１３１．マス目の問題
問題１
下右図のマス目を、下左図の１×２の長方形で敷きつめることができないことを示せ。
ただし、長方形は回転させて使ってもよいが、互いに重なったり、マス目から
はみ出したりしてはいけないものとする。
問題２
１０×１０のマス目を下のＴ字型の図形Ｓで敷きつめることができないことを示せ。
ただし、図形Ｓは回転させて使ってもよいが、互いに重なったり、正方形からはみ出したり
してはいけないものとする。
問題の出典
ジュニア数学オリンピック
数学オリンピック財団編
亀書房発行
答えと解説
解答・その1
（ペンネ－ム：スモークマン）
問題1
市松模様にわけると、黒白同数でないと無理ですが、与えられた図は、奇数のため無
理。
解答・その2
（ペンネ－ム：ＳＯＵ）
問題１
マス目に色を白黒の色をつけ、
とする。□が１６個、■が１８個となる。
１ｘ２の図形で埋めることを考えると、必ず□と■が一個ずつ減っていくことになるが、
最終的に必ず■が２つあまることになり、互いに隣接していない２マスが残ることになる。
したがって、不可能といえます。
解答・その3
（ペンネ－ム：オヤジ）
（１）
行列の様に成分に分けて考える
分かりやすい様に次の様に色分けする。例えば ｉ行ｊ列を
Ａｉｊ ＝ｉ＋ｊ＝ 偶数：白
Ａｉｊ ＝ｉ＋ｊ＝ 奇数：黒
とする。１×２ は、白１個と黒１個となる。 図の ３４個 の色分けを考えると
６×６－Ａ１６－Ａ６１
＝（白１８個 と 黒１８個）－黒２個
＝（白１８個）と（黒１６個）
となり（白黒同数が １×２ で敷きつめられる必要条件であるが）
白の色と黒の色が同数でないために、１×２＝白１個と黒１個 の自然数倍とならず、
１×２ で敷きつめられない。
（２）
（１）と同様に考え １０×１０は、白５０個 と 黒５０個 の同数とならなければならない。
４個のＴ字型では、色分けは２種類考えられる。
Ⅰ種目は、白１個と黒３個のＴ字型
Ⅱ種目は、白３個と黒１個のＴ字型
が考えられる。Ｔ字型で敷きつめる為には、Ⅰ種目とⅡ種目が同数となる事が必要条件、
よってⅠ種目とⅡ種目が対の ８個の自然数倍となる事が必要だが、
１０×１０÷８＝１２．５
となり、自然数倍とならない。
よって、Ｔ字型で敷きつめられない。
解答・その4
（ペンネ－ム：のっこん）
問題１
この１７畳の部屋を畳で敷きつめることができないことを示せばよい
畳は２マス分の長方形だから
部屋を市松模様に塗り分けると
１つの畳は必ず白１マスと黒１マスの組を占める
よって塗り分けた時、白マスと黒マスの数は同じでなければならない
ところがこの３４区画を市松模様に塗り分けると
白１８マス黒１６マス（あるいはその逆）となる
白マスと黒マスの数が異なるから、敷きつめることはできない
問題２
この２５畳の部屋をSの形をした畳で敷きつめることができないことを示せばよい
１００区画を市松模様に塗り分けると白５０マス黒５０マスとなる
Sの形をした畳は必ず白３マス黒１マス、あるいは白１マス黒３マスの組を占める
よって白３マス黒１マスの組を占める畳の数をx とすると
白マスは全部で 3x+(25-x)=25+2x
黒マスは全部で 3(25-x)+x=75-2x となる
両方とも奇数となり、
白５０マス黒５０マスとなることはないから、敷きつめることはできない
解答・その5
（ペンネ－ム：teki）
１ 白黒の市松模様に塗り分ければすぐにわかりますが、図の図形は白と黒の個数が違う
（パリティが違う）ので、白黒１個ずつの図形で埋め込むことができません。
２ ちょっと複雑ですが、１０×１０の正方形は、４×２５個の与えられた図形で埋める
必要があります。ところが、１０×１０の正方形は１と同様に白黒の市松模様に塗り分けると、
白５０個、黒５０個に塗り分けられるので、与えられた図形（白黒の差が±２）で塗りわけるに
はどうしても偶数個の図形が必要となります。よって、埋め込みは不可能です。
解答・その6
（ペンネ－ム：信三）
どちらの問題も黒と白のマスをチェッカー模様に組み合わせたチェス盤
をベースにして考えます。チェス盤が手許にないので分かりませんが、
左上隅を白とします。
問題１
２個のマスが繋がって出来ている問題の単位片は、どこに、どの向きに置いても
白と黒のマスを１個ずつ占めます。
問題の領域は６X６マスの正方形から、右上隅と，左下隅の、２個のマスを
取り除いたもので，左上隅を白マスとすれば、取り除かれたものはどちらも黒で、
領域の総計で、白マス１８個、黒マス１６個となり、個数が異なるので、
この単位片だけを組み合わせて埋めることが出来ません。
問題２
この問題の単位片は、チェス盤の、どこへどの向きに置いても、
白マス３個と黒マス１個か、逆に，黒マス３個と白マス１個を占めます。
白３黒１の単位片「x」個と、黒３白１の単位片「y」個で、
領域を埋めることが出来るとすれば、領域には白黒同数の５０個ずつあるので、
３x＋y＝５０、x＋３y＝５０ で、これらを引き算して、x＝yとなります。
そこで、４x＝４y＝５０ となり、整数の個数でこれを満たすことはできません。
解答・その7
（ペンネ－ム：Toru）
問題１
（下右図）のマス目を、例えば左上を白として、白と白、黒と黒が隣り合わないよ
うに、白黒の市松模様に塗る。右上、左下の角は本来、黒のところになるので、白の
ほうが2つ多くなる。１x２の長方形は白が１つ、黒が１つなので、これをならべても
白黒の数は同じはずで、敷きつめることはできない。
問題２
同様に考えると、図形Sは（白３黒１）あるいは（白１黒３）であるが、１０x１０
のマス目は白５０黒５０であるから、これらは同数でなければならない。したがって
（白３黒１）と（白１黒３）をペアにして考えると、マス目の数は８の倍数であるこ
とが必要で、１０x１０＝１００は８の倍数でないのでの敷きつめることはできない。
解答・その8
（ペンネ－ム：Ｎと～）
１番は有名ですね。チェス盤のように６×６ー２のますを白黒市松模様
に塗り分けると、白のますと黒のますの数が揃わないけれど、置いていく
（ドミノのコマのような）長方形は一方の正方形が黒を埋め、他方が白を
埋めていくので、埋め尽くすには盤の白ますと黒ますの数が同じでなくて
はならないから埋め尽くせない。
２番も同様に１０×１０のますを白黒市松模様にすると、白ますも黒ま
すも５０になる。ところが、Ｔ型のものは白３黒１か白１黒３。このＴ型
のものは正方形が４つあるので、盤をちょうど埋め尽くせるとしたらＴ型
の図形Ｓを２５個使うことになる。Ｓ２５個を白３黒１と白１黒３に何個
ずつ割り振ろうとも、不幸なことに２５は奇数なので白黒同数にはできな
い。よって、ちょうど埋め尽くすことはできない。
おまけ。問題図を見ると、Ｔ型というよりは、凸型といった方がしっく
りくるような……。
解答・その9
（ペンネ－ム：迷子の雄猫）
問題１
図形を下記のように市松模様に塗り分ける。黒マスが２個多くなる。
１×２の長方形をどのように置いても、黒白１つづつのマスを占めるので、
最後には黒マスが２個余る。黒マス同士は隣接していないので、１×２の長方形で覆う
ことは不可能。
問題２
問題１と同様に、１０Ｘ１０のマス目を市松模様に塗り分けると、黒マスが５０個、白
マスが５０個になる。
もし、１０×１０のマス目をＴ字型の図形Ｓで敷きつめることができたと仮定すると、
図形Ｓは２５個使用することになる。
Ｔ字型の図形Ｓをどのように置いても、黒１つと白３つまたは黒３つと白１つのマスを
占める。
図形Ｓに必ず含まれる黒１つと白１つのマスを除くと、２５個の黒マスと白マスが残る
。
残りのマス目から、図形Ｓ１つに付き、黒マス２つまたは白マス２つを取り除かれるが
、
２個づつ取り除いて、２５個の黒マスを取り除くことはできない。
よって、図形Ｓで敷きつめることができたという仮定が誤っているので、
１０×１０のマス目をＴ字型の図形Ｓで敷きつめることができない。
解答・その10
（ペンネ－ム：転位反応）
問題１．
与えられたマス目を下図のように市松模様として色分けする。
さて、与えられた長方形にも同様に色を付け、この長方形で敷き詰めることができると仮定すると、
マス目の面積から計算して１７個の長方形が必要となり、
長方形を構成する正方形の数も、それぞれ１７個となる。
しかし、これらの正方形の数では、上記の市松模様に色分けできない。
よって、与えられた長方形で、上記マス目を敷き詰めることはできない。
問題２．
同様に、１０×１０のマス目を下図のように市松模様として色分けする。
さて、与えられた図形Ｓに下記の二通りの色を付け、マス目を敷き詰める事
ができると仮定すると、マス目の面積から計算して２５個の図形Ｓが必要と
なるが、２５は奇数なので、構成するそれぞれの正方形の数を５０個にすることはできない。
例えば、
解答・その11
（ペンネ－ム：杖のおじさん）
問題１．答え
敷き詰める事は出来ません。
マス目の片方に●他方に○マークをつけて並べると片方が２つ多くなっています。
従って敷きつめることは出来ません。下図を参照
問題２．答え
１０×１０のマス目をT字型で敷き詰める事は出来ません。
敷きつめるマス目のＴ字型に図のように黒、白マークをつけてみます。
１０×１０のマスめに黒、白のマークをつけてみますと黒５０で白５０で同数になります。
黒と白を同数にするにはT字型を偶数個使用しなければなりません。
１００÷４＝２５
で偶数ではありません。従って敷きつめることは出来ません。下図を参照
解答・その12
（ペンネ－ム：バルタン星人）
１）は解き方を知っていました。２）はその応用で考えました。
答え１）下にように市松模様に塗り分ける。
１×２は必ず白黒のピースとなるが、
この模様は黒１８、白１６なのではめ込みは不可能。
答え２）
同様に白黒の市松模様に塗り分ける。
ピースは次のいずれか。
白５０、黒５０あるのでこの２個のピースは同数必要。
ところが、全ピースは２５個と奇数なので同数にはなれない。
（すなわち、黒５０、白５０を作ることができない）
故にはめこみは不可能。
解答・その13
（ペンネ－ム：三角定規）
１．《図１》のようにドミノを敷き詰める領域を市松模様に塗り分けると，
青が１８，白が１６。
ドミノを敷き詰めることができる場合には，青と白は必ず同数となるから，
《図1》の領域を，ドミノを敷き詰めることはできない。
２．図のようなＡ，Ｂ２種類のテトラミノを組み合わせることによって，
《図２》のように青白交互に敷き並べることができる。
この方法で １０×１０ の正方形領域を敷き詰めることができたとする。
この領域を １．同様市松模様に塗り分けると，青白５０。
Ａ を ｍ個，Ｂ を ｎ個（ｍ，ｎ は整数）用いたとすると，
テトラミノの総数から ｍ＋ｎ＝２５ …(1)
青色部分の数から ３ｍ＋ｎ＝５０ …(2)
(2)－(1) より ２ｍ＝２５ ……(3)
(3)は，ｍ が整数であることに反する。
よって，１０×１０ の正方形領域を，テトラミノで敷き詰めることはできない。
解答・その14
（ペンネ－ム：kohji）
問題1
図のようには配色すると、1*2の長方形を敷き詰めた時、1*2の長方形一つにつき
白と黒のマスがそれぞれ一つずつ含まれるので、白と黒のマスは同数ある。しかし、実際には白18マス
、黒16マスで矛盾。よって1*2の長方形で敷き詰めることは出来ない。
問題2
図のようには配色すると、Sを配置した時、図の2通りがあり
うる。敷き詰めた時に図の左、右のSがそれぞれl,r個あったとすると、白、黒マスの総数についてそれ
ぞれ、
l+3r=50
3l+r=50
が成り立つ。
2式より
l=r=12.5
これはl,rが整数であることに矛盾。よってSで敷き詰めることは出来ない。
解答・その15
（ペンネ－ム：夜ふかしのつらいおじさん）
問題１
面積が４になる図形で場合を考えます。
(1)敷きつめることができる例
(2)敷きつめることができない例
１×２の面積の長方形の半分を塗ってみます。
するとこの長方形が敷きつめられる場合には着色された部分と色のない部分が同じ個数になります。
マス目に下のように色をつけてみます。
敷きつめられない場合には②のように着色された部分と色のない部分の個数が違います。
個数を数えると
着色された部分と色のない部分の個数が異なります。
だから敷きつめられません。
問題２
マス目に着色してみます。
すると図のように着色された部分と色のない部分が同じ個数あります。
図形Ｓを２種類用意します。
図形Ｓの面積は４です。
Ｓ1とＳ2を交互に使って敷きつめていくとすると全部で２５個必要です。
奇数の場合には着色された部分と色のない部分の個数が２個違います。
この問題の場合には同数なので敷きつめられる必要条件を満たしません。
だから敷きつめられません。
解答・その16
（ペンネ－ム：T_Tatekawa）
問題1
まず，1x2の長方形を □■ というように白黒に塗ります．
下右図のマス目を市松模様に塗ります．
この塗り分けで，白は18個，黒は16個です．
1x2の長方形では白と黒を1個ずつ埋めていくので，最後に
白が2個残ってしまいます．だから敷き詰めが出来ません．
問題2
10x10 のマス目を市松模様に塗ると，白と黒が50個になります．
また，100マスを4マスの図形で敷き詰める事を考えると，
25個必要です．
T字型の図形も市松模様に塗ると，
の2パターンになります．
白と黒が同じ数だけ減って行くように2パターンを選ぶと，
12対（24個）選んだところで，10x10 のマス目の残りは
白と黒が2つずつになります．
上の2パターンは単独では白と黒を同数埋める事ができない
ので，結局は 10x10 のマス目を T 字型の図形で敷き詰める
ことはできません．
＊＊＊
類題として，
「4x7 の長方形を，7種類のテトリスのブロックで敷き詰められるか」
というのを，ピーター・フランクルから聞いた事があります．
正解者
| バルタン星人 | オヤジ | teki |
| 夜ふかしのつらいおじさん | T_Tatekawa | のっこん |
| 転位反応 | Toru | kohji |
| 三角定規 | 迷子の雄猫 | Ｎと～ |
| 杖のおじさん | ＳＯＵ | 信三 |
| スモークマン |
まとめ
皆さんの解答にあるように、マス目をたとえば白黒で塗り分けて、
その偶奇性（パリティ）を考えるといいという問題ですね。
敷きつめられることを示すにはその例を具体的にあげればいいわけですが、
敷きつめられないことを示すには、どんなことをしても絶対に不可能であるということを
示さなければなりません。
さて、T_Tatekawaさんの解答にある
「4x7 の長方形を，7種類のテトリスのブロックで敷き詰められるか」という問題についても、
是非、考えてみてください。
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