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問題119 車の出迎え
Weekend Mathematics問題/問題119

119.車の出迎え

 X氏は、毎日定刻に駅に到着し、その時間ちょうどに着くよう家から迎えにきている車に 乗って帰宅する。
 ある日、いつもより早い時間に駅に着いたX氏が家に向かって歩き始めたところ、途中のA地点で車とすれ違った。 もし、この時点で車がX氏に気付いていれば、いつもより30分早く家に帰ることができたのであるが、 あいにく車はX氏に気付かずに通り過ぎ、いつも通り駅に向かった。 X氏がA地点からさらに35分歩いたとき、駅に着いてすぐに引き返してきた車が追い付き、 X氏はそこから車に乗って、結局いつもと同じ時間に家に着いた。
 X氏の歩く速度と車の速度の比はいくらか。ただし、車の速度及びX氏の歩く速度は常に一定であり、 車に乗り込む時間は無視できるものとする。


問題の出典

判断力を高める推理パズル
鈴木清士 著
講談社ブルーバックス
平成5年度国家公務員U種試験

答えと解説

解答・その1

(ペンネ−ム:みけねこ)

<解>
X氏の歩く速さを:v、車の速さを:V、駅からA地点までX氏が歩いた時間:t、 A地点から35分歩いた後に車に乗って家に着くまでの所要時間:T、A地点から 車に乗って家に着くまでの所要時間:T’、とすると、題意より以下の2式が成り立つ

   (1):t+35+T=t+T’+30
   (2):vt+35v+VT=vt+VT’

(1)、(2)より

   V=7v

従って、車の速さは、X氏の歩く速さの7倍である。(終)

<考察>
答えが正しければ、一般に人の歩く速さは時速4〜5kmくらいだったと思うので 車の速さは単純に考えると、時速28〜35kmになります。X氏の歩く速さが、 一般よりも速いとしても車の速さはせいぜい時速40km弱であり、 私の市内における制限速度は時速40km(他の地域は知りませんが…)なので車の運転手はかなり 安全運転を心掛けているなぁと思ったのですが、 制限速度を守って走る車はあまり無くむしろオーバーしていることが大半であると思うと、 周りの状況にもよるのですが、この運転手にはもう少しスピードを出してもらいたいですね。 (笑)まぁ、あまり移動手段に車を利用しない私にとっては無縁のことなんですけどね…


解答・その2

(ペンネ−ム:まーや)

(答え)1:7

駅から家までの距離をS(km)、 駅からA地点までの距離をP(km)、 A地点から家までの距離をQ(km)とする。 また、X氏の歩く速度をa(km/分)、 車の速度をb(km/分)とする。
いつもは、駅から車に乗りS/b(分)で家に着く。
「ある日、いつもより早い時間に駅に着いたX氏が家に向かって歩き始めた」 とあるので、 いつもよりc分早く駅に着いてから、家に向かって歩き始めたとする。
途中のA地点で車がX氏に気付いていれば、 いつもより30分早く家に帰ることができたので、

   P/a+Q/b−c=S/b−30 ・・・(1)

となる。 また、X氏がA地点からさらに35分歩いたとき、 そこから車に乗って、結局いつもと同じ時間に家に着いたので、

   P/a+35+(Q−35a)/b−c=S/b

となる。 整理して、

   P/a+35+Q/b−35a/b−c=S/b ・・・(2)

(1)−(2)より

   −35+35a/b=−30
   35a/b=5

両辺を35で割って

   a/b=1/7

よって、

   a:b=1:7


解答・その3

(ペンネ−ム:オヤジ)

d:駅から家までの距離
T:X氏の定刻の到着時刻
A:通常より早く到着した分数
B:X氏がA地点まで歩いた分数
V:車の速度
W:X氏の歩く速度

1.X氏がA地点で車と出会った場合

   (T−d/V)+2×(dーBW)/V=T+d/Vー30・・・(1)

2.車とX氏がA地点ですれ違った時刻

   (T−A)+B=T−d/V+(dーBW)/V     ・・・(2)

3.X氏が、A地点からさらに35分歩いて車と出会った場合

   (T−A)+B+35+{d−(B+35)W}/V=T+d/V・・(3)

(1)より BW=15V ・・・(4) (2),(3)より

     (2B+35)W=35V ・・・(5)

(5)−(4)×2

   35W=5V 従って W:V=1:7

∴ X氏の速度:車の速度=1:7


解答・その4

(ペンネ−ム:巷の夢)

通常時の駅から家までにかかる時間をT分、距離をL、X氏の分速度をv、車の分速度をV、 t 分早く着いたとし、歩き出し、自動車とすれ違った場所までの駅からの距離をl とする。 すると以下の二つの式が成立する。

   ・・・・(1)

     ・・・・・(2)
これらより T+t を消去すると、 となる。即ち、求めるものは1:7である。


解答・その5

(ペンネ−ム:スモークマン)

w 分早く駅につき、x 氏の速度をx、久留間の速度をy、家と駅の距離を z とすると、

   -w+30+(z-30x)/y=z/y-30
   -w+65+(z-65x)/y=z/y

から、

   35-35x/y=30

5/35=1/7=x/y となり、1:7 が答え。


解答・その6

(ペンネ−ム:のっこん)

X氏の歩く速さ・・分速a(m)  車の速さ・・分速b(m)
駅からA地点まで・・ c(m) 駅から家まで・・ d(m)

   (2c+35a)÷b=35・・・(1)

A地点で車とすれ違った時から時間を計ると
その (c+d)÷b 分後がいつもの帰宅時間だから

   (c+d)÷b-(d-c)÷b=30・・・(2)

(1)、(2)より b=7a (答)1:7


解答・その7

(ペンネ−ム:にしやん)

回答:
家から駅までの距離をL、車の速度をU、X氏の歩く速度をV とする。
駅からA地点までの距離をMとすると、車が家からA地点まで行き、 その後、家に戻った時にかかる時間は、

   2(L−M)/U

で表される。 普段 家から駅まで行き、また家に戻る時にかかる時間は、

   L/U

なので、

   (L−M)/U+0.5=2L/U

これより、

   M=U/4 ・・・・・・ @ 35分後、X氏はさらにA地点から

   35V/60

だけ家の方向に進むので、A地点から車が35分後に進む距離は、    2M+35V/60

となる。 従って

   35U/60=2M+35V/60

これより、

   M=7(U−V)/24 ・・・・・・ A

@、Aより

   U=7V

従ってX氏の歩く速度と車の速度比は、1:7 である。


解答・その8

(ペンネ−ム:meira)

x氏がいつもより速く駅に着いた時刻を0とおき,地点Aに着いた時刻をtA,いつも 自宅に着いていた時刻をtHとする。 x氏の歩く速さをv、車の速さをVとする。
地点Aで車に乗れば30分速く自宅についたのだから

   (駅から自宅までの距離)=   …(1)

地点Aから35分歩いたところで車に乗っていつも通りの時刻についたのだから

   (駅から自宅までの距離)=   …(2)

(1)=(2)より計算すると

   V=7v

よってx氏の歩く速さと車の速さの比はv:V


解答・その9

(ペンネ−ム:無鉄砲)

記述を簡略化するため、家=H 駅=S 地点A=A 車がX氏に追いついた地点=B と置く。 また、車を基準とするため H-A-S-A-B-H となる線分を想定する。 すると車は定時にHを出発し定時にHに戻る定速の運動をしているから、 AでX氏を乗せて戻った場合進む距離は(H-A)*2で、 これは決められたコースよりも(A-S)*2だけ短い。これが車で30分の距離である。 Aを通過した車はSAを通ってBに進むが、これは(A-S)*2+(A-B) で、要した時間が35分。 したがって(A-B)は車で5分に相当する。この距離をX氏は徒歩で35分かけているから (X氏の歩く速度):(車の速度)=1/35:1/5=1:7 …(答え)

ちなみに(A-S)*2=30より(A-S)=15 X氏の歩く速度に換算すると15*7=105 分となるので X氏は105+35=140分(2時間20分)だけ通常よりも早く駅に着いたことになる。

余計な考察:
線分置いたはいいけれど、解いてるときに視覚化が容易という以外に メリットはないことに気づきました。 頭の中でも十分構成可能な問題内容なだけに答案としてはないほうが 簡潔な部分だったようにも思います。 それにしても歩くスピードを時速5Kmと仮定すると車の速度は35Km。 いくら平均化したとはいえ、遅すぎだと思うのは私だけでしょうか?


解答・その10

(ペンネ−ム:MizuMimi)

A地点で迎えの車とすれ違って、その時に車に乗れていれば30分早く帰れたのだから、 車で、A地点から駅までの往復所要時間は30分だと分ります。また、迎えの車は この35分後にX氏を乗せれたのだから、この地点をB地点とすると、A地点からB地点までの 車での所要時間は、35分−30分=5分であったことが分かります。 X氏はA地点からB地点まで35分間歩き、その距離をL 歩いた速度をs(/分)とすると、

   L=35s

この距離Lを車は5分で走ったのですから、車の速度をS(/分)とすると

   L=35s=5S

の関係式が成り立ちます。 よって、速これより度の比は s/S=1/7

解答 X氏の歩く速度と車の速度の比は、1:7 です。


解答・その11

(ペンネ−ム:転位反応)

X氏はA地点から35分間歩いた時、A地点から車で帰宅する時の30分間の ゲインを失ったわけだから、X氏が35分間で歩いた距離を車では5分間で走る ことができる。よって、X氏の歩く速度:車の速度=1:7である。


解答・その12

(ペンネ−ム:テレスとアリス)

「X氏がA地点からさらに35分歩いたとき、駅に着いてすぐに引き返してきた車が追い付いた」
このことから、 A地点から駅まで車で往復するのに30分かかることがわかります。 さらにX氏に追いつくのに5分かかったことになります。 X氏が35分歩くところを、車で5分かかったので、 X氏の歩く速度と車の速度の比は、5対35、つまり、1対7となります。
答え 1対7

もしこれが正解であれば、 駅からA地点までX氏は105分かけて歩き、さらに35分歩き、 140分(2時間20分)も歩いたことになる・・・そんなに歩くかナ?


解答・その13

(ペンネ−ム:ますますタコさん)

答え: (歩き)1:(車)7

考え方:
問題文から、人の乗り降りや駅で方向転換する時間などは考えないで、 純粋に『算数』の問題として、考えます。
最初に、X氏と車がすれ違った『A地点』で車の運転手がX氏に気が付いて家に向かっていれば、 いつもより『30分』早く家に着く(はず)ということは、この車で『A地点』から駅に向かい、 再び『A地点』まで戻ってくるのに要する時間が『30分』と言うことになります。
次に『A地点』からX氏が家に向かい、『35分』歩いたときに復路の車と出合った。
同じ『35分』を車の視点から見ると、X氏とすれちがった往路の『A地点』から復路の 『A地点』を通過し、X氏に追いついた。
車は『A地点』から駅に向かい、再び『A地点』に戻るのが『30分』だから、 復路の『A地点』からX氏に出合うまでは『5分』となる。
つまり、それぞれ家に向かう(復路の)『A地点』から出合った場所までの所要時間は、 X氏が『35分』、車が『5分』となります。
2者の速さの比は距離が同じ場合、かかった時間の比の逆数になるので、  (歩き)1:(車)7 となる。

余談になりますが、X氏は駅から『A地点』まで『1時間45分』歩き、 しかも駅から車に出合うまでにいたっては『2時間20分』歩いたことになりますね・・・。


解答・その14

(ペンネ−ム:夜ふかしのつらいおじさん)

X氏の歩く速度と車の速度の比は、1:7です。

BをX氏が車に乗った地点とします。
X氏がいつもと同じ時間に家に着いたのは当然です。
車の動きを考えると、いつものように家を出ていつものように帰ってきました。
普段はX氏を、駅で乗せるのですが、ある日はB地点で乗せた違いがあるだけです。

A地点でX氏が車に乗っていればいつもより30分早く帰れたということは、 車でA地点と駅を往復するのにかかる時間が30分ということです。
X氏はA地点からB地点まで35分で歩きました。 車はA地点からB地点まで5分で走ることになります。

 X氏   <105分>   <35分>
   駅---------------------A-------B--〜--〜--〜--家
 車     <15分>    <5分>

X氏は車の7倍の時間がかかるので、X氏の歩く速度と車の速度の比は、1:7です。

なお、X氏は駅からA地点まで105分歩いたことになります。 つまり駅からB地点まで140分歩いています。 時速4Kmとしても、10Km近く歩いています。 (元気ですね) 車は時速28Km程度です。 (他の車の迷惑にならないのでしょうか)
また、これだけの条件ではあとどのぐらいで家に着くのかは分かりません。 X氏は携帯電話を持っていなかったのでしょうか?


解答・その15

(ペンネ−ム:Toru)

A地点から駅までの往復に車で30分かかるということだから、A地点からX氏が3 5分で歩く距離を車は35ー30=5(分)で走ったことになる。
従って速度の比は1:7

結局、車はいつものとおりの時間に家から駅を往復したわけですから、帰りつく時 間が同じなのは当たり前ですね。


解答・その16

(ペンネ−ム:蜘蛛の巣城)

車が駅まで行き、引き返してきてX氏に追いついた所をB地点としましょう。



この問題のポイントは、車が普段通りに走っていることです。 だから「結局いつもと同じ時刻に家に着いた」というのは当たり前で、ここは笑えました。 こうした、なくもがなの文言に籠絡されるわけですね。
A地点とStationの往復に車で30分、さらにB地点まで5分。 X氏はA地点からB地点まで、35分かけて歩いています。
A地点からB地点まで、X氏と車の移動時間の比は7:1です。
従って、X氏の歩行速度と車の走行速度の比は1:7です。
のろのろ運転ですね。あるいはX氏が走るように歩くのか?


解答・その17

(ペンネ−ム:T_Tatekawa)

車が A 地点で X 氏を乗せていれば 30 分早く帰れる。 しかし車は通り過ぎて駅に着き、戻ってきた。 戻ってきた時刻は定刻なので、A 地点を再び車が通過するのは、 最初に通過してから 30 分後。 そして、車が X 氏に追いつくのはその 5 分後。 A 地点から X 氏が歩いていた時間は 35 分なので、X氏の歩く速さと 車の速度の比は

   5 : 35 = 1 : 7


解答・その18

(ペンネ−ム:杖のおじさん)

答え  1:7 です。
A地点(迎えに来た車とあった地点)で乗れば30分早く家に到着、B地点(駅まで行った車が戻って来た地点)で乗っていつもと同じ時間に到着したという事で次のように考えました。 人がA地点からB地点まで35分で歩き車に乗ったので車はA地点から駅まで行きA地点まで戻るのに往復30分かかった事が分ります。従ってA地点で乗った場合に早く着いたと思う30分がなくなり丁度の時間に家に着いた事になります。 35分―30分=5分で車はA地点からB地点まで5分で走った事になりますので次の比が成り立ちます。

   人の時間:車時間=35分:5分=7:1

従って 人の速度1に対して車の速度7となります。


解答・その19

(ペンネ−ム:teki)

答え  1:7

この問題、方程式など使わなくても、問題の意味と車の動きが理解できていれば 簡単に答えが出てきます。
A地点で車に乗れば、通常より30分早く家に着くのですから、駅とA地点を車で 往復するのに必要な時間は30分です。 A地点から35分歩いたところで車に乗り込むと通常と同じ時間に家に着くので、 車がA地点から駅を経由して合流地点まで走るのに35分かかることになります。 よって、歩いて35分の距離を車で5分で走った計算になるので、歩く速度と車の 比は1:7です。


解答・その20

(ペンネ−ム:nao)

車がA地点まで往復するのと駅までを往復するのとで30分差があるということは、 A地点と駅との間は、車で往復30分の距離になります。
A地点から家のほうまで35分歩いたところをBとすると、車はA地点から駅までいっ て折り返しB地点まで35分かかったことになります。つまり、A地点からB地点ま で車は5分かかったということになります。それで、歩いて35分のところを車は5 分かかったことになるので、速さの比は1:7です。


解答・その21

(ペンネ−ム:FausT)

今回は「ダイヤ」を使って解いてみました。 横軸に時間、縦軸に距離をとって鉄道なんかで用いられるアレです。 直線の「傾き」が急なほど「速度が速い」とか、 直線が「右上がりと右下がりでは進行方向が違う」とかが判ります。

今回おれが作ったダイヤ(図1)では「家が上で駅が下」としてますので、 「右上がりの直線が『 駅 → 家 』」を表し、 「傾きが緩やかな直線がX氏、傾きが急な直線が車」ということが言えます。


この図に、いつものX氏・車の動き、問題の日のX氏・車の動き等を直線で表し、 題意にそって時間を決定すれば、2つの直線(X氏と車の速度)の関係が特定できます。

(図2)のようにA地点とB地点(問題の日、車がX氏を乗せた地点)の2点間の 移動に要する時間を見ると、X氏が35分、車が5分かかってます。


同距離間では時間と速さは反比例しますから、車の方が7倍速いと言えますね。 よって、

X氏の速さ:車の速さ = 1:7  ・・・・・・【解】

         ( 以 上 )


解答・その22

(ペンネ−ム:三角定規)

<解答>
題意より,この日のX氏および車のダイヤグラムは図のようになる。



X氏,車の速さを v,V とし,A点から車に追いつかれた点までの距離を d とすると,

   v=d/35, V=d/(35−30)=d/5

   ∴ v : V=d/35 : d/5=5 : 35=1 : 7 … [答]

<感想>
徒歩の平均速度は 4 km/時 程度ですから,これだと車の速さが 28 km/時 程度となりいくらか遅いかなとも思いますが,駅そばの市街地は信号待ちやら渋滞やらも多いから,まあそんなものでしょうか。 ただこの設定だと,X氏はいつもより2時間前に駅に着き, 自宅に向かって2時間20分も歩いた後に車に拾われているんですね。X氏の決意に脱帽です。

正解者

teki 無鉄砲 巷の夢
オヤジ にしやん Toru
nao 転位反応 スモークマン
夜ふかしのつらいおじさん のっこん T_Tatekawa
テレスとアリス ますますタコさん みけねこ
杖のおじさん meira MizuMimi
まーや 蜘蛛の巣城 三角定規
FausT

まとめ

Toruさんのご指摘にもあるように、 車はいつも通りのコースをいつも通り走っただけですから、 「結局いつもと同じ時間に家に着いた。」のは当たりまえですね。 違うのは、X氏がどこで車に乗ったかということです。
問題文にある 「この時点で車がX氏に気付いていれば、いつもより30分早く家に帰ることができた」 ことから、 「A地点から駅まで車で往復するのに30分かかる」ということに 着目すると、文字式を使わなくても、答えを求めることができますね。
三角定規さんFausTさんは、 ダイヤグラムをかいてくださいました。電車の運行などを示すときに 使われるものですね。
問題文の状況がやや(かなり?)現実離れしているというご指摘も受けましたが、 数学の問題ゆえご勘弁を。 駅から自宅が遠いとはいえ、毎日定刻に駅に到着し、そこから迎えの車で帰るという X氏が私にとってはかなりうらやましいです。皆さんはいかがですか?


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