１２７．カレンダーの問題
下は2007年７月のカレンダーです。タカシ君はこの７月には毎週１回ずつ合計５回の
サッカーの試合をします。試合の曜日は月曜日が１回、水曜日が２回、土曜日が１回、
日曜日が１回です。タカシ君がサッカーをする日付の数の和はいくつですか。
問題の出典
広中杯ハイレベル中学数学に挑戦
算数オリンピック委員会監修
講談社ブルーバックス
2002年トライヤル問題改題
答えと解説
解答・その1
（ペンネ−ム：浦島五郎）
解答・その2
（ペンネ−ム：のっこん）
(1)29日（日）に試合がある
月・・・2 9 16 23
水・・・4 11 18 25
土・・・7 14 21 28
水の試合を4 11とすると
16 28に試合をするか、21 23に試合をするかになるが
いずれにしても、
月＋土＝44
月＋水＋水＋土＝59
日＋月＋水＋水＋土＝88 となる
水の選び方は4C2＝6通りあるが、いずれも総和は88である
(2)30日（月）に試合がある
日・・・1 8 15 22
水・・・4 11 18 25
土・・・7 14 21 28
水の試合を4 11とすると
15 28に試合をするか、21 22に試合をするかになるが
いずれにしても、
日＋土＝43
日＋水＋水＋土＝58
日＋月＋水＋水＋土＝88 となる
水の選び方は4C2＝6通りあるが、いずれも総和は88である
（答）88
解答・その3
（ペンネ−ム：スモークマン）
第五週は日曜か月曜しかできない。
29（日）とするとき、
月の候補は、29-a*7+1・・・a=1〜4
水の候補は、29-b*7+3・・・b=aと異なる1〜4のうちの2個
土の候補は、29-c*7+6・・・c=a,b と異なる1〜4
つまり、すべて足すと、29*5-7*Σ(1〜4)+13=29*5-70+13=88
30（月）のとき、
日の候補は、30-a*7-1
水の候補は、30-b*7+2
土の候補は、30-c*7+5
すべて足すと、30*5-7*Σ(1〜4)+8=150-70+8=88
何れにせよ同じく88
解答・その4
（ペンネ−ム：転位反応）
先ず、毎週、試合が開催されることから、第５週については２９日の日曜日、または
３０日の月曜日の開催が必要となる。
また、第１週から第４週の各曜日の日付は、以下のように表現できる。
日曜日の日付＝１＋７(ｎ−１）
月曜日の日付＝２＋７(ｎ−１）
水曜日の日付＝４＋７(ｎ−１）
土曜日の日付＝７＋７(ｎ−１） 、但し、 ｎ＝１，２，３，４
さて、ケースごとに日付の合計を求める。
ケースT：日曜日開催が２９日の場合
毎週開催として一般性を失わないように、ｎ＝p，q，r，sと置く。 ｐ≠ｑ≠ｒ≠ｓ
| 日付の合計 | |
| ＝ | ２９+〔２＋７(ｐ−１）〕＋〔４＋７(ｑ−１）〕＋〔４＋７(r−１）〕＋〔７＋７(s−１）〕 |
| ＝ | (ｐ＋ｑ＋ｒ＋ｓ）＋１８ |
| ＝ | ８８ |
同様にして、
ケースU：月曜日開催が３０日の場合
| 日付の合計 | |
| ＝ | ３０+〔１＋７(ｐ−１）〕＋〔４＋７(ｑ−１）〕＋〔４＋７(r−１）〕＋〔７＋７(s−１）〕 |
| ＝ | ７(ｐ＋ｑ＋ｒ＋ｓ）＋１８ |
| ＝ | ８８ |
解答・その5
（ペンネ−ム：ＦａｕｓＴ）
え〜と、なになに？
何日かはわからないけど、月１、水２、土１、日１の５つの日付の合計はいくつになるか？って問題だよね？
どの週にどの曜日になるかによって合計数が違ってくる・・・ような気がするなぁ。
ということで、実際にいくつかやってみれば、その法則性でも見つけられるかな？早速やってみよう。
まずは、第一週目〜第五週目に上記の順に充てていこう。
すると・・・２日、１１日、１８日、２８日、２９日。これらを合計すると・・・８８日。
さて、今度は逆に第五週目〜第一週目に順に充てていこうか。
すると・・・３０日、２５日、１８日、１４日、１日。これらの合計は・・・え〜と、
あれっ？８８日！？同じになったけど、これは偶然か必然か？
そうか！
どうやらどの週のどの曜日の組み合わせになっても、合計が８８日になるような気がしてきたぞ。
あとはこのことを示せばいいのかな。
・・・ということで、証明。
選択する５つの日は、第一週目〜第五週目のそれぞれの週のいずれかの日であるので、
週の最初である日曜日の数に月曜なら１、水曜なら３というように該当する曜日に対して数を足せばいいのかな。
２００７年７月の日曜は、１日、８日、１５日、２２日、２９日であり、
このそれぞれに曜日に該当する数＜月曜＝１、水曜＝３（水曜は２週ある）、土曜＝６、日曜＝０＞
を順不同で加えることになるので、求める合計数は、
（１＋８＋１５＋２２＋２９）＋（１＋３＋３＋６＋０）＝ ８８
よって、どの週のどの曜日の組み合わせでも合計数は８８日となる。
・・・こんなんで証明したことになるかな？
ま、とにかく、答えは 【 ８８日 】 で間違いなさそうですね。 （ 以 上 ）
解答・その6
（ペンネ−ム：ますますタコさん）
解答：８８
過程：最初に、最終週は火曜日までしかありませんので、日曜日か月曜日になります。
とりあえず、適当にスケジュールを組んでみましょう。
タカシ君が疲れるといけないので、二日連続にならないようにします。
（とくに深い意味はありません）
一週目 水曜日 ４日
二週目 土曜日 １４日
三週目 水曜日 １８日
四週目 月曜日 ２３日
五週目 日曜日 ２９日
とすると、４＋１４＋１８＋２３＋２９で、８８になります。
他の組み合わせ（日程）はどうなるでしょう。
三週目と四週目の曜日（日にち）を入れ替えてみましょう。
４日、１４日、１６日、２５日、２９日となり、
４＋１４＋１６＋２５＋２９で、８８になります。おや？
どうやら、条件通りに日程を組むと、合計はどれも「８８」になりそうです。
曜日ごと数字をｎを使って表現すると、
月曜日は、（２＋７ｎ）日
水曜日は、（４＋７ｎ）日
土曜日は、（７＋７ｎ）日
日曜日は、（１＋７ｎ）日
水曜日に試合が二回あって、各週一回ですから、試合日の数字の合計は、
（２＋７ｎ）＋（４＋７ｎ）＋（４＋７ｎ）＋（７＋７ｎ）＋（１＋７ｎ）
になります。ここで、ｎには、０〜４が一回ずつ入ります。整理すると、
２＋４＋４＋７＋１＋（７×（０＋１＋２＋３＋４））＝１８＋７０＝８８
となり、何週目の何曜日に試合をしても、条件通りなら、８８になります。
解答・その7
（ペンネ−ム：テレスとアリス）
【解答】
第１週から第５週のそれぞれの最初の日（日曜日）（1、8、15、22、29）をベースとして、
第何週が 月、水、土曜日のどれであっても（第5週は水曜、土曜はありませんが）、
月曜日、水曜日、土曜日はそれぞれ、＋1日、＋3日、＋6日として考えることで求まります。
（1 ＋ 8 ＋ 15 ＋ 22 ＋ 29） ＋ 1 ＋ 3 ＋ 3 ＋ 6 = 88
答えは、 88日です。
解答・その8
（ペンネ−ム：teki）
答え ８８日
各週１回ずつ試合をするのですから、曜日がきまれば順番に関係なく
決まりますね。
例えば、第１週に日曜、第２，３週に水曜、第４週に土曜、第５週に月曜
に試合をしても、第１週に水曜、第２週に土曜、第３週に水曜、第４週に月曜、
第５週に日曜としても、８８日です。
解答・その9
（ペンネ−ム：杖のおじさん）
答え ８８です。
サッカーをする日は毎週１回となっています。従って第５週までの日曜日の
日付の数の合計を計算します。
日曜日 １、８，１５，２２，２９
５×（１＋２９）／２＝７５･ ･ ・ (1)
これに日曜日からの各曜日までの日数を加えます。
月曜日 １×１回＝１
水曜日 ３×２回＝６
土曜日 ６×１回＝６
即ち １＋６＋６＝１３･ ･ ･ (2)
合計は(1)＋(2)＝７５＋１３＝８８となります。
条件に合えばどのような組合せでも合計は８８になります。
解答・その10
（ペンネ−ム：ヒャクレン・ラランジャ）
答：８８
考え方：
すべての週が日曜日から始まっているので、他の曜日を次のように考えます。
月曜日の日付は、日曜日の日付＋１日
水曜日の日付は、日曜日の日付＋３日
土曜日の日付は、日曜日の日付＋６日
日曜日の日付の合計は、１＋８＋１５＋２２＋２９＝７５
タカシ君は、月曜日(＋１日)が１回、水曜日(＋３日)が２回、土曜日(＋６日)が１回、日曜日(＋０日)が１回。
よって、
７５＋１＋３×２＋６＝８８
解答・その11
（ペンネ−ム：オヤジ）
Ａ１，・・・，Ａ５＝｛０，７，１４，２１，２８｝とする。
試合のある各曜日は、それぞれ，下記のように表す事ができる。
ただしＡ１〜Ａ５は全て異なるものとする。
日曜日 ：Ａ１＋１
月曜日 ：Ａ２＋２
水曜日 ：Ａ３＋４，Ａ４＋４ ただしＡ３，Ａ４≠２８
土曜日 ：Ａ５＋７ ただしＡ５≠２８
従って求める数は，
| （Ａ１＋１）＋（Ａ２＋２）＋（Ａ３＋４）＋（Ａ４＋４）＋（Ａ５＋７） | |
| ＝ | （Ａ１＋Ａ２＋Ａ３＋Ａ４＋Ａ５）＋１８ |
| ＝ | ７０＋１８＝８８ |
解答・その12
（ペンネ−ム：こまったコ）
試合をする5日の日付を
日曜日の日付は7a-6、月曜日の日付は7b-5、水曜日の日付は7c-3, 7d-3、土曜日は7e
で表すことにする。
a〜eに入る数字はそれぞれ何週目かを表す。
よって、a〜eには1〜5のいずれかの数字が入る。
ただし、同じ数字が重複して入ることはない。
(1週間1試合なので、数字が重複すると1週間に2試合することになるので矛盾してしまう。)
また水曜日と土曜日は4週目までしかないので a,bのいずれかに必ず5が入ることになる。
この5日の日付の数の和なので
7a-6+7b-5+7c-3+7d-3+7e=7(a+b+c+d+e)-17
a=5の時、b,c,d,eには1から4のいずれかが入ればよい。
b=5の時、b,c,d,eには1から4のいずれかが入ればよい。
ということはいずれの場合でも、a+b+c+d+e=1+2+3+4+5=15になる。
これを上の式に代入すると7x15-17=88
よって試合をする日付の数の和は88。
解答・その13
（ペンネ−ム：レイ）
七月は一日が日曜なので、 各曜日について次のように値を定める
Sun = 1, Mon = 2, Tue = 3, Wed = 4, Thu = 5, Fri = 6, Sat = 7
すると、週ごとの曜日の日付は
7×(N 週目-1) + 上記に定めた曜日の値 で求まる
条件より、5週ある中で各週に 1回試合をするので、求める式は次の様になる
7×(1-1) + 7×(2-1) + 7× (3-1) + 7×(4-1) + 7×(5-1) + Sun + Mon + Wed + Wed + Sat
= 70 + 1 + 2 + 4 + 4 + 7
= 88
従って、サッカーをする日付の数の和は 88 となる
解答・その14
（ペンネ−ム：バルタン星人）
答え：８８日
今回は簡単ですね。日にちが入れ替わっても同じ日数だけ加減されるので適当に
日にちを選んで足したの答えです。
もう少し数学的に書くなら
１＋７Ａ
２＋７Ｂ
４＋７Ｃ
４＋７Ｄ
７＋７Ｅ
全部足すと１８＋７（Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ）
Ａ〜Ｅは各０〜４なのでその和は１０
故に８８
解答・その15
（ペンネ−ム：kohji）
第1週から試合の日を
a,7+b,14+c,21+d,28+e 1≦a,b,c,d≦7 1≦e≦3
として表すとすると、{a,b,c,d,e}={1,2,4,4,7} なので
a+7+b+14+c+21+d+28+e
=70+a+b+c+d+e
=70+1+2+4+4+7
=88
解答・その16
（ペンネ−ム：三角定規）
１，２，３，４，５，６，７ で，日，月，火，水，木，金，土 を， Ｗ1，Ｗ2，Ｗ3，Ｗ4，Ｗ5 で第１〜第５周を表すことにする。 すると，サッカーをする５回の日の合計 Ｓ は
・・・(1)
と表すことができるが，毎週１回ずつ試合することから
・・・(2)
また曜日の回数の条件から
・・・(3)
(1)(2)(3)より Ｓ＝７×１０＋１８＝８８ …［答］
解答・その17
（ペンネ−ム：nao）
やってみればすぐわかるのですが、答は８８です。
どうしてそうなるのか？
日曜の数字は１＋７×ａ、月曜は２＋７×ｂ、水曜は４＋７×ｃ、４＋７×ｄ、土曜
は７＋７×ｅとあらわされ、ａ、ｂは０から４、ｃ、ｄ、ｅは０から３のどれかで重
複はありません。
全部足してまとめると、
１＋２＋４＋４＋７＋７×（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ）＝１８＋７×（０＋１＋２＋３＋４）＝１８＋７×１０＝８８
となります。
ちなみに、何通り考えられるかというと、第５週が日曜の場合１２通り、同じく第５
週が月曜の場合１２通りの計２４通りあると思います。
大変難しい問題でした。
解答・その18
（ペンネ−ム：T_Tatekawa）
第5週は日曜日か月曜日しかありませんが、この計算では
どの週が何曜日かを考える必要はありません。
日曜日を基準に考えます。
月曜日は +1，水曜日は +3，土曜日は +6。
日曜日の日の合計は
1+8+15+22+29=75
ここに日曜日から平日，土曜日にずれた分の日数を足します。
75 + 1 + 3 + 3 + 6 = 88
答えは 88 です。
解答・その19
（ペンネ−ム：toshi）
第ａ週の日曜日の日付を式で表すと、
日 ：７ａ−６
同様に、月、水１、水２、土を表すと、
月 ：７ｂ−５
水１：７ｃ−３
水２：７ｄ−３
土 ：７ｅ
合計は、７（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ）−１７
ここで、毎週１回ずつ試合があるので、ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅには
１，２，３，４，５が各１回ずつ入ります。
つまり、各何週目かは決定しませんが、（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ）は
必ず（１＋２＋３＋４＋５）＝１５
となります。
よって、７×１５−１７＝８８
解答・その20
（ペンネ−ム：than）
解答：
第一週以前には０日の日数が経っていて、同様に第二週以前には７日、
第三週以前には１４日、第四週以前には２１日、第五週以前には２８の日数が経っている。
そしてこの月は日曜日から始まっているので、日・月・火・・・の順に１〜７まで番号を振る。
これは第何週目かのＸ日目、という意味合いである。
ここで、たとえば第一週の火曜なら、
『０(第一週以前の日にち)＋３(火曜)＝３日』
第三週の木曜なら、
『１４(第三週以前の日にち)＋５(木曜日)＝１９日』
という風に日付が計算できることがわかる。
タカシ君がサッカーをするのは月曜日１、水曜日２、土曜日１、日曜日１、
つまり第何週かとは関係なしに、ある週の２日目に１回、ある週の４日目に２回、
といった具合に考えることが出来る。
そして、それが週に一回なのだから、(第一週)・(第二週)・・・(第五週)と、
(月曜)・(水曜２回)・(土曜)・(日曜)を適当に組み合わせればよく、
日付の数の和は、その組み合わせには依らない。
よって、
(０＋７＋１４＋２１＋２８)＋(２＋４＊２＋７＋１)＝８８
よって、タカシ君がこの月にサッカーをする日付の数の和は８８である。
解答・その21
（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）
月曜日は2＋7×整数、水曜日は4＋7×整数、土曜日は7＋7×整数、日曜日は1＋7×整数と表せます。
a,b,c,d,eを整数として
a,b,c,d,eの個々の値は分かりませんが、0,1,2,3,4のどれかなので
a+b+c+d+e=10 ・・・（２）
よって、（１）、（２）より日付の数の和の合計は、８８日です。
解答・その22
（ペンネ−ム：TORA）
答え、８８日
【過程(説明)】
仮に題一週に全ての練習を行うとして日数の合計を算出。
１＋２＋４＋４＋７＝１８
どの曜日が第二週〜第五週にきても以下の法則は変わらない
第二週なら…＋７
第三週なら…＋１４
第四週なら…＋２１
第五週なら…＋２８
従ってこれらを全ての和を求めると
１８＋７＋１４＋２１＋２８＝８８
になる。
解答・その23
（ペンネ−ム：巷の夢）
通常の暦を以下の様に7進法であらわすと、
| 日 | 月 | 火 | 水 | 木 | 金 | 土 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 10 |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 20 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 30 |
| 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 40 |
| 41 | 42 | 43 |
この暦から日、月、土を各々1回、そして水を2回選ぶのだが、日及び月以外は4週の中から選ばねばならない。
そこで土曜日を数字10とすると、他は10、20、30及び40台の数字から選ぶしかなく、これら5数の和は7進法で140となる。 一桁目の数は4が2個、1と2が各々1個であるから、7進法で加え、14となる。 即ち5数の総和は154である。これは10進法に直すと
1×72 + 5×7 + 4 ＝88
である。 土曜日に20、30及び40を選択しても上記と全く同様な事が成り立つので、求める値は88である。
解答・その24
（ペンネ−ム：Toru）
解答１
とりあえず、全部、第１週目にして計算すると
1+2+4+4+7=18
２週から５週目の時は7,7x2,7x3,7x4 をたすので
これをたして、
18+(7+7x2+7x3+7x4)=18+70=88
解答２
カレンダーの日付けから１を引いたものを７進法であらわすと
第１週は0,1,2,--,6 第２週は10,11,12,---,16 第３週は20,21,---,26
第４週は30,31,---,36 第５週は40,41,42 と１の位の数が曜日を７の位の数が
第(n-1)週目をあらわす
月１回、水２回、土１回、日１回より
１の位の和は1+3+3+6+0=16(7進法)
各週１回ずつだから
位の和は0+10+20+30+40=130(7進法)
よってこの和は146（7進法） １０進法になおして、
1x72+4x7+6=83
最初に引いた１をもどして５日分で83+5=88 答え
正解者
| オヤジ | teki | ヒャクレン・ラランジャ |
| のっこん | nao | バルタン星人 |
| こまったコ | スモークマン | Toru |
| 杖のおじさん | 転位反応 | テレスとアリス |
| 巷の夢 | TORA | than |
| toshi | ますますタコさん | 夜ふかしのつらいおじさん |
| T_Tatekawa | レイ | 三角定規 |
| kohji | 浦島五郎 | ＦａｕｓＴ |
まとめ
何人かの方がしているように、条件に合うような日を選んで計算をしてみると、
どんな場合も必ず８８になることがわかります。
日曜日を基準にしている方が多かったようですが、
縦に基準を設定し、さらに横にスライドすると考えればいいわけですね。
因みに私自身は真ん中であり、かつ２日重なる水曜日を基準にして、
４＋１１＋１８＋２５＋３２＝９０
どこかで月曜日（−２）、どこかで日曜日（−３）、どこかで土曜日（＋３）
よって、９０−２−３＋３＝８８
と考えました。
この考え方を、巷の夢さん、Toruさんが、
７進法で整理してくださいました。７の位が週（カレンダーの縦）を表し、１の位が曜日（カレンダーの横）
を表しているわけです。
また、TORAさんの解答のユニークなところは、
第１週に曜日を配置し、それから週を割り振るということで、
先に横の配置を決めてから縦に割り振るというものです。
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