Weekend Mathematics／問題／113の問題

１１３．積み木の問題

右の図は、１辺が１cmの立方体を64個合わせた立方体です。 この立方体のかげの部分３ヶ所から、それぞれ反対側まで並んでいる立方体をすべて くり抜いてできる立体があります。 この立体の体積と表面積を求めなさい。

解答・その1

（ペンネ−ム：オヤジ）

１辺１�pの６４個の空洞を平行移動して一隅に集めると
体積　６４ー（４×３ー２）＝６４−１０＝５４�p^３

表面積：１５×６＋（青い空洞の表面積）．．．�@
（青い空洞の表面積）＝３個×４�p^２×３通り＝３６�p^２．．．�A
�@、�Aより　　表面積＝９０＋３６＝１２６�p^２

解答・その2

（ペンネ−ム：すなぞう）

まず、くりぬく前の体積と表面積を計算しておきます。

　　　体積＝4×4×4＝64cm³
　　　表面積＝4×4×6＝96cm²

くりぬかれた部分を、重なっている部分を考えずに抜き出すために分解して考えてみる。 つまり、くりぬかれるのは次のような棒の組み合わせで

　　　a)　■■■■
　　　b)　■×２個
　　　c)　■■×２個

の合計１０個の■がくりぬかれる。
この■一個の体積は1cm³であるから、くりぬかれた体積は10cm³。
よって体積は64―10＝54cm³・・・答え１

次に表面積だが、くりぬかれると表面の４個はなくなり、内側の部分が増える。
その増え方は、上の■１個について4cm²増えることになるので、表面積は
96―4＋（10×４）＝126cm²・・・答え２

解答・その3

（ペンネ−ム：teki）

１　体積　　　　５４ｃｍ³
２　表面積　　１２６ｃｍ²

ある程度の空間把握能力があればできますね。

体積は、６４−１０で５４。（これは、真ん中の立方体の重複さえ見落とさなければ簡単です。）
問題は表面積の方ですが、９６＋３６−６で１２６です。
（３６の意味は４×９ですが、−６の意味さえわかれば、そんなに難しくはないですね。）
一応、頭の中で解きましたが、空間把握能力の乏しい私のことですので、間違えてるかも(^^;;

解答・その4

（ペンネ−ム：Toru）

くり抜かれる立方体の数は１０個で、体積は54 cm³
外面の面積が15x6=90 cm² トンネルの壁の面積が4x3x3=36 cm²で　表面積 は90+36=126 cm²

解答・その5

（ペンネ−ム：杖のおじさん）

答え
立方体の体積は　５４ｃｍ³　です
立方体の表面の面積は　１２６ｃｍ²　です

立方体の体積について
全体の体積

　　　４×４×４＝６４cm³

抜き取る体積

　　　（３個並んだ立方体を３箇所分の体積）＋（中心の立方体１個の体積）＝抜き取る体積
　　　（１×１×３×３）＋（１×１×１）＝１０ｃｍ³

従って　　６４−１０＝５４ｃｍ³

立方体の表面の面積について
全体の影でない部分の表面の面積

　　　４×４×６−６＝９０ｃｍ²

抜き取った所の表面の面積

　　　１×１×３×４×３＝３６ｃｍ²

従って　　９０＋３６＝１２６ｃｍ²

解答・その6

（ペンネ−ム：のっこん）

�@体積
　１）x方向にくり抜く→４個減る
　２）次にy方向にくり抜く→３個減る
　３）さらにz方向にくり抜く→３個減る
　結局１０個減るから、６４−１０＝５４（立方センチメートル）

�A表面積
　１）x方向にくり抜く
　　　→４×４−２＝１４（平方センチメートル）増える
　２）次にy方向にくり抜く
　　　→４×３−４＝８（平方センチメートル）増える
　３）さらにz方向にくり抜く
　　　→４×３−４＝８（平方センチメートル）増える
　結局、３０平方センチメートル増えるから
　　　１６×６＋３０＝１２６（平方センチメートル）

解答・その7

（ペンネ−ム：T_Tatekawa）

座標を使った方が説明しやすいので，座標を導入します． 左から右に x 軸，手前から奥に y 軸，下から上に z 軸を取り， 各々の立方体の位置を，例えば正面のかげの部分の立方体ならば (3, 1, 3) というように表す事にします．
(3, 1, 3) と (4, 3, 3) の立方体のところを全てくりぬいた場合， トンネルの交差する場所は (3, 3, 3) になる． また，(3, 3, 4) と (3, 1, 3) からくりぬいた場合の トンネルの交差する場所も (3, 3, 3) になる． よって三つのトンネルは (3, 3, 3) で交差する事になるので， 抜いた立方体の数は

　　　(4-1) * 3 + 1 = 10 個

体積は

　　　64-10 = 54 cm³

表面積に関しては，まずトンネルをくりぬく事により，小立方体の 六面分を失う． 一方で，トンネルの内壁の表面積は，小立方体一個あたりで 4cm² になる． トンネルの交差している部分を除いて，トンネルの内壁の表面積だけ， 立体の表面積が増えるので，立体の表面積は

　　　4*4 * 6 - 6 + 4*9 = 126 cm²

解答・その8

（ペンネ−ム：巷の夢）

今回の問題ですが、元の立体の体積と面積を算定しておきかげの部分を差し引くというオーソ ドックスな手法で考えました。注意するのは3つが重なる箇所ですね。

V＝4³＝64�p³　　　S＝4²×6＝96�p²

これらから　10�p³を引き、12×3-6＝30�p²を加えればよいので、 求めるものは54�p³と126�p²となる。

解答・その9

（ペンネ−ム：ＦａｕｓＴ）

【解　答】
体　積：　　５４　立法センチメートル
表面積：　１２６　平方センチメートル

体積：
１箇所から反対側までくり抜く立方体の数は４個（これを「くり抜いた４個」とします）。
それが３つありますが、「くり抜いた４個」は３つとも同じ場所で交差してますので、

　　　４＋（４−１）＋（４−１）＝１０（個）

が、題意を満たす、くり抜いた部分の個数になります。
くり抜く前の全体の個数が６４個、くり抜いた個数が１０個で、残りは５４個。
よって、求める体積は

　　　５４　立法センチメートル　

です。

表面積：
くり抜く前の６４個の立方体の表面積（単位省略・以下同じ）は、

　　　４×４×６＝９６・・・�@

このうち、くり抜いたことにより消失した部分が６箇所あるので、その面積は、

　　　６・・・�A

次に、くり抜いた部分に出来た、６４個の立方体の「内部」の面積を考えます。
くり抜いた立方体の個数は１０個。
この１０個のうち、１個は６４個の立方体の内部と１面も接しておらず （６面ともくり抜いた立方体に接している）、 残るすべての９個は、４面が６４個の立方体の内部に接している （残る２面はくり抜いた立方体に接しているか、�Aによる部分）ので、 この部分の面積は、

　　　４×９＝３６・・・�B

�@−�A＋�Bより

　　　９６−６＋３６＝１２６

よって、求める表面積は、

　　　１２６　平方センチメートル

です。　　（以　上）

解答・その10

（ペンネ−ム：蜘蛛の巣城）

デッサンをしてしまいましょう。

ブロックは10個。6面のうち5面を外気にさらしているブロックが6個。 4面は3個。全く外気に触れないブロックが1個。 だから、42面が表面積を作っています。 したがって、体積10ｃｍ³　　表面積42ｃｍ²

「くりぬく」と粉々になるだろうから、もしかしたら残る穴の開いた立体のことでしょうか。 そしたら、54ｃｍ³と126ｃｍ²

解答・その11

（ペンネ−ム：三角定規）

[体積] <図１>の立方体から<図２>を除いて 64−10＝54 cm³

[表面積] <図１>の立方体の表面積から<図２>の青色を除き黄色を加え（ 裏側の見えない部分も含めて）ればよい。

　　　16×6−6＋4×9＝126 cm²

解答・その12

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

この立方体の灰色の部分３ヶ所から、それぞれ反対側まで並んでいる立方体をすべてくり抜くと 紫色の部分が下にずれます。

そして黄緑色の部分を奥にずらし、最後に黄色の部分を左にずらします。

最後の図で見えない部分には、3×3×3=27個の立方体があり、見えるところにも3×3×3=27個の立方体があります。 だから、計54個の立方体があるので、体積は54立方センチメートルです。

次に元の図で上の面の立体を左へ90度回します。 その後右側の面を右へ90度回します。

右の図で水色の部分は、立体をくり抜く前に表面であったところです。 赤い部分は立体をくり抜いたために、新たに表面になった部分です。 正方形は、水色が6×（4×4-1）=90個、赤が3×（3×4）=36個で計126個あります。 だから、表面積は、126平方センチメートルです。

正解者

teki	巷の夢	杖のおじさん
のっこん	T_Tatekawa	夜ふかしのつらいおじさん
Toru	すなぞう	オヤジ
ＦａｕｓＴ	蜘蛛の巣城	三角定規

重複している部分を間違いなく数えていけば解決しますね。 表面積を求めるために、立体を展開してしまうという夜ふかしのつらいおじさん の解答はなかなかユニークですね。

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