よって下4桁は 8746 です．
解答・その19
（ペンネ－ム：浜田 明巳）
普通に９進法で計算すると，
| ８８８８(9)×８８８７(9)×８８８６(9)×８８８５(9)×８８８４(9) | |
| ＝ | (１００００(9)－１(9))×(１００００(9)－２(9))×(１００００(9)－３(9))×(１００００(9)－４(9))×(１００００(9)－５(9)) |
| ≡ | (－１(9))×(－２(9))×(－３(9))×(－４(9))×(－５(9))(mod 10000) |
| ＝ | －６(9)×２２(9) |
| ＝ | －１４３(9) |
| ≡ | １００００(9)－１４３(9)(mod 10000) |
| ＝ | ８７４６(9) |
さらに，ＵＢＡＳＩＣ，十進ＢＡＳＩＣで検算してみても同じ答が得られる．
（ＵＢＡＳＩＣ） 10 'asave "wm142.ub" 20 dim S(4) 30 A=8+8*9+8*9^2+8*9^3 40 B=7+8*9+8*9^2+8*9^3 50 C=6+8*9+8*9^2+8*9^3 60 D=5+8*9+8*9^2+8*9^3 70 E=4+8*9+8*9^2+8*9^3 80 Seki=A*B*C*D*E 90 for J=1 to 4 100 S(J)=Seki@9 110 Seki=(Seki-S(J))//9 120 next J 130 for J=4 to 1 step -1 140 print right(str(S(J)),1); 150 next J 160 end （十進ＢＡＳＩＣ） !wm142.bas OPTION ARITHMETIC DECIMAL_HIGH DIM s(4) LET a=8+8*9+8*9^2+8*9^3 LET b=7+8*9+8*9^2+8*9^3 LET c=6+8*9+8*9^2+8*9^3 LET d=5+8*9+8*9^2+8*9^3 LET e=4+8*9+8*9^2+8*9^3 LET seki=a*b*c*d*e FOR j=1 TO 4 LET s(j)=MOD(seki,9) LET seki=(seki-s(j))/9 NEXT j FOR j=4 TO 1 STEP -1 PRINT RIGHT$(STR$(s(j)),1); NEXT j PRINT END
解答・その20
（ペンネ－ム：夜ふかしのつらいおじさん）
8888×8887×8886×8885×8884
＝（10000-1）（10000-2）（10000-3）（10000-4）（10000-5）
＝100005
-（1+2+3+4+5）×100004
+（1･2+1･3+1･4+1･5+2･3+2･4+2･5+3･4+3･5+4･5）×100003
-（1･2･3+1･2･4+1･2･5+1･3･4+1･3･5+1･4･5+2･3･4+2･3･5+2・4･5+3・4･5）×100002
+（1･2･3･4+1･2･3･5+1･2･4･5+1･3･4･5+2･3･4･5）×10000
-1･2･3･4･5
下4桁の数を知りたいので、次の計算をすれば十分です。
10000-1･2･3･4･5 ・・・(1)
＝10000-143
＝8746
ここまでは、九進法の計算です。
(1)の計算は、十進法では、
1×94-5！
＝6561-120
＝6441
この値は、九進法では、右の計算より、8746となります。
なお、120は九進法では、右の計算より、143です。
正解者
| オヤジ | 夜ふかしのつらいおじさん | teki |
| のっこん | 迷子の雄猫 | T_Tatekawa |
| 転位反応 | スモークマン | 巷の夢 |
| 浜田 明巳 | 杖のおじさん | 赤影 |
| ＳＯＵ | ミイ | kohji |
| 長崎島原 かがみ | バルタン星人 | ぐりま |
| 三角定規 | こまったコ |
コメント
９進法では、１，２，３，４，５，６，７，８ときて、その次は繰り上がって「１０」となります。
この問題にでてくる「８８８８」という数の次は、繰り上がって「１００００」となります。
つまり、「８８８８＝１００００－１」です。
同じように、「８８８７＝１００００－２」・・ですから、これをうまく利用すると、
複雑な計算を回避することができますね。
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