１３７．輪ゴムの問題
次のように、輪ゴムを立方体の箱にかけます。
・輪ゴムは立方体の辺と直角に交わる
・向きが同じ輪ゴムは重ならない
かけた輪ゴムどうしの交点の個数について考えます。
例えば、３本の輪ゴムを右の図のようにかけたとき、交点は４個です。
次の問いに答えなさい。
(1) ３本の輪ゴムをかけるとき、交点は最も多くて何個できますか。
(2) ５本の輪ゴムをかけたところ、交点は１２個ありました。さらに３本の輪ゴムをかけたら、
交点は全部で何個になりますが。最も多い場合を、最も少ない場合の交点の個数を答えなさい。
(3) １００本の輪ゴムをかけるとき、交点は最も多くて何個できますか。
問題の出典
センスのよい脳をつくる 大人の算数パズル
河瀬 厚 著
自由国民社
筑波大学附属駒場中学校 2006年
答えと解説
解答・その1
（ペンネ－ム：こまったコ）
(1) 自分の真正面に立方体があるとして、縦方向、横方向、側面にそれぞれ1本ずつかけて6個。
(2) 自分の真正面に立方体があるとして、縦方向に3本、横方向2本かければ交点は12個。
交点をもっとも多くするには側面方向に3本かける。交点は12+10×3=42個。
交点をもっとも少なくするには3本かかっている縦方向に3本ともかける。交点は24個。
(3)自分の真正面に立方体があるとして、縦方向に33本、横方向に33本、側面に34本かける。
交点は6666個。
解答・その2
（ペンネ－ム：長崎島原 かがみ）
（１）【図１】のように全方向に輪ゴムをかけた場合、交点数が最大となる。
よって、最大交点数 ６個
（２）５本で交点が１２個できるのは、【図２】の場合である。
これに３本追加する。
(i) 最低交点数の場合
【図３】のように、交点は３本×４個＝１２個増加するから、１２＋１２＝２４個
よって、最低交点数は ２４個
(ii) 最大交点数の場合
【図４】のように、交点は６個×４＋３個×２＝３０個増加するから、
１２＋３０＝４２個
よって、最大交点数は ４２個
（３）輪ゴムを全方向（３方向）にかける場合が最大となるので、輪ゴムの本数が
３、６、９、１２、・・・の場合が最大となる。
ｎを自然数として、
輪ゴムが３ｎ本の場合の最大交点数をMとすると、
M＝２ｎ×３ｎ＝６ｎ２となる。
輪ゴムが９９本すなわちｎ＝３３のとき、M＝６×３３２ となる。
これに１本だけ追加すれば１００本になるので、どの方向に輪ゴムをかけても
３３個×４面分だけ交点が増加する。
よって、交点は、６×３３２＋３３×４＝６５３４＋１３２＝６６６６個になる。
最大交点数は ６６６６個
解答・その3
（ペンネ－ム：テレスとアリス）
(1) ３本の輪ゴムをかけるとき、交点が最も多いのは、
同じ向きにかけず、３本ともお互いに交わるよにかけたときです。
交点は６個です。
(2) ５本の輪ゴムで交点が１２個なので、
３本が同じ向きで、それに直角に２本かけられていると考えます。
交点が最も少ないのは、
同じ向きの３本と同じ向きに３本かけたときで交点は２４個です。
交点が最も多いのは、
同じ向きの３本および２本に、直角に交わるようにかけたときで、交点は４２個です。
(3) 同じ向きに３３本かけて、それに直角に３３本かけて、
さらに直角に３４本かけるときが、交点が最も多くなります。交点は６６６６個です。
解答・その4
（ペンネ－ム：杖のおじさん）
答え
（１）６個
（２）最も多いもの ４２個、最も少ないもの ２４個
（３）６６６６個
(1)３÷３＝１
１×１×２＋１×１×４＝６個
(2) ５＋３＝８
最も多いもの ８÷３＝２余り２
３×３×２＋３×２×４＝１８＋２４＝４２個
最も少ないものを計算するに当たって５本の輪ゴムで交点が１２個ある事が
前提になっていますので２本は既に横方向に掛けられていることが分ります。
従って縦方向に残りの６本を掛けることになるので次の計算式になります。
最も少ないものは ６×２×２＝２４個
(3) １００÷３＝３３余り１
３３×３３×２＋３３×３４×４＝２１７８＋４４８８＝６６６６個
解答・その5
（ペンネ－ム：バルタン星人）
（１）６
（２）最大４２、最小２４
（３）６６６６
輪ゴムの掛け方は３種類。それぞれＡ，Ｂ，Ｃ本掛けるとすると
交点は２（ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ）
（１）最大はＡ＝Ｂ＝Ｃ＝１の時
（２）１２本になるのは、（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝(３、２、０)の時
最大は(３，３，２）の時で４２
最小は（６，２，０）の時で２４
（３）最大は（３４，３３，３３）の時
２×３３×（３３＋３４＋３４）＝２×３３×１０１＝６６６６
解答・その6
（ペンネ－ム：転位反応）
(１)６個
立方体に対する輪ゴムの掛け方は、面ａ－ｂ，面ａ－ｃ、面ｂ－ｃの３通り。
２本の輪ゴムを異なる面に掛けると２個の交点ができるが、同一の面に掛けると交点はできない。
よって、３本の輪ゴムを３つの異なる面に掛けた場合、最も多くの交点ができる。
１つの面に１つの交点ができるので、求める交点の数は６個。
(２)最多４２個、 最少２４個
５本の輪ゴムを掛けて、交点が１２個の状態を下図に示した。
上記（１）の結果を基に考えと、
交点の増加を最少にするには、面ａ－ｃに３本の輪ゴムを掛けると良い。
交点の増加は、２×３×２＝１２なので、交点は全部で２４個。
一方、交点の増加を最多にするには、面ｂ－ｃに輪ゴムを３本掛ける。
交点の増加は、３×３×２＋２×３×２＝３０個
よって、交点の数は全部で４２個
(３)６６６６個
１００＝３３×３＋１なので、１つの面に３３本の輪ゴムを掛け、残りの
１本を何れかの面に掛けた場合に、交点の数は最多となる。
よって、３３×３３×６＋３３×４＝６６６６個
解答・その7
（ペンネ－ム：のっこん）
図の場合については
x=0 の平面に平行に２本、
y=0 の平面に平行に０本、
z=0 の平面に平行に１本の輪ゴムがかかっていると考え、
これを（２，０，１）と表わすことにする
（１）交点が最も多くなるのは（１，１，１）の時で ・・・※１
この時、交点は１×６＝６（個）
（２）１２÷２＝６だから、（２，０，３）が想定されているものとする
交点が最も多くなるのは（２，３，３）あるいは（３，２，３）の時で ・・・※１
この時、交点は２×３×４＋３×３×２＝４２（個）
交点が最も少なくなるのは（２，０，６）の時で ・・・※２
この時、交点は２×６×２＝２４（個）
※１ ばらつきが小さいほど、交点が多くなる
※２ ばらつきが大きいほど、交点が少なくなる
（３） ３本の時、交点は最も多くて（３÷３）×（３÷３）×６＝６個
４本の時、交点は（３÷３）×４＝４個増えて１０個
６本の時、交点は最も多くて（６÷３）×（６÷３）×６＝２４個
７本の時、交点は（６÷３）×４＝８個増えて３２個
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
９９本の時、交点は最も多くて（９９÷３）×（９９÷３）×６＝６５３４個
１００本の時、交点は（９９÷３）×４＝１３２個増えて６６６６個
解答・その8
（ペンネ－ム：オヤジ）
立体なのでＸＹＺ軸を作って考えます。
与えられた図で交点が２個有る平面に垂直で、手前に向いた法線ベクトルの向きを、
Ｘ軸の正の向き、また輪ゴムが１本通っている面で見えている面に向かっている
法線ベクトルの向きをＹ軸の正の向き、
さらに残った２面に垂直な下から上にむいた法線ベクトルの向きをＺ軸の正の向きとします。
更に、与えられた図の輪ゴムのかけ方を、座標のように（０，２，１）と表現します。
つまり、Ｘ軸に垂直な平面を形作る輪ゴム０本、以下同様とする。
（１） ３本の輪ゴムの最も多い交点の数 （１，１，１）の時の
∴ ６個
（２）５本の輪ゴムをかけたところ交点が１２個あった、更に３本の輪ゴムをかけたら
交点の最多個数、最少個数は？
交点１２個 例えば （０，３，２）と考えることが出来る。
最多個数は、例えば （３，３，２）と考え
２×（３×３＋３×２＋３×２）＝４２
最少個数は、例えば （０，６，２）と考え
２×６×２＝２４
∴ 最も多い場合４２個 最も少ない場合２４個
（３）１００本の輪ゴムをかけて出来る交点の個数の最多個数は？
例えば（３４，３３，３３）と考えられる、この時交点の個数は、
２×（３４×３３＋３４×３３＋３３×３３）＝６６６６
∴６，６６６個
解答・その9
（ペンネ－ム：迷子の雄猫）
立方体をｘｙｚ座標上で(0,0,0) (0,0,n) (0,n,n)・・・(n,n,n)を頂点とするように
おいたとする。
ｘｙ平面に平行な輪ゴムＡの本数をa本、
ｙｚ平面に平行な輪ゴムＢの本数をb本、
ｚｘ平面に平行な輪ゴムＣの本数をc本、とおく。
輪ゴムＡと輪ゴムＢで交点が2ab個、
輪ゴムＢと輪ゴムＣで交点が2bc個、
輪ゴムＣと輪ゴムＡで交点が2ca個、できる。
移動前の輪ゴムＡの本数をa本、
移動前の輪ゴムＢの本数をb本、とし、
輪ゴムＡから輪ゴムＢに一本移動させた際に、交点が増えたと仮定する。
輪ゴムＡから輪ゴムＢに一本移動させても、輪ゴムＣとの交点の数は変化しないから、
ab＜(a-1)(b+1)が成り立ち、変形して
ab＜ab+a-b+1
b＜a+1
よって輪ゴムＡが輪ゴムＢよりも２本以上多いときには、
輪ゴムＡから輪ゴムＢに一本移動させた際に、交点が増えることになる。
(1)
交点数が最大なら、輪ゴム同士の本数の差が高々１本である必要があるので、
(a,b,c)=(1,1,1)以外に解はない。交点数は2*1*1+2*1*1+2*1*1=6（個）。
(2)
a≦b≦cとおいても一般性を失わない。
輪ゴムの本数と交点の数から以下の連立方程式が成立する。
2ab+2bc+2ca=12
a+b+c=5
これを解いて、(a,b,c)=(0,2,3)
さて、ここに3本の輪ゴムを追加する。
輪ゴムＡに追加した本数をp本、
輪ゴムＢに追加した本数をq本、
輪ゴムＣに追加した本数をr本、とおく。
追加した後の交点の数は
2p(q+2)+2(q+2)(r+3)+2(r+3)p
=10p+6q+4r+2pq+2qr+2pr+12 ...(式1)
0≦p≦3、0≦q≦3、0≦r≦3、p+q+r=3の制約条件下で
(式1)を最小にするためには(p,q,r)=(0,0,3)
(式1)を最大にするためには(p,q,r)=(3,0,0)または(p,q,r)=(2,1,0)
最も多い場合42個、最も少ない場合24個。
(3)
交点数が最大なら、輪ゴム同士の本数の差が高々１本である必要があるので、
(a,b,c)=(33,33,34)以外に解はない。交点数は2*33*33+2*33*34+2*34*33=6666（個）。
解答・その10
（ペンネ－ム：ukiki_masamasa）
(1) 3本の輪ゴムをかける時
・かけ方としては、XY平面・YZ平面
・XZ平面の3方向があり、
その際の交点の個数は下記のようになる。
| XY | YZ | XZ | 交点 |
|---|---|---|---|
| ３ | ０ | ０ | ０ |
| ２ | １ | ０ | ４ |
| １ | １ | １ | ６ |
よって、答え：６個
(2) 5本の輪ゴムを・・・
・かけ方のパターンは下のようになり、交点が12個であるから、初めの5本は
3+2+0の組合せである。
| XY | YZ | XZ | 交点 |
|---|---|---|---|
| ５ | ０ | ０ | ０ |
| ４ | １ | ０ | ８ |
| ３ | ２ | ０ | １２ |
| ３ | １ | １ | １４ |
| ２ | ２ | １ | １６ |
⇒
交点を多くする為には、各3方向に出来るだけ偏りなく輪ゴムを配置
交点を少なくする為には、各3方向に出来るだけ偏らせて輪ゴムを配置
| XY | YZ | XZ | 交点 | |
|---|---|---|---|---|
| 元々 | ３ | ２ | ０ | １２ |
| 最多 | ３ | ２ | ０＋３ | ４２ |
| 最小 | ３＋３ | ２ | ０ | ２４ |
答え：最多４２個、最小２４個
(3) 100本の輪ゴムをかける時・・・・
・交点の数を最大にする ⇒ 各3方向に最も偏りなく100本の輪ゴムを配置 ⇒ 33+33+34本
この時の交点数は
{(33×33)+(33×34)+(34×33)}×2 = 6,666
Note：
XY、YZ、XZの各方向の組合せを変えても答えは同じなので、
各方向の組合せは省いています。
解答・その11
（ペンネ－ム：巷の夢）
一般的な場合を考える。輪ゴムの数を変え試行錯誤すると、次のことが分かる。
Ⅰ 輪ゴムの数が3の倍数（3ｎ）の時、交点数の最大は以下の図の様になる。
まず3本の場合を考えると、6面に1個の交点があるので6（6×1２）個
となる。これが6本なら1面の交点が4個なので24（6×2２）個である。
9本なら6×3２である。
この様に考えて行くと、交点の最大個数をC3nとすると、
C3n＝6ｎ２・・・・（1）
となる。
Ⅱ 次に輪ゴムの数が3ｎ+1の時の最大を考えると、3ｎの場合に1本
加えるだけなので、4面でｎ個づつ増えるので
C3n+1＝6ｎ２ +4ｎ=2ｎ（3ｎ+2）・・・・（2）
となる。
更に3ｎ+2の場合の最大は3ｎ+1に1本加えるので2ｎ+2（ｎ+1）だけ増える。
因って、
C3n+2＝6ｎ２ +4ｎ+2ｎ+2（ｎ+1）=2（3ｎ２+4ｎ+1）・・・・・（3）
となる。以上の考察から、
（1） 最大交点は式（1）よりｎ=1を代入し、6個となる
（3）100＝3×33+1であるから式（2）より、ｎ=33を代入し、6666個となる
（2）5本の輪ゴムで交点12個を書いてみると、右図の場合しかないので、これに更に3本
加えればよく、最大は式（3）よりｎ＝2を代入して42個となる。
最少は試行錯誤より12+4×3＝24となる
（最少は青ゴムを加えれば良い）
解答・その12
（ペンネ－ム：T_Tatekawa）
輪ゴムをかける向きは3方向です．
図のようなかけ方（正面から見て縦に2本，横に1本，側面に0本）の場合を
"2-1-0" と書く事にします．
2つの輪ゴムの向きが平行でない場合，交点は2つできます．
n本の輪ゴムとm本の輪ゴムが垂直に交わると，交点は
2*(n*m) 個出来ます．
これを踏まえて，問題を解いて行きます．
(1) 一番交点が多いのは，1-1-1 のパターンです．
2*(1*1 + 1*1 + 1*1) = 6個
立方体の全ての面に交点があるパターンです．
(2) 5本の輪ゴムで交点が12個なので，3-2-0 のパターンです．
（ 2*(3*2) = 12個）
ここに3本の輪ゴムをかけます．
交点が一番多いのは，三つの方向に輪ゴムの本数が平均するときです．
3-3-2 の場合で， 2*(3*3+3*2+2*3)=42個
交点が一番少ないのは，一つの方向に輪ゴムの本数が偏るときです．
6-2-0 の場合で， 2*(6*2)=24個
(3) 100本の輪ゴムを書ける場合，
100 = 3*33 + 1
なので，
34-33-33 が一番交点の多いパターンです．
交点の数は
2*(34*33+33*33+33*34)=6666個
解答・その13
（ペンネ－ム：夜ふかしのつらいおじさん）
次の図のように立方体の３辺が空間座標の各軸に重なるようにとります。
かけた輪ゴムがつくる平面と垂直である軸を用いて、右の図の状態を
（０X，２Y，１Z）と表すことにします。
X軸と垂直な輪ゴムはなく、Y軸に垂直な輪ゴムが２つ、Z軸に垂直な
輪ゴムが１つという意味です。
交点の個数を数えると次の表のようになります。
| 0X | ２Y | １Z | |
|---|---|---|---|
| 0X | － | － | － |
| ２Y | 0 | － | － |
| １Z | 0 | 4 | － |
これは、（０X＋２Y＋１Z）2 ＝０X2＋４Y2＋１Z2＋０XY＋４YZ＋０ZX
の展開のクロスする項の係数と一致します。
そこで
（ｐX＋ｑY＋ｒZ）2 ＝ｐ2X2＋ｑ2Y2＋ｒ2Z2＋ ２ｐｑXY＋２ｑｒYZ＋２ｒｐZX
をイメージして
ｆ（ｐ，ｑ，ｒ）＝２ｐｑ＋２ｑｒ＋２ｒｐ と定義します。（この値が交点の個数です）
（１）
ｆ（１，１，１）＝２＋２＋２＝６個です。
（２）
交点が１２というのは、例えば
ｆ（２，３，０）＝１２＋０＋０＝１２ のような場合です。
さらに３本の輪ゴムを加えてみると
ｆ（２，６，０）＝２４＋０＋０＝２４ ・・・ 最も少ない場合
ｆ（２，３，３）＝１２＋１８＋１２＝４２ ・・・ 最も多い場合
これは、次のように考えると納得できます。
輪ゴムがｎ本の場合、
ｆ（ｎ，０，０）＝０＋０＋０＝０ ですが、ｘ本をY軸の周りに移動すると
ｆ（ｎ－ｘ，ｘ，０）＝２（ｎ－ｘ）ｘ＋０＋０＝２（ｎ－ｘ）ｘ
Z成分が０の場合、最大値はXとYの成分が等しい場合です。
次に、YとZの成分のことを考えると（このときX成分は無視します）
YとZの成分が等しい場合が最大になります。（X成分も考えるとさらに値が大きくなります）
このような考えを繰り返すと最大値は、どの成分も等しい場合になります。
（３）
ｆ（３３，３３，３４）＝２×３３×３３＋２×３３×３４＋２×３４×３３＝６６６６個です。
解答・その14
（ペンネ－ム：スモークマン）
この問題を、、、2(x+y+z)2-6(xy+yz+zx)=(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2≧0
x+y+z=一定 なので、
(x+y+z)2*(2/3) ≧ 2(xy+yz+zx)
等号は、x=y=z のときとわかるので、、、
(1)x+y+z=3 のときは、x=y=z=1 のときで、
2(1+1+1)=2*3=6 個
(2)xy+yz+zx=6 , x+y+z=5 から、、、
(x,y,z)=(3,2,0) のときとわかるので、、、
あと3本加えた Max は、(3,3,2)のときのはずなので、、、
2(32+3*2+2*3)=2(9+12)=2*21=42 個
Min は、(6,2,0) のはずなので、、、2(6*2)=24 個
(3)x+y+z=100 のときは、、、(34,33,33) のときのはずなので、、、
2*(2*34*33+332)=2*(2244+1089)=2*3333=6666 個
でいいと思うけど・・・^^v
解答・その15
（ペンネ－ム：三角定規）
立方体の各辺に平行に図のように x，y，z 軸を定め，立方体に輪ゴムを x 軸に平行に x 本，
y 軸に平行に y 本，z 軸に平行に z 本かけるとき，
輪ゴムの交点の数は， 2(xy＋yz＋zx) である。
よって，交点の数の最大値を求めることは，与えられた条件の下で xy＋yz＋zx
の最大値を求めることである。
まず，次の不等式が成り立つ。
3(xy＋yz＋zx)≦(x＋y＋z)2 … Ⅰ
<証明>
右辺－左辺≧ x2＋y2＋z2－xy－xz－zx≧(1/2){(x－y)2＋(y－z)2＋(z－x)2}≧0 <証明了>
Ⅰより x＋y＋z＝N のとき， xy＋yz＋zx≦(N2)/3 … Ⅱ
(1)Ⅱにおいて N＝3 とすると， xy＋yz＋zx≦3 … Ⅲ
Ⅲは，x＝y＝z＝1 のときに成立するから，xy＋yz＋zx の最大値は 3。
よって，交点の数の最大値は，6 …［答］<図１>
(2) 5 本の輪ゴムで交点が 12 となるのは，<図２>の青線のようにかけた場合で，さらに 2 本(赤線)かけるとき，
交点数が最小となるのは，<図２>の，(5×2)×2＝20 …［答］
交点数が最大となるのは，<図３>の，(3×2＋2×2＋2×3)×2＝32 …［答］
Ⅱで N＝7 とすると，xy＋yz＋zx≦(72)/3＝16.3…。
x，y，z は整数だから xy＋yz＋zx≦16 … Ⅳ
Ⅳの等号は，x＝3，y＝z＝2 で成立するから上の解を得る。
(3) N＝100 のとき，Ⅱより xy＋yz＋zx≦(1002)/3＝3333.3…
x，y，z は整数だから xy＋yz＋zx≦3333 … Ⅴ
Ⅴの等号は，x＝34，y＝z＝33 で成立するから，求める交点数の最大値は，3333×2＝6666 …［答］
正解者
| 杖のおじさん | のっこん | バルタン星人 |
| T_Tatekawa | スモークマン | 巷の夢 |
| 長崎島原 かがみ | 夜ふかしのつらいおじさん | ukiki_masamasa |
| 転位反応 | こまったコ | オヤジ |
| 迷子の雄猫 | テレスとアリス | 三角定規 |
コメント
スモークマンさん、三角定規さんが、
数式で示してくださいましたように、
輪ゴムをかける際に３方向に分散させた方が、交点の個数を多くできることになります。
４次元、５次元でも同じように考えることができますね。
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