１３０．３ｎの和
３ｎ(ｎ≧０)の形をした１つ以上の相異なる整数の和として表される整数を小さい方から次ぎのように
並べる。
１，３，４，９，１０，１２，１３，・・・
この数列の第１００項を求めよ。
問題の出典
ジュニア数学オリンピック
数学オリンピック財団編
亀書房発行
答えと解説
解答・その1
（ペンネ−ム：こまったコ）
1, 3, 4, 9, 10, 13,
3n乗を小さいほうから1個以上組み合わせて数を作ることになる。
30を1個・・・1=21-1
30、31を各0か1個使う組み合わせ-2(どれも0個の組み合わせ、上の1通り)
=2x2-2=2通り・・・3, 4
ここまでにできた数は3つ = 22-1
30、31、32を各0か1個使う組み合わせ-2=2x2x2-4(どれも0の組み合わせ、上の3通り)=4通り・・9, 10, 12, 13
ここまでにできた数は7つ = 23-1
これを簡単にするために2n-1で100より小さい最大の数を求めると
26-1=63
27-1=127
127-63=64
63番目の数は1+3+9+27+81+243=364
64番目の数は36 = 729。
127番目の数は364+729=1093
100番目の数は729より大きく、1093より小さい。
100-64=36よりこの数列の36番目の数を729に足せばよい。
32番目の数は35 = 243
この数列の4番目の数は9なので 243+9=252
よってこの数列の36番目の数は252。
729 + 252 = 981
よってこの数列の100番目は981。
解答・その2
（ペンネ−ム：転位反応）
題意に沿って数列を書き下すと、
これから分かることは、
(1)3nは、第2n項である
(2)第２n項を第１項から第２n−１項のそれぞれに加えると、
第２n＋１項から第２n+1−１項の数列となる
従って、第１００項は、第６４項(=26)と第１２８項(=27)の間にあるので、
第１００項=第６４項+第３６項=第６４項+第３２項+第４項=26+25+22
と整理できる。よって、求める第１００項は、 =36+35+32=981
解答・その3
（ペンネ−ム：まーや）
（答え）981
（方針）第100項が第何グループの何番目に来るかを求める。
各グループに含まれる数字の個数は、
第1グループ・・・１個
第２グループ・・・２個
第３グループ・・・４個
第４グループ・・・８個・・・となる。
第１〜６グループまでの数字の個数の和は
１＋２＋４＋８＋16＋32＝63個
100−63＝37より、
第100項は第７グループの37番目。
解答・その4
（ペンネ−ム：巷の夢）
題意に従い数字を書き出してみると、
| 1 | 1 | ||||
| 2 | 3 | ||||
| 3 | 4 | ||||
| 4 | 9 | ||||
| 5 | 10 | ||||
| 6 | 12 | ||||
| 7 | 13 | ||||
| 8 | 27 | ||||
| 9 | 28 | ||||
| 10 | 30 | ||||
| 11 | 31 | ||||
| 12 | 36 | ||||
| 13 | 37 | ||||
| 14 | 39 | ||||
| 15 | 40 | ||||
| 16 | 81 | ||||
| 17 | 82 | ||||
| 18 | 84 | ||||
| 19 | 85 | ||||
| 20 | 90 | ||||
| 21 | 91 | ||||
| 22 | 93 | ||||
| 23 | 94 | ||||
| 24 | 108 | ||||
| 25 | 109 | ||||
| 26 | 111 | ||||
| 27 | 112 | ||||
| 28 | 117 | ||||
| 29 | 118 | ||||
| 30 | 120 | ||||
| 31 | 121 | ||||
| 32 | 243 |
これらの関係から下表の様な分析が出来る。
| 3の累乗 | 加算で出来る 数字の個数 | 増加数量 |
|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 |
| 3 | 1 | 1 |
| 9 | 3 | 2 |
| 27 | 7 | 4 |
| 81 | 15 | 8 |
| 243 | 31 | 16 |
| 729 | 63 | 32 |
表の6行目までの数字を加えると63個である。
因って100番目の数は729と以前に出来た数を加えたものとなる。729が64番目であり、
更に加算で出来る36番目が全部の100番目にあたる。これは表から243+9であるから252となり、
729+252である981が求めるものである。
解答・その5
（ペンネ−ム：テレスとアリス）
数列を３ｎの和の形にしてみます。
そして、指数はそのままで、３を２に変えてみると「第何項」の「数」と一致します。
第１項 １＝３0 → ２0＝１
第２項 ３＝３1 → ２1＝２
第３項 ４＝３0+３1 → ２0+２1＝３
第４項 ９＝３2 → ２2＝４
第５項 １０＝３0+３2 → ２0+２2＝５
第６項 １２＝３1+３2 → ２1+２2＝６
第７項 １３＝３0+３1+３2 → ２0+２1+２2＝７
この手順を逆に進めて、第１００項を求めます。
100＝4+32+64＝２2+２5+２6 → ３2+３5+３6＝９+２４３+７２９＝９８１
答えは、９８１ です。
解答・その6
（ペンネ−ム：バルタン星人）
答え：９８１
解法
３の（ｎ−１）乗以下までの和は３のｎ乗を超えることはないので
異なる数の和が同じになることはない。
３の（ｎ−１）乗までの和の個数は、各１，３，９・・・３n-1について使う
、使わないの２通りなので２のｎ乗。
但し、全て使わない場合はないので、２n−１
２6＝６４、２7＝１２８なので、
１００番目の和の中の最大数は３6
１００は２進法で１１００１００で表せるが
ｎ桁目が１のものに３n-1が当てはまるので、
１００番目は、
３6＋３5＋３2
＝７２９＋２４３＋９＝９８１
解答・その7
（ペンネ−ム：オヤジ）
ｎ番目の数を求めるのに、ｎを２進法で表現する
ｎ＝ａｂｃｄｅ（２） 但し｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ｝＝｛０，１｝とすると。
ｎ番目の数＝ａ×３４＋ｂ×３３＋ｃ×３２＋ｄ×３１
＋ｅ×３０となる
従って
１００＝１１００１００（２）
求める１００番目の数は、
１×３６＋１×３５＋０×３４＋０×３３
＋１×３２＋０×３１＋０×３０
＝７２９＋２４３＋０＋０＋９＋０＋０
＝９８１
∴ ９８１
解答・その8
（ペンネ−ム：杖のおじさん）
答 １００項は９８１です。
３のN乗の整数の和の条件から３進法で数列を表現しますと
数列→１，３，４，９，１０，１２，１３・ ・ ・ は
１，１０，１１，１００，１０１，１１０，１１１・ ・ ・ となります。
１と０の数列だと判明い致しました。この数列はの１００項は２進法の数列と同じです。
２進方の１００項は１１００１００です。
３進法の１００項は
１１００１００＝３６＋３５＋３２＝７２９＋２４３＋９＝９８１
です。
解答・その9
（ペンネ−ム：T_Tatekawa）
第1項：1 = 1 x 30
第2項：3 = 1 x 31 + 0 x 30
第3項：4 = 1 x 31 + 1 x 30
のように書いてみると，数列の番号を 2 進数表示して，
k 桁目の数字が 3k-1 の係数になっている事に気づくと
すぐできます．
100 = 64 + 32 + 4 = 26 + 25 + 22
ですので，第100項目は
36 + 35 + 2
= 729 + 243 + 9
= 981
です．
解答・その10
（ペンネ−ム：のっこん）
この問題は
「1g, 3g, 9g, 27g,・・の重りが１個ずつある。
これらの重りで作ることのできる重さを小さい順に並べた時、
100番目は何g か」と同じことである
作ることのできる重さは、３進法で０と１とを使った数
1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, ・・
になるが、
これは２進法における自然数の表わし方と同じ
１００を２進法で表わすと 1100100
これを３進法に読みかえて
729+243+9=981
解答・その11
（ペンネ−ム：nao）
問題になっている数列は、
１＝３0、
３＝３1、
４＝３0＋３0、
９＝３2、
１０＝３0＋３2、
１２＝３1＋３2、
１３＝３0＋３1＋３2・・・
となっています。
すぐ気がつくことですが、３の階乗があるかないかであらわすと、最初の１は３の０
乗があるので１、つぎの３は３の０乗がなくて３の１乗があるので１０、そのつぎの
４は３の０上と３の１乗があるので１１・・・というように二進法で表せます。
１００番目の数は、二進法であらわすと１１００１００です。問題の数は、
３6＋３5＋３2＝９８１
になります。
解答・その12
（ペンネ−ム：kohji）
以下 [P]m は Pをm進数で記したもの、すなわち
mは2以上の整数 かつ
P=mk-1*pk-1+mk-2*pk-1+…+m*p1+p0 (0≦pj＜m pjは整数) のとき
[P]m=10k-1*pk-1+10k-2*pk-2+…+10*p1+p0
と定義する。
題意の数列をAnとする。
3k-1≦An＜3k(kは自然数) のとき
An=a0+3*a1+…+3k-1*ak-1(aj=0 or 1)
と示せる。
またAnについて、n=1,2,3,…として上記の {ak-1,ak-2,…,a1,a0} を順に書くと
{1},{1,0},{1,1},{1,0,0},… となる。
すなわち
n=a0+2*a1+…+2k-1*ak-1
となる。
以上より
[An]3=[n]2
したがって、
[100]2=[26+25+22]2
=[36+35+32]3=[981]3
=[A100]3
⇔A100=981
解答・その13
（ペンネ−ム：teki）
答え ９８１
＜解法＞
１００番目の数は、２進法で１００を表した時の３進法への変換で出てきます。
（この辺の説明はきっとどなたかがやってくれると思いますので、サボっちゃいます(^^;;）
２進法で１００は、
１００（１０進）＝２６＋２５＋２２＝１１００１００（２進）
ですので、これを３進数として１０進法に変換すると、
３６＋３５＋３２＝７２９＋２４３＋９＝９８１
となります。１０５番目ならちょうど１０００できりがいいのですが・・・・。
解答・その14
（ペンネ−ム：三角定規）
整数 N の２進法表記 bnbn-1…b1で bk ＝１ のときに 3k を加えていくことで，
題意を満たす数列が得られる。
整数 １００ の２進法表記は １１００１００ だから，求める数列の第１００項は，
３6＋３5＋３2＝７２９＋４２３＋９＝９８１ …［答］
解答・その15
（ペンネ−ム：Toru）
問題の数列
1,3,4,9,10,12,13---
を３進法であらわすと
1,10,11,100,101,110,111,---
この第１００項はこれを２進法と考えれば
100=26+25+22より 110010
３進法の110010は１０進法では
36+35+32=981
ということで 答は９８１
解答・その16
（ペンネ−ム：ヒャクレン・ラランジャ）
答 ９８１
考え方
１００を２進法であらわすと、１１００１００になります。
３進法の１１００１００は、１０進法に直すと、
３６(７２９)＋３５(２４３)＋３２(９)＝９８１となります。
解答・その17
（ペンネ−ム：スモークマン）
1,10,11,・・・3進法
これの100番目ということは、2進法で100を表す、
100=64+32+4=26+25+22=1100100
を3進法に戻せば、
36+35+32=729+243+9=981
解答・その18
（ペンネ−ム：Ｎと〜）
この数列に現れる数を三進法で表すと、各桁は１か０。１以上で考える
という条件を忘れずに考えると……。
１００を二進法で表すと（100=64+32+4なので）1100100。
これをそのまま三進法に読み直すと、36+35+32=729+243+9=981。
解答・その19
（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）
この問題は二進法と三進法を組合わせて考えると解けます。
３ｎの形をした整数の和を考えることは、数を三進法で考えるということです。
相異なる整数ということは、三進法で数を表したとき、どの位にも数字の「２」が現れないということです。
つまり、数字の「０」と「１」だけを用いて三進法で数を考えるということです。
解答は、百を二進法で表して、それを三進法の数と考えて値を調べればよいわけです。
まず、百は二進法で「１１００１００」となります。
次に、「１１００１００」という数を三進法の数と考えると
３6＋３5＋３2＝９８１
正解者
| のっこん | nao | 夜ふかしのつらいおじさん |
| T_Tatekawa | Toru | オヤジ |
| teki | スモークマン | ヒャクレン・ラランジャ |
| 転位反応 | 杖のおじさん | バルタン星人 |
| テレスとアリス | 巷の夢 | 三角定規 |
| こまったコ | kohji | Ｎと〜 |
| まーや |
まとめ
この数列を構成する数は、
a0・１＋a1・３＋a2・３2＋a3・３3＋・・・
（ただし、ai=0,1）
と表すことができますので、多くの方の解答にあるように、
２進法と３進法を組み合わせて考えることができます。
つまり、１００を２進法表記し、それによってaiが決まり、
そのaiを上記の式に当てはめれば、求める数になるわけですね。
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