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問題134　約数の問題
Weekend Mathematics／問題／問題134　約数の問題

１３４．約数の問題

Ａを２以上の整数とし、＜Ａ＞で整数Ａの約数の個数を表します。 例えば、３５の約数は、１，５，７，３５なので、＜３５＞＝４です。
次の問いに答えてください。

(1)＜３０＞を求めなさい。

(2)２から２０までの整数Ｐで、＜Ｐ＞＝２となる整数はいくつありますか。

(3)２から１００までの整数Ｑで、＜Ｑ＞＝３となる整数はいくつありますか。

(4)２から１００までの整数Ｎで、＜＜Ｎ＞＋２＞＝２となる整数はいくつありますか。

問題の出典

センスのよい脳をつくる　大人の算数パズル
河瀬　厚　著
自由国民社
渋谷教育学園渋谷中学校　2006年

答えと解説

解答・その1

（ペンネ－ム：杖のおじさん）

（１）３０の約数は１，２，３，５，６，１５，３０なので＜３０＞＝８です。

（２）＜Ｎ＞＝２は２と２以上で奇数の整数ｎでかつその整数ｎがその整数以外で約分出来ない数字です。 そのような数字は１から１００迄の数字では次の通りです。
　　　２、３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９，３１，３７，４３，４７，
　　　５１，５３，５７，５９，６１，６７、７３，７９，８３，８９，９１，９７
従って２０までの整数は８個です。

（３）＜Ｎ＞＝３は１とｎ２の整数です。従ってこれを条件に調べます。
１～１００までの中にn２の整数を調べます次の通りです。
　　　４，９，１６，２５，３６，４９，６４，８１，１００
の９通りですが＜Ｑ＞＝３は４，９，２５，４９なので４個です。

（４）２～１００迄の数の約数の個数は次の通りです。
２→３２個、３→４個、４→２４個、５→２個、６→１５個、７→２個、８→１０個、 ９→２個、１００→３個です。
その中で＜＜Ｎ＞＋２＞＝２になるには＜＜Ｎ＞＋２＞の中が５以上になる事が条件 になります。 それには＜Ｎ＞＝３となるか＜Ｎ＞＝５となるか９になれば良いのです。 そうすると＜＜Ｎ＞＋２＞内は５，７，１１となり最終的に２となります。 従って３になる数は＜４＞，＜９＞，＜２５＞，＜４７＞で４個、
　５になる数は＜１６＞,＜８１＞の２個
　７になる数は＜３６＞,＜１００＞の２個
で合計は８個となります。

解答・その2

（ペンネ－ム：オヤジ）

素因数分解すると良い。
（１）３０＝２×３×５となるので
　＜３０＞＝２×２×２＝８　　∴　８
　具体的には｛１，２，３，５，６，１０，１５，３０｝

（２）Ｐ：２～２０　で　＜Ｐ＞＝２　約数が２個より　P　は素数
　従って　P＝｛２，３，５，７，１１，１３，１７，１９｝　∴　８個

（３）＜Ｑ＞＝３　従って条件から　１００以下の　（素数）２となる
　Ｑ＝｛４，９，２５，４９｝　　　　　∴　４個

（４）＜＜N＞＋２＞＝２　（２）より　＜N＞＋２：４以上の素数
　従って　＜N＞＝３　・・・（３）より　　　　４個・・（Ⅰ）
　＜N＞＝５　・・　（素数）４　　 ２個・・（Ⅱ）
　具体的には｛１６，８１｝
　＜N＞＝９　・・（素数）８　または、（素数）２　×（素数）２　
　（素数）８を満たす素数は存在しない。
　（素数）２　×（素数）２　は、｛３６，１００｝の　２個・・（Ⅲ）
　＜N＞＝１１以上で条件を満たす　Nは存在しない　・・・（Ⅳ）
　（Ⅰ）～（Ⅳ）より　４＋２＋２＝８個　　　　　　　　　∴　８個

解答・その3

（ペンネ－ム：巷の夢）

2～20までの約数の個数を下の表にまとめる。

ｎ約数の個数
22
32
43
52
64
72
84
93
104
112
126
132
144
154
165
172
186
192
206

(1)30=2×15　15の約数が4であるからその2倍で8個
(2)上の表から約数の個数が2となるのは素数だから8個
(3)平方数且つ素数の性質をもつものだから4,9,25及び49の4個
(4)＜N＞+2が素数であれば良く、＜N＞＝3,5,9であり、 これらの数を求めると、各々4個、2個及び2個となり 求める個数は8

解答・その4

（ペンネ－ム：のっこん）

（１）　30＝2・3・5　　よって＜30＞＝2・2・2＝8
（２）　素数であることが条件　
　　　・・・2、3、5、7、11、13、17、19　の８個
（３）　素数を平方した数であることが条件
　　　・・・4、9、25、49　の４個
（４）　＜N＞＋２　が素数になればよい
　　　＜N＞≠０であり、また素数は２を除いてすべて奇数だから
　　　＜N＞はまず奇数でなければならない
　　　つまりNはまず平方数でなければならない
　　　＜４＞＝＜９＞＝＜２５＞＝＜４９＞＝３
　　　＜１６＞＝＜８１＞＝５
　　　＜６４＞＝７
　　　＜３６＞＝＜１００＞＝９
ただし、7＋2＝9・・・9は素数でないから64を除く
題意を満たすのは　4、9、16、25、36、49、81、100　の８個

解答・その5

（ペンネ－ム：転位反応）

(１) 30=2×3×5なので、約数は１、２、３、５、６、１０、１５、３０
　　　＜３０＞＝８
(２) ＜Ｐ＞＝２は、１及びＰ以外に約数を持たないということ。つまりＰは素数。
　　従って、２、３、５、７、１１、１３、１７、１９の８個
(３) ＜Q＞＝３は、１及びＱ以外に１つしか約数を持たないということ。
　　つまり、Ｑは素数の平方数である。
　　従って、Ｑ＝４、９、２５、４９　の４個
(４) ＜＜Ｎ＞＋２＞＝２、＜Ｎ＞＋２は素数なので、少なくとも＜Ｎ＞は奇数である。
　　つまり、約数の数が奇数といういことは、Ｎは平方数である。
　　Ｎ＝４、９、１６、２５、３６、４９、６４、８１、１００が該当する。
　　さらに、これらの整数について、＜Ｎ＞＋２が素数かどうかを検証すると
　　Ｎ＝６４の場合、＜６４＞＋２＝９となって素数とはならない
　　従って、Ｎ＝４、９、１６、２５、３６、４９、８１、１００の８個

解答・その6

（ペンネ－ム：三角定規）

（１）　３０＝２・３・５　より，３０ の約数は，１，２，３，５，６，１０，１５，３０ の８個。
　　　　∴ ＜３０＞＝８

（２） ＜Ｐ＞＝２ より，Ｐ の約数は １ と Ｐ，すなわち Ｐ は素数である。
　　　２～２０ の素数は，２，３，５，７，１１，１３，１７，１９ の８個。

（３） 素数 Ｒ の２乗であるである数 Ｑ の約数は，1，Ｒ，Ｒ2 の３個。
　　よって，２～１００ で ＜Ｑ＞＝３ となる Ｑ は，４＝２2，９＝３2， ２５＝５2，４９＝７2 の４個。

（４） （２）より，＜Ｎ＞＋２ は素数で，＝２，３，５，７，１１，１３，… 　　∴ ＜Ｎ＞＝３，５，９，１１，…
　　１°＜Ｎ＞＝３ となる Ｎ は，（３）より４個。
　　２°＜Ｎ＞＝５ となる Ｎ は，素数の４乗で表される数で，１６＝２4，８１＝３4 の２個。
　　３°＜Ｎ＞＝９ となる Ｎ は，素数の８乗で表される数，または２つの素数の積の２乗で表される数である。
　　　　　　２7＝１２８＞１００ だから，Ｎ≦１００ では前者の該当数なし。
　　　　　　後者は，３６＝２2・３2 ， １００＝２2・５2 の２個が該当する
　　４°＜Ｎ＞≧１１ は該当数なし。
　　　以上より，題意を満たす Ｎ は，８個（４，９，１６，２５，３６，４９，８１，１００）

解答・その7

（ペンネ－ム：バルタン星人）

(1)８個
　（1，２，３，５，６，１０，１５，３０：３０＝２１×３１×５１なので２×２×２）
(2)８個
　（素数：２，３，５，７，１１，１３，１７，１９）
(3)４個
　（素数の平方：４，９，２５，４９）
(4)８個
　＜Ｎ＞は素数－２なので１，３，５，９，１１・・・
　＜Ｎ＞＝１は無し
　＜Ｎ＞＝３は４個
　ＮがＡのａ乗×Ｂのｂ乗のように素因数分解される時、約数の個数は (ａ＋1)(ｂ＋１)になるので＜Ｎ＞が奇数になるには素数の偶数乗の積
　＜Ｎ＞＝５は２個（素数の４乗：１６，８１，）
　＜Ｎ＞＝９は２個（素数の平方の積：３６，１００）
　＜Ｎ＞が１１以上なら２の１０乗以上、となり明らかに１００以下は無し

解答・その8

（ペンネ－ム：夜ふかしのつらいおじさん）

（１）３０＝２×３×５ なので、＜３０＞＝２×２×２＝８

（２）＜P＞＝２というのは、１と自分自身しか約数がないということなので２から２０までの素数を探します。
　２、３、５、７、１１、１３、１７、１９が該当するので、８個です。

（３）＜Q＞＝３というのは、素数の平方数の場合が該当します。
　例えば、９＝３2ですが、約数は｛１、３、９｝の３個です。
　（２）より、２2＝４、３2＝９、５2＝２５、７2＝４９の４個です。

（４）＜＜Ｎ＞＋２＞＝２というのは、＜Ｎ＞＋２が素数ということです。
　＜Ｎ＞の最小値は２なので、
　(i)＜Ｎ＞＋２＝５としてみます。
　＜Ｎ＞＝３となり、（３）より、Ｎは４、９、２５、４９の４個
　(ii)＜Ｎ＞＋２＝７としてみます。
　＜Ｎ＞＝５となり、Ｎは素数の4乗の形の数です。
　Ｎは２4＝１６、３4＝８１の２個
　(iii)＜Ｎ＞＋２＝１１としてみます。
　＜Ｎ＞＝９となり、Ｎは、
　　　ア）(素数の平方)×(素数の平方)の形の数です。
　　　　２数を２、３とすると、Ｎ＝２2×３2＝３６、
　　　　２数を２、５とすると、Ｎ＝２2×５2＝１００です。
　　　イ）素数の8乗の形の数です。
　　　　素数を２とすると、Ｎ＝２8＝２５６でこれは条件を満たしません。
(i)、(ii)、(iii)より、４、９、２５、４９、１６、８１、３６、１００の８個です。

解答・その9

（ペンネ－ム：スモークマン）

(1)＜30＞は、{1,2,3,5,6,10.15.30}より８
(2)＜Ｐ＞＝２とは、１とその数自身しか約数じゃないから、素数ということ。
＜Ｐ＞は、{2,3,5,7,11,13,17,19}より、８個
(3)＜Ｑ＞＝３ということは、１とその数とその√Q だけ。
＜Ｑ＞は、{22,32,52.72}より、４個
(4)＜＜Ｎ＞＋２＞＝２とは、＜Ｎ＞＋２ が、素数ということ。
しかも、N は２以上だから、＜Ｎ＞＋２ は、５以上。
＜Ｎ＞＋２=5,7,11,13,・・・
＜Ｎ＞ は、3,5,9,・・・
ここで、約数が奇数ということは、、、
＜Ｎ＞=3 で、1,p,p2・・・(3)から、４個。
＜Ｎ＞=5 で、1,p,p2,p3,p4・・・24,34 の２個。
＜Ｎ＞=9 で、N=28＞100 なので、
N=p2*q2・・・(p,q)=(2,3),(2,5) なら可能。 ・・・22*32=36,22*52=100 の２個。
合計＝4+2+2=8個。

解答・その10

（ペンネ－ム：T_Tatekawa）

(1) 30 を素因数分解すると
　　　30= 2x3x5
で，約数の数は各々の素数の選び方が何通りあるかで決まるので，
　　　＜30＞ = 23 = 8
(2) ＜P＞=2 となる整数 P は素数．
　2から20までの素数は 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 の8個．
　よって ＜P＞=2 となる整数は 8 個．
(3) ＜Q＞=3 となる整数 Q は，(1) の考え方を用いると素数の二乗しかない．
　100 の平方根は 10 であり，(2) から 10 以下の素数は 4 個なので， ＜Q＞=3 となる整数 Q は 4 個（4, 9, 25, 49）．
(4) まず，(2) で述べた様に ＜N＞ は 2 以上である．
　(2) の結果から，＜N＞ =3, 5, 9 となる場合を考えてみる．
　i) ＜N＞ =3 となるのは (3) より 4個．
　ii) ＜N＞ =5 となるのは，素数の 4 乗の時．
　　　24 = 16, 34 = 81 が 100 以下で素数の4乗の数．
　　　よってこの場合は 2 個．
　iii) ＜N＞ =9=3x3 となるのは，
　　　N=(a x b)2
　　　である時（a, b は異なる素数）．
　　　(a, b) = (2, 3) ならば N=36．
　　　(a, b) = (2, 5) ならば N=100．
　　　N が100以下となるのは 2個．
　iv) ＜N＞ ＞ 10 は 100 以下の N ではできない．
　以上から 4+2+2 = 8個．

解答・その11

（ペンネ－ム：kohji）

(1)30を素因数分解すると2*3*5
　各々の素数の指数をどうするかで2*2*2=8個。
(2)ある自然数nについて＜n＞=2の時、
　(1)と同様に考えるとnは素数となる。
　∴2,3,5,7,11,13,17,19の8個。
(3)題意を満たす整数は、
　n=p2(pは素数)のときのみである。
　(∵素因数が２種類以上のとき整数ｎについて＜n＞≧4である。)
　∴4,9,25,49の4個。
(4)＜N＞＞0なので、
　＜＜N＞+2＞=2⇔＜N＞+2は素数
　⇒＜N＞は奇数⇒＜N＞を素因数分解したときの指数はすべて偶数
　⇒Nは平方数
　よって＜＜N＞+2＞=2のときNが平方数であることが必要。

　以下、十分性の確認。
　＜＜4＞+2＞=＜5＞=2
　＜＜9＞+2＞=＜5＞=2
　＜＜16＞+2＞=＜7＞=2
　＜＜25＞+2＞=＜5＞=2
　＜＜36＞+2＞=＜11＞=2
　＜＜49＞+2＞=＜5＞=2
　＜＜64＞+2＞=＜9＞=3　;--不適
　＜＜81＞+2＞=＜7＞=2
　＜＜100＞+2＞=＜11＞=2
　したがってN=4,9,16,25,36,49,81,100の8個。

解答・その12

（ペンネ－ム：長崎島原　かがみ）

(1)３０＝２１×３１×５１ だから　 ＜３０＞＝２×２×２＝８

(2)＜Ｐ＞＝２となるのは、Ｐが素数の時だけである。
よって、題意を満たすのは、２，３，５，７，１１，１３，１７，１９の８個である。

(3)１、Ｑの他にＱの正の平方根だけが整数になる場合に限られる。
よって、題意を満たすのは４，９，２５，４９の４個である。

(4)＜Ｎ＞＋２が素数になる場合を考える。＜Ｎ＞≧２だから＜Ｎ＞＋２≧４。Ｎ≦１００。
＜Ｎ＞＋２＝５，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９，３１，・・・・
これから２を引くと
＜Ｎ＞＝３，５，９，１１，１５，１７，２１，２７，２９，・・・・となる。
２６×３１＝９６だから、指数部分は最大６まで、＜Ｎ＞＝７×２＝１４までが可能である。
よって、＜Ｎ＞＝３，５，９，１１の場合だけを調べればよい。

A.＜Ｎ＞＝３　の場合
　　Ｎ＝２２，３２，５２，７２ すなわち　４，９，２５，４９　の４個
B.＜Ｎ＞＝５　の場合
　　Ｎ＝２４，３４ すなわち　１６，８１　の２個
C.＜Ｎ＞＝９　の場合
　　Ｎ＝２８＞１００　だから　無し
　　Ｎ＝２２×３２＝３６　の１個
　　Ｎ＝２２×５２＝１００　の１個
D.＜Ｎ＞＝１１　の場合
　　Ｎ＝２１０＞１００　だから　無し
以上により、題意を満たすのは、４＋２＋２＝８個。

解答・その13

（ペンネ－ム：teki）

１．８（３０の約数は、１，２，３，５，６，１０，１５，３０の８つです。）
２．８（２から２０までの素数の個数を求めればいいので、２，３，５，７，１１，１３，１７，１９の８つです。）
３．４（２から１００までの素数の２乗の個数を求めればいいので、４，９，２５，４９の４つです。）
４．条件を満たすのはNが奇数の場合なので、Nは平方数。
２以上１００までの平方数は、４，９,１６,２５，３６，４９，６４，８１，１００の９個ですが、 このうち６４は＜N＞＝７（＜N＞＋２＝９）となり、条件を満たさない。 よって８個。

解答・その14

（ペンネ－ム：こまったコ）

(1) 30を因数分解すると　30 = 21 x 31 x 51なので　 約数の数は各因数を何個使うかの組み合わせで決まる。
30の因数はどれも1個しかでてこないので、 約数の数は　(1+1) x (1+1) x (1+1) = 8 ゆえに　＜30＞ = 8

(2)＜P＞=2ということは、整数Pの約数は1と整数P自身ということになるので 整数Pは素数である。
2から20までの間の素数は　2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19　なので 答えは8個。

(3) (2)から考えると、約数の数が3個ということは 1と整数Q自身の他にもうひとつあることになる。 ということは整数Qが別の素数の2乗になっていればよい。 2から100までの間で別の整数の2乗になっている数は 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 そのうち素数の2乗になっているのは 4, 9, 25, 49 なので　答えは4個。

(4) (2)から考えると、2から100までの間の素数は
　2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
＜＜N＞+2＞が素数になるので、＜N＞の候補は各素数から2を引いて
　0, 1, 3, 5, 9, 11, 15, 17, 21, 27, 29, 35, 39, 41, 45, 51, 57, 59, 65, 69, 71, 77, 81, 87, 95
100までの数で一番約数の数が多そうなのは、因数分解したときにより多くの因数からできている数。
たぶん　23 x 32で表せる 72　で　＜72＞ = 12
上の＜N＞の候補で1以上12以下なのは　1, 3, 5, 9, 11
　＜N＞= 1 は　1 だが設問の範囲は　2から100なので該当無し。
　＜N＞= 3 は　(3)の問題の答え　4, 9, 25, 49　の4個。
　＜N＞= 5 は　24の16と、34の81の2個。
　＜N＞= 9 は　22 x 32の36と、22 x 52の100の2個。
　＜N＞= 11 は多分ない。
よって　4 + 2 + 2 = 8個　が答え。

解答・その15

（ペンネ－ム：庄司）

(1) 30の約数は『1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30』の8つ存在するので、＜30＞=8。

(2) 素数を求めれば良いと思います。つまり8個。

(3) 素数の2乗で100を超えないものは、2*2, 3*3, 5*5, 7*7だけなので、4つ。

(4) Nが2以上であり、＜＜N＞+2＞が素数なので、＜＜N＞+2＞は『5, 7, 11, 13……』となります。
つまりは、『3, 5, 9, 11……』。
また、これらは全て奇数なので、ある数の2乗であることが分かります。
Nが100以下なので、求める解は……
＜2*2＞=3, ＜3*3＞=3, ＜4*4＞=5, ＜5*5＞=3, ＜6*6＞=9, ＜7*7＞=3, ＜9*9＞=5, ＜10*10＞=9
解　８つ

正解者

バルタン星人 のっこん teki
T_Tatekawa 転位反応 長崎島原　かがみ
庄司 巷の夢 こまったコ
オヤジ スモークマン 夜ふかしのつらいおじさん
杖のおじさん 三角定規 kohji

まとめ

約数の個数の求め方については、何人か解説をしていただいています。
一般に、整数Ｎを素因数分解し、
　　　Ｎ＝aｐ×ｂｑ×ｃｒ（ただし、a，ｂ、ｃは素数）
のとき、
　　　＜Ｎ＞＝（ｐ＋１）（ｑ＋１）（ｒ＋１）
になります。これは素因数の個数が３個の場合ですが、 素因数の個数が増えても同様です。 Ｎの約数は、
　　　aＰ×ｂＱ×ｃＲ（０≦Ｐ≦ｐ、０≦Ｑ≦ｑ、０≦Ｒ≦ｒ、Ｐ、Ｑ、Ｒは整数）
と表され、Ｐのとりうる値は（ｐ＋１）通り、Ｑのとりうる値は（ｑ＋１）通り、Ｒのとりうる値は（ｒ＋１）通りとなり、 その組み合わせで約数が特定できるからです。
例えば（素因数が２個の場合ですが）、２４＝２３×３１の場合、約数は、２Ｐ×３Ｑ （０≦Ｐ≦３、０≦Ｑ≦１、Ｐ、Ｑは整数）と表すことができます。Ｐのとりうる値は４通り、Ｑのとりうる値は２通りですから、 その組み合わせは、４×２＝８通りになります。具体的には次のようになります。

Ｐ/Ｑ０１
０１３
１２６
２４１２
３８２４

問題２で、約数の個数が２個の整数を求めていますが、 これは、
　　　Ｎ＝ａ１（ただし、aは素数）
であり、いうまでもなく、素数ということになります。

問題３では、約数の個数が３個の整数を求めます。 これは、
　　　Ｎ＝ａ２（ただし、aは素数）
ということですから、素数の平方数を求めることになります。

問題４では、問題２より、＜N＞+2が素数となります。
素数は、２を唯一の例外として、奇数です。
この場合、＜N＞も奇数です。 ＜N＞、つまり、素数の個数が奇数ということは、平方数しかありません。 整数Ｎを素因数分解し、
　　　Ｎ＝aｐ×ｂｑ×ｃｒ×・・・
としたときに、指数ｐ、ｑ、ｒ・・・の どれか１つでも奇数があれば、約数の個数は偶数になってしまうからです。

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