Weekend Mathematics問題/117の問題



117.ナンバーリング

あるテレビ局が視聴者の中からモニター500名を選び出し、アンケートに答えてもらうことにした。
アンケート・リスト作成のさい、1人目のモニターに1番、2人目のモニターに2番というように500名すべてに ナンバーリングを行ったが、「4」「9」の2つの数字は使わないことにした。 したがって、3人目のモニターは3番だが、4人目のモニターは5番になる。
では、500人目のモニターのナンバーは何番か。




問題の出典


判断力を高める推理パズル
鈴木清士 著
講談社ブルーバックス
平成14年度地方上級公務員試験改題




答えと解説





答えと解説

解答・その1

(ペンネ−ム:浜田 明巳)

500人目は875番です.エクセルのマクロで解きました.

Option Explicit
Sub Macro1()
    Sheets("Sheet1").Select
    Dim n As Integer
    Dim a As Integer '100の位
    Dim b As Integer '10の位
    Dim c As Integer '1の位
    n = 0
    a = 0
    While n < 500 And a < 9
      If a <> 4 Then
        b = 0
        While n < 500 And b < 9
          If b <> 4 Then
            c = -(a = 0 And b = 0)
            While n < 500 And c < 9
              If c <> 4 Then
                n = n + 1
                Cells(n, 1).Value = n
                Cells(n, 2).Value = 100 * a + 10 * b + c
                Range("B" & n).Select
              End If
              c = c + 1
            Wend
          End If
          b = b + 1
        Wend
      End If
      a = a + 1
    Wend
End Sub




解答・その2

(ペンネ−ム:テレスとアリス)

一の位が「4」「9」、十の位が「4」「9」、の欠番となる数は、 1から100までの数の中に、36個あります。 つまりナンバーリングに使われる数は64個あります。 101以降の数についても100個づつのグループごとに、 一の位と十の位に「4」「9」を含まない数は64個づつあります。 また、百の位が「4」「9」の数も、欠番となります。

   500 ÷ 64 = 7 余り 52

なので、7つの100個づつのグループで、448(64×7)番まで ナンバーリングされます。400から499までは欠番となるので、 1から800までで448番までナンバーリングされます。
801以降で後の52番目を求めます。 801からの10個づつのグループごとに、 「4」「9」を含まない数は8個づつあります。 また、840から849は十の位が「4」なので、欠番となります。

   52 ÷ 8 = 6 余り 4

なので、6つの10個づつのグループで、48(8×6)番(通算496番)まで ナンバーリングされます。840から849までは欠番となるので、 1から870までで496番までナンバーリングされます。 残りの4個は、871からナンバーリングされ、874が欠番となり、 500人目は875番となります。

答え 875



解答・その3

(ペンネ−ム:あきら)

答え:875

プロセス:
1〜100の数字の中で4と9の数字を含むものは全部で36個ある。
故に使用できる数字は全部で64個ある。
100以上の数字の下2桁の数字においても同様の事がいえるので
100台で使用できる数字も64個、200台・300台…でも64個使える事になる。
ここで500=64*7+52である。
400台の数字は使用できないので(64*7)番目の人は800番を振り付けられる事になる。
801〜900の数字において
数字を8□■と置くと
□が0〜8のどの数字であっても■は8通り。

   52=8*7−4

なので、56番目の数は80
55番目は78
54番目は77
53番目は76
52番目は75である。
以上の事から500番目の人の番号は875となる。



解答・その4

(ペンネ−ム:みけねこ)

答え:875番

<解>
区間:1〜100において4と9を含む数字を除く数字の個数は

   100−(40−4)=64(個)

このことを考慮すると、

   500=64×7+52

であり、400番台を無視すると、800番台(ただし800は除く)の 前から4と9を含む数字を飛ばした52番目の数字が答えとなる。
従って、875。



解答・その5

(ペンネ−ム:まーや)

(答え)875番

リストのナンバーは、4と9が使えないので、 ナンバー389番〜499番までゴッソリ使えないことになる。 よって、「1番〜388番」と「500番以降」を分けて考える。 また、A人目のリストのナンバーを B番 とする。

(ア)まずは、1番〜388番を考え、何人目が388番になるか考える。
AとB の関係を見ていく。

(A − B)
(1 − 1)
(2 − 2)
(3 − 3)
(4 − 5)
(5 − 6)
(6 − 7)
(7 − 8)
(8 − 10)
(9 − 11)
   :
   :

と、順番に数を当てはめていくと、

   (32 − 50)、(64 −100)、(96 −150)

となっているので、Aが32の倍数のときは

   A/32×50=B

が成り立つ。よって、A=224のとき、A/32×50=Bに代入して、B=350 になる。 A=224のとき、B=350 つまり、224人目のリストのナンバーは、350番である。 224人目以降は、ナンバーを順番に当てはめていくと

(A −  B)
(224 − 350)
(225 − 351)
(226 − 352)
   :
   :
(254 − 387)
(255 − 388)
255人目のナンバーが388番になる。 ナンバー389番〜499番まではゴッソリ使えないので、 次の256人目のナンバーは500番になる。

(イ)ナンバー500番以降を考える。

(A −  B)
(256 − 500)
(257 − 501)
(258 − 502)
(259 − 503)
(260 − 505)
   :
   :
と、順番に当てはめていくと、

   (256 − 500)、(288 − 550)、(320 − 600)

になるので、Aが32の倍数のときは、(A/32−8)×50+500=Bが成り立つ。 よって、A=480のとき、(A/32−8)×50+500=Bに代入して、 B=(480/32−8)×50+500=850
A=480のとき、B=850 つまり、480人目のナンバーは850番である。 480人目以降は、順番にリストのナンバーを当てはめていく。

(A −  B)
(480 − 850)
(481 − 851)
(482 − 852)
(483 − 853)
(484 − 855)
    :
    :
(498 − 872)
(499 − 873)
(500 − 875)
よって、500人目のナンバーは、875番である。(終)



解答・その6

(ペンネ−ム:スモークマン)

1~99 までに、4,14,24,34,40~49,54,64,74,84,94=9+10 個の4。
          9,19,29,39,49,59,69,79,89,90~99=9+10 個の9。
この中で、49,94 は重複しているので、結局、19*2-2=36 このナンバーはパスされる 。
101~399 までも同様。36*4=144 はパス。400~499 はすべてパス。
501~899までも同様。 

499-244=255,500-255=245
99-36=63,245/63=3...56
つまり、799までに、63*3+(500が1個)+(600が1個)+(700が1個)=192個。
つまり、800 が、193番目。
245-193=52 なので、63-52=11
888,887,886,885,883,882,881,880,878,877,876,875 888 から、11個除いたら、
875 が求めるものですか。




解答・その7

(ペンネ−ム:転位反応)

例えば、100〜199の数字で4及び9を含まない数字の個数は、 各位の数字の組合せから、1×8×8=64個と求められる この方法で、題意を満たす数字の合計個数が500程度になる 数字を求めると、下記の通り。

1〜97=7個
10〜997×8=56個
100〜899  7×8×8=448個
 511個

つまり、1〜899の間に、題意を満たす数字は511個存在し、 その511番目の数字は888である。 あとは、地道に500番目の数値を求めれば良い。

511番目888
510番目887
509番目886
508番目885
507番目883
506番目882
505番目881
504番目880
503番目878
502番目877
501番目876
500番目875

解答 500人目は875番




解答・その8

(ペンネ−ム:FausT)

ふむ・・・。簡単そうだけど、思わぬ落とし穴があるかもしれないなぁ。
慎重に検証していく必要がありそうだ。

4と9は使わない・・・・ってことは、10番目は「12」か。
で、20番目、30番目は・・・・う〜ん、この方法はなんか効率が悪い気がする。
つか、このやり方は落とし穴が多くなりそうでヤダな。

考えを変えるか。

「10」という数は・・・8番目で、「20」は・・・16番目か。
「30」が24番目。・・・うむ、(おれとしては)この方法がわかりやすい!
すると、「100」が64番目だな。「200」が128番目ね。
うんうん、落とし穴も思ったより少ないぞ。

388の次が500、888の次が1000になることに注意すれば、
「1000」が512番目だな!・・・おっと行き過ぎた。

すると500番目の数字は・・・・・・

「875」 かな♪  ・・・・・・【解】 



解答・その9

(ペンネ−ム:nao)

なにか規則性がないか調べるため、
   1〜10(8個)
   11〜20(8個)
   21〜30(8個)
   31〜40(7個)
   41〜50(1個)
   51〜60(8個)
   61〜70(8個)
   71〜80(8個)
   81〜90(7個)
   91〜100(1個)
と10個ずつにわけて調べると、4と9を除いた数は1〜100の間に8×8=64 個あることが分かりました。 同様にして、
   101〜200(64個)
   201〜300(64個)
   301〜400(63個)
   401〜500(1個)
   501〜600(64個)
   601〜700(64個)
   701〜800(64個)
   801〜900(63個)
   901〜1000(1個)
となることが分かります。
500番目の数はこの辺りにありそうなので、
500÷64=7あまり52を計算すると、64個のまとまりの8番目にあることが 分かります。それは801〜900のグループで、その52番目ということになりま す。
52番目を調べるには、最初の1〜100までの考え方をつかって、
   52÷8=6あまり4
から8個のまとまりの7番目のグループ、つまり871〜880のグループの中にあ ります。その4番目なので、875になります。

<別解>
500を8進法であらわすと、764になります。問題では、12356780の8 個の記号をつかった8進法になりますので、764の最初の7は、12356780 の7番目の数字である8、つぎの6は6番目の数字である7、最後の4は4番目の5 をあらわしています。そこで、764はこの問題では875をあらわすことになりま す。



解答・その10

(ペンネ−ム:夜ふかしのつらいおじさん)

その1
{0,1,2,3,5,6,7,8}の8つの数字を使って数を作ります。
3桁まで作れば十分です。
3=512なので、「0」から「888」まで512個の数があります。
ちょっと面倒ですが地道に表を作ります。

888
512
887
511
886
510
885
509
883
508
882
507
881
506
880
505
878
504
877
503
876
502
875
501
873
500
872
499
871
498
870
497
・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・
8
8
7
7
6
6
5
5
3
4
2
3
1
2
0
1

最初(右下)の「0」を1番目としていることに注意します。
すると、「875」が500番目となります。

その2
「4」と「9」の数字を使わないということは、その位の数字は8つしかないということです。
これは8進法で数を表すのと同じことになります。
ただし、使う数字は、「4」以降がずれていくと考えます。

   0→0、1→1、2→2、3→3、4→5、5→6、6→7、7→8

まず普通に、500(10進法)を8進法で表してみます。

   500÷8=62・・・4
   62÷8=7・・・6

より、500(10進法)=764(8進法)です。
ここで、数字の変換をしてみると、「875」となります。



解答・その11

(ペンネ−ム:meira)

この問題は10進数表示で表わされた数を8進数表示で表わす場合の特殊な場合と考え られる。
例として,10進数表示でnとなる数を8進数表示するには

    

と書けたとき,

    

とすれば良い。
この問題において注意しなければならないのは,4を使用しないことにより 先ほどのpkなる数が4以上7以下の場合,(1)のときにpk+1としなければならな い。

では本題に移ると,500人目のナンバーリングは

   500=82*7+81*6+80*4

と表わすことができるので,

   102*(7+1)+101*(6+1)+100*(4+1)=875

よって500人目のナンバーリングは875。



解答・その12

(ペンネ−ム:Mits)

4,9を除く8つの数字を使うので、500を8進法で表記すれば良い。
但し、次のような変換が必要となる。

   4→5、5→6、6→7、7→8

   500÷82=7…52、52÷8=6…4

より、

   500=7×82+6×8+4

なので、500を8進法表記すると764となる。
これを変換して、答えは875番。



解答・その13

(ペンネ−ム:ますますタコさん)

解答:875

解法:
まず、4と9を使わないということなので、

   10 − 2 = 8

で、500を8進数になおします。

   500 ÷ 8 = 62 あまり 4
    62 ÷ 8 =  7 あまり 6
  (  7 ÷ 8 =  0 あまり 7) ←これは計算しなくてもいいですが・・・

上記から、500を8進数で表すと、764となります。
問題では、4と9を使わないということでしたので、それぞれ、
0→0、1→1、2→2、3→3、4→5、5→6、6→7、7→8
とおきかえます。つまり、7→8、6→7、4→5 で 875 となります。



解答・その14

(ペンネ−ム:T_Tatekawa)

2つの数字が使えないので,『10進数』ではなく『8進数』と みなします.

   500 / 8 = 62 余り 4
   62 / 8 = 7 余り 6

答えは『764』と行きたいところですが, 使えない数字は 4 と 9 なので,4〜7 が出てきた桁は 4 がない分だけ一つずれることになります.
よって答えは『875』です.



解答・その15

(ペンネ−ム:しょうじ)

普通0から9までの10個の数字にて10進数としていますが、 そこから4と9が無いので8進数になると考えます。 とりあえず0から7までの8個の数字だとします。 1桁で識別出来るのは8人、2桁では8x8=64人 3桁では8x8x8=512人です。 ただし、000からではなく001からスタートしてますので 777=511人目です。8進数ですので767=503人目となり 500人目は764となります。 この764を

012 345 67←計算で使用したとりあえずの数字
 
012 356 78←実際に使えるカードの数字

この対応関係より、10進数の500を8進数で表した764を カードにて置き換えると875となります。
以上より、答えは875です。



解答・その16

(ペンネ−ム:オヤジ)

4,9は使用しないので{0、1,2、3,5,6,7,8}の実質8個の数字を用いたものになる。
従って 500を10進法から8進法に直し、さらにナンバーリングを(n)で表すと

 0(8)→0(n)、1(8)→1(n)、2(8)→2(n)、3(8)→3(n)
 4(8)→5(n)、5(8)→6(n)、6(8)→7(n)、7(8)→8(n)

したがって  500(10)→764(8)→875(n)
   ∴ 875




解答・その17

(ペンネ−ム:teki)

答え  875
変則8進法ですね。
500を8進法で表記すると、764ですが、4が使えないので、それぞれの桁に +1する必要があります。(9を無視していいところが面白いですね。)
昔から日本では4と9は縁起が悪いということで、これを使わない表記が結構あり ます。(銭湯等の下駄箱の番号、ホテルの客室番号等、また、4階と9階のないホテルま であるようです。)



解答・その18

(ペンネ−ム:杖のおじさん)

答え 875番目

4と9を使わないのですから0〜9までの10種類の中から8種類の数字で表現する事になります。 8進法で500は何番目かを調べてみます。
   500の8進法の1位は500/8=62余り4 従って4
   500の8進法の10位は62/8=7余り6  従って6
   500の8進法の100位は7
従って500は8進法では764番目となります。
しかし、8進法ですので10進法で表示しますので4→5、6→7、7→8 に書き換えます。
従って764番目→875番目となります。



解答・その19

(ペンネ−ム:巷の夢)

今回の問題は8進法を適用すれば良いのですね。
500=7×82+6×81+4×80 ですから764となります。
さらに4を使用できない関係で1つずれるので、 7は8、6は7、4は5になります。875が求めるものです。



解答・その20

(ペンネ−ム:三角定規)

数字4,9を用いないのだから,これは,8個の数字 0,1,2,3,5,6,7,8 を用いる8進法である。
10進法の 500 は(通常の)8進法では

   500(10)=7×64+6×8+4=764(8)

4を用いず8を用いるため,4以上を1ずつシフトして, 求める500人目のナンバーは 875…[答]



解答・その21

(ペンネ−ム:のっこん)

1、2、3、5、6、7、8、10、・・・において 5を4と書き、6を5と書き、7を6と書き、8を7と書くことにすると 1、2、3、4、5、6、7、10、・・・となって8進法の問題となる
500÷64=7余り52、52÷8=6余り4だから 500は8進法では764と表されるが 7はもともと8、6はもともと7、4はもともと5だったから 500は1、2、3、5、6、7、8、10、・・・においては875



解答・その22

(ペンネ−ム:Toru)

0,1,2,3,5,6,7,8 の8種類の文字をつかって、8進法のように考えればよい

   500=7x82+6x8+4

であるから8進法なら764であるが対応する文字に変えて

   875



解答・その23

(ペンネ−ム:蜘蛛の巣城)

8個の数を使用する表記法は8進法です。但し通常だと「0から7まで」を使用し、 10進法での「0から7まで」と同じです。 しかしここでは4と9を除く8進法ですから、変則8進法と名づけておきましょう。 「4と9」なんて古風なテレビ局じゃないですか。

   
通常の8進法で使用する数
変則8進法で使用する数


10進法の 500(10) を通常の8進法であらわし、 それを変則8進法に読み替えればいいでしょう。

   500=7×82+6×81+4×80

だから

   500(10)=764(8)=875(8')

したがって、875番。



正解者

オヤジ teki 浜田 明巳
巷の夢 のっこん Toru
nao みけねこ 蜘蛛の巣城
テレスとアリス 杖のおじさん 夜ふかしのつらいおじさん
スモークマン meira T_Tatekawa
FausT 三角定規 あきら
Mits ますますタコさん 転位反応
まーや しょうじ





まとめ

最近はあまり気にしないみたいですけれど、 ホテルのルームナンバーなどでも、「4」と「9」を使わないということがありますね・・・。
2つの文字を使わないでカウントしていくという方法もありますが、 8文字だけを用いて数を表現するということですから、まさに「8進法」を 用いて解く方法がありますね。 ただし、通常の8進法では、「0から7の数字」を使うのに対して、 この場合は、「0,1,2,3,5,6,7,8」を使うという変則8進法になりますね。
大変多くの方々から解答をいただきました。どうもありがとうございました。





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