Weekend Mathematics／問題／115料金所の問題

１１５．料金所の問題

高速道路の料金所に長い車列ができていて、その後も毎分１２０台の割合で、 この車列の後に自動車が増えていく。 料金所のゲートを４箇所開くと車列は３０分でなくなり、 ６箇所開くと車列は１５分でなくなるという。 初めの車列には、自動車が何台あったか。

解答・その1

（ペンネ−ム：オヤジ）

最初にＸ台車があったとします。
一カ所の料金所で、毎分Ｍ台を通過させるとします。
題意より

　　　３０×４Ｍ＝Ｘ＋３０×１２０
　　　１５×６Ｍ＝Ｘ＋１５×１２０

従って　　１２０Ｍ＝Ｘ＋３６００　（台）・・・�@
　　　　　　９０Ｍ＝Ｘ＋１８００　（台）・・・(2)
　　�@ー(2)より
　　　　　　３０Ｍ＝１８００
　　　　　　　　Ｍ＝６０台／分・・・(3)
　　　　　　(3)を(2)に代入して
　　　　　５４００＝Ｘ＋１８００
　　　　　　　　Ｘ＝３６００
　　　　　　　∴　３６００台

解答・その2

（ペンネ−ム：杖のおじさん）

答え、最初に並んだ車の総数は→３６００台です。

最初に並んだ車の総数をYとして、１つのゲートが通す１分間の処理台数をｚとすると。 次の式が成り立ちます。
４台のゲートを開けたときの計算は次の通りです。

　　　Y+３０×１２０―Z×４×３０＝０…(1)

６台のゲートを開けたときの計算は次の通りです。

　　　Y+１５×１２０―Z×６×１５＝０…(2)

(1)を変形すると

　　　Y＋３６００−１２０Z＝０ 　　　Y=１２０Z−３６００…(3)

(2)を変形すると

　　　Y＋１８００−９０Z＝０…(4)

(3)を(4)に代入すると

　　　１２０Z−３６００＋１８００−９０Z＝０
　　　３０Z=１８００　　　Z=６０（台）…(5)

(4)を(3)に代入すると

　　　Y＝１２０×６０−３６００＝７２００−３６００＝３６００台

です。

解答・その3

（ペンネ−ム：巷の夢）

最初の台数をX、ゲートが処理する毎分の台数をYとすると、題意より

　　　X＋30×120＝30×Y×4
　　　X＋15×120＝15×Y×6

となる。この連立方程式を解いて、

　　　Y＝60
　　　X＝3600

因って、最初の台数は3600台・・・、うーんー。

解答・その4

（ペンネ−ム：三角定規）

《解答》
始めの渋滞台数を ｘ 台，ゲート１ヶ所の１分間あたりの処理台数を y 台とすると，題意より

　　　ｘ＋１２０×３０＝１２０ｙ　……�@
　　　ｘ＋１２０×１５＝　９０ｙ　……�A

�@−�A：　３０ｙ＝１２０×１５　　∴　ｙ＝６０　……�B
�Bを�Aに代入して，　ｘ＝９０×６０−１２０×１５＝３，６００

［答］　渋滞台数　３，６００台

解答・その5

（ペンネ−ム：namiusagi）

答は3,600台

初めの車列をX台とし、ゲート1ヶ所の1分あたりの 処理能力をaとすると ゲート4ヶ所では、

　　　a=(X+120×30)/4×30 ……（1）

ゲート6ヶ所では、

　　　a=(X+120×15)/6×15……（2）

(1)=(2)より、

　　　(X+120×30)/4×30=(X+120×15)/ 6×15
　　　(X/120)+30=(X/90)+20
　　　(4X/360)-(3X/360)=30-20
　　　X=10×360=3600

解答・その6

（ペンネ−ム：ＦａｕｓＴ）

最初の車列数を　ｘ　、１つの料金所（ゲート）が1分間で処理する車数を　ｙ　とすると、 次の関係式が得られる。

　　　ｍ分後の車列数：（ｘ（台））＋１２０（台）×（ｍ（分））

ゲートをｎ箇所設置したとき、ｍ分間に処理できる車数：

　　　（ｎ（箇所））×（ｍ（分））×（ｙ（台／分））

題意（ｍ分後に車列がなくなる）を満たすには、 「並んでいる車列数」と「処理する車数」が一致、 すなわち上記２式が「＝（イコール）」となった時である。
題意（４箇所設ければ３０分で処理、６箇所設ければ１５分で処理）より、 （ｍ，ｎ）＝（３０，４），（１５，６）の２つの条件を、上述した関係式に それぞれ当てはめれば、下記のとおりｘ、ｙについての連立方程式が得られる。

　　　ｘ＋１２０・３０＝４・３０・ｙ
　　　ｘ＋１２０・１５＝６・１５・ｙ

これを解いて、

　　　ｘ＝３６００、ｙ＝６０

問題は、最初の車列数（ｘ）のみ質しているので、求める解は、 ３６００　（台）　　・・・・・・【解】　　　となる。

解答・その7

（ペンネ−ム：のっこん）

ゲート１箇所の処理能力を１分あたりa台とする
４箇所３０分では１２０a台を処理する
６箇所１５分では９０a台を処理する

初めの車列にx台あったとすると

　　　x＋１２０×３０＝１２０a・・・・(1)
　　　x＋１２０×１５＝９０a・・・・(2)

(1)、(2)よりx＝３６００（台）
ニュートン算てやつかな？

解答・その8

（ペンネ−ム：teki）

答え　３６００台

＜解法＞　二元連立方程式
最初に並んでいた車の台数をｘ、ゲート１つ当りの１分間の通過台数をｙとすると、

　　　ｘ＋１２０×１５＝１５×６×ｙ
　　　ｘ＋１２０×３０＝３０×４×ｙ

これを解いて、ｘ＝３６００、ｙ＝６０。

なお、ニュートン算には、１：２→２：３にする比を用いた算数解法があるんですが、 これはどなたかが必ず書いてくれると思いますので、省略します。

解答・その9

（ペンネ−ム：テレスとアリス）

【解答】
設問から、次の式が成り立ちます。
料金所のゲート１箇所で処理できる台数をＡとします。
また、初めの車列の自動車台数をＢとします。
料金所のゲートを４箇所開くと車列は３０分でなくなることから、

　　　Ａ　×　30　×　4　＝　120　×　30　+　Ｂ

料金所のゲートを６箇所開くと車列は１５分でなくなることから、

　　　Ａ　×　15　×　6　＝　120　×　15　+　Ｂ

それぞれの式をまとめると、

　　　120Ａ　＝　3600　+　Ｂ
　　　90Ａ　＝　1800　+　Ｂ

となります。 これより、

　　　（3600　+　Ｂ）　対　（1800　+　Ｂ）　＝　120　対　90

となるようなＢを求めます。
90（3600　+　Ｂ）　＝　120（1800　+　Ｂ）
324000　+　90Ｂ　＝　216000　+　120Ｂ
30Ｂ　＝　108000
Ｂ　＝　3600

答え　3600台


【別解答】
料金所のゲートを４箇所開くと車列は３０分でなくなる
料金所のゲートを６箇所開くと車列は１５分でなくなる
との設問から、 料金所のゲート２箇所で、１５分間で、

　　　（120　×　15）　＝　1800台

処理できることになります。６箇所で、１５分間で

　　　（120　×　15）　×　3　＝　5400台

処理できたことになります。15分間では、

　　　（120　×　15）　＝　1800台

増えたので、初めの車列の自動車台数は、

　　　5400　-　1800　＝　3600台

となります。

答え　3600台

解答・その10

（ペンネ−ム：Toru）

１５分後までに後方から来る車は120x15=1800 台
３０分後までに後方から来る車は120x30=3600 台
初めの車列の台数をxとすれば

　　　(1800+x)：(3600+x)=6x15：4x30=3：4

より　x=3600 答え　3600台

解答・その11

（ペンネ−ム：ひろ）

初めの車の数をx,１ヶ所１分あたりにゲートを通過する車の数をyとする。

解答・その12

（ペンネ−ム：T_Tatekawa）

初めの自動車の台数を x 台とする。
4カ所のゲートでは30分で自動車がなくなり、
6カ所のゲートでは15分で自動車がなくなる。
1カ所のゲートが1分に処理出来る自動車の数を 比較すると、

　　　(x+120*30)/(4*30)=(x+120*15)/(6*15)
　　　x/120+30=x/90+20
　　　10=x/360
　　　x=3600

よって、もとの自動車の台数は3600台。

解答・その13

（ペンネ−ム：DDT）

毎分120台の車が来て、ゲート1箇所が毎分y台処理するとすると、 ゲート4箇所で車列は毎分 (4y−120)台 短くなる。30分で車列はなくなるから、 最初の車列の台数は、30×(4y−120) 台。
同様に、ゲート6箇所なら、15×(6y−120) 台。両者は等しいから、

　　　30×(4y−120)＝15×(6y−120)
　　　4y−120＝3y−60
　　　y＝−60＋120＝60 台/分

従って、最初の車列は、

　　　30×(4y−120)＝30×(4×60−120)＝30×120＝3600 台

となります。 ちなみにこの結果は、車の流入台数とゲート処理能力が一定として、 ゲートを4または6箇所にする以前の開放ゲート数、および車列が溜まっていった時間には無関係です。 何故なら、ゲートを4または6箇所にした瞬間の車列の台数をxとすると、

　　　x＝(α−60ｍ)t

でなければなりません。
もちろんt＝0からx＝3600 台になる瞬間まで、毎分の車の流入αは、α＞ｍy＝60ｍ 台/分 と仮定されます。ここで ｍは、x＝3600 台になる以前の開放ゲート数です。 なんだか交通工学における、道路の混み具合方程式を思い出します。車の流入量が、 時間に対して不連続に変化する問題を作りたくなってきました。 それは、2変数の双曲型偏微分方程式を特性曲線の方法で解く段波の計算になります （← 作れるかどうかわかりません）。

解答・その14

（ペンネ−ム：nao）

（答案）
１つのゲートで１分間に処理できる台数を「１」とおくと、

　　　４箇所開いた場合は「１」×４×３０＝「１２０」
　　　６箇所開いた場合は「１」×６×１５＝「９０」

この差の「３０」は３０分と１５分の差である１５分間にやってきた台数の差に当る。

　　１２０×１５＝１８００台　１８００÷「３０」＝６０台

１つのゲートは１分間に６０台処理できる。 １分間にやってくる台数は１２０台なので、 １２０÷６０＝２つのゲートがあれば処理できる。 ４つのゲートで３０分で処理できたのだから、４つの内２つのゲートは新しくやって くる車だけを処理するとして、残りの２つが最初にあった列を処理したことになる。

　　　６０台×２×３０分＝３６００台・・・こたえ

解答・その15

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

初めにあった列の自動車を「■」で表します。
その列の後に増える自動車を「□」で表します。
料金所のゲートを「←」で表します。

自動車の量を考えるうえで、 ゲートから出る自動車がもともと車列にあったものか、 後から増えたものかを区別する必要がありません。
ゲートを４カ所開いて車列が30分でなくなった様子を表します。

    　 　 0　　　　　 15　　　　　　　30
　　�@←　■■■■■■｜■■■■■■
　　�A←　■■■■■■｜■■■■■■
　　�B←　□□□□□□｜□□□□□□
　　�C←　□□□□□□｜□□□□□□

次にゲートを６カ所開いて車列が15分でなくなった様子を表します。

  　      0　　　　　 15　　　　　　　30
　　�@←　■■■■■■｜
　　�A←　■■■■■■｜
　　�B←　□□□□□□｜
　　�C←　□□□□□□｜
　　�D←　■■■■■■｜
　　�E←　■■■■■■｜

ゲートを６カ所にしたとき�D・�Eのゲートから出た自動車は、
ゲートが４カ所のときに15分すぎから30分の間に�B・�Cのゲートから出た自動車と同じ量です。
ゲートが６カ所のとき15分で車列がなくなったということは、
�D・�Eのゲートから出た自動車は、
ゲートが４カ所のときに15分すぎから30分の間に�@・�Aのゲートから出た自動車と同じ量です。

15分で増える自動車の量は、１２０×15＝１８００台です。
だから初め列にあった自動車は、倍の３６００台です。

正解者

teki	のっこん	オヤジ
テレスとアリス	T_Tatekawa	nao
Toru	巷の夢	ＦａｕｓＴ
杖のおじさん	夜ふかしのつらいおじさん	DDT
ひろ	namiusagi	三角定規

一定の割合で減っていく一方で、別な要素により一定の割合で増えていくという 状況下にある量を考える問題をニュートン算といいます。 この問題は、高速道路の料金所のゲートで処理をしている一方で、 並ぶ自動車の台数が増えていくということになります。
連立方程式を立てて解いていただいた方が多いわけですね。 テレスとアリスさん、Toruさんは、４箇所だと３０分、６箇所だと１５分というところから、 比を用いて解いてくださいました。 また、naoさん、夜ふかしのつらいおじさん の解答を拝見すると、方程式を使わなくても、むしろ使わない方が、 しっくり理解できますね。どうもありがとうございました。

E-mail top