Challenge!

解答・その15

（ペンネ−ム：whale）

(１)作ることのできる数字を大きい順にならべると以下のようになる。
５４３２１、５４３１２、５４２３１、５４２１３、５４１３２・・・答え

(２)
(あ)繰上げが発生する必要十分条件は二人が同じ桁に”５”を置くことである。
⇔和の一つの桁が”０”となることと同値である。・・・答え
※また繰り上げは高々一度しか起こらないことが分かる。

(い)一の位はお互いに”１”を選んだことが分かる。
上と(あ)の条件より百の位はお互いに”２”である。
これらにより万の位は｛４，３｝の組み合わせ以外はありえない。
また千の位も｛５，４｝の組み合わせしかない。
従って十の位は｛３，５｝である。
故に求める数は｛４５２３１，３４２５１｝のペアである。・・・答え

(３) (あ)より十の位の計算にて繰上げが発生したことがわかる。
よって十の位は｛５，５｝である。
これらにより万の位は｛２，１｝の組み合わせである。(∵足して”３”となるペアより)
百の位は十の位で繰上げが発生したため足して”４”となるペア考えればよい。
上でつかった数字を除くと｛１，３｝のペアしかありえない。
以上より千の位、一の位のペアはそれぞれ｛３，４｝｛４，２｝である。
故に求める数は｛２３１５４，１４３５２｝のペアである。・・・答え

(４) 繰り下げ計算が発生する必要十分条件は差の桁が”５以上”である。
(∵繰り下げで一番小さい数字を考えると１１−５＝６、 ６の下の位で繰り下げが発生したと考えると６−１＝５、 ところで５は繰り下げ計算無しでは現れない)
従って千の位と百の位では繰り下げ計算が発生していることが分かる。
よって万の位は｛５，１｝の組み合わせしかない。
千の位の決定であるが、百の位で繰り下げ計算が起きている為、
差が”６”となる組み合わせを考えればよい。よって｛１，５｝である。
百の位の組み合わせは差が”８”となるペア。よって｛２，４｝である。
以上より十の位、一の位のペアはそれぞれ｛４，２｝｛３，３｝である。
故に求める数は｛５１２４３，１５４２３｝のペアである。・・・答え

解答・その16

（ペンネ−ム：三角定規）

（１） ５４３２１＞５４３１２＞５４２３１＞５４２１３＞５４１３２ …［答］
（２）（あ）＜理由＞繰り上がりがあるとすれば，「５＋５」，「４５＋５４＋１」 しかないが， 後者はさらに下からの繰り上がり ＋１ がないため起きない。 前者の場合には繰り上がりのある桁の和が ０ でなければなないが， 和の各桁に ０ がないため繰り上がりがない。
　　（い） ３４２５１ ＋ ４５２３１ …［答］
（３） １４３５２ ＋ ２３１５４ …［答］
（４） ５１２４３ −１５４２３ …［答］

解答・その17

（ペンネ−ム：Toru）

1) 大きい順に 54321 54312 54231 54213 54132 で　54132
2) (あ) 繰り上がるためには5+5が必要で、この時は和に０が出てくるはず。
　　(い) 2=1+1, 4=2+2, 7=4+3,8=3+5,9=5+4 の順に１通りに決まって
　　　45231と34251
3) 10=5+5, 7=3+4, 6=4+2,3=2+1 5=1+3+1 などの順に１通りに決められて
　　　23154 と14352
4) 5の上は1-5 、3の上は5-1、8の上は2-4 、0の上は3-3、　2の上は4-2、の順に一 通りに決まる。
　　　51243と15423

解答・その18

（ペンネ−ム：こまったコ）

(1)これは組み合わせを１つ１つ調べた方が早い。 5枚のカードの中でより大きい数をより上の位にした方が 大きな数ができることを考えると、5番目に大きい数は
　　1番大きい　5-4-3-2-1　54321
　　2番大きい　5-4-3-1-2 54312
　　3番大きい　5-4-2-3-1 54231
　　4番大きい　5-4-2-1-3 54213
　　5番大きい　5-4-1-3-2 54132
よって 54132。

(2)(あ)
この手の問題が苦手なので自信はないが 二人の持つカードで位の数の和に繰り上がりが出来うる組み合わせは 5+5=10のみ。このとき、その位に残る数は0。 79482には位の数が0の位がないので、どの位の計算でも 繰り上がりはなかったと言える。
(い)
太郎の作った5桁の数を　ABCDE
花子の作った5桁の数を　VWXYZ とする。

一の位の数の和が2であると言うことは　E+Z=2
これを満たすEとZの組み合わせは(E,Z) として (1,1)。

十の位の数の和が8ということは D+Y=8
一の位に二人とも1を使ったので残りはそれぞれ2,3,4,5である
これを満たすDとYの組み合わせは
(D,Y)として　 (3,5), (4,4), (5,3)

百の位の数の和が4ということは C+X=4
一の位に二人とも1を使ったことを考えると
(C,X)として　(2,2)のみ。
(1+3=4の組み合わせが出来ないので)

千の位の数の和が9ということは　B+W=9
これを満たすBとWの組み合わせは
(B,W)として　(4,5), (5,4)。
ということは十の位が(4,4)の組み合わせだと
千の位の数に4を使えないことになってしまう。
よって十の位の数は(D,Y)として(3,5), (5,3)のどちらかで
　　(D,Y)=(3,5)の場合は(B,W)=(5,4)
　　(D,Y)=(5,3)の場合は(B,W)=(4,5)
一万の位の和が7ということは　A+V=7
これを満たすAとVの組み合わせは
(A,V)として　(2,5), (3,4), (4,3), (5,2)
百の位の数に二人とも2を使っているので
(2,5) (5,2)の組み合わせは無理。
よって一万の位の数は(A,V)として(3,4), (4,3)のどちらかで
　　(D,Y)=(3,5)且つ(B,W)=(5,4)の場合は(A,V)=(4,3)
　　(D,Y)=(5,3)且つ(B,W)=(4,5)の場合は(A,V)=(3,4)
以上から
　　(A,B,C,D,E) = (3,4,2,5,1) の時(V,W,X,Y,Z)= (4,5,2,3,1)
　　(A,B,C,D,E) = (4,5,2,3,1) の時(V,W,X,Y,Z)= (3,4,2,5,1)
よって二人が作った数は、45231、34251

(3)
太郎の作った5桁の数を　ABCDE
花子の作った5桁の数を　VWXYZ とする。

(2)の(あ)で説明したとおり、 二人が作った数の和に0があれば その位の数に用いたのは二人とも5である。 今回は十の位の数の和に0があるので
　　(D,Y) = (5,5)
これを踏まえて他の位に用いた数を考える。
一の位の数の和が6であると言うことは　E+Z=6　
これを満たすEとZの組み合わせは
(E,Z) として (2,4), (3,3), (4,2)

百の位の数の和が5ということは C+X+1=5
(十の位の繰上りがあるので)
これを満たすCとXの組み合わせは
(C,X)として　(1,3), (2,2), (3,1)

(E,Z)=(2,4)の場合は(C,X)= (1,3), (3,1)
(E,Z)=(3,3)の場合は(C,X)= (2,2)
(E,Z)=(4,2)の場合は(C,X)= (1,3), (3,1)

千の位の数の和がということは　B+W=7
これを満たすBとWの組み合わせは
(B,W)として　(3,4), (4,3)。

ということは一の位が(3,3)の組み合わせだと
千の位の数に3を使えないことになってしまう。
よって一の位の数は(E,Z)として(2,4), (4,2)のどちらかである。

(E,Z)=(2,4)且つ(C,X)=(1,3)・・・Wに3も4も使えないのでこの組み合わせは無理。
(E,Z)=(2,4)且つ(C,X)=(3,1)の場合は(B,W)=(4,3)
(E,Z)=(4,2)且つ(C,X)=(1,3)の場合は(B,W)=(3,4)
(E,Z)=(4,2)且つ(C,X)=(3,1)・・・Bに3も4も使えないのでこの組み合わせは無理。

一万の位の和が3ということは　A+V=3
これを満たすAとVの組み合わせは
(A,V)として　(1,2) (2,1)。

(E,Z)=(2,4)且つ(C,X)=(3,1)且つ(B,W)=(4,3)の場合は(A,V)=(1,2)
(E,Z)=(4,2)且つ(C,X)=(1,3)且つ(B,W)=(3,4)の場合は(A,V)=(2,1)
　　(A,B,C,D,E) = 14352 の時(V,W,X,Y,Z)= 23154
　　(A,B,C,D,E) = 23154 の時(V,W,X,Y,Z)= 14352
よって二人が作った数は、14352、23154

(4)
二人の作った数の差が正数なので 二人の作った数のうち、大きい方から小さい方を引いたことになる。 今回は
二人の作った数のうち大きい方を　ABCDE
二人の作った数のうち小さい方を　VWXYZ とする。

一の位の数の差が0であると言うことは　E-Z=0　
これを満たすEとZの組み合わせは
(E,Z) として (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5)

十の位の数の差が2ということは D-Y=2
これを満たすDとYの組み合わせは
(D,Y)として　(3,1), (4,2), (5,3)

百の位の数の差が8ということは
繰り下げのある計算をすることになる。
(繰り下げなしだと最小でも9-1=8なので) となると
(C,X)として(1,3), (2,4), (3,5)のどれかということになる。

千の位の数の差が5ということは これも繰り下げなしでは出来ない。 (繰り下げなしだと最小でも6-1=5なので)
百の位のところで繰り下げがあることも踏まえると
(B,W) として　(1,5)のみ。
となると、(C,X)=(1,3), (3,5)は当てはまらないことになるので (C,X) = (2,4)
このことから(E,Z)=(1,1), (2,2), (4,4), (5,5)は当てはまらないことになる。
よって(E,Z) = (3,3)
さらにこのことから(D,Y)= (3,1), (5,3)も当てはまらないことになる。
よって(D,Y)=(4,2)

ここまでをまとめると
　　(E,Z) = (3,3)
　　(D,Y) = (4,2)
　　(C,X) = (2,4)
　　(B,W) = (1,5)
しかありえないことになるので必然的に
　　(A,V) = (5,1)
よって
　　(A,B,C,D,E) = (5,1,2,4,3)
　　(V,W,X,Y,Z) = (1,5,4,2,3)
二人の作った数は、51243、
15423

解答・その19

（ペンネ−ム：teki）

１　５４１３２　（５４３２１、５４３１２、５４２３１、５４２１３、５４１３２の順です。）
２　あ　１から５までしか数字がないので、桁が繰り上がるのは５＋５の時だけです。 この時、必ず和の中の数には０が現れます。 和の７９４８２には、０がないので、桁の繰り上がりは生じていません。
　　い　４５２３１、３４２５１（桁上がりがないので、１の位は１＋１、百の位は２＋２、 千の位は５＋４です。後は適当に当てはめればできますね。）
３　２３１５４、１４３５２
４　５１２４３、１５４２３

解答・その20

（ペンネ−ム：新俳人澄朝）

(1)大きい方から、54321,54312,54231,54213,54132･･･であるから、 大きいほうから５番目の数は、54132

(2)(あ)各桁の和は、２〜１０の値となるが、79482には０がないのでくり上がりはない。
(い)

氏名	万	千	百	十	一
太郎	A	B	C	D	E
花子	F	G	H	I	J
和	7	9	4	8	2

　　一の位　和が2より、(E,J)=(1,1)
　　十の位　和が8より、(D,I)=(3,5)、(4,4)、(5,3)
　　百の位　和が4より、(C,H)=(1,3)、(2,2)、(3,1)
　　千の位　和が9より、(B,G)=(4,5)、(5,4)
　　万の位　和が7より、(A,F)=(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)
これより　一の位が決定し、次に百の位が決定
　　一の位　和が2より、(E,J)=(1,1)
　　十の位　和が8より、(D,I)=(3,5)、(4,4)、(5,3)
　　百の位　和が4より、(C,H)=(2,2)
　　千の位　和が9より、(B,G)=(4,5)、(5,4)
　　万の位　和が7より、(A,F)=(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)
百の位の数により、万の位の数が、(A,F)=(3,4)、(4,3)に絞られる。 これにより十の位の数、(D,I)=(3,5)、(5,3)のいずれかとなる。
　　一の位　和が2より、(E,J)=(1,1)
　　十の位　和が8より、(D,I)=(3,5)、(5,3)
　　百の位　和が4より、(C,H)=(2,2)
　　千の位　和が9より、(B,G)=(4,5)、(5,4)
　　万の位　和が7より、(A,F)=(3,4)、(4,3)
ここで、(D,I)=(3,5)とすると、(B,G)=(5,4)、(A,F)=(4,3)となる。
また、(D,I)=(5,3)とすると、(B,G)=(4,5)、(A,F)=(3,4)となる。
したがって、２つの数は、45231と34251である。

(3)

氏名	万	千	百	十	一
太郎	A	B	C	D	E
花子	F	G	H	I	J
和	3	7	5	0	6

十の位が0より、（D,I)=(5,5)となる。くり上がりが1あるので、C+H=4
これ以外に繰り上がりはない。5以外の数字を用いて、
　　一の位　和が6より、(E,J)=(2,4)、(3,3)、(4,2)
　　百の位　和が4より、(C,H)=(1,3)、(2,2)、(3,1)
　　千の位　和が7より、(B,G)=(3,4)、(4,3)
　　万の位　和が3より、(A,F)=(1,2)、(2,1)
ここで、(A,F)=(1,2)とすると、(C,H)=(3,1)、(B,G)=(4,3)、 (E,J)=(2,4)となる。
また、(A,F)=(2,1)とすると、(C,H)=(1,3)、(A,F)=(2,1)、 (E,J)=(4,2)となる。
したがって、２つの数は、14352と23154である。

(4)

氏名	万	千	百	十	一
太郎	A	B	C	D	E
花子	F	G	H	I	J
差	3	5	8	2	0

(太郎の５桁の整数)＞(花子の５桁の整数)とする。
各位繰り下がりがないとすれば、その数は4,3,2,1,0となるので、 千の位の5と百の位の8は繰り下がりが必要な数字である。
したがって、A-F=4,（B+10)-G=6,(C+10)-H=8が必要である。
よって、（A,F)=(5,1)、（B,G)=(1,5)、（C,H)=(2,4)となる。
一の位は残りの数字より、(E,J)=(3,3)となり、 十の位は、(D,I)=(4,2)と決定できる。
したがって、 ２つの数は51243と15423である。

解答・その21

（ペンネ−ム：杖のおじさん）

（１）５番目に大きな数時は５４１３２です。

（２）（あ）その１、
　　　７９４８２の数字を横に加算します。７＋９＋４＋８＋２＝３０です。
　　　カードの数字は（１＋２＋３＋４＋５）×２＝３０となります。
　　　従って数字が一致しているので繰り上がりがなかったと判断します。
　　　その２、
　　　2人の数字で繰り上がる数字は５と５を加算し１０になった時ですが数字の中に０がありません、従って繰り上がりがなかったと判断します。
　　（い）太郎さんは３４２５１で花子さんは４５２３１です。

（３）太郎さんは１４３５２で花子さんは２３１５４です。

（４）太郎さんは５１２４３で花子さんは１５４２３です。

解答・その22

（ペンネ−ム：ヒャクレン・ラランジャ）

(1)
答：５４１３２
解法：大きいほうから順に、次のようになるため。
５４３２１、５４３１２、５４２３１、５４２１３、５４１３２

(2)（あ）
くり上がりがなかった理由は、各位の数字の和が３０になっているため。 太郎さんの作った５けたの数字の各位の数字の和は１５で、花子さんも同様に１５になる。 くり上がりがあったら、３０にならないで、もっと少なくなる。
（い）
答：３４２５１と４５２３１
解法：
　　ＡＢＣＤＥ
　＋ＦＧＨＩＪ
━━━━━━
　　７９４８２

このとき、Ｅ＝Ｊ＝１、Ｃ＝Ｈ＝２ は明らか。
ＢとＧは、４と５なので、ＤとＩは、５と３になり、ＡとＦは、３と４に決まる。
(3)
答：２３１５４と１４３５２
解法：
　　ＡＢＣＤＥ
　＋ＦＧＨＩＪ
━━━━━━
　　３７５０６

ここで、Ｄ＝Ｉ＝５になるので、ＢとＧは、３と４になり、 ＥとＪは、４と２になる。残りの数字を考えると、 Ａ＝２，Ｆ＝１が決まり、Ｃ＝１，Ｈ＝３となる。
(4)
答：５１２４３と１５４２３
解法：
　　ＡＢＣＤＥ
　−ＦＧＨＩＪ
━━━━━━
　　３５８２０

５と８の答になるところに、くり下がりが考えられる。 したがって、Ｂ＝１，Ｇ＝５が決まる。すると、Ａ＝５，Ｆ＝１になり、 Ｃ＝２，Ｈ＝４となる。Ｅ＝Ｊなので、Ｅ＝Ｊ＝３になり、 Ｄ＝４，Ｉ＝２が決まる。

解答・その23

（ペンネ−ム：ますますタコさん）

解答：　（１）　５４１３２
（２）　（あ）　５つの数字の和が３０だから　（？）
（２）　（い）　３４２５１　と　４５２３１
（３）　１４３５２　と　２３１５４
（４）　５１２４３　と　１５４２３

過程：
（１）　これは、一番大きな数字からかぞえていきました。 一番大きな数字は左から大きい数字から並べた、「５４３２１」です。 順に、５４３１２、５４２３１、５４２１３、５４１３２、・・・で、 ５番目に大きな数字は「５４１３２」です。
（２）（あ）　１〜５の５枚のカードを使うわけですから、 「５桁の数字」の５つの数字の合計は、「１５」です。 ふたりが「５桁の数字」をつくる訳ですから、 １５＋１５　で、「３０」です。
つまり、繰り上がりがなければ、２つの「５桁の数字」の和を構成する数字の和は「３０」 になるはずです。
もし、繰り上がりがあるとすれば、二人が同じ桁に「５」を入れた時だけです。 ２つの「５桁の数字」の和を構成する数字の和は「２１」になります。
（２）（い）　まず、一の位。和が　２　ですから、１＋１しかありません。
　　　→　XXXX1　＋　XXXX1
千の位。和が９ですから、５＋４しかありません。
　　　→　X５XX１　＋　X４XX1
百の位。和が４で、１＋３　は、一の位で　１　使っているので、 ２＋２　しかありません。
　　　→　X５２X１　＋　X４２X１
万の位。和が７で、　２＋５　は、百の位で　２を使っているので、３＋４しかありません。 ４　はここで言う「＋」のあと、後項に使っているので、前項に入れます。
　　　→　４５２X１　＋　３４２X１
残った数字を十の位にいれます。
　　　→　４５２３１　＋　３４２５１　（＝７９４８２）
（３）十の位。和が０ですから、５＋５しかありません。 （一の位の繰り上がりは有り得ません。１〜５の２数の和が１６にはなり得ないからです。）
　　　→　XXX５X　＋　XXX５X
万の位。和が３　すから、１＋２しかありません。
　　　→　１XX５X　＋　２XX５X
百の位。十の位の繰り上がりを考慮して、和が４にならなければいけません。 万の位で一方が　２　を使っているので、２＋２は使えません。　 １＋３　になりますが、前項が万の位で１を使っています。
　　　→　１X３５X　＋　２X１５X
千の位。和が　７　で、５は十の位で使っているので、３＋４しかありません。　 ３　は前項に入っているので、後項に入れます。
　　　→　１４３５X　＋　２３１５X
残った数字を一の位に入れます。
　　　→　１４３５２　＋　２３１５４　（＝３７５０６）
（４）　まず、千の位、百の位で、繰り下がりがあります。 （繰り下げないと、　８　と　５　にはなり得ません。）
千の位。差が　５　になるのは、百の位の繰り下げも考慮して、１１−５しかありません。
　　　→　X１XXX　−　X５XXX
百の位。差が　８　になるのは、　１１−３、１２−４、１３−５です。 千の位で前項に　１　、後項に　５　を使っているので、１２−４しかありません。
　　　→　X１２XX　−　X５４XX
万の位。差が　３　になるのは、千の位の繰り下げも考慮して、５−１しかありません。
　　　→　５１２XX　−　１５４XX
一の位。差が　０　になるのは、残っている数字で、３−３だけです。
　　　→　５１２X３　−　１５４X３
残った数字を十の位に入れます。
　　　→　５１２４３　−　１５４２３　（＝３５８２０）

解答・その24

（ペンネ−ム：T_Tatekawa）

(1)
万の位に 5 を置きます．1-4 の並べ方は 4!=24 通りあるので，5番目に 大きな数の万の位は 5 です．
次に千の位に 4 を置きます．1-3 の並べ方は 3!=6 通りあるので，5番目に 大きな数の千の位は 4 です．
後は 1-3 の並べ替えです．
大きい順に 321, 312, 231, 213, 132, 123 となるので，5番目に大きな数は 54132 です．

(2) （あ）
1 から 5 までを足し上げると 15 です． 二人がそれぞれ使うカードの数の和は 30 になります． 一方，
　　　7+9+4+8+2 = 30
です．繰り上がりがあれば，繰り上がり一回ごとに各桁の数の和が 10 - 1 = 9 ずつ少なくなります． このため，二人が作った数の和が 30 ならば，繰り上がりがなかった 事のなります．

（い）
2=1+1, 9=4+5 です．
太郎さんが作った数にまず 1 と 5 が含まれ， 花子さんが作った数に 1 と 4 が含まれるとします．

十の位の 8 を作るには 8=5+3 です．
5 は太郎さんが既に使っているので，花子さんが使います． 3 は太郎さんが使います．

万の位の 7 を作るには，7=4+3 です．
4 は花子さんが既に使っているので太郎さんが， 3 は太郎さんが既に使っているので花子さんが使います．

百の位の 4 を作るには，4=2+2 ですので，二人が使います．

以上から二人が作った数は 45231 と 34251 です．

(3) 3+7+5+0+6=21 なので，繰り上がりが1回あります．
1 から 5 までの二つの数を使った和の最大は 10 なので， 十の位で繰り上がりが起きた事が分かります．10=5+5 より， 二人が作った数の十の位は，どちらも 5 です．

万の位の 3 を作るには，3=2+1 ですので，太郎さんが 2 を， 花子さんが 1 を使う事にします．

千の位の 7 を作るには，7=4+3 です．ここは後で考えます．
一の位の 6 を作るには，6=4+2 です．太郎さんは既に 2 を 使っているので 4 を使います．花子さんは 2 を使います．

千の位をもう一度考えると，太郎さんが使えるのは 3 です． 花子さんは 4 を使います．

百の位は繰り上がりを除くと 4=3+1 となります．太郎さんが 1 を，花子さんが 3 を使います．

以上から二人が作った数は 23154 と 14352 です．

(4) まず百の位に注目します．1 から 5 の数を使った引き算で， 大きな数から小さい数を引いたとき，最大となるのは 5-1 = 4 です．

このため，百の位では「小さい数から大きな数を引く」事が 起きていて，千の位から1を持ってきています．
同様に千の位も，万の位から 1 を持ってきています．

万の位の 2 つの数の差は 4 になるので，引かれる数の万の 位が 5，引く数の万の位が 1 となることがわかります．

次に千の位を考えますと，本来は 6 になるところが，百の 位に持っていかれて 5 になっているわけです．差が 6 に なる組み合わせは 10+1-5 = 6 しかないので，引かれる数の千の位が 1，引く数の 千の位が 5 となることがわかります．

この時点で使っていないカードはどちらの数も 2, 3, 4 です．
十の位について 4-2=2 なので，引かれる数の十の位が 4，引く 数の十の位が 2 となることがわかります．

一の位は差が 0 なので，二つの数の一の位が同じ事になります． よって 3 です．

残った百の位は，引かれる数の百の位が 2，引く数の百の位が 4 です．

以上から二人が作った数は 51243 と 15423 です．

解答・その25

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

(1)「54***」 というパターンの数は、3！＝6 通りあります。
具体的に書き出すと、大きい順に

　　　54321、54312、54231、54213、54132、54123

だから5番目に大きな数は、54132です。

(2)
(あ)和の数について各位の数字を合計すると、くり上がりがない場合は 30 になります。

　　　2×(1+2+3+4+5)＝30

くり上がりが一回あると、10進法で数を表しているので、 その桁は 10 減り、1つ上の桁は1増えるので 21 になります。

　　　30-10+1＝21

「79482」の各位の数の和は、30 なのでくり上がりはなかったと考えられます。

(い)　和の表(「1」の位の表）

	１	２	３	４	５
１	２	３	４	５	６
２	３	４	５	６	７
３	４	５	６	７	８
４	５	６	７	８	９
５	６	７	８	９	０

「79482」について、
(1)一の位は、「1」と「1」です。
(2)千の位は、「4」と「5」です。
(3)十の位は、(2)で「4」を１つ使ってしまったので、「5」と「3」です。
(4)万の位は、(2)と(3)で「5」を２つとも使ってしまったので、「3」と「4」です。
(5)百の位は、残りの「2」と「2」です。
まとめると、「34251」と「45231」です。

(3)「37506」は、各位の数字の和が 21 なのでくり上がりが、一回あります。
(1)十の位は、「5」と「5」です。
(2)千の位は、「3」と「4」です。
(3)一の位は、「4」と「2」です。
(4)万の位は、「2」と「1」です。
(5)百の位は、十の位から(1)くり上がりがあるので、「1」と「3」です。
まとめると、「23154」と「14352」です。

(4)差の数について各位の数字の和は、一回くり下がりがあると、 その桁は 10 増え、1つ上の桁は1減るので 9 になります。

　　　(1+2+3+4+5)-(1+2+3+4+5)+10-1＝9

二回くり下がりがあると、18 になります。
　　　　差の表(左の数と上の数との差の「1」の位の表)

	１	２	３	４	５
１	０	９	８	７	６
２	１	０	９	８	７
３	２	１	０	９	８
４	３	２	１	０	９
５	４	３	２	１	０

「35820」は、各位の数字の和が 18 なので、くり下がりが二回あります。
(1)表の中に(5)は出てこないので、千の位は百の位にくり下がることを条件に、「1」と「5」です。
(2)百の位は、(1)で「1」と「5」が出てきたので、「2」と「4」です。
(3)一の位は、同じ数字でないといけないので、「3」と「3」です。
(4)十の位は、(3)がもうないので、「4」と「2」です。
(5)万の位は、千の位にくり下がっているので、「5」と「1」です。
まとめると、「51243」と「15423」です。

正解者

まとめ

(2)(あ)で繰り上がりの判定がありますが、 これがポイントかなと思います。
いただいた解答では、「5+5=10」の「0」がないからというものも、 多かったですね。この場合、使っているカードが1〜5ですから、 そうなりますね。
別なアプローチとしては、 1〜5のカードの合計が15でこれを２つ分足すことになりますが、 並べてできた数79482の各桁の数の和が30になっていますから、 繰り上がりはないということになります。 もしくり上がりがあれば、和が21になるはずですからね。 (繰り上がった10が、見た目は１となるため） この考え方だと、1〜5というカードの数に限定されません。

(4)は、引き算の問題ですが、私は
　　　Ｘ＋35820＝Ｙ
として、足し算で考えました。 この場合は、Ｘ,Ｙの各桁の和がともに15で、 35820の各桁の和が18であることから、 この足し算において、くり上がりが２回あるということがわかります。 最後はパズルですが、こういう情報があれば、 解答に至る時間短縮になりますね。
また、厳密には、解答の一意性（これ以外に条件を満たす組み合わせはない）を 示す必要もありまが、解答を探す中で、示されていればよいと思います。