Weekend Mathematics／問題／114の問題

１１４．立体の切断

図のように、１辺の長さが2cmの立方体を４個はり合わせてできた立体を考えます。 この立体を３つの頂点Ａ、Ｂ、Ｃを通る平面で切断します。
（１）三角形ＡＢＣの面積を求めなさい。
（２）切り口の図形の面積をもとめなさい。

解答・その1

（ペンネ−ム：オヤジ）

（１）
△ABCは、三辺が、２√２、２√５、２√５の二等辺三角形、よって底辺２√２、高さ３√２の二等辺三角形
よって、△ABC＝（１／２）×２√２×３√２＝６�p^２

（２）
平面ABCで切断した立方体の１つの平面の一つは、√２、√５、√５、２√２の等脚台形
よって等脚台形は、上底√２、下底２√２、高さ３√２／２の等脚台形
よって求める面積は

△ABC＋２×（等脚台形の面積）＝６＋２×（１／２）×（√２＋２√２）×（３√２／２）＝６＋９＝１５�p^２

解答・その2

（ペンネ−ム：テレスとアリス）

（１）【解答】
辺ＡＢを底辺と考える。
底辺は、(√８)cm = (2√2)cm
高さは、(√(((2√2)/2)²+4²))cm = (√18)cm = (3√2)cm
三角形ＡＢＣの面積 = ((2√2)×(3√2)×1/2)cm² = 6cm²
　　　答え　6cm²

（２）【解答】
求める面積は、２つの台形と三角形ＡＢＣの面積の和となる。
台形の面積は、
上辺は、((2√2)/2)cm
下辺は、(√８)cm = (2√2)cm
高さは、(√((((2√2)/2)/2)²+2²))cm = (√(9/2))cm = (3/√2)cm
台形の面積 = ((((2√2)/2)+(2√2))×(3/√2))×1/2 = 4.5cm²
よって、切り口の図形の面積 = 6cm2+(4.5cm2×2) = 15cm²
　　　答え　15cm²

解答・その3

（ペンネ−ム：teki）

１　６ｃｍ^２
２　１５ｃｍ^２

１． まともに計算すると結構大変ですが、下の図のとおり、１辺４ｃｍの正方形から直角三角形 ３つを切り取れば、算数で十分解けますね。

２． 切り口の面積は、三角形ＡＢＣを３つ並べたものから、三角形ＡＢＣの上半分（この表現は 非常に不正確ですが、要するに面積で言うと４分の１）を２個切り取ったものになります。 よって、

　　　６×（３−０．２５×２）＝６×２．５＝１５ｃｍ^２

ですね。

解答・その4

（ペンネ−ム：杖のおじさん）

答え
（１）三角形ABCの面積は　　６cm²です
（２）切り口の図形の面積は　１５cm²です

１．
立方体の頂点ＡＢＣを通る平面の切断面の面積は下の三角錐展開図を見て下さい。 三角錐展開図を展開すると４ｃｍ四方の正方形になる事が分ります。 切断面Ｓの面積を次の式で求めます。

　　　Ｓ＝正方形の面積―（Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３）
　　　Ｓ＝４×４―（４×２／２）×２−２×２／２＝６cm²

２．
AとBを結ぶ線からCに向かって切断すると下の線はDとCとEを結ぶ線になります。 そして、切断面はA，B，I，Ｇ，Ｅ，Ｃ，Ｄ，Ｆとなります。 この面積は１で求めた△ABCの面積の３倍から△AFHの面積の２倍分を引けば求められます。 △AFHは△ADCに内接する他の三角形とは合同です。 内接する三角形は△AFHと△FDLと△FHLと△HICの４つです。従って、△AFHの面積は

　　　６�p²／４＝１．５cm²

です。従って次の式で切断面を求めます。

　　　６×３−１．５×２＝１５cm²

です。

三角形が合同である事を証明するため各交点に記号を付番して錯角、同位角と説明しようと思いましたが、説明が長くなりますので省略いたします。

解答・その5

（ペンネ−ム：巷の夢）

（1）
△ABCはABを底辺とする二等辺三角形となり、 底辺及び斜辺の長さは各々2√2と2√5ですので、 求める面積Sは、

　　　S＝2√2×3√2/2＝6

となります。

（2）
ちょっとややこしいので図を描きます。
線分ABと平行でCを通る線分をDEとします。 すると求める切り口は赤せんで囲まれた図形 ABIGECDFHAとなります。三平方の定理 よりDEは4√2、ABは２√2、HIは√2 である。また各々の図形の高さは3√2で あるから台形2つｎお面積を加え計算 すると15となる。

解答・その6

（ペンネ−ム：三角定規）

　断面は，右図の水色の部分である。
(1) △ABC は， の二等辺三角形だから，高さは で， 面積は 6 cm²

(2) 断面の面積＝台形DEBA×3＋△CDE＝6×(3/4)×3＋6/4＝15 cm²

解答・その7

（ペンネ−ム：ＦａｕｓＴ）

まず最初に、ＡＢＣの他に、便宜上勝手に記号を付けさせて頂きます。 Ｃから鉛直方向４ｃｍ上にある点をＤ、ＡＢ、ＡＣ、ＢＣの中点をそれぞれＨ、Ｍ、Ｎ、 とします。

（１）三角形ＡＢＣの面積

【　解　答　】
三角形ＡＢＣの面積を　Ｓ１　とすると、

　　　Ｓ１＝(1/2)・ＡＢ・ＣＨ

ＡＢ＝２√２、ＣＨ^２＝ＣＤ^２＋ＤＨ^２ ＣＤ＝４、ＤＨ＝√２　より、

　　　ＣＨ^２＝４^２＋（√２）^２＝１６＋２＝１８

ＣＨ＝√１８＝３√２（ＣＨ＞０より）

　　　Ｓ１＝(1/2)・２√２・３√２＝６

よって、三角形ＡＢＣの面積は　６ｃｍ^２　　【　終　】

（２）切り口の図形の面積

【　解　答　】
「切り口」は４つの立方体全てに達しており、そのうち、１つの立方体（積み重なっている２つの立方体（以下「上下２つの立方体」とする）のうち、下の立方体）の切り口が三角形で、その他の３つの立方体（上下２つの立方体のうち、上の立方体と、上下２つの立方体以外の２つの立方体）の切り口が３つとも合同な台形になっている。 このことが分かれば、あとは（１）の解を利用すれば（２）の解は簡単に導ける。

（１）による三角形ＡＢＣの切り口は、上下２つの立方体にわたるが、この上下２つの立方体のそれぞれの切り口について面積を考える。上の立方体の切り口は台形（台形ＡＭＮＢ）、下の立方体の切り口は三角形（△ＭＣＮ）であり、それぞれの面積を　Ｓ２、Ｓ３　とすれば、次の式が確認できる。

　　　台形ＡＭＮＢ　：　Ｓ２
　　　△ＭＣＮ　　：　Ｓ３
　　　Ｓ２＋Ｓ３＝６　（（１）の【解】）　・・・�@

さて、Ｍ、ＮはＡＣ、ＢＣそれぞれの中点であるから、三角形ＡＢＣを線分ＭＮによって２分される台形と三角形の面積Ｓ２、Ｓ３の間には次の関係式が成り立つ。

　　　Ｓ２：Ｓ３＝３：１　・・・�A

�@、�Aより、

　　　Ｓ２＝６×３／４＝９／２
　　　Ｓ３＝６×１／４＝３／２

求める切り口　Ｓ　は、台形（Ｓ２）が３つと、三角形（Ｓ３）が１つの、４つの図形の合計であるから、

　　　Ｓ＝Ｓ２×３＋Ｓ３＝９／２×３＋３／２＝１５

よって、求める切り口の図形の面積は　１５ｃｍ^２　　【　終　】

解答・その8

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

（１）△ABCにおいて、AB＝２√２、ＣＡ＝ＣＢ＝２√５です。

その１

すると、ヘロンの公式から、

△ＡＢＣ	＝√｛（ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ）／２・（−ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ）／２・（ＡＢ−ＢＣ＋ＣＡ）／２・（ＡＢ＋ＢＣ−ＣＡ／２）｝
	＝１／４・√｛（２√２＋２√５＋２√５）（−２√２＋２√５＋２√５）（２√２−２√５＋２√５）（２√２＋２√５−２√５）｝
	＝１／４・√｛（４√５＋２√２）（４√５−２√２）・２√２・２√２｝
	＝１／４・√｛（８０−８）・８｝
	＝６

その２

余弦定理より、ＡＢ²＝ＣＢ²＋ＣＡ²−２ＣＢ・ＣＡ・ｃｏｓＣ
８＝２０＋２０−２・２√５・２√５・ｃｏｓＣ より

　　　ｃｏｓＣ＝４／５、ｓｉｎＣ＝３／５

　∴△ＡＢＣ＝１／２・ＣＡ・ＣＢ・ｓｉｎＣ＝１／２・２√５・２√５・３／５＝６

その３

ＡＢの中点をＦとします。
　 △ＣＦＧにおいて、ＧからＣＦに垂線をおろし交点Ｈとします。
すると、ＧＨ＝４／３です。
三角錐ＣＡＢＧ＝１／３・△ＡＢＣ・ＧＨなので、

１／３・２・４＝１／３・△ＡＢＣ・４／３

　∴△ＡＢＣ＝６

（２）切り口の図形は、△ＡＢＣの１／４の大きさの三角形が１０個分あります。
だから、１０・１／４・６＝１５です。

解答・その9

（ペンネ−ム：Toru）

底面に投影して考えることにすると

　　　√(1²+1²)/√(1²+1²+4²)=1/3

よりABと直角な方向について、１／３に縮めていることになる。

１） 三角形ＡＢＣの投影は一辺２cmの正方形の半分になって、この面積は２
よってもとの面積は２x３＝６　(cm²)

２） 断面の投影は一辺２cmの正方形の半分と、 一辺２cmの正方形の半分からその1/4の帽子をとったものが二つになる。

　　　2+3/2+3/2=5

よってもとの面積は5x3=15 (cm²)

正解者

オヤジ	teki	Toru
巷の夢	ＦａｕｓＴ	テレスとアリス
杖のおじさん	三角定規	夜ふかしのつらいおじさん

（２）の問題では、切り口の図形をイメージできましたでしょうか。 面積を求めるには、いろいろな方法があると思いますが、 まずこの切り口の形状を正確に把握しないといけませんね。
また、面積を求める方法として、Toruさんの解答は、投影したものの図形の面積から、 元の面積を求めるというもので、大変ユニークで興味深いなと思いました。

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