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問題126 4色カードの問題
Weekend Mathematics問題/問題126

126.4色カードの問題

白、赤、黄、青それぞれ2枚ずつ合計8枚のカードがあります。同じ色には同じ整数が、 違う色には異なる整数が書いてあります。カードに書いてある整数について、次のようなことが わかっています。
 ・白2枚と赤1枚に書いてある整数の和は15です。
 ・8枚全部のカードに書いてある整数の和は80です。
 ・赤1枚に書いてある整数の3倍が黄1枚に書いてある整数と等しくなります。
 ・白と青のカードのどちらかに整数の1が書いてあります。

(1) 整数の1が書いてあるカードは白、青のどちらですか。

(2) 青1枚、赤2枚、黄1枚のカードに書いてある整数の和を求めなさい。

(3) 何枚かのカードに書いてある整数の和が35になりました。白、赤、黄、青それぞれの色の枚数を書きなさい。 ただし、使わない色は0枚と書きなさい。

(4) 8枚のうち3枚のカードを取り出すとき、書いてある整数の和は全部でいくつありますか。


問題の出典

センスのよい脳をつくる 大人の算数パズル
河瀬 厚 著
自由国民社
海城中学校 2006年

答えと解説

解答・その1

(ペンネ−ム:やなせ)

ヒント1から赤は奇数でしかも13以下であることが解る。
 白が1の場合   15−2=13
 白が2の場合   15−4=11
    ・
    ・
    ・
 白が6の場合   15−12=3
 白が7の場合   15−14=1
ヒント2から 白+赤+黄+青=40
いずれか3種類のカードの合計は最低でも6ですので どの色は別にしても最大数字は 40−6=34以下
ヒント1と2と3から 黄は3.9.15.21.27.33のいずれか
さらに2と3から 白+赤+黄+青=黄+4赤+青=40
4赤は40−3=37以下になるから 37÷4=9.25・・整数だから赤は9以下
これをヒント1に戻すと 白の最小は(15−9)÷2=3、 最大は(15−1)÷2=7になる
さらにヒント4で白か青、いずれかが1なので 青が1に決定、白は3〜6、赤は3〜9
赤の3倍が黄なので黄は以下のいずれか 9.15.21.27.
これをヒント2に戻し 1(青)+6(白最大)+9(赤最大)+?(黄)=40になるから 黄は24以上
黄の候補から24以上は27しか無いので黄は27に決定
さらに黄の1/3が赤なので赤は9に決定
2白+9(赤)=15  から 白は(15−9)÷2=3に決定
青=1  白=3  赤=9   黄=27

問い1の答え    青

問い2の答え    -PASS-

問い3の考え方
青、白、赤をそれぞれ2枚使っても合計は26   これから黄は1枚使用が決定(2枚使うとドボンになる) 35ー27=8 なので赤(9)は使わない これから残りは青と白を2枚づつ使用

問い3の答え    青2枚、白2枚、赤0枚、黄1枚

問い4の答え(ぶっちゃけ虱潰し)
  5・7・11・13・15・19・21・29・31・33・37・39・45・55・57・63の16種類


解答・その2

(ペンネ−ム:FausT)

まず、白(w)赤(r)黄(y)青(b)とし、与えられた条件をこれらの文字に置き換えて整理してみよう。

   (1)2w+r=15
   (2)w+r+y+b=40
   (3)3r=y
   (4)wかbのどちらか一方が1

【 解 答 】

1.w=1と仮定すると、(1)よりr=13、(3)よりy=39となるが、これは(2)に矛盾している。 よって、b=1

2.b=1と(1)〜(3)から、w=3、r=9、y=27が求まる。
よって、青(b)1枚、赤(r)2枚、黄(y)1枚の合計は 46

3.合計が35になる組み合わせは、27+3+3+1+1のみ。
よって、使用するカードの枚数は、白2枚、赤0枚、黄1枚、青2枚


解答・その3

(ペンネ−ム:真夏のサンタ)

答えだけですみません。
(1) 青
(2)46
(3)青2 白2 赤0 黄1
(4)16通り


解答・その4

(ペンネ−ム:スモークマン)

(1) 15 =赤+2*白
   =1+2*7・・・黄=3・・・青=29
   =3+2*6・・・・9・・・・19
   =5+2*5・・同じ5になるのでダメ
   =7+2*4・・・・21・・・7・・・同じ7になるのでダメ
   =9+2*3・・・・27・・・1
   =11+2*2・・・33・・・40を超えるのでダメ
   =13+2*1・・・39・・・40を超えるのでダメ
上の中で、白か青が1になるのは、5番目のときで、青が1のとき。

(2)上から、(赤、白、黄、青)=(9,3,27,1)なので、

   1*1+9*2+27*1=46

(3)35=1022 (3進法)から、
白2枚、赤2枚、黄1枚、青0枚

(4)2222 から、3枚取りだすのだから、 3=2+1+0=1+1+1 なので、

   4*3+4C3=12+4=16 種類。


解答・その5

(ペンネ−ム:浦島五郎)

白のカード:W、赤いカード:R、黄色カード:Y、青いカード:B  とする
条件:4種類の色のカードが2枚づつある 同じ色のカードには同じ整数が、 違う色には異なる整数が書かれている

   2*W+R=15, 2(W+R+Y+B)=80, 3*R=Y, 1=either(W, B)

(1)W=1のとき 条件式の1番目は、2*1+R=15→R=13 これを条件式の3番目に当てはめると、 3*13=Y→Y=39となって、条件を満たせない 消去法によりB=1とみなす

未知数が3つとなり、式も3式あるので解が得られる

   2*W+R=15---(1)
   2(W+R+Y+B)=80---(2)
   3*R=Y---(3)
   B=1---(4)

(3)よりR=1/3*Y

   2*W+1/3*Y =15---(1)
   W+1/3*Y +Y=39---(2)

   2*W+1/3*Y =15---(1)
   W+R+4/3*Y=39---(2)

(2)*2-(1)
   7/3* Y=63
Y=27 ∴W=3
(3)---3*R=27
R=9
W=3 、R=9、Y=27、B=1

(2) B+2*R+Y=1+2*9+27=46

(3) 35=27+6+2=Y+2*+W+2*B
白いカードが2枚、黄色カードが1枚、青いカードが2枚

(4)8枚4種のカードの中から、3枚を選ぶ それは、1種2枚とほかの種類の1枚
 2*W&R=6+9=15
 2*W&Y=6+27=33
 2*W&B=6+1=7
 2*R&W=18+3=21
 2*R&Y=18+27=45
 2*R&B=18+1=19
 2*Y&W=54+3=57
 2*Y&R=54+9=63
 2*Y&B=54+1=55
 2*B&W=2+3=5
 2*B&R=2+9=11
 2*B&Y=2+27=29
それは、3枚とも別々の種類
 W&R&Y=3+9+27=39
 W&R&B=3+9+1=13
 W&Y&B=3+27+1=31
 R&Y&B=9+27+1=37
したがって、16種類


解答・その6

(ペンネ−ム:のっこん)

白の数字をa, 赤の数字をb, 黄の数字をc, 青の数字をd とする

   2a+b=15 ・・・(1)
   a+b+c+d=40 ・・・(2)
   3b=c ・・・(3)

(1)a=1 とすると(1)よりb=13, よって(3)よりc=39 これは(2)に反する
  従ってd=1  つまり1は青
(2)2a+b=15, a+b+c=39, 3b=c よりa=3, b=9, c=27
  従ってd+2b+c=1+18+27=46
(3)黄を使わないと6枚あわせても26
  よって黄を1枚使う
  35-27=8=3*2+1*2 より白2、赤0、黄1、青2
(4)3進法で考える。1、10,100,1000が各2枚あると考えてよい。
  (1)色がバラバラの時
   和は0111,1011,1101,1110の4個
  (2)同じ色がある時
   和は2100,2010,2001,1200,0210,0201
     1020,0120,0021,1002,0102,0012の12個
   合わせて16個


解答・その7

(ペンネ−ム:まーや)

与えられた条件を式にする。

   (ア)2白+赤=15
   (イ)2白+2赤+2黄+2青=80
   (ウ)3赤=黄
   (エ)白=1 または 青=1

(1)白=1だと仮定する。
(ア)2白+赤=15より、2×1+赤=15、∴赤=13
(ウ)3赤=黄より、黄=3×13=39
(イ)に代入
2白+2赤+2黄+2青=2×1+2×13+2×39+2青=106+2青>80
となり条件に矛盾する。
よって、白=1だという仮定は誤り。
1が書いてあるカードは青である。・・・(答え)

(2)青=1を(イ)に代入。
2白+2赤+2黄+2×1=80
∴2白+2赤+2黄=78・・・(オ)
(ウ)3赤=黄を(オ)に代入。
2白+2赤+2×3赤=78
∴2白+8赤=78・・・(カ)
(カ)2白+8赤=78
(ア)2白+赤=15
(カ)−(ア)より、7赤=63、∴赤=9
(ウ)3赤=黄に代入。∴黄=3×9=27
(ア)2白+赤=15より、2白+9=15、∴白=3
青1枚、赤2枚、黄1枚のカードに書いてある整数の和は、
1+2×9+27=46・・・(答え)

(3)黄(27)以外の6枚(白2枚、赤2枚、青2枚)のカードをすべて足しても、
2×3+2×9+2×1=26 にしかならないので、和が35になるには、黄(27)を必ず1枚使う。
黄(27)+赤(9)=36>35となるので、赤は使えない。
35−黄(27)=8なので、残りのカード(白2枚、青2枚)で8をつくればよい。
白2枚、青2枚使えば8になる。よって、和が35になるには
白2枚、赤0枚、黄1枚、青2枚使う。・・・(答え)

(4)白(3,3)、赤(9,9)、黄(27,27)、青(1,1)

(i)すべて異なる色で3枚取り出すとき
 3+9+27=39
 3+9+1=13
 3+27+1=31
 9+27+1=37 の4個。

(ii)2枚同じ色、1枚異なる色で計3枚取り出すとき
 3+3+9=15   27+27+3=57
 3+3+27=33   27+27+9=63
 3+3+1=7   27+27+1=55
 9+9+3=21   1+1+3=5
 9+9+27=45   1+1+9=11
 9+9+1=19   1+1+27=29 の12個。

(i)、(ii)より
4+12=16(個)・・・(答え)


解答・その8

(ペンネ−ム:テレスとアリス)

【解答】
白、赤、黄、青のカードに書かれている整数を それぞれ、W、R、Y、Bとします。 与えられた条件により以下の式が成り立ちます。

   2W + R = 15 ・・・ (あ)
   2(W + R + Y + B) = 80 ・・・ (い)
   3R = Y ・・・ (う)
   W = 1 または B = 1

(い)と(う)から

   2W + 8R + 2B = 80

なので、

   1 < R < 10

となります。 (あ)より、Rは奇数となります。 また Rが5であれば、Wも5となって条件に合いません。 このことより、 Rは 3、7、9 のいずれかです。 Rが3とすれば、(あ)より、Wは6となり、Bが1となりますが、 (い)に代入すると、

   2(6 + 3 + 9 + 1) = 80

となって等式は成り立ちません。 Rが7とすれば、(あ)より、Wは4となり、Bが1となりますが、 (い)に代入すると、

   2(4 + 7 + 21 + 1) = 80

となってやはり等式は成り立ちません。 Rが9の場合、(あ)より、Wは3となり、Bが1となります。 これを(い)に代入すると、

   2(3 + 9 + 27 + 1) = 80

となって、等式が成り立ちます。
以上より、各色のカードの整数は、 白=3、赤=9、黄=27、青=1 になります。

(1)整数の1が書いてあるカードは、青のカードです。

(2)青1枚、赤2枚、黄1枚のカードに書いてある整数の和は、 1 + (9 × 2) + 27 で、46 です。

(3)整数の和が35の時。
白、赤、青すべて6枚の合計は、

   2(3 + 9 + 1) = 26 

で35以下なので、黄のカード(27)が必ず一枚含まれます。 残りの数は8なので、赤のカード(9)は含まれません。 白のカード(3)二枚と青のカード(1)二枚で合計8です。 よって使用するカードは、 白二枚、赤0枚、黄一枚、青二枚 です。

(4)8枚のうち3枚のカードを取り出すときの組み合わせと、 書いてある整数の和は以下の通りです。
   (白、白、赤) = 3 + 3 + 9 = 15
   (白、白、黄) = 3 + 3 + 27 = 33
   (白、白、青) = 3 + 3 + 1 = 7
   (赤、赤、白) = 9 + 9 + 3 = 21
   (赤、赤、黄) = 9 + 9 + 27 = 45
   (赤、赤、青) = 9 + 9 + 1 = 19
   (黄、黄、白) = 27 + 27 + 3 = 57
   (黄、黄、赤) = 27 + 27 + 9 = 63
   (黄、黄、青) = 27 + 27 + 1 = 55
   (青、青、白) = 1 + 1 + 3 = 5
   (青、青、赤) = 1 + 1 + 9 = 11
   (青、青、黄) = 1 + 1 + 27 = 29
   (白、赤、黄) = 3 + 9 + 27 = 39
   (白、赤、青) = 3 + 9 + 1 = 13
   (白、黄、青) = 3 + 27 + 1 = 31
   (赤、黄、青) = 9 + 27 + 1 = 37
以上の16通りです。


解答・その9

(ペンネ−ム:巷の夢)

 白、赤、青及び黄に書かれている数を各々、W,R,B及びYとし、題意に沿って立式すると、

   2W+R =15 ・・・・・(1)
   W+R+B+Y =40 ・・・・(2)
   3R =Y ・・・・(3)

WないしBには1という数字が含まれる ・・・・(4)
(1)〜(3)式の関係から問題の条件を加味すると以下の表が出来る。

WRBY
39127

(1) 青である
(2) B+2R+Y =46
(3) 以下の一通り

W(3)R(9)B(1)Y(27)
2021

(4)16である

W(3)R(9)B(1)Y(27)合計
21  15
2 1 7
2  133
12  21
 21 19
 2 145
1 2 5
 12 11
  2129
1  257
 1 263
  1255
111 12
1 1131
 11137
11 139


解答・その10

(ペンネ−ム:転位反応)

(1) 整数の1が書いてあるカードを白と仮定すると、 与件から、赤のカードは13、黄のカードは39。 しかし、与件から導かれる異なる4枚のカードの整数の和は40であることと、明らかに矛盾。 よって、整数の1が書いてあるカードは青である。
(2)4色カードの整数を求める。(中学入試問題なので負の整数は考えなくて良い)
白2枚と赤1枚の整数の和が15であることから、赤は奇数。 明らかに与件に反する整数1の場合を除いて検証を行うと、 赤は9と確定できる。

639119
5515126
4721133
3927140
21133147

従って、青1枚、赤2枚、黄1枚のカードに書いてある整数の和は、46

(3)題意を満たすためには、黄1枚を含むことが必須。
35=27+8
  =27+1+1+3+3と分解できるので
白2枚、赤0枚、黄1枚、青2枚

(4)8枚のカードから3枚を取り出すとき、カードの色が 全て異なる場合、同じ色のカードを一組含む場合に 分けて考えれば、重複して数えることは無い。
(1)全て異なる場合:=4通り
(2)同じ色のカードを一組含む場合:4×3=12通り
よって、整数の和は全部で16


解答・その11

(ペンネ−ム:杖のおじさん)

答え (1)1は青のカードです。
(2)46です。
(3)白2枚、赤0枚、黄1枚、青2枚
(4)16通りあります。

条件1.  2白+赤=15・ ・ ・ (1)
条件2.  白+赤+青+黄=40・ ・ ・ (2)
条件3.  3赤=黄・ ・ ・ (3)
条件4.  白叉は青が1・ ・ ・ (4)

(1) より白=(15―赤)/2 ・ ・ ・ (5)
(3) と(5)を(2)に代入する
(15―赤)/2+赤+青+3赤=40・ ・ ・ (6)
白か青が1ですが白が1であると(1)式の赤が整数で無くなり成立しません。
従って青=1・ ・ ・(7)
(7)を(6)に代入して赤を求める。
15―赤+2赤+1×2+6赤=80
7赤=63
赤=9・ ・ ・ (8)
(8)を(1)に代入する
2白+9=15
白=6/2=3・ ・ ・ (9)
(7)、(8)、(9)を(2)に代入する
3+9+1+黄=40
黄=27・ ・ ・ (10)

問題1.白か青が1ですが白が1であると(1)式の赤が整数で無くなり成立しません。 従って青です。
問題2.整数の和をXとする
   X=青+2赤+黄・ ・ ・ (11)
青、赤、黄の数字を代入する
   X=1+2×9+27=46
問題3.大きな数字から決定します。
   A+B+C+D=35
A=27×1枚(黄)とすると、残は35−27=8となる。
B=3×2枚(白)=6となる。残は8−6=2となる。
C=1×2枚(青)=2となる。赤は0枚使用です。
問題4.4+4×3=16通りあります。


解答・その12

(ペンネ−ム:ヒャクレン・ラランジャ)

(1) 青
(2) 1×1+9×2+27×1=46
(3) 白2枚、赤0枚、黄1枚、青2枚
(4) 16個

考え方:
・白2枚と赤1枚に書いてある整数の和は15です。
 →白2枚は偶数であるので、赤は奇数であることがわかります。
・8枚全部のカードに書いてある整数の和は80です。
 →各色1枚ずつ、合計4枚のカードに書いてある整数の和は40になります。
・赤1枚に書いてある整数の3倍が黄1枚に書いてある整数と等しくなります。
 →赤が10以上になるときは、黄が30以上となり、4枚の合計が40をこえてしまうので、 赤は最大9になります。
・白と青のカードのどちらかに整数の1が書いてあります。
 →もし、白が1だとすると、赤は13になり、条件に合わないので、青のカードが1になります。

以上の条件より、赤は、3,5,7,9のいずれかになります。
赤が3の場合、黄は9、白は6となり、4枚合計40になりません。
赤が5の場合、白も5となり、条件に合いません。
赤が7の場合、白が1となり、条件に合いません。
赤が9の場合、黄は27、白は3となり、4枚合計40、条件に合致します。

よって、4色が決定します。
白3、赤9、黄27、青1

また、8枚のうち3枚のカードを取り出すとき、取り出し方は、次の16通りになります。
(1,1,3)(1,1,9)(1,1,27)(1,3,3)
(1,3,9)(1,3,27)(1,9,9)(1,9,27)
(1,27,27)(3,3,9)(3,3,27)(3,9,9)
(3,9,27)(3,27,27)(9,9,27)(9,27,27)
これらすべては、3つの数の和が異なります。


解答・その13

(ペンネ−ム:ますますタコさん)

解答:
(1)青
(2)46
(3)白2枚、赤0枚、黄1枚、青2枚
(4)16通り

過程:

(1)白が1だった場合、問題の条件から、「白2枚+赤=15」というのがあり、これから、赤は13になります。 次に「赤×3=黄」から黄は39になります。 そうすると、「白2枚+赤2枚+黄2枚+青2枚=80」が「1×2+13×2+39×2+・・・」と、 80を超えてしまいます。白が1はありえません。
問題に、白と青のどちらかが1とありますから、「青」が1です。

(2)(1)より、青は1です。「白+赤+黄+青」が40にならないとだめですから、 「白+赤+黄」が39です。「赤×3=黄」なので、「白+赤×4」が39です。 「赤×4」が37以下にならないといけません(1は青で、同じ数字は使わないので)。 赤は、2〜9の8通りです。(白は「39−赤−黄」)
   「赤=2、黄=6、白=31」
   「赤=3、黄=9、白=27」
   「赤=4、黄=12、白=23」
   「赤=5、黄=15、白=19」
   「赤=6、黄=18、白=15」
   「赤=7、黄=21、白=11」
   「赤=8、黄=24、白=7」
   「赤=9、黄=27、白=3」
このなかで、「白2枚+赤=15」を満たすのは、「赤=9、黄=27、白=3」だけです。 よって、「赤=9、黄=27、白=3、青=1」と、カードの色別数字がわかりました。 これより、「青+赤2枚+黄」は46です。

(3)(2)より、これらの数字を2回まで使って和が35になるのは、 「27+2+2+1+1」となります。つまり、「白2枚+赤0枚+黄1枚+青2枚」になります。

(4)4色のカード各2枚、計8枚から、順番に関係なく3枚取り出した時の、 組み合わせは?という問題に置き換えられると思います。
   「白、白、赤」「白、白、黄」「白、白、青」(白2枚の時)
   「白、赤、赤」「赤、赤、黄」「赤、赤、青」(赤2枚の時)
   「白、黄、黄」「赤、黄、黄」「黄、黄、青」(黄2枚の時)
   「白、青、青」「赤、青、青」「黄、青、青」(青2枚の時)
   「白、赤、黄」「白、赤、青」「白、黄、青」「赤、黄、青」(3枚共違う色の時)
以上、16通りです。


解答・その14

(ペンネ−ム:T_Tatekawa)

(1) もし白が 1 だとすると,最初の条件から赤が 13 になります.
3番目の条件から黄が 39.
2番目の条件を満たすには,青が -13 でなければなりません.
『整数』だから OK と言えそうですが,(3) が解無しになります.
そこで青が 1 です.

(2) 青が 1 なので,
   白+赤+黄=39
です.1番目の条件から,
   黄−白=3×赤−白=24
となります.また,3番目の条件から,
   4×赤+白=39
です.両者を組み合わせると,
   7×赤=63 → 赤=9
です.ここから 黄=27,白=3 となります. これらを組み合わせると,
   青+2×赤+黄=46
です.

(3) (2) の結果をよく見ると,カードに書かれた数はそれぞれ
   1, 3, 3×3, 3×3×3
です.組み合わせて作りたい数があるとき,3 で割って商と余りを 求め,出てきた商をまた 3 で割って商と余りを得るという 操作を繰り返していけば求まります.
   35÷3 = 11 あまり 2 → 1 のカードが2枚
   11÷3 = 3 あまり 2 → 3 のカードが2枚
   3÷3 = 1 あまり 0 → 9 のカードが0枚,27のカードが1枚
よって,
   35 = 3×3×3 + 2×3 + 2
です.だから『青2枚,白2枚,赤0枚,黄1枚』です.

(4) 各々のカードは2枚ずつしかないので, 異なるカードの組み合わせで同じ整数の和を作る事は出来ません. 場合分けして考えます.

(a) 同じ色のカードを2枚引く場合.
ある色は2枚引き,別の色のカードは1枚引きます.この場合は

   4 × 3 = 12 通り

(b) 3色のカードを1枚ずつ引く場合.
逆に引かないカードの色を選ぶ事になるので,4通り

以上から

   12 + 4 = 16 通り.

念のため,出来る値を調べてみると,

  (a) 5, 7, 11, 15, 19, 21, 29, 33, 45, 55, 57, 63
  (b) 13, 31, 37, 39

のようです.


解答・その15

(ペンネ−ム:こまったコ)

まず、白のカードをW、赤のカードをR、黄のカードをY、青のカードをBとする。
カードに書いてある整数についてわかっていることをまとめると
  1) 2W+R=15
  2) 2(W+R+Y+B)=80 つまり W+R+Y+B=40
また1)より 15+R+2Y+2B=80 R+2Y+2B=65
  3) 3R=Y
R+2Y+2B=65 に代入すると 7R+2B=65

(1)の問題では白か青に1が書かれているとあるので
青に1が書かれている場合3)より 7R+2x1=65 R=9
これをR+2Y+2B=65に代入すると 9+2Y+2=65 Y=27
R=9, Y=27 は3)の3R=Y も合致する。

白に1が書かれている場合1)より2x1+R=15, R=13
3)に代入すると Y=39 になるが、これでは
2)のW+R+Y+B=40が成り立たない。 1+13+39+B=B+53>40
(ただし負の整数まで考えるのであればB=-13で1)〜3)の式が成立する。)

よって、負の整数を考えないと仮定した場合、青(B) に1が書かれているといえる。
また、(1)の問題に「整数の1が書いてある・・・」とあるので
今回の問題では整数=正の整数を指すと考えられる。

(2)の問題だが、(1)の解答で出したとおり、
B=1より R=9, Y=27 なので B+2R+Y= 1+2x9+27=46
(また W+9+27+1=40 より W=3)
(負の整数もありならば -13+2x13+39=52)

(3)の問題は 白、赤、黄、青の各カードの枚数を a,b,c,dとする。
aW+bR+cY+dB=35 つまり3a+9b+27c+d=35。
a,b,c,dは必ず整数であり、またc=2だと式が成り立たないので
3a+9b+27x2+d=35 = 3a+9b+54+d>35

0≦a≦2、0≦b≦2、0≦c≦1、0≦d≦2の条件付。

まずc=1の場合を考える。
3a+9b+27x1+d=35
3a+9b+d=8 と言うことは a=2, b=0, d=2 が成り立つ。

次にc=0の場合を考える。
3a+9b+d=35
ここでb=2の場合。
3a+9x2+d=35 つまり 3a+d=17
最高でもa=2, d=2 なので 3x2+2=8 にしかならない。
よってc=0の場合は3a+9b+27c+d=35が成り立たない。

つまり、 白2枚、赤0枚、黄1枚、青2枚。

ここでB=-13の場合も考える。
a+13b+39c-13d=35
0≦a≦2、0≦b≦2、0≦c≦2、0≦d≦2の条件で考える。

まず、d=2の時
a+13b+39c-13x2=35 つまり a+13b+39c=61 
c=1だとしても a+13b=22 は上の条件を考えると成り立たないのでこのケースは不成立。
次にd=1の時。
a+13b+39c-13x1=35 つまり a+13b+39c=48
c=1だとしても a+13b=9 は上の条件を考えると成り立たないのでこのケースは不成立。

d=0だと必然的にc=0となるがそうなるとa+13b=35上の条件を考えると成り立たない。
ここでやっとB=-13ではないことが判明。
(4) W=3, R=9, Y=27, B=1 なので取り出すカードの組み合わせを考える。
どれかの色を2枚+他の色1枚の時。

白が2枚+赤1枚 3x2+9=15
白が2枚+黄1枚 3x2+27= 33
白が2枚+青1枚 3x2+1= 7

赤が2枚+白1枚 9x2+3=21
赤が2枚+黄1枚 9x2+27=45
赤が2枚+青1枚 9x2+1=19

黄が2枚+白1枚 27x2+3=57
黄が2枚+赤1枚 27x2+9=63
黄が2枚+青1枚 27x2+1=55

青が2枚+白1枚 1x2+3=5
青が2枚+赤1枚 1x2+9=11
青が2枚+黄1枚 1x2+27=29

3色各1枚ずつの場合

白、赤、黄 3+9+27=39
白、赤、青 3+9+1=13
白、黄、青 3+27+1=31
赤、黄、青 9+27+1=37

5,7,11,13,15,19,21,29,31,33,37,39,46,55,57,63 の16種類。

ということで答えをまとめると。

(1) 青
(2) 46
(3) 白2枚、赤0枚、黄1枚、青2枚
(4) 16通り


解答・その16

(ペンネ−ム:夜ふかしのつらいおじさん)

これは、3進法の問題です。
青の数をb、白の数をw、赤の数をr、黄色の数をyとします。 分かっていることは、
   2w+r=15 ・・・ (あ)
   2(b+w+r+y)=80 つまり b+w+r+y=40 ・・・ (い)
   3r=y ・・・ (う)
   w=1 または b=1 ・・・ (え)

まず、w=1 としてみます。
すると、(あ)の式より r=13
すると、(う)の式より y=39
すると、(い)の式より b=−13
つまり、青:−13、白:1、赤:13、黄:39です。

次に、b=1 としてみます。
これと(う)を(い)に代入すると、
w+4r=39 ・・・ (お)
(あ)と(お)を連立させると、
r=9、y=27、w=3
つまり、青:1、白:3、赤:9、黄:27

(1) この時点では、1が書いてあるカードは、白も青も成立します。

(2) 1が白のときは、青1枚、赤2枚、黄1枚の和は、52
1が青のときは、青1枚、赤2枚、黄1枚の和は、46

(3) 1が白のときは、青2枚、白2枚、赤2枚、黄2枚以内で35は作れません。
ここの時点で、(1)の問は、青が1となります。

1が青のときは、右のように35を3で次々に割り、商と余りを調べます。
10進法で35は、3進法では1022と表されます。
だから、青:2、白:2、赤:0、黄:1枚です。

(4)「8枚のうち3枚のカードを取り出すとき、書いてある整数の和は全部でいくつあるか」 という問を、全部で何種類の和ができるかと解釈します。 取り出し方が違えば和の数も異なります。
初めに各色が3枚ずつあったとして、4個の中から3個をとる重複組合わせの場合の数を調べ、 そこから3枚とも同じ場合の数(4)を引いて求めます。
   43−4
  =63-4
  =20−4
  =16

1+1+3=5 3+3+1=7 9+9+1=19 27+27+1=55 
1+1+9=11 3+3+9=15 9+9+3=21 27+27+3=57 
1+1+27=29 3+3+27=33 9+9+27=45 27+27+9=63 
1+3+9=13
1+3+27=31
1+9+27=37
3+9+27=39



解答・その17

(ペンネ−ム:オヤジ)

4色のカードに書かれている整数をそれぞれ
白:A  赤:B  黄:C  青:D  とする。 条件から
   A+B+C+D=40 ・・(1) 
   2A+B=15 ・・(2) 
   3B=C  ・・(3) 
     A=1 v D=1 ・・(4)
(4)で A=1とするとB=13,C=39となり (1)と矛盾する。
従って  A=3,B=9,C=27,D=1 となる

(1)整数1となるカードは, ∴ 青
(2)青1枚,赤2枚,黄1枚に書いてある整数の和は?
   1×D+2×B+1×C=1+18+27=46
(3)全てのカードを利用すると 1〜80までの自然数をただ一通りに表すことが出来る
35を10進法から3進法に直すと分かりやすい
   35(10)=1022(3)
∴ 白(3)は2枚,赤(9)は0枚,黄(27)は1枚,青(1)は2枚
(4)カ−ド3枚で出来る数は
   1:2色3枚 総数は×= 12通り
   2:3色3枚 総数は= 4 通り  
合わせて 
∴ {5,7,11,13,15,19,21,29,31,33,37, 39,45,55,57,63} の 16通り


解答・その18

(ペンネ−ム:バルタン星人)

(1)各1枚の和は40、白を1とすると赤は13、黄は39、青は−13、 問題文には「正の整数」とは書かれていないが、単に「正」の書き忘れて と考えると、青が1

(2)青が1なら、白+赤+黄(=赤×3)=39
赤=15−白×2だから白+60−白×8=39
白=3、赤=9、黄=27
青+赤×2+黄=46

(3)各色の枚数は3進法における1,2,3,4桁目に相当、1対1対応する。
35は3進法では1022(27+6+2)
黄が1枚、白2枚、青2枚

(4)3進法で各桁の和が3になる数字を考える。()は10進法での表記 12(5)、21(8)、102(11)、111(13)、 120(15)、201(19)、210(21)、 1002(29)、1011(31)、1020(33)、 1101(37)、1110(39)、1200(45)、 2001(55)、2010(57)、2100(63) の16種類

【別解】
3進法での1対1対応より、3枚の組み合わせの和は全て異なる数となる。 故に組み合わせだけ求めればよい。
3色選ぶ方法(1色残す)・・・4種類
2色選ぶ方法(2色の選び方×1色の選び方)4×3=12種類
合計16種類

3枚に限らず、何枚の合計であってもその和は独立(唯一)となることを 3進法でさらりと言いましたが、こんなものでよろしいでしょうか。


解答・その19

(ペンネ−ム:teki)

1 青
(白=1とすると、赤は条件1から13ですが、これだと黄=39となり、 8枚の合計が80を超えてしまいます。
(但し、負の整数を考えると、青=−13で成立してしまいます。この意味では、 問題の条件は不正確ですね。))

2 46
(青=1、白=3、赤=9、黄=27 なので、1+9×2+27=46 でいいのですが、 3進法で1201=46 でもいいですね。)

3 黄1枚、白2枚、青2枚
(これも3進法の問題ですね。35を3進法で表すと1022なので、 黄=1.赤=0、白=2、青=2 です。)

4 (1,1,3)(1,1,9)(1,1,27)(1,3,3)(1,3,9) (1,3,27)(1,9,9)(1,9,27)(1,27,27) (3,3,9)(3,3,27)(3,9,9)(3,9,27)(9,9,27) (9,27,27)(3,27,27)の合計16通り。


解答・その20

(ペンネ−ム:nao)

(1)白が1とすると、赤は15ー1×2=13。また、黄は赤の3倍なので13× 3=39。すると、8枚の合計が80ということと合わなくなる。そこで、1が書い てあるのは青になる。

(2)8枚の合計80から青2枚分を引くと78。これは白2枚、赤2枚、黄2枚の 合計。黄2枚は赤6枚分だから、白2枚と赤8枚が78になる。白2枚と赤1枚は1 5だったので、78ー15=63は赤7枚分になる。赤は63÷7=9。白は(15ー 9)÷2=3。黄は9×3=27とわかる。
青1枚、赤2枚、黄1枚は1+9×2+27=46。

(3)黄1枚を使わないと35にはならない。35ー27=8になるのは青2枚白2 枚のとき。答え:白2赤0黄1青2

(別解)青白赤黄は1、3、9、27と3の累乗になっている。そこで35を3進数 であらわすと1022となる。これより黄1赤0白2青2とわかる。

(4)2枚が同じ色の場合が3×4=12通り。3枚とも違う色の場合は4通り。 答え:16


解答・その21

(ペンネ−ム:Toru)

(1) 白が1とすると、赤13、黄39となって、総和80に適さず。よって青が1
(2) 条件1、2より赤1枚、黄2枚、青2枚で65、(1)より赤1枚、黄2枚で63、条 件3より赤7枚で63より赤は9=32、よって黄は27=33、白は3 。これは3進法です ね。青1枚、赤2枚、黄1枚では1201を10進法になおして、1x33+2x32+1=46
(3) 35は3進法では1022よって青2枚、白2枚、赤0枚、黄1枚
(4) 3進法で
 0012,0021,0102,0111,0120,0201,0210,1002,1011,1020,1101,1110,1200,2001,2010 ,2100
の16通り


解答・その22

(ペンネ−ム:三角定規)

カードに書かれている整数は 「0以上の整数」 とします。

(1) 白,赤,黄,青に書かれている数を W,R,Y,B とすると,題意より

   2W+R=15       …… (1)
   2(W+R+Y+B)=80 …… (2)
   3R=Y           …… (3)
   W=1 or B=1     …… (4)

W=1 のとき(1)(3)より R=13,Y=39
このとき,(2)より B=−13 となり,題意に適さない。

B=1 とすると,(2)より W+R+Y=39 … (5)
(1)(3)(5)を解いて,W=3,R=9,Y=27 … (6) となり,題意に適す。
よって,整数 1 が書いてあるのは 青いカード …[答]

(2) (6)より,B+2R+Y=1+18+27=46 …[答]

(3) 青,白,赤,黄の枚数を b,w,r,y (0≦b,w,r,y≦2)とすると
  b+3w+9r+27y=35 … (7)
  b+3w+9r≦2+6+18=26 だから,(7)より y=0 にはなれず,y=1

このとき,b+3w+9r=8 ∴ r=0,b+3w=8 ∴ b=2,w=2
以上よりカードの枚数は,(青,白,赤,黄)=(2,2,0,1)枚 …[答]

(4) 1=30,3=31,9=32,27=33 および 0≦b,w,r,y≦2 だから, それぞれのカードの枚数が異なるとき,書かれている数の総和は全て異なる。
4色から1枚ずつ3まいのカードを取り出す方法は,4通り。
1色から2枚,もう1色から1枚取り出す方法は,=12通り。
以上より,書いてある整数の和は,全部で 16 …[答]


解答・その23

(ペンネ−ム:kohji)

白、赤、黄、青に書かれている整数をそれぞれw,r,y,bとする。条件より

   2w+r=15 …(i)
   2(w+r+y+b)=80 …(ii)
   y=3r …(iii)
   w=1 or b=1

ここで
   (i)⇔r=15-2w
(i),(iii)より
    y=45-6w
(i),(ii),(iii)より
    2(w+15-2w+45-6w+b)=80 ⇔b=7w-20
次に
(イ)b=1のとき
   w=(1+20)/7=3
   r=15-6=9
   y=27
これらは互いに異なるので条件を満たす。 よって
   (w,r,y,b)=(3,9,27,1)

また(3)の問題文より何枚かのカードの和が35になる。
このときの白、赤、黄、青の枚数をそれぞれa,b,c,dとおくと、
   3a+9b+27c+d=35 ⇔3(a+3b+9c)=35-d
上式で左辺は3の倍数なので、右辺も3の倍数。 また d=0,1,2 より d=2 このとき
   3(a+3b+9c)=33⇔3(b+3c)=11-a
同様に考えて a=2、このとき
   3(b+3c)=11-2⇔3c=3-b
同様に考えて b=0, c=1  よって、 (a,b,c,d)=(2,0,1,2)

(ロ)w=1のとき
   r=15-2=13
   y=45-6=39
   b=7-20=-13
これらは互いに異なるので条件を満たす。よって
   (w,r,y,b)=(1,13,39,-13)
また(3)の問題文より何枚かのカードの和が35になる。 このときの白、赤、黄、青の枚数をそれぞれa,b,c,dとおくと
   a+13b+39c-13d=35⇔13(b+3c-d)=35-a
上式で左辺は13の倍数だが、a=0,1,2 のとき右辺は13の倍数とはならないので不適。

(イ),(ロ)より
   (w,r,y,b)=(3,9,27,1)

(1) 整数の1が書いてあるカードは青
(2) b+2r+y=1+18+27=46
(3) 白、赤、黄、青はそれぞれ2枚,0枚,1枚,2枚
(4) (w,r,y,b)=(313,2,33,30) なので 求める和は 3p+3q+3rと示せる。
p,q,r は0以上3以下の整数であり、 p=q=r となるのは4通りであることに注意すると、
   4H3-4=20-4=16 (通り)
また a≦b≦c,d≦e≦f、3a+3b+3c=3d+3e+3f のとき、
c<f とすると、 (上式の左辺)≦3f-2+3f-1+3f-1=7*3f-2<3f<(上式の右辺) より不適。
同様に考えて、c>f のときも不適。
よって c=f このとき 3a+3b=3d+3e
b<e とすると、 (上式の左辺)≦2*3e-1<3e<(上式の右辺) より不適。
同様に考えて b>e のときも不適。
よって b=e  このとき 3a=3d より a=d
以上より
   3a+3b+3c=3d+3e+3f⇔a=d, b=e, c=f なので16通りの和は全て異なる。
よって求めるものは16通り。

正解者

のっこん 杖のおじさん ヒャクレン・ラランジャ
バルタン星人 nao オヤジ
転位反応 teki スモークマン
こまったコ Toru T_Tatekawa
ますますタコさん 夜ふかしのつらいおじさん テレスとアリス
真夏のサンタ 巷の夢 三角定規
浦島五郎 やなせ FausT
kohji まーや

まとめ

カードに書いてある整数について、混乱を招いてしまい、 申し訳ありませんでした。 小学生がこの問題にチャレンジする時は、整数は正のものしか考えないからいいのでしょうが、 一般的に考えるときは、正の整数(自然数)と明記すべきでした。 負の整数や0も考慮してくださった方、どうもありがとうございました。
さて、この問題は最初、連立方程式のようなものかなと思って解き始めますが、 4枚のカードの書かれた番号が「1,3,9,27」とわかると、3進法の問題だ!  ということになりますね。 そうすると、(3)は、35の3進法表記ですし。 (4)は重複がないことがわかるので、カードが2枚しかないということに気をつけて 数えればいいということになります。


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