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問題125　平均点の問題
Weekend Mathematics／問題／問題125

１２５．平均点の問題

表は、あるクラス全員の国語と算数の成績と人数の関係を表したもので、 成績は３点満点です。たとえば、国語が３点で算数が１点の人は７人います。 国語、算数のクラスの平均点はそれぞれ２点、１．８点です。

　　　国語
算数　　		１点２点３点
１点ア３７
２点４イ５
３点２５ウ

(1)このクラスの人数は何人ですか。

(2)算数が３点の人はクラス全員の人数の２割います。 ア、イ、ウのあてはまる人数を求めなさい。

問題の出典

センスのよい脳をつくる　大人の算数パズル
河瀬　厚　著
自由国民社
桐朋中学校　2005年

答えと解説

解答・その1

（ペンネ－ム：teki）

（１）　４５人
（２）　ア：８　イ：９　ウ：２

解答・その2

（ペンネ－ム：まーや）

(1)国語の平均点が２点になるには、 平均より１点少ない「国語が１点の人の数」と 平均より１点多い「国語が３点の人の数」が同じでなければならない。

　　　ア＋4＋2＝7＋5＋ウ
　　　∴ウ＝ア－6・・・（i）

算数の平均点が1.8点なので

　　　(ア＋3＋7)＋2(4＋イ＋5)＋3(2＋5＋ウ)÷(26＋ア＋イ＋ウ)＝1.8

（i）より、仮に　ア＝6（人）、ウ＝0（人）とすると、

　　　(6＋3＋7)＋2(4＋イ＋5)＋3(2＋5＋0)÷(26＋6＋イ＋0)＝1.8
　　　∴イ＝13（人）

同様にしてアとウが他の人数のときも調べると、

アイウ
６13０
７11１
８９２
９７３
10５４
11３５
12１６

この表のようになり、 すべての場合においてクラスの人数は

　　　26＋ア＋イ＋ウ＝45（人）となる。・・・（答え）

(2) 算数が３点の人はクラス全員の人数の２割いるので、

　　　2＋5＋ウ＝0.2×45　より　ウ＝2

上の表より

ア＝8（人）、イ＝9（人）、ウ＝2（人）・・・（答え）

解答・その3

（ペンネ－ム：バルタン星人）

(1)このクラスの人数
国語の平均点は２、アイウを除きその合計点は

　　　１×６＋２×８＋３×１２＝５８点

アイウの合計点は平均２点とした時より ５８－２×２６＝６点低い必要がある。
即ち、アはウより６人多い。

算数も同様にして

　　　１×１０＋２×９＋３×７＝４９点

４９－１．８×２６＝２．２点
アイウの合計は平均１．８点とした時より
２．２点低い必要がある。
ところでアイウの合計は平均２点より６点低いので

　　　（６－２．２）÷（２－１．８）＝１９人

がアイウの合計人数。
クラスの人数は２６＋１９＝４５
(2)ア、イ、ウのあてはまる人数
４５×０．２＝９人　９－７＝２人（ウ）　２＋６＝８人（ア）　１９－１０＝９人（イ）
ア：８　イ：９　ウ：２

解答・その4

（ペンネ－ム：巷の夢）

　題意に沿って立式すると、

　国語：　1×（ア+6）+2×（8＋イ）+3×（12＋ウ）=　2×（26＋ア＋イ＋ウ）・・・・・(1)
　算数：　1×（ア+10）+2×（9＋イ）+3×（7＋ウ）=　9/5×（26＋ア＋イ＋ウ）・・・・(2)

(1)及び(2)より各々の（26＋ア＋イ＋ウ）を導出し、それらが等しいことから

　　　ア＋イ＋ウ＝19・・・・(3)

となる。 因って既に分かっている26人を加え、クラスの人数は45であることが判明する。

　（1） 45人

　（2） ７＋ウ＝45×2/10＝9　因って、ウ＝2

ところで①の方程式にウ＝2を代入し、整理するとア＝ウ+6となり、ア＝8と判明。 これらと③式よりイ＝9となる。
ア＝8、イ＝9及びウ＝2が求めるものである。

解答・その5

（ペンネ－ム：そうきたか）

（１）クラスの人数をｎ、ア、イ、ウにあてはまる人数をそれぞれａ、ｂ、ｃとすると、

　　　ｎ＝２６＋ａ＋ｂ＋ｃ

全員の点数の合計は、平均点と人数の積に等しいので、 国語について

　　　ａ＋２ｂ＋３ｃ＋５８＝２ｎ＝２（２６＋ａ＋ｂ＋ｃ）・・・・・(1)

数学について

　　　ａ＋２ｂ＋３ｃ＋４９＝１.８ｎ＝１.８（２６＋ａ＋ｂ＋ｃ）・・・・(2)

(1)より、

　　　ａ＝ｃ＋６・・・・(3)

(2)と(3)より、

　　　ｂ＝１３－２ｃ・・・・(4)

(3)と(4)より、

　　　ｎ＝２６＋ａ＋ｂ＋ｃ＝２６＋（ｃ＋６）＋（１３－２ｃ）＋ｃ＝４５

（答え）４５人

（２）数学が３点の人は全体の２割なので、

　　　２＋５＋ｃ＝４５×０.２＝９

よって、ｃ＝２
(3)より、ａ＝ｃ＋６＝８
(4)より、ｂ＝１３－２ｃ＝９
（答え）ア、８人　イ、９人　ウ、２人

解答・その6

（ペンネ－ム：nao）

（１）アをａ、イをｂ、ウをｃとすると、クラスの人数は　２６＋ａ＋ｂ＋ｃ。
国語の総得点は、５８＋ａ＋２ｂ＋３ｃ。
算数の総得点は４９＋ａ＋２ｂ＋３ｃ。
そこで、つぎの２つの等式ができる。

　　　（２６＋ａ＋ｂ＋ｃ）×２＝５８＋ａ＋２ｂ＋３ｃ　・・・ (1)
　　　（２６＋ａ＋ｂ＋ｃ）×１．８＝４９＋ａ＋２ｂ＋３ｃ　・・・　(2)

(1)-(2)：（２６＋ａ＋ｂ＋ｃ）×０．２＝９
　　　２６＋ａ＋ｂ＋ｃ＝４５
　　　ａ＋ｂ＋ｃ＝１９

クラスの人数は２６＋１９＝４５　　答え４５人

（２）算数が３点の人はクラスの２割なので、４５×０．２＝９人
そこで、表のウは９ー（５＋２）＝２人
また、上の（１）の式から、ａーｃ＝６
ａ＝６＋２＝８人（ア）
ｂ＝１９ー８ー２＝９人（イ）
答え　ア８人　イ９人　ウ２人

解答・その7

（ペンネ－ム：寺脇犬）

まずは、便宜上　ア→Ａ、　イ→Ｂ、　ウ→Ｃ　に置き換える。
国語の得点平均が　2点なんだから　 国語の総得点における　国語の得点　１　　と　３　との比率は

１　対　３　になるはず　　　　すなわち

　　　（４＋２＋Ａ）　：　　（１２　×　３　＋　３Ｃ）　　＝　1　：　３

これを変形して

　　　Ａ　＝　Ｃ＋６　・・・・・・・（１）

を得る。　 ところで　与えられた表より

　　　クラス全員の人数　＝４＋２＋３＋５＋７＋５＋Ａ＋Ｂ＋Ｃ
　　　　　　　　　　　　　　　＝２６＋Ａ＋Ｂ＋Ｃ
　　　　　　　　　　　　　　　＝３２＋Ｂ＋２Ｃ・・・・・・・（２）

次に　算数の得点平均が　１．８点　　と言うのは

　　　（算数の総得点）　÷　（クラス全員の人数）　＝　１．８　＝　９/５

すなわち

　　　（１０＋１８＋２１＋Ａ＋２Ｂ＋３Ｃ）　÷　（３２＋Ｂ＋２Ｃ）　＝　９/５

Ａを　（Ｃ＋６）に置き換えて　右左辺を　変形すると

　　　Ｂ＋２Ｃ　＝１３　　・・・・・・・・・・（３）　　　を得る。

これより　　クラス全員の人数は、（２）より

　　　３２＋Ｂ＋２Ｃ　＝　３２＋１３＝４５

となって、４５人と分かる。

それから次に、算数の得点が　3点という人がクラス全員の２割いるんだから

　　　４５　×　０．２　＝９

ここから算数は３点で　国語が　１点の人と　2点の人　を減じると

　　　９－２－５　＝２

となって　　　Ｃ＝２　を得る。そうして　 （１）より　　Ａ＝８、（３）より　　Ｂ＝９が分かる。

したがって　求める答えは、
クラス全員の人数は　４５人
ア　は　８人　　　　イ　は　９人　　　　ウ　は　２人　ということです。


解答・その8

（ペンネ－ム：オヤジ）

（１）　クラスの人数をｎ人として
（Ⅰ）国語の得点の総和

　　　１×（ア＋４＋２）＋２×（３＋イ＋５）＋３×（７＋５＋ウ）＝２ｎ

従って　ア＋２イ＋３ウ＝２ｎ－５８　・・・（Ⅰ）’
（Ⅱ）算数の得点の総和

　　　１×（ア＋３＋７）＋２×（４＋イ＋５）＋３×（２＋５＋ウ）＝１．８×ｎ

従って　ア＋２イ＋３ウ＝１．８ｎ－４９　・・・（Ⅱ）’

（Ⅰ）’，（Ⅱ）’より　

　　　ア＋２イ＋３ウ＝２ｎ－５８＝１．８ｎ－４９　・・・（Ⅲ）

（Ⅲ）より　　　ｎ＝４５（名）　・・・（Ⅳ）

（２）算数で３点取った人数：クラスの人数の２０％＝９(名）より

　　　９＝２＋５＋ウ　　　∴　ウ＝２　・・・（Ⅴ）

（Ⅳ），（Ⅴ）→（Ⅰ）’

　　　ア＋２イ＝２６　・・・（Ⅵ）

また、クラスの人数４５名より

　　　人数：　（ア＋３＋７）＋（４＋イ＋５）＋（２＋５＋ウ）＝４５

従って　　ア＋イ＝１７　・・・（Ⅶ）
（Ⅵ）－（Ⅶ）より　イ＝９　→（Ⅶ）　ア＝８　

∴　クラスの人数＝４５（名）　ア＝８（名）　 イ＝９（名） ウ＝２ （名）

解答・その9

（ペンネ－ム：ＦａｕｓＴ）

（１） クラス全体の人数をｘとすると、国語と算数の平均点がそれぞれ２点、１．８点だから

１×（ア＋４＋２）＋２×（３＋イ＋５）＋３×（７＋５＋ウ）＝２×ｘ
１×（ア＋３＋７）＋２×（４＋イ＋５）＋３×（２＋５＋ウ）＝１．８×ｘ

この２式からア・イ・ウを消去して整理すると、ｘ＝４５
よって、クラスの人数は　　４５　人　・・・・・・【　解　】

（２） クラスの人数４５人の２割は９人。すると表より、ウ＝２
また、国語の平均点が２点ということは、国語が１点の人数と３点の人数が同じだから、 ア＝８が導けて、これによりイ＝９も得る。
よって、（ア、イ、ウ）＝（８、９、２）・・・・・・【　解　】

解答・その10

（ペンネ－ム：のっこん）

アをa,イをb,ウをcとし、クラスの人数をxとする
（１） a+6+2(b+8)+3(c+12)=2x
a+10+2(b+9)+3(c+7)=1.8x
よってx=45

（２） 45*0.2=9 だからc=2
国語のクラス平均は２点だから国語が１点の人と３点の人の数は等しい
14=a+6 よりa=8
14*2+b+8=45 よりb=9

解答・その11

（ペンネ－ム：テレスとアリス）

（１）クラスの人数をＡとします

　　　Ａ　=　ア　+　3　+　7　+　4　+　イ　+　5　+　2　+　5　+　ウ
　　　Ａ　=　ア　+　イ　+　ウ　+　26

国語の平均点が２点なので、

　　　（（ア　+　4　+　2）　+　2（3　+　イ　+　5）　+　3（7　+　5　+　ウ））　/　Ａ　=　2.0
　　　（ア　+　2イ　+　3ウ　+　58）　/　Ａ　=　2.0　・・・　（あ）

算数の平均点が1.8点なので、

　　　（（ア　+　3　+　7）　+　2（4　+　イ　+　5）　+　3（2　+　5　+　ウ））　/　Ａ　=　1.8
　　　（ア　+　2イ　+　3ウ　+　49）　/　Ａ　=　1.8　・・・　（い）

（あ）　-　（い）　から

　　　9　/　Ａ　=　0.2
　　　Ａ　=　45

このクラスの人数は、45人です。

（２）算数が3点の人は、（2　+　5　+　ウ）人で、クラス全員の2割なので

　　　2　+　5　+　ウ　=　45　×　0.2
　　　ウ　=　2

（あ）に代入して

　　　（ア　+　2イ　+　6　+　58）　/　Ａ　=　2.0
　　　（ア　+　2イ　+　64）　/　45　=　2.0
　　　ア　+　2イ　=　26　・・・　（う）

クラスの人数Ａは45人なので

　　　ア　+　イ　+　ウ　+　26　=　45
　　　ア　+　イ　+　28　=　45
　　　ア　+　イ　=　17　・・・　（え）

（う）　-　（え）　から

　　　イ　=　26　-　17
　　　イ　=　9

（え）に代入して

　　　ア　+　9　=　17
　　　ア　=　8

よって、

　　　ア　=　8人
　　　イ　=　9人
　　　ウ　=　2人

です。
少子化の昨今、一クラス45人というのは多いほうでしょう。 それにしても、0点が一人もいませんね。

解答・その12

（ペンネ－ム：にしやん）

ア、イ、ウにあてはまる数字を それぞれ X、Y、Z とおく。
このクラスの人数をAとすると、

　　　A=X+Y+Z+26 ・・・(1)

国語の平均点が2点なので、

　　　(X+6)+2(Y+8)＋3(Z+12)=2A
　∴ X+2Y+3Z=2A-58 ・・・(2)

算数の平均点が1.8点なので、

　　　(X+10)+2(Y+9)＋3(Z+7)=1.8A
　∴ X+2Y+3Z=1.8A-49 ・・・(3)

(2)、(3)より

　　　2A-58=1.8A-49
　∴ A=45

算数が3点の人は全体の2割だから

　　　Z+7=45*0.2
　∴ Z=2

A=45、Z=2を (1)、(2)に代入すると
　　　X+Y=17、X+2Y=26

これを解いて、X=8、Y=9

（答え）
（１） 45人
（２） ア=8、イ=9、ウ=2

解答・その13

（ペンネ－ム：To the stars）

題意より、0点取得者は一人もいない。
ア、イ、ウの人数をそれぞれ、x、y、zとおく。
(1)題意より、

　　　(x+3+7)+2(4+y+5)+3(2+5+z)=1.8(x+y+z+26)・・・(1)
　　　(x+4+2)+2(3+y+5)+3(7+5+z)=2(x+y+z+26)　・・・(2)

が成り立つ。(1)-(2)を整理すると、

　　　x+y+z+26=45（人）・・・（答）

(2)45*0.2=9（人）が、算数で3点をとっていることがわかる。
よって、z=2
(1)、(2)より、x=8、y=9
（ア、イ、ウ）=（8、9、2）・・・（答）

解答・その14

（ペンネ－ム：kohji）

(1)題意から０点を取ってしまった生徒はいないことが分かります。以下Cをクラスの人数とします。 国語の平均点に関して

　　　[{(ア)+4+2}*1+{3+(イ)+5}*2+{7+5+(ウ)}*3]/C=2
　　⇔58+(ア)+2*(イ)+3*(ウ)=2*C…(i)

数学の平均点に関して

　　　[{(ア)+3+7}*1+{4+(イ)+5}*2+{2+5+(ウ)}*3]/C=1.8
　　⇔49+(ア)+2*(イ)+3*(ウ)=9*C/5…(ii)

(i)-(ii)より、

　　　9=C/5
　　⇔C=45

(2)
　　　2+5+(ウ)=0.2*45
　　⇔(ウ)=2…(iii)

よって(i)は、

　　　58+(ア)+2*(イ)+3*2=2*45
　　⇔(ア)=26-2*(イ)…(iv)

またクラスの人数に関して、(iii),(iy)より、

　　　(ア)+3+7+4+(イ)+5+2+5+(ウ)=C
　　⇔26-2*(イ)+3+7+4+(イ)+5+2+5+2=45
　　⇔(イ)=9

また(iv)より、

　　　(ア)=26-2*9=8

以上より、(ア)=8,(イ)=9,(ウ)=2

解答・その15

（ペンネ－ム：三角定規）

（１）　クラスの人数を Ｎ 人とすると，
国語の平均点が２点であることから，　ア＋６＋２（イ＋８）＋３（ウ＋１２）＝２Ｎ
　∴　ア＋２イ＋３ウ＋５８＝２Ｎ … (1)
算数の平均点が１．８点であることから，　ア＋１０＋２（イ＋９）＋３（ウ＋７）＝１.８Ｎ
　∴　ア＋２イ＋３ウ＋４９＝１.８Ｎ … (2)
(1)－(2) ： ０.２Ｎ＝９　 ∴　Ｎ＝４５ … (3)
［答］　４５ 人

（２）　題意より，　ウ＋７＝０.２Ｎ＝９，　∴ ウ＝２ … (4)
Ｎ＝ア＋イ＋ウ＋２６＝４５， (4)とより，　ア＋イ＝１７ … (5)
また，(1)(3)(4)より，　ア＋２イ＝２６ … (6)
(5)(6)を解いて，　ア＝８，イ＝９
［答］　ア：８人，イ：９人，ウ：２人

解答・その16

（ペンネ－ム：新俳人澄朝）


解答・その17

（ペンネ－ム：杖のおじさん）

答え
このクラスの人数は45人です。
ア＝8人　　イ＝9人　　ウ＝２人　　です。

（１）
　　　Y=ア＋イ＋ウ ・・(1)
総数をSとする。
算数の合計点は次の通りです。
　　　1.8S＝（10＋9×2＋7×3）＋Y＝49＋Y
平均点と総数の積は整数になる事に注意する。
　　　Y＝1.8Sー58・・・(1)
(1)に代入してが整数になる数を調べます。
現在判明している人数は＝3＋7＋5＋4＋2＋5＝26
国語の合計点は次の通りです。
　　　2S＝（6＋8×2＋12×3）＋Y＝58＋Y
　　　Y＝2S-58・・・(2)
(1)を(2)に代入すると
　　　1.8S－49＝2S-58
　　　0.2S=9　　S=9/0.2＝45
従ってクラスの総人数は45人です。

（２）
ア＋イ＋ウの点数はY＝2×45－58＝32、ウの点数は2×3＝6
従ってア＋イの点数はア＋2イ＝32－6＝26点・・・⑥
ア＋イの人数はア＋イ＝45－26－2＝17人・・・⑦
⑥からア＝26－2イ・・・⑧
⑥を⑦に代入して
26－2イ＋イ＝17　イ＝26－17＝9・・⑨
⑨を⑧に代入して
ア＝26－2×9＝８
ウの人数は45×0.2＝7＋ウ
ウ＝9－7＝2人・・・③
ウの点数は　2×3＝6点

解答・その18

（ペンネ－ム：こまったコ）

(1)ア = a、イ = b、ウ = cとする。
このクラスの人数をx人として、国語の平均点から

　　　2x= a+6+2b+16+3c+36= a+2b+3c+58......(あ)

算数の平均点から

　　　1.8x = a+10+2b+18+3c+21 = a+2b+3c+49.......(い)

　　　2x-1.8x=0.2x=(a+2b+3c+58)-(a+2b+3c+49) = 9

　　　x=45

このクラスの人数は45人。

(2)算数が3点の人は

　　　7+c=45x0.2=9
　　　c=2

(あ)の式にこの値を代入して

　　　a+2b+3x2+58=2x=90
　　　+2b=26....(う)

算数が3点の人がクラス全体の2割ということは 算数が1，2点の人はクラス全体の8割ということになる。 　　　a+b+19=45x0.8=36
　　　a+b=17....(え)

(う)、(え)の式を連立方程式としてとくと

　　　a=8、b=9

以上から

解答・その19

（ペンネ－ム：夜ふかしのつらいおじさん）

　国語計
123
算数1ア37ア+10
24イ5イ+9
325ウウ+7
計ア+6イ+8ウ+12ア＋イ＋ウ+26

(1) 国語の平均点が2点、数学の平均点が1.8点なので合計点をそれぞれ二通りの方法で求めると、

　　　国語：2×(ア+イ+ウ+26)＝1×(ア+6)+2×(イ+8)+3×(ウ+12)　・・・　(1)
　　　算数：1.8×(ア+イ+ウ+26)＝1×(ア+10)+2×(イ+9)+3×(ウ+7)　・・・　(2)

(1)－(2)として、この式から、ア+イ+ウ+26について解くと、(ア+イ+ウ+26)＝45
∴　クラスの人数は45人です。

(2) 算数が３点の人がクラス全員の人数の２割いるので

　　　ウ+7＝45×0.2＝9

だから、ウ＝2人
国語の平均点が2なので、ア+6＝ウ+12です。
だから、ア＝8人
イ＝45-26-2-8＝9人
∴アは8人、イは9人、ウは2にんです。

解答・その20

（ペンネ－ム：浦島五郎）

　n : クラス全員の人数　とおき、各平均点の式にすると
国語 (6 +ア) / n * 1 + ( 8 +イ) / n * 2 + (12 +ウ) / n * 3 = 2
　　　　(ア＋２イ＋３ウ) + 58 = 2n

算数 (10 +ア) / n * 1 + ( 9 +イ) / n * 2 + ( 7 +ウ) / n * 3 = 1.8
　　　　(ア＋２イ＋３ウ) + 49 = 1.8n

（１）　x : (ア＋２イ＋３ウ)　とおき、連立方程式を解くと

　　　x + 58 = 2n
　　　x + 49 = 1.8n
　　　x = 32, n = 45

答え　クラスの人数は４５名

（２）算数が３点のひと : 45 * 0.2 = 9（人）→ウ = 2
x : ア+ 2イ=26
未知数がふたつ、もうひとつ式が必要→わかっているマスの数をクラス全員の人数から引いたら
　　　ア＋イ＝９
　　　ア+ 2イ=26
　　　ア＋イ＝17
　　　ア＝8，イ＝9
答え　(ア,イ,ウ) = ( 8, 9, 2 )

解答・その21

（ペンネ－ム：T_Tatekawa）

(1) まず分かっている範囲で国語と算数の合計点を求めます．
国語
1 x 6 + 2 x 8 + 3 x 12 = 58
算数
1 x 10 + 2 x 9 + 3 x 7 = 49

ア，イ，ウに入るのは国語と算数の点数が同じ人．
そこで，残っている人の合計点を X とします．
国語と算数の平均点はそれぞれ 2点，1.8点なのでクラスの人数を N 人とすると，

　　　N=(58+X)/2 = (49+X)/1.8

です．これを解くと，

　　　X = 32、N = 45

が得られます．よってクラスの人数は 45 人です．

(2) 算数が 3 点の人はクラスの2割なので，9人です． すると，ウは

　　　9 -(2+5) = 2 人

です．アとイの合計は

　　　45 - 26 - 2 = 17 人

です．また，17人の合計点は

　　　32 - 3 x 2 = 26 点

です．17人がアの時は 17点．アからイに一人移すと点数が 1点増えるので，イに入るのは

　　　(26 - 17) /1 = 9 人

です．アは

　　　17 - 9 = 8 人

です． 以上より，ア：8人，イ：9人，ウ：2人です．

解答・その22

（ペンネ－ム：スモークマン）

平均点で考えました。
-1*(6+a)+1*(12+c)=0
から、6+c=a
-0.8*(10+a)+0.2*(9+b)+1.2*(7+c)=0
から、-8-0.8a+0.2b+10.2+1.2c=0
から、2.2-0.8(6+c)+0.2b+1.2c=0
から、-2.6+0.2b+0.4c=0
から、b=13-2c
全体の人数は、10+9+7+a+b+c=26+6+c+13-2c+c=45 人
7+c=45/5=9 から、c=2,b=9,a=8
つまり、（ア、イ、ウ）＝（8 人,9 人,2 人)

解答・その23

（ペンネ－ム：転位反応）

(1)
国語と算数のクラスの平均点の差にクラス全員の人数を掛けると 国語と算数の得点合計の差に等しいことを用いて求める。 ア、イ、ウは国語と算数の得点が等しい人の人数なので 国語と算数の得点合計の差は、ア、イ、ウ以外の人数から求められる =(6×1＋8×2＋12×3)-(10×1＋9×2＋7×3)=9 一方、平均点の差は0.2点なので、クラスの人数は、9÷0.2=45 答　45人

(2)
算数が３点の人がクラス全員の２割、即ち9人いることから、ウ=2 よって、ア+イ=17。 ここで、ツルカメ算を適用して、ア、イを求める。 即ち、仮にア=１７として、国語の得点合計を求めると８１、 題意から、2×45=90であることから、9不足。よって、イ=9
答　ア=8、イ=9、ウ=2

解答・その24

（ペンネ－ム：ヒャクレン・ラランジャ）

（１）４５人
考え方：
ア、イ、ウはともに、算数と国語が同点であった人である。 だから、クラス全体の算数と国語の合計点数の差は、ア、イ、ウを除いた算数と国語の合計点数の差と等しくなる。 ア、イ、ウを除いた算数と国語の合計点数は、次のようになる。

　　　算数：１０×１＋９×２＋７×３＝４９(点)
　　　国語：６×１＋８×２＋１２×３＝５８(点)

その差は９点。 平均点の差は0.2点なので、１人あたり0.2点の差ということ。 ９点の差になるためには、４５人の生徒がいることになる。

（２）ア＝８、イ＝９、ウ＝２
考え方：
算数の平均点は1.8点なので、４５人の合計点は４５×1.8=８１点となる。 算数が３点の人はクラスの２割なので９人。 この９人の合計点は２７点。
ということは、残りの３６人は１点か２点で、合計点は５４点ということになる。 つるかめ算で２点の人数を求めると、

　　　(５４－３６)÷(２－１)＝１８（人）

ということで、１点の人数も２点の人数も１８人となる。 以上の人数と、表のすでに埋まっている人数から、ア＝８、イ＝９、ウ＝２が求められる。

解答・その25

（ペンネ－ム：ますますタコさん）

解答：
（１）　４５人
（２）　ア：８　イ：９　ウ：２

過程：
（１）　得点の合計÷生徒数＝平均点ですから、

　　　国語の得点の合計と算数の得点の合計の差÷平均点の差＝生徒数

になります（よねぇ？）。
　国語で１点だった人・・・６＋ア（人）
　　　　２点だった人・・・８＋イ（人）
　　　　３点だった人・・・１２＋ウ（人）
　算数で１点だった人・・・１０＋ア（人）
　　　　２点だった人・・・９＋イ（人）
　　　　３点だった人・・・７＋ウ（人）
ア、イ、ウのところは国語・算数とも同じ点数を取った生徒で、差を考えるのですから、 それぞれア、イ、ウは無視できます。

合計得点の差＝１×６＋２×８＋３×１２－１×１０＋２×９＋３×７＝９

となります。平均点の差は　２－１．８＝０．２　です。 上の式にあてはめると、

　　　９÷０．２＝４５

となり、生徒数は　４５　人です。

（２）　（１）から、算数が３点の人は　４５×０．２＝９　人です。

　　　ウ＝９－７＝２

国語の平均点は２点ですから、１点と３点の人数は同じです。

　　　ア＝１２＋２－６＝８

全員で４５人ですから、

　　　イ＝４５－（１４＋８＋１４）＝９

解答・その26

（ペンネ－ム：Toru）

(1) 国語の総得点と算数の総得点の差を考える。
クラスの人数をX人とすると、

　　　2X-1.8X=0.2X
これが、表より対角線について対称な位置をペアーにして

　　　1x(3-4)+2x(7-2)+1x(5-5)=9

に等しいとおいて

　　　0.2X=9 よりX=45

答え　４５人

(2) 算数が３点の人は45x0.2=9　（人）
よって ウ　2 人　
国語の平均点が２点より　１点と３点の人数が等しいことから、ア　8人
続いて イ　9人　
答え　ア８人　イ９人　ウ２人

正解者

teki のっこん 転位反応
スモークマン ヒャクレン・ラランジャ nao
新俳人澄朝 そうきたか T_Tatekawa
Toru オヤジ kohji
寺脇犬 バルタン星人 巷の夢
にしやん ますますタコさん こまったコ
夜ふかしのつらいおじさん テレスとアリス 杖のおじさん
三角定規 まーや ＦａｕｓＴ
To the stars 浦島五郎

まとめ

何人かの方にご指摘いただいたように、０点の人はいないという理解でお願いします。

一見すると未知数が、ア、イ、ウと３つあるので解けないのではないかと 思った方もいるかもしれませんが、この問題のポイントはこの３つの未知数が対角線に並んでいる ということですね。
クラス全員の人数をＮとし、国語、算数の平均点いついて式を立てると、

　　　国語：(ア＋２イ＋３ウ) + 58 = ２×Ｎ
　　　算数：(ア＋２イ＋３ウ) + 49 = 1.8×Ｎ

となります。左辺に共通の式(ア＋２イ＋３ウ) が表れるわけです。 これを最初から文字で置き換えてくださった方もいますね。
この２式から

　　　９＝0.2×Ｎ

という式を導くことができますが、 これはつまり対角線（ア、イ、ウ）以外の得点差が、 平均点の差になっているはずだという意味の式ですね。 ここに着目して、いきなりこの式を立てられた方は、さすがです。

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