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問題134 約数の問題
Weekend Mathematics問題/問題134 約数の問題

134.約数の問題

Aを2以上の整数とし、<A>で整数Aの約数の個数を表します。 例えば、35の約数は、1,5,7,35なので、<35>=4です。
次の問いに答えてください。

(1)<30>を求めなさい。

(2)2から20までの整数Pで、<P>=2となる整数はいくつありますか。

(3)2から100までの整数Qで、<Q>=3となる整数はいくつありますか。

(4)2から100までの整数Nで、<<N>+2>=2となる整数はいくつありますか。


問題の出典

センスのよい脳をつくる 大人の算数パズル
河瀬 厚 著
自由国民社
渋谷教育学園渋谷中学校 2006年

答えと解説

解答・その1

(ペンネ−ム:杖のおじさん)

(1)30の約数は1,2,3,5,6,15,30なので<30>=8です。

(2)<N>=2は2と2以上で奇数の整数nでかつその整数nがその整数以外で約分出来ない数字です。 そのような数字は1から100迄の数字では次の通りです。
   2、3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,43,47,
   51,53,57,59,61,67、73,79,83,89,91,97
従って20までの整数は8個です。

(3)<N>=3は1とnの整数です。従ってこれを条件に調べます。
1〜100までの中にnの整数を調べます次の通りです。
   4,9,16,25,36,49,64,81,100
の9通りですが<Q>=3は4,9,25,49なので4個です。

(4)2〜100迄の数の約数の個数は次の通りです。
2→32個、3→4個、4→24個、5→2個、6→15個、7→2個、8→10個、 9→2個、100→3個です。
その中で<<N>+2>=2になるには<<N>+2>の中が5以上になる事が条件 になります。 それには<N>=3となるか<N>=5となるか9になれば良いのです。 そうすると<<N>+2>内は5,7,11となり最終的に2となります。 従って3になる数は<4>,<9>,<25>,<47>で4個、
 5になる数は<16>,<81>の2個
 7になる数は<36>,<100>の2個
で合計は8個となります。


解答・その2

(ペンネ−ム:オヤジ)

素因数分解すると良い。
(1)30=2×3×5となるので
 <30>=2×2×2=8  ∴ 8
 具体的には{1,2,3,5,6,10,15,30}

(2)P:2〜20 で <P>=2 約数が2個より P は素数
 従って P={2,3,5,7,11,13,17,19} ∴ 8個

(3)<Q>=3 従って条件から 100以下の (素数)となる
 Q={4,9,25,49}     ∴ 4個

(4)<<N>+2>=2 (2)より <N>+2:4以上の素数
 従って <N>=3 ・・・(3)より    4個・・(T)
 <N>=5 ・・ (素数)   2個・・(U)
 具体的には{16,81}
 <N>=9 ・・(素数) または、(素数) ×(素数) 
 (素数)を満たす素数は存在しない。
 (素数) ×(素数) は、{36,100}の 2個・・(V)
 <N>=11以上で条件を満たす Nは存在しない ・・・(W)
 (T)〜(W)より 4+2+2=8個         ∴ 8個


解答・その3

(ペンネ−ム:巷の夢)

2〜20までの約数の個数を下の表にまとめる。

約数の個数
22
32
43
52
64
72
84
93
104
112
126
132
144
154
165
172
186
192
206

(1)30=2×15 15の約数が4であるからその2倍で8個
(2)上の表から約数の個数が2となるのは素数だから8個
(3)平方数且つ素数の性質をもつものだから4,9,25及び49の4個
(4)<N>+2が素数であれば良く、<N>=3,5,9であり、 これらの数を求めると、各々4個、2個及び2個となり 求める個数は8


解答・その4

(ペンネ−ム:のっこん)

(1) 30=2・3・5  よって<30>=2・2・2=8
(2) 素数であることが条件 
   ・・・2、3、5、7、11、13、17、19 の8個
(3) 素数を平方した数であることが条件
   ・・・4、9、25、49 の4個
(4) <N>+2 が素数になればよい
   <N>≠0であり、また素数は2を除いてすべて奇数だから
   <N>はまず奇数でなければならない
   つまりNはまず平方数でなければならない
   <4>=<9>=<25>=<49>=3
   <16>=<81>=5
   <64>=7
   <36>=<100>=9
ただし、7+2=9・・・9は素数でないから64を除く
題意を満たすのは 4、9、16、25、36、49、81、100 の8個


解答・その5

(ペンネ−ム:転位反応)

(1) 30=2×3×5なので、約数は1、2、3、5、6、10、15、30
   <30>=8
(2) <P>=2は、1及びP以外に約数を持たないということ。つまりPは素数。
  従って、2、3、5、7、11、13、17、19の8個
(3) <Q>=3は、1及びQ以外に1つしか約数を持たないということ。
  つまり、Qは素数の平方数である。
  従って、Q=4、9、25、49 の4個
(4) <<N>+2>=2、<N>+2は素数なので、少なくとも<N>は奇数である。
  つまり、約数の数が奇数といういことは、Nは平方数である。
  N=4、9、16、25、36、49、64、81、100が該当する。
  さらに、これらの整数について、<N>+2が素数かどうかを検証すると
  N=64の場合、<64>+2=9となって素数とはならない
  従って、N=4、9、16、25、36、49、81、100の8個


解答・その6

(ペンネ−ム:三角定規)

(1) 30=2・3・5 より,30 の約数は,1,2,3,5,6,10,15,30 の8個。
    ∴ <30>=8

(2) <P>=2 より,P の約数は 1 と P,すなわち P は素数である。
   2〜20 の素数は,2,3,5,7,11,13,17,19 の8個。

(3) 素数 R の2乗であるである数 Q の約数は,1,R,R2 の3個。
  よって,2〜100 で <Q>=3 となる Q は,4=22,9=32, 25=52,49=72 の4個。

(4) (2)より,<N>+2 は素数で,=2,3,5,7,11,13,…   ∴ <N>=3,5,9,11,…
  1°<N>=3 となる N は,(3)より4個。
  2°<N>=5 となる N は,素数の4乗で表される数で,16=24,81=34 の2個。
  3°<N>=9 となる N は,素数の8乗で表される数,または2つの素数の積の2乗で表される数である。
      27=128>100 だから,N≦100 では前者の該当数なし。
      後者は,36=22・32 , 100=22・52 の2個が該当する
  4°<N>≧11 は該当数なし。
   以上より,題意を満たす N は,8個(4,9,16,25,36,49,81,100)


解答・その7

(ペンネ−ム:バルタン星人)

(1)8個
 (1,2,3,5,6,10,15,30:30=2×3×5なので2×2×2)
(2)8個
 (素数:2,3,5,7,11,13,17,19)
(3)4個
 (素数の平方:4,9,25,49)
(4)8個
 <N>は素数−2なので1,3,5,9,11・・・
 <N>=1は無し
 <N>=3は4個
 NがAのa乗×Bのb乗のように素因数分解される時、約数の個数は (a+1)(b+1)になるので<N>が奇数になるには素数の偶数乗の積
 <N>=5は2個(素数の4乗:16,81,)
 <N>=9は2個(素数の平方の積:36,100)
 <N>が11以上なら2の10乗以上、となり明らかに100以下は無し


解答・その8

(ペンネ−ム:夜ふかしのつらいおじさん)

(1)30=2×3×5 なので、<30>=2×2×2=8

(2)<P>=2というのは、1と自分自身しか約数がないということなので2から20までの素数を探します。
 2、3、5、7、11、13、17、19が該当するので、8個です。

(3)<Q>=3というのは、素数の平方数の場合が該当します。
 例えば、9=32ですが、約数は{1、3、9}の3個です。
 (2)より、22=4、32=9、52=25、72=49の4個です。

(4)<<N>+2>=2というのは、<N>+2が素数ということです。
 <N>の最小値は2なので、
 (i)<N>+2=5としてみます。
 <N>=3となり、(3)より、Nは4、9、25、49の4個
 (ii)<N>+2=7としてみます。
 <N>=5となり、Nは素数の4乗の形の数です。
 Nは24=16、34=81の2個
 (iii)<N>+2=11としてみます。
 <N>=9となり、Nは、
   ア)(素数の平方)×(素数の平方)の形の数です。
    2数を2、3とすると、N=22×32=36、
    2数を2、5とすると、N=22×52=100です。
   イ)素数の8乗の形の数です。
    素数を2とすると、N=28=256でこれは条件を満たしません。
(i)、(ii)、(iii)より、4、9、25、49、16、81、36、100の8個です。


解答・その9

(ペンネ−ム:スモークマン)

(1)<30>は、{1,2,3,5,6,10.15.30}より8
(2)<P>=2とは、1とその数自身しか約数じゃないから、素数ということ。
<P>は、{2,3,5,7,11,13,17,19}より、8個
(3)<Q>=3ということは、1とその数とその√Q だけ。
<Q>は、{22,32,52.72}より、4個
(4)<<N>+2>=2とは、<N>+2 が、素数ということ。
しかも、N は2以上だから、<N>+2 は、5以上。
<N>+2=5,7,11,13,・・・
<N> は、3,5,9,・・・
ここで、約数が奇数ということは、、、
<N>=3 で、1,p,p2・・・(3)から、4個。
<N>=5 で、1,p,p2,p3,p4・・・24,34 の2個。
<N>=9 で、N=28>100 なので、
N=p2*q2・・・(p,q)=(2,3),(2,5) なら可能。 ・・・22*32=36,22*52=100 の2個。
合計=4+2+2=8個。


解答・その10

(ペンネ−ム:T_Tatekawa)

(1) 30 を素因数分解すると
   30= 2x3x5
で,約数の数は各々の素数の選び方が何通りあるかで決まるので,
   <30> = 23 = 8
(2) <P>=2 となる整数 P は素数.
 2から20までの素数は 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 の8個.
 よって <P>=2 となる整数は 8 個.
(3) <Q>=3 となる整数 Q は,(1) の考え方を用いると素数の二乗しかない.
 100 の平方根は 10 であり,(2) から 10 以下の素数は 4 個なので, <Q>=3 となる整数 Q は 4 個(4, 9, 25, 49).
(4) まず,(2) で述べた様に <N> は 2 以上である.
 (2) の結果から,<N> =3, 5, 9 となる場合を考えてみる.
 i) <N> =3 となるのは (3) より 4個.
 ii) <N> =5 となるのは,素数の 4 乗の時.
   24 = 16, 34 = 81 が 100 以下で素数の4乗の数.
   よってこの場合は 2 個.
 iii) <N> =9=3x3 となるのは,
   N=(a x b)2
   である時(a, b は異なる素数).
   (a, b) = (2, 3) ならば N=36.
   (a, b) = (2, 5) ならば N=100.
   N が100以下となるのは 2個.
 iv) <N> > 10 は 100 以下の N ではできない.
 以上から 4+2+2 = 8個.


解答・その11

(ペンネ−ム:kohji)

(1)30を素因数分解すると2*3*5
 各々の素数の指数をどうするかで2*2*2=8個。
(2)ある自然数nについて<n>=2の時、
 (1)と同様に考えるとnは素数となる。
 ∴2,3,5,7,11,13,17,19の8個。
(3)題意を満たす整数は、
 n=p2(pは素数)のときのみである。
 (∵素因数が2種類以上のとき整数nについて<n>≧4である。)
 ∴4,9,25,49の4個。
(4)<N>>0なので、
 <<N>+2>=2⇔<N>+2は素数
 ⇒<N>は奇数⇒<N>を素因数分解したときの指数はすべて偶数
 ⇒Nは平方数
 よって<<N>+2>=2のときNが平方数であることが必要。

 以下、十分性の確認。
 <<4>+2>=<5>=2
 <<9>+2>=<5>=2
 <<16>+2>=<7>=2
 <<25>+2>=<5>=2
 <<36>+2>=<11>=2
 <<49>+2>=<5>=2
 <<64>+2>=<9>=3 ;--不適
 <<81>+2>=<7>=2
 <<100>+2>=<11>=2
 したがってN=4,9,16,25,36,49,81,100の8個。


解答・その12

(ペンネ−ム:長崎島原 かがみ)

(1)30=2×3×5 だから  <30>=2×2×2=

(2)<P>=2となるのは、Pが素数の時だけである。
よって、題意を満たすのは、2,3,5,7,11,13,17,19の8個である。

(3)1、Qの他にQの正の平方根だけが整数になる場合に限られる。
よって、題意を満たすのは4,9,25,49の4個である。

(4)<N>+2が素数になる場合を考える。<N>≧2だから<N>+2≧4。N≦100。
<N>+2=5,7,11,13,17,19,23,29,31,・・・・
これから2を引くと
<N>=3,5,9,11,15,17,21,27,29,・・・・となる。
×3=96だから、指数部分は最大6まで、<N>=7×2=14までが可能である。
よって、<N>=3,5,9,11の場合だけを調べればよい。

A.<N>=3 の場合
  N=2,3,5,7 すなわち 4,9,25,49 の4個
B.<N>=5 の場合
  N=2,3 すなわち 16,81 の2個
C.<N>=9 の場合
  N=2>100 だから 無し
  N=2×3=36 の1個
  N=2×5=100 の1個
D.<N>=11 の場合
  N=210>100 だから 無し
以上により、題意を満たすのは、4+2+2=8個。


解答・その13

(ペンネ−ム:teki)

1.8(30の約数は、1,2,3,5,6,10,15,30の8つです。)
2.8(2から20までの素数の個数を求めればいいので、2,3,5,7,11,13,17,19の8つです。)
3.4(2から100までの素数の2乗の個数を求めればいいので、4,9,25,49の4つです。)
4.条件を満たすのはNが奇数の場合なので、Nは平方数。
2以上100までの平方数は、4,9,16,25,36,49,64,81,100の9個ですが、 このうち64は<N>=7(<N>+2=9)となり、条件を満たさない。 よって8個。


解答・その14

(ペンネ−ム:こまったコ)

(1) 30を因数分解すると 30 = 21 x 31 x 51なので  約数の数は各因数を何個使うかの組み合わせで決まる。
30の因数はどれも1個しかでてこないので、 約数の数は (1+1) x (1+1) x (1+1) = 8 ゆえに <30> = 8

(2)<P>=2ということは、整数Pの約数は1と整数P自身ということになるので 整数Pは素数である。
2から20までの間の素数は 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 なので 答えは8個。

(3) (2)から考えると、約数の数が3個ということは 1と整数Q自身の他にもうひとつあることになる。 ということは整数Qが別の素数の2乗になっていればよい。 2から100までの間で別の整数の2乗になっている数は 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 そのうち素数の2乗になっているのは 4, 9, 25, 49 なので 答えは4個。

(4) (2)から考えると、2から100までの間の素数は
 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
<<N>+2>が素数になるので、<N>の候補は各素数から2を引いて
 0, 1, 3, 5, 9, 11, 15, 17, 21, 27, 29, 35, 39, 41, 45, 51, 57, 59, 65, 69, 71, 77, 81, 87, 95
100までの数で一番約数の数が多そうなのは、因数分解したときにより多くの因数からできている数。
たぶん 23 x 32で表せる 72 で <72> = 12
上の<N>の候補で1以上12以下なのは 1, 3, 5, 9, 11
 <N>= 1 は 1 だが設問の範囲は 2から100なので該当無し。
 <N>= 3 は (3)の問題の答え 4, 9, 25, 49 の4個。
 <N>= 5 は 24の16と、34の81の2個。
 <N>= 9 は 22 x 32の36と、22 x 52の100の2個。
 <N>= 11 は多分ない。
よって 4 + 2 + 2 = 8個 が答え。


解答・その15

(ペンネ−ム:庄司)

(1) 30の約数は『1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30』の8つ存在するので、<30>=8。

(2) 素数を求めれば良いと思います。つまり8個。

(3) 素数の2乗で100を超えないものは、2*2, 3*3, 5*5, 7*7だけなので、4つ。

(4) Nが2以上であり、<<N>+2>が素数なので、<<N>+2>は『5, 7, 11, 13……』となります。
つまりは、『3, 5, 9, 11……』。
また、これらは全て奇数なので、ある数の2乗であることが分かります。
Nが100以下なので、求める解は……
<2*2>=3, <3*3>=3, <4*4>=5, <5*5>=3, <6*6>=9, <7*7>=3, <9*9>=5, <10*10>=9
解 8つ

正解者

バルタン星人 のっこん teki
T_Tatekawa 転位反応 長崎島原 かがみ
庄司 巷の夢 こまったコ
オヤジ スモークマン 夜ふかしのつらいおじさん
杖のおじさん 三角定規 kohji

まとめ

約数の個数の求め方については、何人か解説をしていただいています。
一般に、整数Nを素因数分解し、
   N=a×b×c(ただし、a,b、cは素数)
のとき、
   <N>=(p+1)(q+1)(r+1)
になります。これは素因数の個数が3個の場合ですが、 素因数の個数が増えても同様です。 Nの約数は、
   a×b×c(0≦P≦p、0≦Q≦q、0≦R≦r、P、Q、Rは整数)
と表され、Pのとりうる値は(p+1)通り、Qのとりうる値は(q+1)通り、Rのとりうる値は(r+1)通りとなり、 その組み合わせで約数が特定できるからです。
例えば(素因数が2個の場合ですが)、24=2×3の場合、約数は、2×3 (0≦P≦3、0≦Q≦1、P、Qは整数)と表すことができます。Pのとりうる値は4通り、Qのとりうる値は2通りですから、 その組み合わせは、4×2=8通りになります。具体的には次のようになります。

P/Q
12
24

問題2で、約数の個数が2個の整数を求めていますが、 これは、
   N=a(ただし、aは素数)
であり、いうまでもなく、素数ということになります。

問題3では、約数の個数が3個の整数を求めます。 これは、
   N=a(ただし、aは素数)
ということですから、素数の平方数を求めることになります。

問題4では、問題2より、<N>+2が素数となります。
素数は、2を唯一の例外として、奇数です。
この場合、<N>も奇数です。 <N>、つまり、素数の個数が奇数ということは、平方数しかありません。 整数Nを素因数分解し、
   N=a×b×c×・・・
としたときに、指数p、q、r・・・の どれか1つでも奇数があれば、約数の個数は偶数になってしまうからです。


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