Weekend Mathematics／問題／117の問題

１１７．ナンバーリング

あるテレビ局が視聴者の中からモニター500名を選び出し、アンケートに答えてもらうことにした。
アンケート・リスト作成のさい、１人目のモニターに１番、２人目のモニターに２番というように500名すべてに ナンバーリングを行ったが、「４」「９」の２つの数字は使わないことにした。 したがって、３人目のモニターは３番だが、４人目のモニターは５番になる。
では、500人目のモニターのナンバーは何番か。

解答・その1

（ペンネ−ム：浜田　明巳）

500人目は875番です．エクセルのマクロで解きました．

Option Explicit
Sub Macro1()
    Sheets("Sheet1").Select
    Dim n As Integer
    Dim a As Integer '100の位
    Dim b As Integer '10の位
    Dim c As Integer '1の位
    n = 0
    a = 0
    While n < 500 And a < 9
      If a <> 4 Then
        b = 0
        While n < 500 And b < 9
          If b <> 4 Then
            c = -(a = 0 And b = 0)
            While n < 500 And c < 9
              If c <> 4 Then
                n = n + 1
                Cells(n, 1).Value = n
                Cells(n, 2).Value = 100 * a + 10 * b + c
                Range("B" & n).Select
              End If
              c = c + 1
            Wend
          End If
          b = b + 1
        Wend
      End If
      a = a + 1
    Wend
End Sub

解答・その2

（ペンネ−ム：テレスとアリス）

一の位が「４」「９」、十の位が「４」「９」、の欠番となる数は、 １から１００までの数の中に、３６個あります。 つまりナンバーリングに使われる数は６４個あります。 １０１以降の数についても１００個づつのグループごとに、 一の位と十の位に「４」「９」を含まない数は６４個づつあります。 また、百の位が「４」「９」の数も、欠番となります。

　　　５００　÷　６４　＝　７　余り　５２

なので、７つの１００個づつのグループで、４４８（６４×７）番まで ナンバーリングされます。４００から４９９までは欠番となるので、 １から８００までで４４８番までナンバーリングされます。
８０１以降で後の５２番目を求めます。 ８０１からの１０個づつのグループごとに、 「４」「９」を含まない数は８個づつあります。 また、８４０から８４９は十の位が「４」なので、欠番となります。

　　　５２　÷　８　＝　６　余り　４

なので、６つの１０個づつのグループで、４８（８×６）番（通算４９６番）まで ナンバーリングされます。８４０から８４９までは欠番となるので、 １から８７０までで４９６番までナンバーリングされます。 残りの４個は、８７１からナンバーリングされ、８７４が欠番となり、 ５００人目は８７５番となります。

答え　８７５

解答・その3

（ペンネ−ム：あきら）

答え：８７５

プロセス：
１〜100の数字の中で４と９の数字を含むものは全部で３６個ある。
故に使用できる数字は全部で６４個ある。
１００以上の数字の下２桁の数字においても同様の事がいえるので
１００台で使用できる数字も６４個、２００台・３００台…でも６４個使える事になる。
ここで５００＝６４＊７＋５２である。
４００台の数字は使用できないので（６４＊７）番目の人は８００番を振り付けられる事になる。
８０１〜９００の数字において
数字を８□■と置くと
□が０〜８のどの数字であっても■は８通り。

　　　５２＝８＊７−４

なので、５６番目の数は８０
５５番目は７８
５４番目は７７
５３番目は７６
５２番目は７５である。
以上の事から５００番目の人の番号は８７５となる。

解答・その4

（ペンネ−ム：みけねこ）

答え：８７５番

＜解＞
区間：１〜１００において４と９を含む数字を除く数字の個数は

　　　１００−（４０−４）＝６４（個）

このことを考慮すると、

　　　５００＝６４×７＋５２

であり、４００番台を無視すると、８００番台（ただし８００は除く）の 前から４と９を含む数字を飛ばした５２番目の数字が答えとなる。
従って、８７５。

解答・その5

（ペンネ−ム：まーや）

（答え）875番

リストのナンバーは、４と９が使えないので、 ナンバー389番〜499番までゴッソリ使えないことになる。 よって、「１番〜388番」と「500番以降」を分けて考える。 また、Ａ人目のリストのナンバーを Ｂ番　とする。

（ア）まずは、１番〜388番を考え、何人目が388番になるか考える。
ＡとＢ　の関係を見ていく。

（Ａ　−　Ｂ）
（１　−　１）
（２　−　２）
（３　−　３）
（４　−　５）
（５　−　６）
（６　−　７）
（７　−　８）
（８　−　10）
（９　−　11）
：
：

と、順番に数を当てはめていくと、

　　　（32　−　50）、（64　−100）、（96　−150）

となっているので、Ａが32の倍数のときは

　　　Ａ/32×50＝Ｂ

が成り立つ。よって、Ａ＝224のとき、Ａ/32×50＝Ｂに代入して、Ｂ＝350　になる。 Ａ＝224のとき、Ｂ＝350　つまり、224人目のリストのナンバーは、350番である。 224人目以降は、ナンバーを順番に当てはめていくと

（Ａ　−　　Ｂ）
（224　−　350）
（225　−　351）
（226　−　352）
：
：
（254　−　387）
（255　−　388）

255人目のナンバーが388番になる。 ナンバー389番〜499番まではゴッソリ使えないので、 次の256人目のナンバーは500番になる。

（イ）ナンバー500番以降を考える。

（Ａ　−　　Ｂ）
（256　−　500）
（257　−　501）
（258　−　502）
（259　−　503）
（260　−　505）
：
：

と、順番に当てはめていくと、

　　　（256　−　500）、（288　−　550）、（320　−　600）

になるので、Ａが32の倍数のときは、（Ａ/32−8）×50＋500＝Ｂが成り立つ。 よって、Ａ＝480のとき、（Ａ/32−8）×50＋500＝Ｂに代入して、 Ｂ＝（480/32−8）×50＋500＝850
Ａ＝480のとき、Ｂ＝850　つまり、480人目のナンバーは850番である。 480人目以降は、順番にリストのナンバーを当てはめていく。

（Ａ　−　　Ｂ）
（480　−　850）
（481　−　851）
（482　−　852）
（483　−　853）
（484　−　855）
：
：
（498　−　872）
（499　−　873）
（500　−　875）

よって、500人目のナンバーは、875番である。（終）

解答・その6

（ペンネ−ム：スモークマン）

1~99 までに、4,14,24,34,40~49,54,64,74,84,94=9+10 個の4。
　　 　　　　　　 9,19,29,39,49,59,69,79,89,90~99=9+10 個の9。
この中で、49,94 は重複しているので、結局、19*2-2=36 このナンバーはパスされる 。
101~399 までも同様。36*4=144 はパス。400~499 はすべてパス。
501~899までも同様。　

499-244=255,500-255=245
99-36=63,245/63=3．．．56
つまり、799までに、63*3+(500が1個)+(600が1個）+(700が1個）=192個。
つまり、800 が、193番目。
245-193=52 なので、63-52=11
888,887,886,885,883,882,881,880,878,877,876,875 888 から、11個除いたら、
875 が求めるものですか。

解答・その7

（ペンネ−ム：転位反応）

例えば、１００〜１９９の数字で４及び９を含まない数字の個数は、 各位の数字の組合せから、１×８×８＝６４個と求められる この方法で、題意を満たす数字の合計個数が５００程度になる 数字を求めると、下記の通り。

１〜９	７＝	７個
１０〜９９	７×８＝	５６個
１００〜８９９	７×８×８＝	４４８個
	計	５１１個

つまり、1〜８９９の間に、題意を満たす数字は５１１個存在し、 その５１１番目の数字は８８８である。 あとは、地道に５００番目の数値を求めれば良い。

５１１番目	888
５１０番目	887
５０９番目	886
５０８番目	885
５０７番目	883
５０６番目	882
５０５番目	881
５０４番目	880
５０３番目	878
５０２番目	877
５０１番目	876
５００番目	875

解答 ５００人目は８７５番

解答・その8

（ペンネ−ム：ＦａｕｓＴ）

ふむ・・・。簡単そうだけど、思わぬ落とし穴があるかもしれないなぁ。
慎重に検証していく必要がありそうだ。

４と９は使わない・・・・ってことは、１０番目は「１２」か。
で、２０番目、３０番目は・・・・う〜ん、この方法はなんか効率が悪い気がする。
つか、このやり方は落とし穴が多くなりそうでヤダな。

考えを変えるか。

「１０」という数は・・・８番目で、「２０」は・・・１６番目か。
「３０」が２４番目。・・・うむ、（おれとしては）この方法がわかりやすい！
すると、「１００」が６４番目だな。「２００」が１２８番目ね。
うんうん、落とし穴も思ったより少ないぞ。

３８８の次が５００、８８８の次が１０００になることに注意すれば、
「１０００」が５１２番目だな！・・・おっと行き過ぎた。

すると５００番目の数字は・・・・・・

「８７５」　かな♪　　・・・・・・【解】　

解答・その9

（ペンネ−ム：nao）

なにか規則性がないか調べるため、
　　　１〜１０（８個）
　　　１１〜２０（８個）
　　　２１〜３０（８個）
　　　３１〜４０（７個）
　　　４１〜５０（１個）
　　　５１〜６０（８個）
　　　６１〜７０（８個）
　　　７１〜８０（８個）
　　　８１〜９０（７個）
　　　９１〜１００（１個）
と１０個ずつにわけて調べると、４と９を除いた数は１〜１００の間に８×８＝６４ 個あることが分かりました。 同様にして、
　　　１０１〜２００（６４個）
　　　２０１〜３００（６４個）
　　　３０１〜４００（６３個）
　　　４０１〜５００（１個）
　　　５０１〜６００（６４個）
　　　６０１〜７００（６４個）
　　　７０１〜８００（６４個）
　　　８０１〜９００（６３個）
　　　９０１〜１０００（１個）
となることが分かります。
５００番目の数はこの辺りにありそうなので、
５００÷６４＝７あまり５２を計算すると、６４個のまとまりの８番目にあることが 分かります。それは８０１〜９００のグループで、その５２番目ということになりま す。
５２番目を調べるには、最初の１〜１００までの考え方をつかって、
　　　５２÷８＝６あまり４
から８個のまとまりの７番目のグループ、つまり８７１〜８８０のグループの中にあ ります。その４番目なので、８７５になります。

＜別解＞
５００を８進法であらわすと、７６４になります。問題では、１２３５６７８０の８ 個の記号をつかった８進法になりますので、７６４の最初の７は、１２３５６７８０ の７番目の数字である８、つぎの６は６番目の数字である７、最後の４は４番目の５ をあらわしています。そこで、７６４はこの問題では８７５をあらわすことになりま す。

解答・その10

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

その１
{0,1,2,3,5,6,7,8}の８つの数字を使って数を作ります。
３桁まで作れば十分です。
８³＝512なので、「0」から「888」まで512個の数があります。
ちょっと面倒ですが地道に表を作ります。

888 512	887 511	886 510	885 509	883 508	882 507	881 506	880 505
878 504	877 503	876 502	875 501	873 500	872 499	871 498	870 497
・・・	・・・	・・・	・・・	・・・	・・・	・・・	・・・
8 8	7 7	6 6	5 5	3 4	2 3	1 2	0 1

最初（右下）の「0」を1番目としていることに注意します。
すると、「875」が500番目となります。

その２
「4」と「9」の数字を使わないということは、その位の数字は８つしかないということです。
これは８進法で数を表すのと同じことになります。
ただし、使う数字は、「4」以降がずれていくと考えます。

　　　0→0、1→1、2→2、3→3、4→5、5→6、6→7、7→8

まず普通に、500(10進法)を８進法で表してみます。

　　　500÷8＝62・・・4
　　　62÷8＝7・・・6

より、500(10進法)＝764(8進法)です。
ここで、数字の変換をしてみると、「875」となります。

解答・その11

（ペンネ−ム：meira）

この問題は10進数表示で表わされた数を8進数表示で表わす場合の特殊な場合と考え られる。
例として，10進数表示でnとなる数を8進数表示するには

　　　

と書けたとき，

　　　

とすれば良い。
この問題において注意しなければならないのは，4を使用しないことにより 先ほどのp_kなる数が4以上7以下の場合，(1)のときにp_k+1としなければならな い。

では本題に移ると，500人目のナンバーリングは

　　　500=8²*7+8¹*6+8⁰*4

と表わすことができるので，

　　　10²*(7+1)+10¹*(6+1)+10⁰*(4+1)=875

よって500人目のナンバーリングは875。

解答・その12

（ペンネ−ム：Mits）

4,9を除く8つの数字を使うので、500を8進法で表記すれば良い。
但し、次のような変換が必要となる。

　　　4→5、5→6、6→7、7→8

　　　500÷8²＝7…52、52÷8＝6…4

より、

　　　500＝7×8²+6×8+4

なので、500を8進法表記すると764となる。
これを変換して、答えは875番。

解答・その13

（ペンネ−ム：ますますタコさん）

解答：８７５

解法：
まず、４と９を使わないということなので、

　　　１０　−　２　＝　８

で、５００を８進数になおします。

　　　５００　÷　８　＝　６２　あまり　４
　　　　６２　÷　８　＝　　７　あまり　６
　　（　　７　÷　８　＝　　０　あまり　７）　←これは計算しなくてもいいですが・・・

上記から、５００を８進数で表すと、７６４となります。
問題では、４と９を使わないということでしたので、それぞれ、
０→０、１→１、２→２、３→３、４→５、５→６、６→７、７→８
とおきかえます。つまり、７→８、６→７、４→５　で　８７５　となります。

解答・その14

（ペンネ−ム：T_Tatekawa）

2つの数字が使えないので，『10進数』ではなく『8進数』と みなします．

　　　500 / 8 = 62 余り 4
　　　62 / 8 = 7 余り 6

答えは『764』と行きたいところですが， 使えない数字は 4 と 9 なので，4〜7 が出てきた桁は 4 がない分だけ一つずれることになります．
よって答えは『875』です．

解答・その15

（ペンネ−ム：しょうじ）

普通0から9までの10個の数字にて10進数としていますが、 そこから4と9が無いので8進数になると考えます。 とりあえず0から7までの8個の数字だとします。 1桁で識別出来るのは8人、2桁では8x8=64人 3桁では8x8x8=512人です。 ただし、000からではなく001からスタートしてますので 777=511人目です。8進数ですので767=503人目となり 500人目は764となります。 この764を

0	1	2	3	4	5	6	7	←計算で使用したとりあえずの数字
↓	↓	↓	↓	↓	↓	↓	↓
0	1	2	3	5	6	7	8	←実際に使えるカードの数字

この対応関係より、10進数の500を8進数で表した764を カードにて置き換えると875となります。
以上より、答えは875です。

解答・その16

（ペンネ−ム：オヤジ）

４，９は使用しないので｛０、１，２、３，５，６，７，８｝の実質８個の数字を用いたものになる。
従って　５００を１０進法から８進法に直し、さらにナンバーリングを（ｎ）で表すと

　０（８）→０（ｎ）、１（８）→１（ｎ）、２（８）→２（ｎ）、３（８）→３（ｎ）
　４（８）→５（ｎ）、５（８）→６（ｎ）、６（８）→７（ｎ）、７（８）→８（ｎ）

したがって　　５００（１０）→７６４（８）→８７５（ｎ）
　　　∴　８７５

解答・その17

（ペンネ−ム：teki）

答え　　８７５
変則８進法ですね。
５００を８進法で表記すると、７６４ですが、４が使えないので、それぞれの桁に ＋１する必要があります。（９を無視していいところが面白いですね。）
昔から日本では４と９は縁起が悪いということで、これを使わない表記が結構あり ます。（銭湯等の下駄箱の番号、ホテルの客室番号等、また、４階と９階のないホテルま であるようです。）

解答・その18

（ペンネ−ム：杖のおじさん）

答え　８７５番目

４と９を使わないのですから０〜９までの１０種類の中から８種類の数字で表現する事になります。 ８進法で５００は何番目かを調べてみます。
　　　５００の８進法の１位は５００／８＝６２余り４　従って４
　　　５００の８進法の１０位は６２／８＝７余り６　　従って６
　　　５００の８進法の１００位は７
従って５００は８進法では７６４番目となります。
しかし、８進法ですので１０進法で表示しますので４→５、６→７、７→８　に書き換えます。
従って７６４番目→８７５番目となります。

解答・その19

（ペンネ−ム：巷の夢）

今回の問題は8進法を適用すれば良いのですね。
500＝7×8²+6×8¹+4×8⁰　ですから764となります。
さらに４を使用できない関係で１つずれるので、 7は8、6は7、4は5になります。875が求めるものです。

解答・その20

（ペンネ−ム：三角定規）

数字４，９を用いないのだから，これは，８個の数字 ０，１，２，３，５，６，７，８ を用いる８進法である。
１０進法の ５００ は（通常の）８進法では

　　　５００₍₁₀₎＝７×６４＋６×８＋４＝７６４₍₈₎

４を用いず８を用いるため，４以上を１ずつシフトして， 求める５００人目のナンバーは ８７５…［答］

解答・その21

（ペンネ−ム：のっこん）

１、２、３、５、６、７、８、１０、・・・において ５を４と書き、６を５と書き、７を６と書き、８を７と書くことにすると １、２、３、４、５、６、７、１０、・・・となって8進法の問題となる
５００÷６４＝７余り５２、５２÷８＝６余り４だから ５００は8進法では７６４と表されるが ７はもともと８、６はもともと７、４はもともと５だったから ５００は１、２、３、５、６、７、８、１０、・・・においては８７５

解答・その22

（ペンネ−ム：Toru）

0,1,2,3,5,6,7,8 の８種類の文字をつかって、８進法のように考えればよい

　　　500=7x8²+6x8+4

であるから８進法なら764であるが対応する文字に変えて

　　　875

解答・その23

（ペンネ−ム：蜘蛛の巣城）

８個の数を使用する表記法は８進法です。但し通常だと「０から７まで」を使用し、 １０進法での「０から７まで」と同じです。 しかしここでは４と９を除く８進法ですから、変則８進法と名づけておきましょう。 「４と９」なんて古風なテレビ局じゃないですか。

　　　

０	１	２	３	４	５	６	７	通常の８進法で使用する数
０	１	２	３	５	６	７	８	変則８進法で使用する数

１０進法の　５００(10)　を通常の８進法であらわし、 それを変則8進法に読み替えればいいでしょう。

　　　500=7×8²+6×8¹+4×8⁰

だから

　　　500(10)=764(8)=875(8')

したがって、８７５番。

正解者

オヤジ	teki	浜田　明巳
巷の夢	のっこん	Toru
nao	みけねこ	蜘蛛の巣城
テレスとアリス	杖のおじさん	夜ふかしのつらいおじさん
スモークマン	meira	T_Tatekawa
ＦａｕｓＴ	三角定規	あきら
Mits	ますますタコさん	転位反応
まーや	しょうじ

最近はあまり気にしないみたいですけれど、 ホテルのルームナンバーなどでも、「４」と「９」を使わないということがありますね・・・。
２つの文字を使わないでカウントしていくという方法もありますが、 ８文字だけを用いて数を表現するということですから、まさに「８進法」を 用いて解く方法がありますね。 ただし、通常の８進法では、「０から７の数字」を使うのに対して、 この場合は、「０，１，２，３，５，６，７，８」を使うという変則８進法になりますね。
大変多くの方々から解答をいただきました。どうもありがとうございました。

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