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１３５．タイルの問題・その２

右の図のようなア〜ウの３種類のタイルが、それぞれアは４枚、イは４枚、 ウは１枚あります。これらのタイルを使ってすき間なくならべ、面積が一番大きな正方形と 二番目に大きな正方形をそれぞれ作ってください。ただし、使わないタイルがあってもよいものとします。

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問題の出典

センスのよい脳をつくる　大人の算数パズル
河瀬　厚　著
自由国民社
恵泉女学園中学校　2005年

答えと解説

解答・その1

（ペンネ−ム：スモークマン）

・最大の図は、、、すべてを使ってできる図で、まん中に正方形を置いて回りに残り をくっつければいいですね。面積は、正方形5個分＝5 cm²
・2番目の面積のものは、、、4個4個を組み合わせてできる図形。＝1個の正方形＋3 個3個を組み合わせてできる図形＝4 cm²
後者に残りのどれか1個をくっつけても正方形にできないはず、、、対称性から。。 。ちょっと直感的な話しですが、、、^^;

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解答・その2

（ペンネ−ム：オヤジ）

（１）１番大きな正方形は、アとイをくっつけた３辺が、それぞれ １ｃｍ，２ｃｍ，ｃｍの直角三角形×４と一辺１ｃｍの正方形ウで出来る
　　　一辺ｃｍの正方形　　　　　∴　５ｃｍ^２

（２）２番目に大きな正方形は、１辺２ｃｍの正方形
※（ア＋イ）×４　または　（ア＋イ）×３＋ウ
　　∴　４ｃｍ^２

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解答・その3

（ペンネ−ム：三角定規）

・面積最大のもの＝左図 … 与えられたピースをすべて使っているから面積最大です。
・面積２番目のもの＝右図 … ピースをどれか除いて正方形で次に面積が大きいのはこれです。

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解答・その4

（ペンネ−ム：teki）

２番目に大きな正方形は簡単です。 アとイを４枚ずつ使って、面積が４ｃｍ^２（つまり１辺が２ｃｍ）の正方形を作れば いいわけです。（または、ア、イ各々３枚、ウ１枚でも可。）
さて、与えられた図形全てを利用して正方形が作れたら、これが最大となるわけ ですが、全ての図形の面積の合計は５ｃｍ^２です。 面積５ｃｍ^２の正方形を作るには、 １辺ｃｍを作る必要があるわけですが、こ れは以前に面積５分の１の問題で出てましたよね。

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解答・その5

（ペンネ−ム：杖のおじさん）

答え

各タイルの面積は次の通りです。
　ア　は０．７５cm²×４＝３cm²
　イ　は０．２５cm²×４＝１cm²
　ウ　は１cm²×１＝１cm²
　合計　ア＋イ＋ウ＝５cm²
従って
○　一番大きな正方形は面積５�p²、一辺が√５cmになります。
　　使うタイルはアが４枚、イが４枚、ウが１枚、全部使います。
○　二番目に大きな正方形は面積４cm²、一辺が２cmになります。
　　使うタイルはアが４枚とイが４枚を使います。

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解答・その6

（ペンネ−ム：巷の夢）

それぞれのタイルの面積はアが3/4、イが1/4そしてウが1であるから、 全部のタイルを加えると面積は5となる。因って、 面積が5から1の正方形を作ることが出来るか否かを検証すれば良い。 この場合、面積は整数でなくとも良いが、 使える図形の長さが/2、1、1/2の3種類で、 9個のみであるため19/4〜17/4（最大である5と次の4の間）のような面積を作ることは出来ない。 そこで整数のみ考えれば良い。

(1)まず5であるが、長さがの正方形をつくれるか否かにかかるので考えてみると、 下図の様な1と2の長さを持ち、斜辺の長さがの直角三角形を4個 重ねればよいことが分かる。因って以下の様になる。

(2)次に大きいのは面積4であり、これは長さが2の正方形をつくれるか否かにかかるが、 明らかに可能である。いろいろ出来るが一例としてあげると、以下の様になる。

即ち、求める面積は5と4である。

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解答・その7

（ペンネ−ム：のっこん）

単位を省略する
(1)ア４、イ４、ウ１の面積合計は５
よって一辺がの正方形を作れば面積は最大となる
アとイを並べて斜辺がの直角三角形を作る
この４つの直角三角形を斜辺が外側にくるように並べ、中にウを置けばよい

(2)ア４、イ３、ウ１の面積合計は１９/４
一辺が(√19）/2 の正方形を作ることはできない

(3)ア３、イ４、ウ１の面積合計は１７/４
一辺が（√17）/2 の正方形を作ることはできない

(4)ア４、イ４の面積合計は４（ア３、イ３、ウ１でも同じ）
よって一辺が２の正方形を作れば面積は２番目に大きくなる
アとイを並べて１×１の正方形を作る
この４つの正方形を２×２に並べればよい

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解答・その8

（ペンネ−ム：バルタン星人）

最大５、２番目４
各図形の辺は、０．５、１、／２の３種類
面積は、ア：０．７５、イ：０．２５、ウ：１
また合計の総面積は５、１辺がの正方形を作れればそれが最大
アとイを組合せ、斜辺がの直角三角形を作り、 その斜辺を正方形の４辺に配置し、真ん中にウをはめ込むと最大の正方形。
次に大きい可能性は１辺が（１＋／２）だが面積が ９／４＋となり、 の面積はありえない。 その次は１＋１＝２　アとイを組合せ１辺１の正方形を作り この４個を組み合わせると２×２ができる。

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解答・その9

（ペンネ−ム：転位反応）

全てのタイルの面積の合計は５cm²なので、求める正方形の一辺の長さは 最大でである。
従って、各タイルの辺の長さの組合せから、二番目は 1+1/2・、 三番目は２の可能性が考えられるが、1+1/2・ の場合は正方形の面積が無理数となるので不適当である。
検証を行うと以下の通り。
全てのタイルを使用する

(2)二番目に大きな正方形：一辺の長さ２ 例えば次のような並べ方があり、使用しないタイルは１又は２個

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解答・その10

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

面積が一番大きな正方形は、アとイを次のように組合わせて全部使います。

面積が二番目に大きな正方形はアとイを次のように組合わせて使います。（ウは使いません）

タイル９枚の面積は、ア×４＋イ×４＋ウ＝５ です。 だから、１辺の長さをにできればよいことになりま
二番目に大きな正方形の大きさを考えるために、「５」からタイルの面積を引いていきます。 すると、

これらの面積をもつ正方形の１辺の長さは、

この中で可能なのは、１辺の長さが２のものです。

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解答・その11

（ペンネ−ム：T_Tatekawa）

まず，全てのタイルの面積の和を求めてみます．
　ア：(1cm+0.5cm)*1cm /2 = 0.75 cm²
　イ：0.5cm * 1cm /2 = 0.25 cm²
　ウ：1cm * 1cm = 1cm²
より
　0.75 * 4 + 0.25 * 4 + 1 = 5 cm²
です．そこで出来うる最大の正方形の面積は 5 cm² です．
次に正方形の一辺の長さに着目します．
　5 = 1*1 + 2*2
であることから，三平方の定理よりアとイをくっつけた 三角形を考えるとその斜面の長さは cm となります．
この三角形を四つ並べると，中心に1辺の長さが1cm の 正方形の空洞が出来ます． ここにウの正方形を入れれば完成です（図1）
二番目に大きい正方形を考えます． タイルの各辺の長さは 1cm, 0.5cm, /2 cm なので， この組み合わせの二乗がうまく合わないと正方形が出来ません． 面積は 0.25cm² 刻みで調整できます．
　4.75 = 19/4　（イを1個使わない）
　4.5 = 9/2 　（イを2個使わない）
　4.25 = 17/4　（アを1個使わないか，イを3個使わない）
この辺りは出来そうにありません．
　4 = 2²
これは簡単に出来ます．いくつか解がありますが， ウを使わなければ出来ます（図2）

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解答・その12

（ペンネ−ム：kohji）

ア、イ、ウの面積はそれぞれ1、0.75、0.25 (cm²) で、全部で5 (cm²)
ア、イ、ウの各辺の長さは/2、1、0.5(cm)のいずれかなので、 正方形の一辺の長さは p+q (p,qは有理数) と表せる。 よって面積は {p+q}²=(p²+5q²)+(2pq) また正方形の面積は1、0.75、0.25 (cm²) のタイルがいくつか合わさったものなので有理数である。 よって p²+5q²,2pq は有理数なので 2pq=0⇔p=0∨q=0

p=0のとき
長さが無理数のタイルの辺は /2 (cm) の辺が8本あるだけなので、 面積は {()/2}²,{2*/2}² すなわち 1.25,5 (cm²) になり得る。

q=0のとき
長さが有理数のタイルの辺は 1 または 0.5 (cm) なので、 正方形の一辺の長さは0.5 (cm) の自然数倍となる。 2²＜5＜(2.5)² なので、面積は高々 4 (cm²) である。

図より面積が5、4 (cm²) の正方形は確かに存在するので、 面積が一番大きな正方形と二番目に大きな正方形の一つはそれぞれ図のa,bである。

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解答・その13

（ペンネ−ム：長崎島原　かがみ）

（１）面積が最大の正方形
面積の合計が５�p²だから、１辺が ≒２．２３６の正方形を考えればよい。
１�p²の平方形の周りに、左の図１の直角三角形を４個敷 き詰めればよい。 したがって、面積が最大である正方形は下の図２である。

（２）面積が２番目に大きい正方形

(�@)
どんなに組み合わせても正方形はできない。

(�A) １辺が２�pの正方形について 図３のような正方形ができる。 以上によって、２番目に面積が大きい正方形は 面積４�p^２の正方形である。

（２）＜別解＞
面積５�p²から「図形イ」を１〜３個まで取り除いた場合を考える。

(�@)　１個取り除く場合

(�A)　２個取り除く場合

(�B)　３個取り除く場合

(�C)　ウを１個取り除いた場合
面積は５−１＝４　だから　１辺が２の正方形が考えられる。右図のように正方形ができる。

正解者

teki	T_Tatekawa	バルタン星人
巷の夢	スモークマン	夜ふかしのつらいおじさん
転位反応	のっこん	長崎島原　かがみ
オヤジ	杖のおじさん	kohji
三角定規

まとめ

面積最大の正方形を作るには、すべてのタイルを使えばいいので、面積が５�p^２、 つまり１辺が の正方形になります。 この長さを見つけられらば、答えにたどりつけますね。
２番目に大きい正方形の面積は、４�p^２ですが、厳密には、 これが確かに、２番目に大きい正方形であるということを示す必要があります。 つまり、面積が５�p^２より小さく、４�p^２より大きい正方形は作れないということです。 また、面積４�p^２の正方形の作り方は、いろいろなパターンがあります。

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