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問題136　ジュースの問題
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１３６．ジュースの問題

あるジュースは１本 120 円で、１本に１枚のシールがついています。 このシールを８枚集めると、ジュースを１本もらうことができます。 シールを集めてもらったジュースにもシールがついています。 次の問に答えなさい。
　(1) 6,000円で得ることができるジュースは、最大何本ですか。
　(2) 300本のジュースが必要なとき、最低いくらかかりますか。

問題の出典

センスのよい脳をつくる　大人の算数パズル
河瀬　厚　著
自由国民社
立教新座中学校　2006年

答えと解説

解答・その1

（ペンネ−ム：やなせ）

問い１について
6000÷120=50本
50枚÷8枚=6本・・・2枚
(6+2)÷8=1
問い１答え　50+6+1=57本です。

問い２について
960円で9本だから
300本÷9本＝33.33333
9本×33＝297本
残り3本だから
960×33＋360＝32040です・・これが最初の思いつきですが
これでは最初に267本買えます。
267（おまけシール枚数）÷8＝33本・・・3
(33+3)÷8＝4本・・・4
(4+4)÷8＝1本
267+33+4+1＝305本になる

そこで5本分600円を資金から減らし31440円で再スタート
31440÷120＝262本（おまけシールも262枚）
262÷8＝32・・・・・6
(32+6)÷8＝4・・・・6
(4+6)÷8＝1・・・・2
262+32+4+1＝299本

これでは足らないので31440円に1本分120円を足した
31440+120＝31560で再々計算
31560÷120＝263
263÷8＝32・・・・7
(32+7)÷8＝4・・・・7
(7+4)÷8＝1・・・・・3
263+32+4+1=300
ばんざ〜〜いやっと出来ました。
問い２答え　31560円必要

解答・その2

（ペンネ−ム：T_Tatekawa）

(1) まず 6000円では
　　　6000 / 12 = 50
で50本買えます．シールが50枚あるので，
　　　50 = 6*8 + 2
で 6 本もらえます．この 6本についているシールと， 残ったシール2枚でさらにもう1本もらえます．
合計で 50+6+1 = 57 本．

(2) 8本分のお金，つまり 120*8=960円で 9本得る事が出来ます．
数を増やしていくと，1度目に買ったジュースのシールを使って 2度目にジュースがもらえます．
ジュースの本数を増やしていくと，
8-14本買うとおまけが1本
15-21本買うとおまけが2本
22-28本買うとおまけが3本
...
という様に，7本ごとにおまけの本数が増えていく事が分かります．
さらに，n本のおまけをもらうには， 7n+1 本以上 7(n+1) 本以下買えばいいのです．
さて，この式に従うと，合計のジュースの本数について
　　　8n+1 ≦ 300 ≦ 8(n+1)
を満たす整数 n を見つければいい事になります．
　　　292 ≦ 8n
　　　8n ≦ 299
から，n=37 です．
　　　300-8*37 = 4 なので，お金を出して買う本数は
　　　120*(7*37+4) = 120 * 263 = 31560円
以下，検算：
　1) 263本買うと，シールが263枚．
　2) シール256枚を使って32本もらう．残りのシールは39枚．
　3) シール32枚を使って4本もらう．残りのシールは11枚．
　4) シール8枚を使って1本もらう．シールが4枚余る．
　　　263+32+4+1=300

解答・その3

（ペンネ−ム：テレスとアリス）

(1) ６０００円で、まず５０本のジュースを買うことができます。
　　　６０００÷１２０＝５０
次に、５０枚のシールで６本のジュースをもらうことができます。
　　　５０÷８＝６
さらに、残りのシール２枚と、６枚のシールで１本のジュースをもらうことができます。
　　　５０＋６＋１＝５７
よって、５７本のジュースを得ることができます。

(2) ６４本のジュースを買い、そのシールで８本のジュースをもらい、さらにもう１本もらいます。
これをあと３回、全部で４回行います。
この時点で、ジュースは２９２本です。
買ったジュースは、６４×４＝２５６
貰ったジュースは、　９×４＝３６
シールは４枚残っています。
あと８本必要なので、まず４本買って、シール８枚で１本もらい、
最後に３本買って、合計３００本になります。
買ったジュースは、２５６＋４＋３＝２６３
貰ったジュースは、３６＋１＝３７
使った金額は、２６３×１２０＝３１５６０円になります。

解答・その4

（ペンネ−ム：杖のおじさん）

答え

答え　(1)　５７本　(2)　３１５６０円

(1)　６０００／１２０＝５０本
５０枚／８枚＝６本あまり２枚
６枚＋２枚＝８枚→１本
合計　５０＋６＋１＝５７本

(2)この問題を考える時に次の方法で答えに到達いたしました。
シールで交換出来ますので３００本は購入する必要はありません。

１回目の試算、２５０本を購入したとして計算します。
２５０÷８＝３１と余り２　　　３１÷８＝３と余り５　シール２＋５＝７枚余り
手に入れたジュースは２５０＋３１＋３＝２８４本なので３００本に１６本足りない。

２回目の試算、２６０本を購入したとして計算します。
２６０÷８＝３２と余り４　　　３２÷８＝４余り０　　シール４＋０＝４枚余り
手に入れたジュースは２６０＋３２＝２９２本なので３００本に８本足りない。

３回目の試算、２６４本を購入したとして計算します。
２６４÷８＝３３と余り０　　　３３÷８＝４余り１　　シール０＋１＝１枚余り
手に入れたジュースは２６４＋３３＋４＝３０１本なので３００本に１本多い。

４回目の試算、２６３本を購入したとして計算します。
２６３÷８＝３２と余り１　　　３２÷８＝４余り０　　シール１＋０＝１枚余り
手に入れたジュースは２６３＋３２＋４＝３００本なので２６３本購入したと決定した。
従って購入代金は２６３×１２０円＝３１５６０円です。

解答・その5

（ペンネ−ム：のっこん）

（１）６０００÷１２０＝５０
５０本買うと何本を得るかという問題になる
　Ａ．まず１本買う・・・シール数１
　Ｂ．７本買って（シール数８）、１本もらう・・・シール数１
以下Ｂを繰り返す
Ｂを７回繰り返すと、４９本買って７本もらうことになる
最初に１本買っているから、５０本買うと５７本を得ることになる

（２）　同様にして
　Ａ．まず１本買う
　Ｂ．７本買って１本もらう
以下Ｂを繰り返す
ここでＢを「７本が８本に化ける」と考える
２９９÷８＝３７.３７５　だから
Ｂを３７回繰り返すと
７×３７＝２５９（本）が、８×３７＝２９６（本）に化けることになる
２９９本にするためには３本を買い足さなければならないから 結局、３００本を得るには
１＋２５９＋３＝２６３（本）買わなければならない
１２０×２６３＝３１５６０（円）


解答・その6

（ペンネ−ム：こまったコ）

(1)
ジュースは1本120円なので、6000円で買えるジュースは50本。手に入るシールは50枚。
シール8枚ごとにもう1本もらえるので50枚では　50÷8=6　6本もらえる。
ジュースに換えていないシールの残り2枚と新しくもらったジュースのシール6枚の合計8枚で もう1本もらえる。
50+6+1=57 最大57本もらえる。

(2)
ジュース8x8=64本で8本もらえるのでそれでもう1本(aとする)もらえる。
ここまでで64+8+1=73本。手元にあるシールはaの1本の1枚。
ここまでで買ったジュースは64本。

さらに8x7=56本のシールででもらえる7本のシールと 先ほどのaの1本のシールででもう1本(bとする)もらえる。
ここまでで73+56+7+1=137本。手元にあるシールは1枚。
ここまでに買ったジュースは64+56=120本。

さらに8x7=56本のシールででもらえる7本のシールと 先ほどのbの1本のシールででもう1本(cとする)もらえる。
ここまでで137+56+7+1=201本。手元にあるシールは1枚。
ここまでに買ったジュースは120+56=176本。

さらに8x7=56本のシールででもらえる7本のシールと 先ほどのcの1本のシールででもう1本(dとする)もらえる。
ここまでで201+56+7+1=265本。手元にあるシールは1枚。
ここまでに買ったジュースは176+56=232本。

後35本欲しい。8x3=24本で3本もらえる。ここまでで265+24+3=292本。
後7本と先ほどのdの1本のシールでもう1本もらう。
これで292+7+1=300本。
ここまでに買ったジュースは232+24+7=263本。
120x263=31560円必要。

解答・その7

（ペンネ−ム：長崎島原　かがみ）

(1)


したがって、全部で５７本得ることができる。

(2)
ジュースの本数　Ａ＋Ｂ×３６＝９＋８×３６＝２９７本＋シール１枚余り
購入金額 ９６０＋８４０×３６＝３１，２００円

あと３本買うと３００本になる。シールは４枚になるが、ジュースは得られない。
ジュース３本＝３６０円

したがって、３１，２００＋３６０＝３１，５６０円

解答・その8

（ペンネ−ム：巷の夢）

（1） 題意に沿って書き出してみると以下の表のようにまとめられる。

ジュース単価
（円）		買った本数
（本）		おまけの本数
（本） 		飲んだ本数
（本）		支払った金額
（円）
1208　8960
120718840
120718840
120718840
120718840
120718840
120718840
120　110
合計　　576000

即ち、6000＝960+840*M+120*Nとなる。 この方程式でMの値は上表の様に6、N=0となる場合に6000円となる。 因って飲んだ本数は8*7+1＝57本が最大である。

(2) 上記（1）より300＝8*X+Yとなる。 即ち、X＝37、Y＝4ところが最後の8本を飲むとおまけ に1本もらえるので、実質的にはY＝3である。 因って、支払った金額は、

　　　960+840*36+120×3＝31560円

が最低コストである。

解答・その9

（ペンネ−ム：スモークマン）

(1)
　6000/120=50
　50/8=6・・・2
　6/8=1・・・2
結局、、、50+6+1=57 本飲めちゃう♪

(2)
8本買えば1本おまけがつくので、、、
300/9=33・・・3
33/9=3・・・6
(3+6)/9=1
つまり、33*8-1=263 本ですね。
実際に、263/8=32・・・7
32/8=4
(7+4)/8=1
263+32+4+1=300 ♪
263*120=31560 円で飲めますね ^^v

解答・その10

（ペンネ−ム：転位反応）

(１)　6,000円で50本のジュースを購入して、シール５０枚を獲得できる
シール50枚で６本のジュースと交換し、２枚のシールが余る。
６本のジュースで獲得したシールと合わせると８枚になり、
さらに、ジュース１本と交換できる
従って、6,000円で得られるジュースは、最大で50+6+1=57本

(２)　８本分の代金で９本のジュースを獲得できるので、
　　　300=33×9+3
33本のジュースは、代金を支払わずにシールとの交換で獲得できる
さらに、その分の33枚のシールで4本のジュースを獲得できる
従って、代金を払って購入するジュースは、300‐33‐4＝263本
代金は、120×263=31,560円


解答・その11

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

（１）
６０００÷１２０＝５０　より ５０本 のジュースが買えます。
だから５０枚のシールが手元にあります。

このシールをジュースに替えると ６本 になります。
だから残りのシールと合わせて８枚のシールがあります。

このシールをジュースに替えると １本 になります。
シールが１枚残ります。
ジュースは合計 57本 になります。

（２）
シール８枚で１本のジュースと交換すると、シールが１枚ついてきます。
だからシールとジュースと交換すると、７枚シールが減ることになります。
ｘ本のジュースを買ったとすると、ｘ枚のシールがあることになります。
だから、

より、２６３本×１２０＝３１５６０円必要です。

解答・その12

（ペンネ−ム：バルタン星人）

（１）５７本
（２）３１５６０円

買うジュースを○、おまけを★で表すと ○、（○○○○○○○★）以降、（）の繰り返しとなる。 最初の１本は１２０円、次の８本は８４０円なので
　　　（６０００−１２０）÷８４０＝７
変える本数は１＋８×７＝５７
　　　（３００−１）÷８＝３７余り３
　　　８４０×３７＋１２０×４＝１２０×２６３＝３１５６０
この手の問題、中学入試に出てきます。子供の家庭教師用に 算数を勉強したとき、この考え方を知りました。
（１）の別解、とりあえず５０本買い、５０枚のシールで交換していくと 　　　６０００÷１２０＝５０
　　　５０÷８＝６余り２
　　　（６＋２）÷８＝１
　　　５０＋６＋１＝５７
　

解答・その13

（ペンネ−ム：ukiki_masamasaの子供）

（１）6,000円では
Ａ　6,000円で買える本数は、6000/120=50本 → シール 50枚
Ｂ　シール50枚は、50/8=6…2だから、おまけ6本とシール2枚になる
Ｃ　おまけ6本から6枚のシールが出てくるから、先ほどの余ったシールと合わせて6+2=8でまた「おまけ1本」
Ａ+Ｂ+Ｃ=50+6+1=57本　　　答え57本

（２）300本では
○：買ったジュース
●：おまけのジュース　として

　　　1  2  3  4  5  6  7  8 
　１：○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
　２：● ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
　３：● ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
　　　　　　　：
　　　　　　　：
３７：● ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
３８：● ○ ○ ○              ⇒合計300本
上の図は、300/8=37…4を表しており、○の数×120円が答えとなるから、
　　　(37×7+１+3)×120 = 263×120 = 31,560円
もしくは、300本のうち、おまけ(●)は37本であるから、
　　　(300-37)×120=263×120=31,560円
答え31,560円

解答・その14

（ペンネ−ム：ukiki_masamasa）

初めはシールがないので、8本買って1本おまけ=合計9本のジュースが手に入り、 1枚のシールが残る。
　　　120×8=960円：9本
2回目以降は、前回の残りのシールが1枚あるので7本買って1本おまけ= 合計8本のジュースが手に入り、1枚のシールがまた次に残る。
　　　120×7=840円：8本

(1)6,000円では・・・
　　　(6,000-960)/840=6
よって、9+8×6=57本　　　　　　Ans.　57本

(2)300本では・・・
　　　(300-9)/8=36...3
よって、960+(840×36)+(120×3)=31,560円　　　Ans.31,560円

解答・その15

（ペンネ−ム：三角定規）

問１
1゜ 6000÷120＝50　← ジュース 50 本，シール 50 枚。 … (1)
2゜ シール 8 枚で 1 本もらえるから，
　　　50÷8＝6　あまり　2　← ジュース 6 本，シール 8 (＝6＋2) 枚 …(2)
3゜ 8÷8＝1　あまり　0　← ジュース 1 本，シール 1 (＝1＋0) 枚 …(3)
(1)(2)(3)より，もらえるジュースは，50＋6＋1＝57 本 …[答]

問２
シールが m 枚あるとき [m/8] 本のジュースがもらえ，シールは，
　　　[m/8]＋m−8[m/8]＝m−7[m/8]　…(4)
　　　 （商）　　　（あまり）
枚となる。そして，(4)が 8 以上のとき再度この操作を繰り返すことができる。
この（商）と（あまり）は m の増加関数だから，その和(4)も m の増加関数である。
よって，題意を満たす m がひとつ見つかれば，それが解となる。
1゜ ジュースを 263 本買うと m＝263。…(5)
2゜ 263÷8＝32　あまり　7　← ジュース 32 本，シール 39 (＝32＋7) 枚 …(6)
3゜ 39÷8＝4　あまり　7　← ジュース 4 本，シール 11 (＝4＋7) 枚 …(7)
4゜ 11÷8＝1　あまり　3　← ジュース 1 本，シール 4 (＝1＋3) 枚 …(8)　←終了
(5)(6)(7)(8)より，263＋32＋4＋1＝300　で，題意を満たす。
最初にジュースを 263 本買うためには，263×120＝31,560 円　必要。…[答]


解答・その16

（ペンネ−ム：オヤジ）

[　]：Gauss記号とするとき ｎを自然数として、金額１２０×ｎ（円）で購入出来るジュースの本数　ｍ（本）は、

　　　ｍ＝ｎ＋[ｎ／８]＋[[ｎ／８]／８]＋[[[ｎ／８]／８]／８]＋・・・＋S（ｎ）となる
　ただし　S(n)：シールよる本数

（１） ６０００＝１２０×ｎ　を解くと　n = ５０
　　　ｍ＝ ５０＋[５０／８]＋[６／８]＋S（５０）＝　５０＋６＋０＋１　　∴　５７本
※　S（５０）＝　シール８枚分による本数＝１

（２） ３００本のジュースを、得られる最低金額
求める金額を１２０×ｎ（円）とすると

　　　３００≦ｎ＋「ｎ／８」＋[[ｎ／８]／８]＋[[[ｎ／８]／８]／８]＋・・・＋S（ｎ）

この式を満たす最小の自然数ｎは、　ｎ＝２６３
実際　上式の右辺、２６３＋３２＋４＋S（２６３）＝２９９＋１＝３００
∵　S（２６３）＝シール（２６３−３２×８＋４）枚分の本数＝シール１１枚分＝１本
よって、求める金額は、１２０×２６３＝３１，５６０　　　　∴　３１，５６０（円）

解答・その17

（ペンネ−ム：teki）

１　５７本
２　２６３本 ( 31,560円 )

１は実際にやってみたほうが早いです。 ６０００円でジュースを５０本買い、シールを５０枚集めます。 このうち４８枚のシールをジュース６本と交換し、６枚のシールとあまった２枚 のシールでもう１本ジュースをもらえます。

２ですが、一般にＮ本のジュースを得るのに必要な購入本数ｎは以下の式で 表せます。

　　　ｎ＝［Ｎ*８/7］＋１　　（ただし［　］はガウス記号）

なぜ、このような式になるのかというと、仮に最初に１枚シールを持っていたと すると、後は７本ずつ買い足すことによって、８本ずつのジュースを得ることが できるからです。 最初は８本買う必要があるので、上記の式が成立します。

正解者

こまったコ teki バルタン星人
オヤジ 巷の夢 スモークマン
長崎島原　かがみ のっこん 夜ふかしのつらいおじさん
転位反応 杖のおじさん やなせ
T_Tatekawa ukiki_masamasa ukiki_masamasaの子供
三角定規 テレスとアリス

まとめ

(1)私は、このように考えてみました。

回数ジュースの本数シールの枚数
１５０５０
２６２＋６＝８
３１０＋１＝１
合計５７１

(2)最初に買うことのできるジュースの本数をａ、シールを交換して最大入手できるジュースの本数をＡとすると、
　　　
よって、
　　　
切り上げて、ａ=263、実際、検証してみると、

回数ジュースの本数シールの枚数
１２６３２６３
２３２７＋３２＝３９
３４７＋４＝１１
４１３＋１＝４
合計３００４

であり、かつ

回数ジュースの本数シールの枚数
１２６２２６２
２３２６＋３２＝３８
３４６＋４＝１０
４１２＋１＝３
合計２９９３

なので、a=263である。つまり、31,560円

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