問題121

１２１．２００７年の問題

３桁の数字を３種類足した合計が２００７０から９までの１０個の数字を９個の□に１個ずつ入れて右の計算式を完成させると、使わない数字が１個あります。
この使わない数字として考えられるものを求め、すべて答えてください。

問題の出典

算数オリンピックに挑戦
'00～'03年度版
算数オリンピック委員会編
2003年第７回ジュニア算数オリンピックファイナル問題(改題)

答えと解説

解答・その1

（ペンネ－ム：浜田　明巳）

いつものように，エクセルのマクロで解いた．
ＡＢＣ＋ＤＥＦ＋ＧＨＩ＝２００７（ＡＢＣ<ＤＥＦ<ＧＨＩ）として計算する．
答は０と９の２個である．

Option Explicit
'  ABC
'  DEF
'+ GHI
'-----
' 2007 ({A,B,C,D,E,F,G,H,I}⊂{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},0<A<B<C)
Sub Macro1()
    Sheets("Sheet1").Select
    Cells(1, 1).Value = 0
    Range("A1").Select
    Dim A As Integer
    Dim B As Integer
    Dim C As Integer
    Dim D As Integer
    Dim E As Integer
    Dim F As Integer
    Dim G As Integer
    Dim H As Integer
    Dim I As Integer
    Dim kuriagari(2) As Integer
    Dim gyou As Integer
    Dim retsu As Integer
    Dim n As Integer
    Dim nokori(9) As Integer
    Dim j As Integer
    For j = 0 To 9
      nokori(j) = 0
    Next j
    For C = 0 To 9
      For F = 0 To 9
        If C <> F Then
          '(C+F+I) mod 10=7
          I = (10 + 7 - C - F) Mod 10
          If C <> I And F <> I Then
            kuriagari(1) = (C + F + I) \ 10
            For B = 0 To 9
              If B <> C And B <> F And B <> I Then
                For E = 0 To 9
                  If B <> E And C <> E And E <> F And E <> I Then
                    '(B+E+H+kuriagari(1)) mod 10=0
                    H = (20 - B - E - kuriagari(1)) Mod 10
                    If B <> H And C <> H And E <> H And F <> H And H <> I Then
                      kuriagari(2) = (B + E + H + kuriagari(1)) \ 10
                      For A = 1 To 9 - 2
                        If A <> B And A <> C And A <> E And A <> F And A <> H And A <> I Then
                          For D = A + 1 To 9 - 1
                            If B <> D And C <> D And D <> E And D <> F And D <> H And D <> I Then
                              'A+D+G+kuriagari(2)=20
                              G = 20 - A - D - kuriagari(2)
                              If D < G And G <= 9 And B <> G And C <> G And E <> G And F <> G And G <> H And G <> I Then
                                Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
                                gyou = Cells(1, 1).Value * 5 - 4
                                n = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 - A - B - C - D - E - F - G - H - I
                                nokori(n) = nokori(n) + 1
                                Cells(gyou, 2).Value = A * 100 + B * 10 + C
                                Cells(gyou + 1, 2).Value = D * 100 + E * 10 + F
                                Cells(gyou + 2, 2).Value = G * 100 + H * 10 + I
                                Cells(gyou + 3, 2).Value = 2007
                                Cells(gyou + 3, 3).Value = n
                                Range("C" & (gyou + 3)).Select
                              End If
                            End If
                          Next D
                        End If
                      Next A
                    End If
                  End If
                Next E
              End If
            Next B
          End If
        End If
      Next F
    Next C
    retsu = 4 - 1
    Range("D1").Select
    For j = 0 To 9
      If nokori(j) > 0 Then
        retsu = retsu + 1
        Cells(1, retsu).Value = j
      End If
    Next j
End Sub

解答・その2

（ペンネ－ム：SOU）

************************************************************
1の位として選べるものの組、和、IDを以下のように設定します。
************************************************************
数の組 和 組ID 
016 7 7a 
025 7 7b 
034 7 7c 
124 7 7d 
269 17 17a 
278 17 17b 
359 17 17c 
368 17 17d 
458 17 17e 
467 17 17f 
************************************************************************
さらに和の1の位が0,9,8になる数の組とIDを以下のように設定します。
************************************************************************
1の位0 ID 1の位9 ID 1の位8 ID 
019 10a 018 9a 017 8a
028 10b 027 9b 026 8b
037 10c 036 9c 035 8c
046 10d 045 9d 126 8d
127 10e 126 9e 125 8e
136 10f 135 9f 134 8f
145 10g 234 9g 189 18a
235 10h 289 19a 279 18b
389 20a 379 19b 369 18c
479 20b 469 19c 378 18d
569 20c 478 19d 459 18e
578 20d 568 19e 468 18f
567 18g
**************************************************************
作業に入ります。
ID:7a～17fの全ての考えうる一の位の組に対し適当な十の位を選び、
さらにそれに対して適当な百の位を選びます。
組み合わせが存在しなければneと書きます。
**************************************************************

ID 十の位 百の位 組み合わせ 未使用の数 
7a 10h 19d 016 235 478 9
20a ne
20b ne 
20d ne 

7b 10f 19d 025 136 478 9
20a ne 
20b ne 

7c 10e 19e 034 127 568 9
20c ne
20d ne 

7d 10c 19e 124 037 568 9
20a 18g 124 389 567 0
20c 18d 124 569 378 0
20d 18c 124 578 369 0

17a 9a ne 
9d ne 
9f 19d 269 135 478 0
19d ne

17b 9c ne
9d ne
9f 19c 278 135 469 0
19c ne 

17c 9a ne 
9b ne 
9e ne 
19d ne 

17d 9b ne 
9d ne 

17e 9b ne 
9c ne 
9e 19b 458 126 379 0
19b ne 

17f 9a ne 
9f 19a 467 135 289 0
19a ne 
************************************************************************
組み合わせはここで考えたもの以外存在しないので、使わずにすむ数は0と9で全てと
なります　//
************************************************************************

編者注）条件に合う組み合わせは、13通りあります。

解答・その3

（ペンネ－ム：のっこん）

３つの数を100a+10b+c,100d+10e+f,100g+10h+i とし、次の４つの場合に分ける

　　　(1)c+f+i=7,b+e+h=10 の時
　　　(2)c+f+i=7,b+e+h=20 の時
　　　(3)c+f+i=17,b+e+h=9 の時
　　　(4)c+f+i=17,b+e+h=19 の時

(1)の時は　a+d+g=19　となればよい
c+f+i+b+e+h=17　だから　a+d+g+x=45-17=28 x=28-19=9
実際例・・・420,731,856

(2)の時は　a+d+g=18　となればよい
c+f+i+b+e+h=27　だから　a+d+g+x=45-27=18 x=18-18=0
実際例・・・531,682,794

(3)の時は　a+d+g=19　となればよい
c+f+i+b+e+h=26　だから　a+d+g+x=45-26=19 x=19-19=0
実際例・・・214,836,957

(4)の時は　a+d+g=18　となればよい
c+f+i+b+e+h=36　だから　a+d+g+x=45-36=9 x=9-18=-9　となり不適

　　　　　（答）０と９

解答・その4

（ペンネ－ム：にしやん）

題意より、一の位の和は、７または１７のいづれかである。

一の位の和が７の時、
十の位の和は、１０または２０のいづれかである。

一の位の和が１７の時、
十の位の和は、９または１９のいづれかである。
百の位の和は、一の位、十の位がわかれば必然的に求まるので、組み合わせは以下の４通りとなる。

【百の位の和、十の位の和、一の位の和】＝
　【１９，１０，７】、【１８，２０，７】、【１９，９，１７】、【１８，１９，１７】

３つの数字の和が７となるのは、以下の４通り。
（０，１，６）、（０，２，５）、（０，３，４）、（１，２，４）

３つの数字の和が９となるのは、以下の７通り。
（０，１，８）、（０，２，７）、（０，３，６）、（０，４，５）
（１，２，６）、（１，３，５）、（２，３，４）

３つの数字の和が１０となるのは、以下の８通り。
（０，１，９）、（０，２，８）、（０，３，７）、（０，４，６）
（１，２，７）、（１，３，６）、（１，４，５）、（２，３，５）

３つの数字の和が１７となるのは、以下の８通り。
（０，８，９）、（１，７，９）、（２，６，９）、（２，７，８）
（３，５，９）、（３，６，８）、（４，５，８）、（４，６，７）

３つの数字の和が１８となるのは、以下の７通り。
（１，８，９）、（２，７，９）、（３，６，９）、（３，７，８）
（４，５，９）、（４，６，８）、（５，６，７）

３つの数字の和が１９となるのは、以下の５通り。
（２，８，９）、（３，７，９）、（４，６，９）、（４，７，８）
（５，６，８）

３つの数字の和が２０となるのは、以下の４通り。
（３，８，９）、（４，７，９）、（５，７，８）、（５，６，９）

１）【百の位の和、十の位の和、一の位の和】＝【１９，１０，７】の時
　これを満たす組み合わせは、
【（４，７，８），（１，３，６），（０，２，５）】使わない数字＝９
【（４，７，８），（２，３，５），（０，１，６）】使わない数字＝９
【（５，６，８），（０，３，７），（１，２，４）】使わない数字＝９
【（５，６，８），（１，２，７），（０，３，４）】使わない数字＝９

２）【百の位の和、十の位の和、一の位の和】＝【１８，２０，７】の時
これを満たす組み合わせは、
【（３，６，９），（５，７，８），（１，２，４）】使わない数字＝０
【（５，６，７），（３，８，９），（１，２，４）】使わない数字＝０
【（３，７，８），（５，６，９），（１，２，４）】使わない数字＝０

３）【百の位の和、十の位の和、一の位の和】＝【１９，９，１７】の時
これを満たす組み合わせは、
【（２，８，９），（１，３，５），（４，６，７）】使わない数字＝０
【（３，７，９），（１，２，６），（４，５，８）】使わない数字＝０
【（４，６，９），（１，３，５），（２，７，８）】使わない数字＝０
【（４，７，８），（１，２，６），（３，５，９）】使わない数字＝０
【（５，６，８），（２，３，４），（１，７，９）】使わない数字＝０
【（４，７，８），（１，３，５），（２，６，９）】使わない数字＝０

４）【百の位の和、十の位の和、一の位の和】＝【１８，１９，１７】の時
これを満たす組み合わせは、ない。

以上より、使わない数字は、０または９である。

解答・その5

（ペンネ－ム：住吉浜太郎）

”１”をピースと見て、０～９の数字をそれぞれの数のピースが入った容器と考えて、繰り上がりを考えて・・・場合分けして

１０の位が”９”で一の位が”１７”のとき
（１００の位）８－６－５（１０の位）４－３－２（１の位）９－７－１
（１００の位）８－７－４（１０の位）５－３－１（１の位）９－６－２
（１００の位）８－７－４（１０の位）６－２－１（１の位）９－５－３
（１００の位）９－７－３（１０の位）６－２－１（１の位）８－５－４
（１００の位）９－８－２（１０の位）５－３－１（１の位）７－６－４
（１００の位）９－６－４（１０の位）５－３－１（１の位）８－７－２
で”０”を使っていない

１０の位が”１０”で一の位が”７”のとき
（１００の位）８－６－５（１０の位）１－２－７（１の位）４－３－０
（１００の位）８－７－４（１０の位）１－３－６（１の位）５－２－０
（１００の位）８－６－５（１０の位）３－７－０（１の位）１－２－４
（１００の位）８－７－４（１０の位）２－３－５（１の位）６－１－０
で”９”を使っていない

１０の位が”２０”で一の位が”７”のとき
（１００の位）７－６－５（１０の位）９－８－３（１の位）４－２－１
（１００の位）８－７－３（１０の位）９－６－５（１の位）４－２－１
（１００の位）９－６－３（１０の位）８－７－５（１の位）４－２－１
で”０”をつかっていない

だから答えは、”０”と”９”でどうですか？

解答・その6

（ペンネ－ム：まーや）

（答え）０，９

〈表記のルール〉（百の位）（４,７,８）と書けば、この３つの数字を百の位のマス（a，b，c）のいずれかにどの順番で入れてもよいとする。
（十の位）（２,３,５）と書けば、この３つの数字を十の位のマス（d，e，f）のいずれかにどの順番で入れてもよいとする。
一の位も同様である。

足して「２００７」にするには、以下の（ア）、（イ）、（ウ）、（エ）の条件のうち、１つ満たす必要がある。

（ア）「百の位の和（a＋b＋c）が19」かつ「十の位の和（d＋e＋f）が10」かつ「一の位の和（g＋h＋i）が７」
（イ）「百の位の和が18」かつ「十の位の和が20」かつ「一の位の和が７」
（ウ）「百の位の和が19」かつ「十の位の和が９」かつ「一の位の和が17」
（エ）「百の位の和が18」かつ「十の位の和が19」かつ「一の位の和が17」

（ア）「百の位の和（a＋b＋c）が19」かつ「十の位の和（d＋e＋f）が10」かつ「一の位の和（g＋h＋i）が７」のとき
（百の位　）－（十の位）－（一の位　）
（４,７,８）－（２,３,５）－（０,１,６）・・・使わない数字は「９」
（４,７,８）－（１,３,６）－（０,２,５）・・・使わない数字は「９」
（５,６,８）－（１,２,７）－（０,３,４）・・・使わない数字は「９」
（５,６,８）－（０,３,７）－（１,２,４）・・・使わない数字は「９」

（イ）「百の位の和が18」かつ「十の位の和が20」かつ「一の位の和が７」のとき
（百の位　）－（十の位）－（一の位　）
（５,６,７）－（３,８,９）－（１,２,４）・・・使わない数字は「０」
（３,７,８）－（５,６,９）－（１,２,４）・・・使わない数字は「０」
（３,６,９）－（５,７,８）－（１,２,４）・・・使わない数字は「０」

（ウ）「百の位の和が19」かつ「十の位の和が９」かつ「一の位の和が17」
（百の位　）－（十の位）－（一の位　）
（５,６,８）－（２,３,４）－（１,７,９）・・・使わない数字は「０」
（４,７,８）－（１,３,５）－（２,６,９）・・・使わない数字は「０」
（４,６,９）－（１,３,５）－（２,７,８）・・・使わない数字は「０」
（４,７,８）－（１,２,６）－（３,５,９）・・・使わない数字は「０」
（３,７,９）－（１,２,６）－（４,５,８）・・・使わない数字は「０」
（２,８,９）－（１,３,５）－（４,６,７）・・・使わない数字は「０」

（エ）「百の位の和が18」かつ「十の位の和が19」かつ「一の位の和が17」のとき
問題の条件を満たす数字の組み合わせなし。

よって、使われない数字は、０と９。

解答・その7

（ペンネ－ム：巷の夢）

3数の合計が2007となるには桁に注目して考えると、1から9までの総和が45であるので　 3個の各桁の合計が45以下であることが必要なので

　　　1900　+　100　+　7　＝　2007
　　　1800　+　200　+　7　＝　2007
　　　1900　+　90　+　17　＝　2007

しかないことが分かる。そこで0～9までの3数づつの和で各々の桁の可能性を以下の表に整理すると、

7 9 10 17 18 19 20
016 018 019 089 189 289 389
025 027 028 179 279 379 479
034 036 037 269 369 469 569
124 045 046 278 459 478 578
　 126 127 359 378 568 　
　 135 136 368 468 　　
　 234 145 458 567 　　
　　 235 467 　　　

因って、上記組み合わせに適合するよう3桁の総和を計算する。
例えば、最下桁　：　016　、中央桁　：　235　、　最上桁　：　478　で2007となる。
この様に試していくと、0と9は使用されないことが分かる。
因って、求めるものは0＆9である。

7	9	10	17	18	19	20
016	018	019	089	189	289	389
025	027	028	179	279	379	479
034	036	037	269	369	469	569
124	045	046	278	459	478	578
	126	127	359	378	568
	135	136	368	468
	234	145	458	567
		235	467

解答・その8

（ペンネ－ム：MizuMini）

 
     A1 B1 C1
     A2 B2 C2
  +  A3 B3 C3
  -----------
   2  0  0  7

ここで、各桁について１００の桁をＡ、１０の桁をＢ、１の桁をＣとし、各桁の数字をそれぞれ、上記のようにA1～C3とします。

１．最初に、Ｃの桁の数字の合計、Ｃ１＋Ｃ２＋Ｃ３が取れる値は、７又は１７、２７、　３７等が考えられますが、使える最大の３つの数字『９』、『８』、『７』ですので、これを　を合計しても、２４ですので、合計は７又は１７となります。

２．またＢの桁で、３つの数字を組み合わせて、Ｂの桁を０にするには、
　　(1)Ｃの桁が７で桁上がりのない場合、Ｂの桁の数字の合計が１０又は２０の二通り。
　　(2)Ｃの桁が１７で桁上がりがある場合、Ｂの桁の数字の合計が９又は１９の二通り。

３．同じくＡの桁で、３つの数字を組み合わせて合計を２０にするには、
　　(1)Ｂの桁から桁上がりがない場合、Ａの桁の数字の合計が２０
　　(2)Ｂの桁から１桁上がりがある場合、Ａの桁の数字の合計は１９
　　(3)Ｂの桁から２桁上がりがある場合、　Ａの桁の数字の合計は１８

４．よって、１～３項より各桁の数字の合計で　下記の(1)～(4)の４通りの組み合わせが　考えられます。

(1) (2) (3) (4)
↓ ↓ ↓ ↓
Ｃ１＋Ｃ２＋Ｃ３＝７７１７１７
Ｂ１＋Ｂ２＋Ｂ３＝１０２０９１９
Ａ１＋Ａ２＋Ａ３＝１９１８１９１８

	(1)	(2)	(3)	(4)
	↓	↓	↓	↓
Ｃ１＋Ｃ２＋Ｃ３＝	７	７	１７	１７
Ｂ１＋Ｂ２＋Ｂ３＝	１０	２０	９	１９
Ａ１＋Ａ２＋Ａ３＝	１９	１８	１９	１８

５．いま与えられた数字の『０』から『９』までの数字を全て加算すると、

　　　０+１+２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＝４５

となるので、これから各桁の数字の合計を引いた数字が求める数値となるはずです。

　　　４項(1)の場合、　４５－（１９＋１０＋７）＝９
　　　４項(2)の場合、　４５－（１８＋２０＋７）＝０
　　　４項(3)の場合、　４５－（１９＋９＋１７）＝０
　　　４項(4)の場合、　４５－（１７＋１９＋１８）＝－９

４項(4)の場合は負となるので適しません。４項(2)，(3)の場合は『０』ですが、使える数字の中に『０』が入ってますので問題ありません。よって、求める数字は『０』か『９』となります。

６．答えを求めるために実際に数字を当てはめてみて確認してみます。

４項(1)の場合、Ｃ　の桁の合計を７にするには、『０，２，５』、『０，３，４』『１，２，４』、『１，６，０』の４通りの組み合わせが考えられます。

Ｃ　の桁が『０，２，５』の場合、残りの数字で合計が１０になる組み合わせは『１，３，６』のみで、残り　『４，７，８』の合計が１９となるのでＯＫです。
Ｃ　の桁が『０，３，４』の場合、残りの数字で合計が１０になる組み合わせは『１，２，７』のみで、残り　『５，６，８』の合計が１９となるのでこれもＯＫです。
Ｃ　の桁が『１，２，４』の場合、残りの数字で合計が１０になる組み合わせは『７，３，０』のみで、これも残り　『５，６，８』となりの合計が１９となりＯＫです。
Ｃ　の桁が『１，６，０』の場合、残りの数字で合計が１０になる組み合わせは『５，３，２』のみで、残り　『４，７，８』の合計が１９となるのでこれもＯＫです。

４項(2)の場合、Ｃの桁の合計を７にするには、『１，２，４』の組み合わせで、
Ｂの桁の数値の合計を１８にするには『３，８，９』、『５，６，９』、『５，７，８』の３通りの組み合わせが考えられます。

Ｂの桁が『３，８，９』の場合、残り『５，６，７』の合計が１８となるのでＯＫです。
Ｂの桁が『５，６，９』の場合、残り『３，７，８』の合計が１８となるのでこれもＯＫです。
Ｂの桁が『５，７，８』の場合、残り『３，６，９』となり合計が１８となりＯＫです。

７．以上より、求める数字は『０』と『９』です。

答え：『０』と『９』

解答・その9

（ペンネ－ム：To the stars）

まず、100の位の3つの数字の和は19か18のいずれかである。
なぜなら、10の位の3つの数字の和が10か20かのいずれかであるから、必ず100の位に1か2、繰り上がってくるため。

1) 100の位の和で19になるケース
　順不同で、
　　2-8-9　…（１）
　　3-7-9　…（２）
　　4-6-9　…（３）
　　4-7-8　…（４）
　　5-6-8　…（５）
　の組み合わせのみ。

2) 100の位の和で18になるケース
　順不同で、
　　1-8-9　…（６）
　　2-7-9　…（７）
　　3-6-9　…（８）
　　3-7-8　…（９）
　　4-6-8　…（１０）
　　5-6-7　…（１１）
　の組み合わせのみ。

次に、1の位の3つの数字の和は7か17のいずれかである。
3) 1の位の和で7になるケース
　順不同で、
　　0-1-6
　　0-2-5
　　0-3-4
　　1-2-4
　の組み合わせのみ。

4) 1の位の和で17になるケース
　順不同で、
　　0-8-9
　　1-7-9
　　2-6-9
　　2-7-8
　　3-5-9
　　3-6-8
　　4-5-8
　　4-6-7
　の組み合わせのみ。

（１）100の位が(2-8-9)のとき、1の位は、
　　0-1-6　（残りは3-4-5-7 10は作れず）
　　0-3-4　（残りは1-5-6-7　10は作れず）
　　4-6-7　（残りは0-1-3-5　9が完成◎未使用は0）
であるしかない。

（２）100の位が(3-7-9)のとき、1の位は、
　　0-1-6　（残りは3-4-5-7　10は作れず）
　　0-2-5　（残りは1-4-6-8　10は作れず）
　　1-2-4　（残りは0-5-6-8　10は作れず）
　　4-5-8　（残りは0-1-2-6　9が完成◎未使用は0）
であるしかない。

（３）100の位が(4-6-9)のとき、1の位は、
　　0-2-5　（残りは1-3-7-8　10は作れず）
　　2-7-8　（残りは0-1-3-5　9が完成◎未使用は0）
であるしかない。

（４）100の位が(4-7-8)のとき、1の位は、
　　0-1-6　（残りは2-3-5-9　10が完成◎未使用は9）
　　0-2-5　（残りは1-3-6-9　10が完成◎未使用は9）
　　2-6-9　（残りは0-1-3-5　9が完成◎未使用は0）
　　3-5-9　（残りは0-1-2-6　9が完成◎未使用は0）
であるしかない。

（５）100の位が(5-6-8)のとき、1の位は、
　　0-3-4　（残りは1-2-7-9　10が完成◎未使用は9）
　　1-2-4　（残りは0-3-7-9　10が完成◎未使用は9）
　　1-7-9　（残りは0-2-3-4　9が完成◎未使用は0）
であるしかない。

（６）100の位が(1-8-9)のとき、1の位は、
　　0-2-5　（残りは3-4-6-7　20は作れず）
　　0-3-4　（残りは2-5-6-7　20は作れず）
　　4-6-7　（残りは0-2-3-5　19は作れず）
であるしかない。

（７）100の位が(2-7-9)のとき、1の位は、
　　0-1-6　（残りは3-4-5-8　20は作れず）
　　0-3-4　（残りは1-2-5-6　20は作れず）
　　3-6-8　（残りは0-1-4-5　19は作れず）
であるしかない。

（８）100の位が(3-6-9)のとき、1の位は、
　　0-2-5　（残りは1-4-7-8　20は作れず）
　　1-2-4　（残りは0-5-7-8　20が完成◎未使用は0）
　　2-7-8　（残りは0-1-4-5　19は作れず）
であるしかない。

（９）100の位が(3-7-8)のとき、1の位は、
　　0-1-6　（残りは2-4-5-9　20は作れず）
　　0-2-5　（残りは1-4-6-9　20は作れず）
　　1-2-4　（残りは0-5-6-9　20が完成◎未使用は0）
　　2-6-9　（残りは0-1-4-5　19は作れず）
であるしかない。

（１０）100の位が(4-6-8)のとき、1の位は、
　　0-2-5　（残りは1-3-7-9　20は作れず）
　　3-5-9　（残りは0-1-2-7　19は作れず）
であるしかない。

（１１）100の位が(5-6-7)のとき、1の位は、
　　0-3-4　（残りは1-2-8-9　20は作れず）
　　1-2-4　（残りは0-3-8-9　20が完成◎未使用は0）
　　0-8-9　（残りは1-2-3-4　19は作れず）
であるしかない。

以上により、0 と 9 である。・・・（答）

解答・その10

（ペンネ－ム：ますますタコさん）

解答：　０　と　９

過程：
一の位
問題から、０～９の数字３つを足して（同じ数字は使わない）計算結果の一の位を「７」にしなければなりません。０～９のうち、３つの数字を足して出来る計算結果は最小で「３」（＝０＋１＋２）で、最大は「２４」（＝７＋８＋９）です。３～２４のうち、一の位が「７」なのは、７　と　１７　です。

十の位
同じように、３つの数字の合計の一の位が「０」にならなければなりません。３～２４のうち、一の位が「０」なのは、１０　と　２０　です。さらに、「一の位」が「１７」のときの繰り上がりがあるので、９　と　１９　も考えなければいけません。

百の位

ここは、合計が「２０」にならなければいけません。十の位の繰り上がりが、「１」のときと、「２」のときがあるので、３つの数字の合計が、１８　と　１９　です。

まとめると、３つの数字の合計がそれぞれ、

　一の位・・・・・７、１７
　十の位・・・・・９、１０、１９、２０
　百の位・・・・・１８、１９

のときに、計算結果が「２００７」になり得ます。

そこで、「２００７」になる組み合わせを考えると、

　百の位　十の位　一の位
　１８　－　１９　－　１７　・・・・・(1)
　１８　－　２０　－　７　・・・・・・(2)
　１９　－　９　　－　１７　・・・・・(3)
　１９　－　１０　－　７　・・・・・・(4)

の４通りになります。
ここで、０～９のうち、９つの数字を足して（同じ数字は使わない）出来る計算結果で、最小は「３６」（０＋１＋２＋・・・＋８）で、最大は「４５」（１＋２＋３＋・・・＋９）です。先の組み合わせのうち、３つの数字の合計が、３６～４５の間になければ、「０～９を１回づつ使って」は不可能となります。 (1)は　５４　になって、条件よりはずれます。 (2)(3)は　４５　で、条件にあいます。使用しない数字は上の括弧内の式より「　０　」です。 (4)は　３６　で、これも条件にあいます。使用しない数字は「　９　」です。
上記より、答えは　０　と　９　になります。

あとは、先の組み合わせの中で、同じ数字を２回以上使わずに、３つの数字の合計の組み合わせが上記のように出来るかを証明しなければならないと思います。
まず、「７」は、０～９の内で３つの異なる数字の和で表すと「０＋１＋６」、「０＋２＋５」、「０＋３＋４」、「１＋２＋４」が考えられます。他の数字も同様に・・・

７（０，１，６）（０，２，５）（０，３，４）（１，２，４）
９（０，１，８）（０，２，７）（０，３，６）（０，４，５）（１，２，６）（１，３，５）（２，３，４）
１０（０，１，９）（０，２，８）（０，３，７）（０，４，６）（１，２，７）（１，３，６）（１，４，５）（２，３，５）
１７（０，８，９）（１，７，９）（２，６，９）（２，７，８）（３，５，９）（３，６，８）（４，５，８）（４，６，７）
１８（１，８，９）（２，７，９）（３，６，９）（３，７，８）（４，５，９）（４，６，８）（５，６，７）
１９（２，８，９）（３，７，９）（４，６，９）（４，７，８）（５，６，８）
２０（３，８，９）（４，７，９）（５，６，９）（５，７，８）

この中で、先の組み合わせを参考に（　）内に０～９が２回以上出てこない組み合わせを考えました。

７	（０，１，６）（０，２，５）（０，３，４）（１，２，４）
９	（０，１，８）（０，２，７）（０，３，６）（０，４，５）（１，２，６）（１，３，５）（２，３，４）
１０	（０，１，９）（０，２，８）（０，３，７）（０，４，６）（１，２，７）（１，３，６）（１，４，５）（２，３，５）
１７	（０，８，９）（１，７，９）（２，６，９）（２，７，８）（３，５，９）（３，６，８）（４，５，８）（４，６，７）
１８	（１，８，９）（２，７，９）（３，６，９）（３，７，８）（４，５，９）（４，６，８）（５，６，７）
１９	（２，８，９）（３，７，９）（４，６，９）（４，７，８）（５，６，８）
２０	（３，８，９）（４，７，９）（５，６，９）（５，７，８）

百の位　　－　　十の位　　－　　一の位

１８（３，６，９）－２０（５，７，８）－７（１，２，４）・・・(2)の１
　　→３５１＋６７２＋９８４＝２００７
　　→６５１＋３７２＋９８４＝２００７・・・ｅｔｃ．

１８（３，７，８）－２０（５，６，９）－７（１，２，４）・・・(2)の２
　　→３５１＋７６２＋８９４＝２００７
　　→７５１＋３６２＋８９４＝２００７

１８（５，６，７）－２０（３，８，９）－７（１，２，４）・・・(2)の３
　　→５３１＋６８２＋７９４＝２００７
　　→６３１＋５８２＋７９４＝２００７・・・ｅｔｃ．

１９（２，８，９）－９（１，３，５）－１７（４，６，７）・・・(3)の１
　　→２１４＋８３６＋９５７＝２００７
　　→８１４＋２３６＋９５７＝２００７・・・ｅｔｃ．

１９（３，７，９）－９（１，２，６）－１７（４，５，８）・・・(3)の２
　　→３１４＋７２５＋９６８＝２００７
　　→７１４＋３２５＋９６８＝２００７・・・ｅｔｃ．

１９（４，６，９）－９（１，３，５）－１７（２，７，８）・・・(3)の３
　　→４１２＋６３７＋９５８＝２００７
　　→６１２＋４３７＋９５８＝２００７・・・ｅｔｃ．

１９（４，７，８）－９（１，２，６）－１７（３，５，９）・・・(3)の４
　　→４１３＋７２５＋８６９＝２００７
　　→７１３＋４２５＋８６９＝２００７・・・ｅｔｃ．

１９（４，７，８）－９（１，３，５）－１７（２，６，９）・・・(3)の５
　　→４１２＋７３６＋８５９＝２００７
　　→７１２＋４３６＋８５９＝２００７・・・ｅｔｃ．

１９（５，６，８）－９（２，３，４）－１７（１，７，９）・・・(3)の６
　　→５２１＋６３７＋８４９＝２００７
　　→６２１＋５３７＋８４９＝２００７・・・ｅｔｃ．

１９（４，７，８）－１０（１，３，６）－７（０，２，５）・・・(4)の１
　　→４１０＋７３２＋８６５＝２００７
　　→７１０＋４３２＋８６５＝２００７・・・ｅｔｃ．

１９（４，７，８）－１０（２，３，５）－７（０，１，６）・・・(4)の２
　　→４２０＋７３１＋８５６＝２００７
　　→７２０＋４３１＋８５６＝２００７・・・ｅｔｃ．

１９（５，６，８）－１０（０，３，７）－７（１，２，４）・・・(4)の３
　　→５０１＋６３２＋８７４＝２００７
　　→６０１＋５３２＋８７４＝２００７・・・ｅｔｃ．

１９（５，６，８）－１０（１，２，７）－７（０，３，４）・・・(4)の４
　　→５１０＋６２３＋８７４＝２００７
　　→６１０＋５２３＋８７４＝２００７・・・ｅｔｃ．

同じ数字を使わないようにすれば、それぞれの位の数字は縦位置で自由に動かせるので、

 
　　　３５１　　　　６５１
　　　６７２　　　　３７２
　　＋９８４　→　＋９８４
　　２００７　　　２００７

と言う具合に何通りも考えられると思います。
あと、「何通りあるのか」も考えました。あまり自信はありませんが、上記の組み合わせごとに３６（６×６）通り、１３の組み合わせで、４６８通り、数字の入れる位置が違ったときも考えに入れると、２１６（６×６×６）通り、１３の組み合わせで、２８０８通りでしょうか。

解答・その11

（ペンネ－ム：テレスとアリス）

まず、一の位が７になる３つの数字の組み合わせを考えます。
　（0、1、6）（0、2、5）（0、3、4）（0、8、9）
　（1、2、4）（1、7、9）（2、6、9）（2、7、8）
　（3、5、9）（3、6、8）（4、5、8）（4、6、7）
この１２組が考えられます。

このうち、（0、8、9）の場合は
和が１７になり、十の位に１繰り上がります。
残り1～7のうちの３つの数字の和で最大値は１８となります。
よって十の位の３つの数字の和は９でなければなりません。
さらに百の位に１繰り上がります。
よって百の位の３つの数字の和は１９でなければならないので、
計算式は成立しません。

（3、6、8）の場合は
和が１７になり、十の位に１繰り上がります。
よって十の位の３つの数字の和の一の位は９でなければなりません。
（0、2、7）と（0、4、5）の二組が考えられます。
さらに百の位に１繰り上がります。
よって百の位の３つの数字の和は１９でなければならないので、
計算式は成立しません。

これ以外については計算式は成立します。
（１）一の位が（0、1、6）の時、
　　十の位は（2、3、5）で、百の位は（4、7、8）です。

（２）一の位が（0、2、5）の時、
　　十の位は（1、3、6）で、百の位は（4、7、8）です。

（３）一の位が（0、3、4）の時、
　　十の位は（1、2、7）で、百の位は（5、6、8）です。

（４）一の位が（1、2、4）の時、
　　十の位は（0、3、7）で、百の位は（5、6、8）です。

（５）一の位が（1、2、4）の時、
　　十の位は（3、8、9）で、百の位は（5、6、7）です。

（６）一の位が（1、2、4）の時、
　　十の位は（5、6、9）で、百の位は（3、7、8）です。

（７）一の位が（1、2、4）の時、
　　十の位は（5、7、8）で、百の位は（3、6、9）です。

（８）一の位が（1、7、9）の時、
　　十の位は（2、3、4）で、百の位は（5、6、8）です。

（９）一の位が（2、6、9）の時、
　　十の位は（1、3、5）で、百の位は（4、7、8）です。

（10）一の位が（2、7、8）の時、
　　十の位は（1、3、5）で、百の位は（4、6、9）です。

（11）一の位が（3、5、9）の時、
　　十の位は（1、2、6）で、百の位は（4、7、8）です。

（12）一の位が（4、5、8）の時、
　　十の位は（1、2、6）で、百の位は（3、7、9）です。

（13）一の位が（4、6、7）の時、
　　十の位は（1、3、5）で、百の位は（2、8、9）です。

答え　計算式は上記（1）～（13）の数字の組み合わせでできる式（468通り）。
使わない数字は（1）～（4）の時は「9」、（5）～（13）の時は「0」

解答・その12

（ペンネ－ム：ＳＩＧ）

前提条件Ａ：０から９までの数値の総和＝９×１０÷２＝４５
前提条件Ｂ：３つの数字が取る最大値＝９＋８＋７＝２４
前提条件Ｃ：３つの数字が取る最小値＝０＋１＋２＝３

問題の式

　　ｇ　ｄ　ａ
　　ｈ　ｅ　ｂ
＋　ｉ　ｆ　ｃ
------------------
　２０　０　７

において、
ｘ：ａ＋ｂ＋ｃ＝７または１７
　　（前提条件Ｂより２４以下で末尾が７である数）
ｙ：ｄ＋ｅ＋ｆ＝１０または２０または９または１９
　　（前提条件Ｂ・Ｃより３以上２４以下の数であり、繰上がり１があり得る）
ｚ：ｇ＋ｈ＋ｉ＝２０または１９または１８
　　（前提条件Ｂより２４以下の数であり、繰上がり１または２があり得る）
さらに、前提条件Ａより、ｘ＋ｙ＋ｚは４５以下でなければならないので、上記の取り得る組み合わせは

　ｚ　　ｙ　　ｘ
------------------
１９　１０　　７....パターン（１）
１８　２０　　７....パターン（２）の２通り。

　編者注）条件に合う組み合わせは、３パターンあります。

パターン（１）の場合、
　　１９＋１０＋７＝３６より、前提条件Ａ（＝４５）との差は９。
パターン（２）の場合、
　　１８＋２０＋７＝４５より、前提条件Ａ（＝４５）との差は０。
よって、余る可能性がある数値は９と０の２つ。
あとは、式が成立するか検証すれば良い。

パターン（１）

　　４　２　０
　　７　３　１
＋　８　５　６
------------------
　２０　０　７

など。

パターン（２）
　　３　５　１
　　７　６　２
＋　８　９　４
------------------
　２０　０　７

など。

【解答】９と０

解答・その13

（ペンネ－ム：マウリシオ・ショーグン）

3桁目の総和が20ではないことは明らか（二桁目の総和が0になってしまうから）である。よって3桁目の総和は18か19である。（17以下の場合、2桁目の総和が30以上になってしまうから）

そして3桁目の総和が18についてだが、3桁目の総和+2桁目の総和+1桁目の総和（この数をAとおく）＜（＝）45が成り立つ（使う数は 0から9までのいずれか8コだからAの最高値は1～9の総和である45）のでAが45を超えないように、2桁目の数、1桁目の数を決めなければならない。 2桁目は20か19であるが19にすると1桁目の総和が17になってしまいA値が45を超えてしまうから2桁目の総和は20である。ここで1桁目は7である。ここでA値を見てみると18+20+7=45だから使わない数字は0と分かる。だが、この場合どんな数を入れても 2007にならないのである。

残った3桁目の総和が19のときについて。2桁目の総和は10か9である。その場合の一桁目の総和は7か17である。このときのA値は19+10+7=36 19+9+17=45で前者の場合使わない数は9で、後者の場合使わない数は0と分かる。これ以外のパターンは絶対にないのでとりあえず代入してみると、前者は812+735+460=2007で後者は719+825+463=2007 とどちらも成り立つため答えは　０と９

解答・その14

（ペンネ－ム：杖のおじさん）

答え　　使わない数字は０と９です。

１　２　３　４　５　６　７　８　９　０　の１０個の数字の中で２００７の合計にするためには各位の合計が次のようになります。
下１桁が７の場合と１７の場合があります。
次の通り、１００の位、１０の位、１の位の順番で書くと、
　　(1)　　　１９、１０、７
　　(2)　　　１８、２０、７
　　(3)　　　１９、９、１７
の３通りですいずれも横の合計を出すと
　　(1) １９＋１０＋７＝３６　(2)　１８＋２０＋７＝４５　(3)　１９＋９＋１７＝４５
で９の倍数になっています。
数字の０～９までを合計すると。
　　１０×（９＋０）÷２＝４５
(1)の場合は３６なので
　　４５－３６＝９
使わない数字は９となります。
(2)(3)の場合は４５なので
　　５－４５＝０なので
使わない数字は０となります。

計算例

(1)の場合の例　　　　　　　　　(2)の場合の例　　　　　　　　　(3)の場合の例
　　　５　１　０　　　　　　　　　　３　５　１　　　　　　　　　　　９　１　７
　　　６　２　３　　　　　　　　　　６　７　２　　　　　　　　　　　８　３　４
＋　　８　７　４　　　　　　　　＋　９　８　４　　　　　　　　　＋　２　５　６
-----------------               ----------------　　　　　　　----------------
　２　０　０　７　　　　　　　　２　０　０　７　　　　　　　　　２　０　０　７

解答・その15

（ペンネ－ム：T_Tatekawa）

10個の数の和は 45 です．
百の位，十の位，一の位に分割します．
三つの異なる数の和は最小が 0+1+2=3, 最大が 7+8+9=24 です．
繰り上がりは大きくても 2 しかありません．
そこで百の位が 18, 19, 20 の場合に分けて考えます．

百の位が 18 の場合：
十の位の和が 20，一の位の和が 7 だと，
　　18+20+7 = 45
よって使わない数は 0．
具体的な例としては、
7 = 1+2+4
18 = 5+6+7 = 3+7+8 = 3+6+9
20 = 3+8+9 = 5+6+9 = 5+7+8

十の位の和が 19，一の位の和が 17 だと，
　　18+19+17 = 54 ＞ 45
これはダメです．

百の位が 19 の場合：
十の位の和が 9，一の位の和が 17 だと，
　　19+9+17 = 45
よって使わない数は 0．
具体的な例としては、
17 = 3+5+9
9 = 1+2+6
19 = 4+7+8

十の位の和が 10，一の位の和が 7 だと，
　　19+10+7 = 36
よって使わない数は 9．
具体的な例としては、
7 = 0+1+6
10 = 2+3+5
19 = 4+7+8

百の位が 20 の場合は，十の位の和が 0 でなければならないので無理です．
よって使わない数は 0 か 9 です．

解答・その16

（ペンネ－ム：転位反応）

上記のように、□にアルファベットを当てはめる
0～９の内、三つの数字の和は最大で7+8+9=24なので
一の位について可能性のあるものは、Ｇ＋Ｈ＋Ⅰ=7、17
よって、十の位についての可能性は、Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＝１０、２０、９、１９
さらに、百の位については、Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１９、１８
さらに、Ａ～Ⅰの和は０を使わない、１＋２＋・・＋９＝４５が最大
これらの条件から、題意を満たす組合せを整理すると下表の通り。
使わない数字は４５との差に等しいので、答は、０または９である。

組合せ A+B+C D+E+F G+H+I Ａ～Ｉの和使わない数字
(４５との差)
ケース(1) 19 10 7 36 9
ケース(2) 18 20 7 45 0
ケース(3) 19 9 17 45 0

組合せ	A+B+C	D+E+F	G+H+I	Ａ～Ｉの和	使わない数字 (４５との差)
ケース(1)	19	10	7	36	9
ケース(2)	18	20	7	45	0
ケース(3)	19	9	17	45	0

解答・その17

（ペンネ－ム：三角定規）

使わない数は，０と９。

解答・その18

（ペンネ－ム：ＦａｕｓＴ）

解答がかなり簡略化されてます（汗）
ａ＋ｂ＋ｃ＝２００７（ａ、ｂ、ｃは３桁の数字で、同じ数字が重複しない）となるためにはまず、ａ、ｂ、ｃのそれぞれの各桁の数字を足して、９の倍数（２＋０＋０＋７＝９だからかな？）にならなきゃいけないような気はするんですが、それの根拠と証明がイマイチわかりません。ただ、このような仮定をしたうえで、その証明も割愛するというなら、なんとか解答できましたので送ってしまいます（時間もないので）(^^ゞ
答えは「０と９」でたぶん合ってると思いますが、数学は答えよりもソコに至るまでの経緯の方が重要ですからね。ちと不本意です。

解答・その19

（ペンネ－ム：真夏のサンタ）

２００７は９の倍数。つまり、使う９個の数字の和は９の倍数にならないといけない。　０から９までをたすと４５となる。そこから１つ使わない数字をどけても足した結果が９の倍数ということは使わない数字の可能性としてあるのはは０か９だけである。

解答・その20

（ペンネ－ム：teki）

答え　　０、９

解法
九去法です。
２００７は９の倍数ですので、３つの数は合計も９の倍数です。（９の倍数の判定法は、各桁の数を足して９で割り切れることが条件です。）ところで、０～９の合計は４５ですので、余る数は必ず９の倍数となります。０～９のうち、９の倍数は０と９です。ただし、実際にできるかどうかやってみたわけではないので、どちらかの数を使わないと成立しない可能性はあります。とりあえず、この答えを送っておこうっと(^^;;

解答・その21

（ペンネ－ム：スモークマン）

さて問題ですが、、、ごく単純に考えました。

ここから、1個数字を除いても、この式が成り立つためには、 0か9しかない。実際に成立する具体的な数字は分かりませんが。。。(^^;

解答・その22

（ペンネ－ム：kiyo）

2007=9*223
ABC+DEF+GHI=9*223
A+B+C+D+E+F+G+H+1 (mod 9)
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45=5*9 (mod 9)
0+1+2+3+4+5+6+7+8=36=4*9 (mod 9)

したがって使われない数は0か9である。
実際２組の場合は構成される。

解答・その23

（ペンネ－ム：Ｎと～）

ふと立ち寄ったWeekendMathematicsの今月の問題。この虫食い算を解くのは大変そうですが、使われない数字を探すのは簡単ですよね。
２００７が９の倍数だから、０～９のうち、九つの和が９の倍数になるように九つ選ぶと………０を使わないか９を使わないか。
あれ？必要性は簡単だけれど、十分性を示すには虫食い算を満たす例を探さなくてはならない？やっぱり面倒くさいなぁ。出直してきます。

昨夜、mailを送って電源を切ってから十分性を示すことができました。あっという間でした。
　　　０を使わない
　　　　　521+637+849　など
　　　９を使わない
　　　　　420+731+856　など

解答・その24

（ペンネ－ム：オヤジ）

（１）２００７は、各位の数の和が　２＋０＋０＋７＝９　となるので　９の倍数
（２）１０個の数の和　０＋１＋２＋・・・・＋９＝４５これも　９の倍数
従って　１０個の数のうち　１個をの数を除いた、９個の数の和が９の倍数となる数は、

　　　０と９・・（２）’

しかし、０または９を除いて９個の数の和が　２００７　と成ることを確かめなくてはならない
よって

（Ａ）　０を除いた場合         （Ｂ）９を除いた場合
  　     
                ５３１                  ５１０
                ６８２                  ６２３
          ＋ 　 ７９４          　  ＋　８７４
          -------------             ------------
              ２００７           　   ２００７

（２）’（Ａ）（Ｂ）より

　　∴　０と９

解答・その25

（ペンネ－ム：こまったコ）　　　　一部修正2/12

１の位から順に組み合わせを探してきたが、今ふっと思い出した。３の倍数及び9の倍数は、その数字を構成する各位の数の和もそれぞれ３、９の倍数になる、ということを。

2007は2+0+0+7=9と言うことで9の倍数。
（確認　2007÷9=223　余り0）

ちなみに上の９の倍数の判定の証明は、

　　　N=ax10ⁿ+.....+bx10² +cx10+d

において、10≡1 (mod 9)から　10ⁿ≡1 (mod 9)である。よって、

　　　N≡a+.....+b+c+d

となり、N≡0 (mod 9)となるには

　　　a+.....+b+c+d≡0 (mod 9)

でなければならないということになる。
今月の問題の式は

　　　ax10² +bx10+c+dx10² +ex10+f+gx10² +hx10+i=2007≡0 (mod 9)

aからiにはそれぞれ0から9のいずれかが入り、重複しない。
上の式をまとめると

　　　(a+d+g)x10² +(b+e+h)x10+c+f+i≡0 (mod 9)

上の9の倍数の判定の証明から

　　　a+d+g+b+e+h+c+f+i≡0 (mod 9)

よって、□に入る８つの数字の和が9の倍数になっていればよい。 □に入りうる数字は0から9である。

　　　0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45=9x5=(0+9)+(1+8)+(2+7)+(3+6)+(4+5)

□に入れる数字は8つである。上の２つの数字の組み合わせのうち相方がいなくなっても9の倍数のままなのは (0+9)の組のみである。
よって、今月の問題の答えは 0と9。

解答・その26

（ペンネ－ム：夜ふかしのつらいおじさん）

この問題の要点は、2007が9の倍数だということです。

　　　2007＝9×223

0から9までの数をすべて合計しても9の倍数です。

　　　0＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45＝9×5

だから、この10個の数字から１個除いてもても9の倍数になるのは、｢0」か「9」しかありません。

a～iを0から9までの数字のどれかとします。
3桁の数abcについて

　　　abc＝a×100＋b×10＋c
　　　　＝a×(99＋1)＋b×(9＋1)＋c
　　　　＝9×(11a＋b)＋(a＋b＋c)

となるので、各位の数字の和が9の倍数ならば元の数は9の倍数です。

同様に、3つの数について

　　　abc＋def＋ghi＝(a＋d＋g)×(99＋1)＋(b＋e＋h)×(9＋1)＋(c＋f＋i)
　　＝9×(11a＋11d＋11g＋b＋e＋h)＋(a＋b＋c＋d＋e＋f＋g＋h＋i)

なので和が2007になる3数の各位の数字の和が9の倍数でなければなりません。

この9個の「□」に入る数字がすべて異なりしかも和が9の倍数であるのは、｛0,1,2,3,4,5,6,7,8｝または{1,2,3,4,5,6,7,8,9}のどちらかの場合です。つまり、「9」か「0」を使わない場合です。それ以外の場合は、9の倍数になりません。

以下具体的に確認します。

一の位の数字の和が「7」のとき

(1)十の位の数字の和が「10」のとき(百の位の和「19」)
　a)一の位に「0」あり

百の位十の位一の位
和19 *(2,8,9) 和10 *(0,1,9) 和７ (0,1,6)
　 *(3,7,9) 　 *(0,2,8) 　 (0,2,5)
　 *(4,6,9) 　 *(0,3,7) 　 (0,3,4)
　 (4,7,8) 　 *(0,4,6) 　　
　 (5,6,8) 　 (1,2,7) 　　
　　　 (1,3,6) 　　
　　　 (1,4,5) 　　
　　　 (2,3,5) 　　
　　* 0,9のどれかがあるもの

可能な組合せ、
　　(4,7,8), (2,3,5), (0,1,6)　→「9」なし
　　(4,7,8), (1,3,6), (0,2,5)　→「9」なし
　　(5,6,8), (1,2,7), (0,3,4)　→「9」なし
つまり、それぞれの括弧から一つずつとって三つの数を作れば和がすべて2007です。

つまり、それぞれの括弧から一つずつとって三つの数を作れば和がすべて2007です。
一つの組合せに対して、三つの数の場合の数は３６通りです。
三数の順番は本質的ではないので、百の位の小さい順に並べてみます。
十の位、一の位はそれぞれ３！通りで並べられるので、３！×３！＝３６通りとなります。

　b)一の位に「0」なし

百の位十の位一の位
和19 *(2,8,9) 和10 *(0,1,9) 和７ (1,2,4)
　 **(3,7,9) 　 *(0,2,8) 　　
　 *(4,6,9) 　 (0,3,7) 　　
　 *(4,7,8) 　 *(0,4,6) 　　
　 (5,6,8) 　 *(1,2,7) 　　
　　　 *(1,3,6) 　　
　　　 *(1,4,5) 　　
　　　 *(2,3,5) 　　
　　*　1,2,4のどれかがあるもの
　　**　0,3,7のどれかがあるもの

可能な組合せ、
　　(5,6,8), (0,3,7), (1,2,4)　→「9」なし

(2)十の位の数字の和が「20」のとき(百の位の和「18」)
　a)一の位に「0」あり

百の位十の位一の位
和18 *(1,8,9) 和20 *(3,8,9) 和７ (0,1,6)
　 *(2,7,9) 　 *(4,7,9) 　 (0,2,5)
　 *(3,6,9) 　 *(5,6,9) 　 (0,3,4)
　 **(3,7,8) 　 (5,7,8) 　　
　 *(4,5,9) 　　　　
　 **(4,6,8) 　　　　
　 **(5,6,7) 　　　　
　　*　0,9のどれかがあるもの
　　**　5,7,8のどれかがあるもの

可能な組合せ、
　　なし

　b)一の位に「0」なし

百の位十の位一の位
和18 *(1,8,9) 和20 (3,8,9) 和７ (1,2,4)
　 *(2,7,9) 　 *(4,7,9) 　　
　 (3,6,9) 　 (5,6,9) 　　
　 (3,7,8) 　 (5,7,8) 　　
　 *(4,5,9) 　　　　
　 *(4,6,8) 　　　　
　 (5,6,7) 　　　　

　　*　1,2,4のどれかがあるもの

可能な組合せ、
　(5,6,7), (3,8,9), (1,2,4)　→ 「0」なし
　(3,7,8), (5,6,9), (1,2,4)　→ 「0」なし
　(3,6,9), (5,7,8), (1,2,4)　→ 「0」なし

一の位の数字の和が「17」のとき

(1)>十の位の数字の和が「9」のとき(百の位の和「19」)
　a)一の位に「0」あり

百の位十の位一の位
和19 (2,8,9) 和9 (0,1,8) 和17 *(0,8,9)
　 (3,7,9) 　 (0,2,7) 　　
　 (4,6,9) 　 (0,3,6) 　　
　 (4,7,8) 　 (0,4,5) 　　
　 (5,6,8) 　 (1,2,6) 　　
　　　 (1,3,5) 　　
　　　 (2,3,4) 　　

　　* 0と9が共にあるもの

可能な組合せ、
　　なし

b)一の位に「0」なし

百の位十の位一の位
和19 (2,8,9) 和9 (0,1,8) 和17 (1,7,9)
　 (3,7,9) 　 (0,2,7) 　 (2,6,9)
　 (4,6,9) 　 (0,3,6) 　 (2,7,8)
　 (4,7,8) 　 (0,4,5) 　 (3,5,9)
　 (5,6,8) 　 (1,2,6) 　 (3,6,8)
　　　 (1,3,5) 　 (4,5,8)
　　　 (2,3,4) 　 (4,6,7)

可能な組合せ、
　(5,6,8), (2,3,4), (1,7,9)　→ 「0」なし
　(4,7,8), (1,3,5), (2,6,9)　→ 「0」なし
　(4,6,9), (1,3,5), (2,7,8)　→ 「0」なし
　(4,7,8), (1,2,6), (3,5,9)　→ 「0」なし
　(3,7,9), (1,2,6), (4,5,8)　→ 「0」なし
　(2,8,9), (1,3,5), (4,6,7)　→ 「0」なし

百の位	十の位	一の位
和19	(2,8,9)	和9	(0,1,8)	和17	(1,7,9)
	(3,7,9)		(0,2,7)		(2,6,9)
	(4,6,9)		(0,3,6)		(2,7,8)
	(4,7,8)		(0,4,5)		(3,5,9)
	(5,6,8)		(1,2,6)		(3,6,8)
			(1,3,5)		(4,5,8)
			(2,3,4)		(4,6,7)

(2)十の位の数字の和が「19」のとき(百の位の和「18」)
a)一の位に「0」あり

百の位十の位一の位
和18 (1,8,9) 和19 (2,8,9) 和17 *(0,8,9)
　 (2,7,9) 　 (3,7,9) 　　
　 (3,6,9) 　 (4,6,9) 　　
　 (3,7,8) 　 (4,7,8) 　　
　 (4,5,9) 　 (5,6,8) 　　
　 (4,6,8) 　　　　
　 (5,6,7) 　　　　

　　* 0と9が共にあるもの

可能な組合せ、
　　なし(※0と9は共にはない)

　b)一の位に「0」なし

百の位十の位一の位
和18 (1,8,9) 和19 (2,8,9) 和17 (1,7,9)
　 (2,7,9) 　 (3,7,9) 　 (2,6,9)
　 (3,6,9) 　 (4,6,9) 　 (2,7,8)
　 (3,7,8) 　 (4,7,8) 　 (3,5,9)
　 (4,5,9) 　 (5,6,8) 　 (3,6,8)
　 (4,6,8) 　　　 (4,5,8)
　 (5,6,7) 　　　 (4,6,7)

百の位	十の位	一の位
和18	(1,8,9)	和19	(2,8,9)	和17	(1,7,9)
	(2,7,9)		(3,7,9)		(2,6,9)
	(3,6,9)		(4,6,9)		(2,7,8)
	(3,7,8)		(4,7,8)		(3,5,9)
	(4,5,9)		(5,6,8)		(3,6,8)
	(4,6,8)				(4,5,8)
	(5,6,7)				(4,6,7)

可能な組合せ、
　　なし

可能な組合せは、１３パターンありますから、全部で１３×３６＝４６８通りの数の組み合わせ方があります。

解答・その27

（ペンネ－ム：Toru）

解答１
2007は９の倍数だから四角の中を左上から横にa,b,c,d,e,f,g,h,jとすると

　　　100(a+d+g)+10(b+e+h)+c+f+j=9(11(a+d+g)+b+e+h)+a+b+c+d+e+f+g+h+j

よりa+b+c+d+e+f+g+h+jが9の倍数である必要がある。
よって、使わない数字として考えられるものは　0 or 9
0の時たとえば、351+762+894=2007
9の時たとえば、501+632+874=2007 でどちらも可能である。

せっかくですから全部求めてみようとのことで、

解答２
１の位の和は　7 or 17
１の位の和が7の時　１０の位の和は 10 or 20
7,10 の時　１００の位の和は 19
7,20の時　１００の位の和は　18

１の位の和が17の時　１０の位の和は9 or 19
17,9の時　１００の位の和は　19
17,19の時　１００の位の和は 18

以上から、100、10、1の位の和の組合せとしては
(19,10,7) (18,20,7) (19,9,17) (18,19,17)の可能性があるが最後のものは全体の和が５４となって不能
(19,10,7)の時は３６だから　9を除く
(18,20,7)　(19,9,17)の時は４５より0を除く
（ということで使わない数字として考えられるものは0と9になります）

(19,10,7)の時　9を除くと
7は0+1+6,0+2+5,0+3+4,1+2+4のいずれか
19は4+7+8 or 5+6+8 同じ数字を使わない組み合わせとしては
(100の位、10の位、1の位の順に)
(4+7+8,2+3+5, 0+1+6) (4+7+8,1+3+6, 0+2+5)
(5+6+8,1+2+7, 0+3+4) (5+6+8, 0+3+7,1+2+4)

(18,20,7)の時　0を除くので
7は1+2+4 20は3+8+9,4+7+9,5+6+9,5+7+8のいずれか　同じ数字を使わない組合せとしては同様に
(5+6+7, 3+8+9, 1+2+4) (3+7+8,5+6+9,1+2+4) (3+6+9,5+7+8,1+2+4)

(19,9,17)の時　0を除くので
9は1+2+6,1+3+5,2+3+4
19は2+8+9,3+7+9,4+6+9,4+7+8,5+6+8で
(2+8+9,1+3+5,4+6+7) (3+7+9,1+2+6,4+5+8) (4+6+9,1+3+5,2+7+8)
(4+7+8,1+2+6,3+5+9) (4+7+8,1+3+5,2+6+9) (5+6+8,2+3+4,1+7+9)

それぞれについて１段目、２段目、３段目を区別しなければ (3!)²=36通り　区別すれば(3!)³=216通りが可能ということになりますね。

正解者

teki のっこんスモークマン
三角定規 kiyo Ｎと～
転位反応杖のおじさん巷の夢
Toru To the stars 夜ふかしのつらいおじさん
ますますタコさん真夏のサンタ SOU
浜田　明巳 T_Tatekawa ＳＩＧ
住吉浜太郎テレスとアリスオヤジ
まーや MizuMini にしやん
こまったコマウリシオ・ショーグンＦａｕｓＴ

まとめ

今回も多くの方々から、解答をお寄せいただきどうもありがとうございました。
条件に合うものを探していくという方法もありますが、この場合、すべてを網羅する必要がありますね。
一方で、９の剰余(９で割ったときの余り)で考えると、「０」と「９」以外にはありえないということがわかります。ただし、その場合も、「０」を使わないパターン、「９」を使わないパターンを例示することで、その十分性を示す必要があると思います。

さらに問題を越えて、条件に合う組み合わせは何通りあるかを、考察していただいた方もいらっしゃいます。数の組み合わせとしては、１３パターンあるかと思います。その並べ方については、順番を考慮しなければ、６×６＝３６とおり、従って全体としては、３６×１３＝４６８とおりになるかなと思います。

Challenge!