問題111　ヤギの問題

１１１．ヤギの問題

図のような小屋のすみにヤギが７ｍのひもでつながれています。小屋のまわりには、一面に草がはえています。ヤギが食べることのできる草地の面積を求めなさい。ただし、ヤギの大きさは考えないものとします。

問題の出典

大人に役立つ算数の時間
手島勝朗　監修
永岡書店

答えと解説

解答・その1

（ペンネ－ム：みいた）

ひもが７メートルなのでヤギは円を描いて移動すると考えました。
　　　１×１×３．１４÷４
　　　７×７×３．１４÷４
　　　５×５×３．１４÷４
　　　３×３×３．１４÷４
すべての面積を足して　答えは　６５．９５ｍ²

解答・その2

（ペンネ－ム：杖のおじさん）

答え　６５．９５平方メートル

ヤギ小屋の図の説明
CP=7m　DQ=５m　ER=３m　CB=６m　PB=７－６＝１m＝AB
DQ=７－２＝５m＝DR　　ER=５－２＝３m＝EF

ヤギが食べることのできる草地の面積はS₁、S₂、S₃、S₄の面積の合計です。
S₁はBを中心点として１mの円の４分の１の面積です。
S₂はCを中心点として７mの円の４分の１の面積です。
S₃はDを中心点として５mの円の４分の１の面積です。
S₄はEを中心点として３mの円の４分の１の面積です。

従って次の式で計算します。
Ｓ＝（１²＋７²＋５²＋３²）／４×３．１４＝６５．９５ｍ²

解答・その3

（ペンネ－ム：ブラック）

このヤギが

　　　半径１ｍの４分の１円で動ける部分と
　　　半径７ｍの４分の１円で動ける部分と
　　　半径５ｍの４分の１円で動ける部分と
　　　半径３ｍの４分の１円で動ける部分とを

合計すれば答えが出る。よって・・・・・・

　　　

　１×１×３．１４÷４
＋７×７×３．１４÷４
＋５×５×３．１４÷４
＋３×３×３．１４÷４
＝（１×１＋７×７＋５×５＋３×３）×３．１４÷４
＝６５．９４

これで

　　　６５．９４が

答えとなる。

解答・その4

（ペンネ－ム：浜田　明巳）

ひもの長さ７，ひもがつながれているくい（？）の位置を考えて，答は２１πcm²となります．Visual Basicで解きました
Option Explicit
Sub Form_Load()
    Picture1.BackColor = vbWhite
    Picture1.Scale (-2.5, 14)-(12.5, -1)
    Picture2.BackColor = vbWhite
    Picture3.BackColor = vbWhite
    Picture3.Picture = LoadPicture("mondai111a.gif")
End Sub
Sub Command1_Click()
    Dim Ax As Double
    Dim Ay As Double
    Dim Bx As Double
    Dim By As Double
    Dim Cx As Double
    Dim Cy As Double
    Dim Dx As Double
    Dim Dy As Double
    Dim Ex As Double
    Dim Ey As Double
    Dim Fx As Double
    Dim Fy As Double
    Dim pi As Double
    Dim menseki As Double
    '
    Dx = 0
    Dy = 0
    Cx = 0
    Cy = 6
    Bx = 6
    By = Cy
    Ax = Bx
    Ay = By + 2
    Fx = Ax + 2
    Fy = Ay
    Ex = Fx
    Ey = 0
    Picture1.Cls
    Picture1.Line (Ax, Ay)-(Bx, By), vbBlack
    Picture1.Line -(Cx, Cy), vbBlack
    Picture1.Line -(Dx, Dy), vbBlack
    Picture1.Line -(Ex, Ey), vbBlack
    Picture1.Line -(Fx, Fy), vbBlack
    Picture1.Line -(Ax, Ay), vbBlack
    '
    pi = 4 * Atn(1)
    Picture1.Line (Ax, Ay + 5)-(Bx, By), vbRed
    Picture1.Line -(Cx - 1, Cy), vbRed
    Picture1.Circle (Bx, By), 7, vbRed, pi * 0.5, pi
    menseki = 7 * 7
    Picture1.Line (Fx, Fy)-(Fx + 3, Fy), vbRed
    Picture1.Circle (Ax, Ay), 5, vbRed, 0, pi * 0.5
    menseki = menseki + 5 * 5
    Picture1.Circle (Fx, Fy), 3, vbRed, pi * 1.5, pi * 2
    menseki = menseki + 3 * 3
    Picture1.Circle (Cx, Cy), 1, vbRed, pi, pi * 1.5
    menseki = menseki + 1 * 1
    menseki = menseki * 0.25
    Picture2.Print "面積="; menseki; "πcm2"
End Sub
Sub Command2_Click()
    Unload Me
End Sub
解答・その5

（ペンネ－ム：teki）

２１π平方メートル

ヤギがつながれている紐の長さが７mなので、小屋の角に到達するごとに７→５→３ →１mと動ける半径が短くなります。
それぞれの紐の長さの時に動ける範囲は、１／４・π・r²　なので、合計２１π 平方メートルですね。

＜うがった答え＞

　　　４９π－２０平方メートル

　この小屋が例えば、屋根と柱だけでできており、ヤギが小屋の中を自由に動き回れるとすると半径７mの円内から小屋の面積を引いた範囲の草を食べることができます。（問題文には、小屋の周りに草が生えており、小屋の中のことは書いていないので、小屋の中には草は生えていないと考えるのが妥当でしょう。）

解答・その6

（ペンネ－ム：T_Tatekawa）

小屋がなければヤギが動ける範囲はひもの長さを半径とした円の内部。しかし、ひもが小屋の角にぶつかると、小屋の長さの分だけひもが押さえつけられてしまい、動ける範囲は（ひもの長さ－小屋を囲むひもの長さ）を半径とする円の内部になってしまう。

円を４等分して、角度90度の扇形を組み合わせていくと、まず半径7mの扇形が描ける。左側に動くと、小屋の長さ 6m だけひもが抑えられ、左下に半径1mの扇形が描ける。一方、右上に行くと、半径5mの扇形、半径3mの扇形が描ける。よって求める面積は

( 7x7 + 5x5 + 3x3 + 1x1 ) x π /4 = 21 π

となる。
領域は添付した図の曲線で囲まれたところで、境界部を含む。

解答・その7

（ペンネ－ム：のっこん）

ヤギは半径７mの四分円内、半径１mの四分円内、半径５mの四分円内、半径３mの四分円内を移動できるので、面積は

　　　（４９＋１＋２５＋９）π÷４＝２１π（m²）

解答・その8

（ペンネ－ム：巷の夢）

今回の問題は、私の大好きな軌跡問題で4箇所の角で紐の長さが、1、7、5及び3ｍに変わり、各々の箇所で1/4円を描くところがポイントですね。細かい計算は省略致しますが、求める面積は21π㎝²となります。

解答・その9

（ペンネ－ム：夜ふかしのつらいおじさん）

ヤギが食べられる草地の面積は、半径が1,3,5,7の四半円の合計になります。
　　　Ｓ＝1／4・（1²+3²+5²+7²）π＝21π

解答・その10

（ペンネ－ム：ドンキー）

まずは下のように点A～Fを決めます．

ヤギをつないでいるひもの長さは７ｍなので，何も障害物がなければ，ヤギは点Bを中心とする半径７ｍの円の内部を動くことが出来ます。ただ，壁ABにより，ヤギはどれだけ頑張っても上図で直線ABより下の部分は，点Aを中心として半径１ｍの円の内部しか動けません．同じように，直線BCより右側は，点Cを中心とする半径５ｍの円，さらに直線CDより下側は，点Dを中心とする半径３ｍの円の内部しか動けません．
よって上の図のような範囲をヤギは動けます．食べることの出来る草地の面積は，４分の１の円が４つあることから

　　　（1×1+7×7+5×5+3×3）×π×1/4＝21π（m²）　　　・・・（答）

解答・その11

（ペンネ－ム：やなせ）

ヒツジさんが出来るだけ小屋から離れて移動できる軌跡を求めればその範囲内がヒツジさんが草を食べることが出来る面積になります。
最初ヒツジさんは小屋に沿って右へＣ点まで移動しそこで綱が一杯になってので仕方なく下方面Ｄまで移動します。それ以上はこちら方面へ移動できないので、仕方なくＣに戻り今度は綱が一杯に張りつめた状態でＦ点まで移動そこから更に進んでＨ点まで、もう食いしん坊だからもう止まらず続いてＩ点まで移動これが小屋から出来るだけ離れて移動できる軌跡です。そこで面積ですが
Ａ．Ｂは６ｍで綱は７ｍだからＢ．Ｃ間は１ｍになります。
次にＡ．Ｅ間は２ｍなのでＥ．Ｆ間は５ｍに
更にＥ．Ｇ間も２ｍなのでＧ．Ｈ間は３ｍになります。

そこで食べられた草原の面積ですがそれぞれの円の中心角は９０°なので各円の面積は全円の1/4になります。

1/4円A.F.Dの面積は
　　　７ｍ×７ｍ×π×1/4
1/4円E.F.Hは
　　　５ｍ×５ｍ×π×1/4
1/4円G.H.Iは
　　　３ｍ×３ｍ×π×1/4
1/4円B.C.Dは
　　　１ｍ×１ｍ×π×1/4
この合計になります　π×1/4は共通なので

　　　（７×７＋５×５＋３×３＋１）π÷４＝８４π÷４＝２１π

答え２１πｍ²（約６５．９５ｍ²）

解答・その12

（ペンネ－ム：Toru）

絵を書いたつもりということにして、求める面積は半径７m、１m、５m、３mの円の１／４をたしたものになるから、円周率をπとすると

　　　（7²+1²+3²+5²)π/4=21π　(m²)

解答・その13

（ペンネ－ム：解答ルパン）

上の図のように原点Oからヤギが動ける範囲は半径１ｍ、３ｍ、５ｍ、７ｍの 1/4円の面積の総和になるので

　　　π×（１²＋３²＋５²＋７²）/４＝２１π ｍ²

となりました。

解答・その14

（ペンネ－ム：三角定規）

山羊が草を食べることができるのは右図の着色した４つの４分円内で，その面積は，

正解者

teki のっこんドンキー
Toru 杖のおじさんブラック
やなせ T_Tatekawa 巷の夢
解答ルパン浜田　明巳みいた
三角定規夜ふかしのつらいおじさん

まとめ

今回も解答の公開が遅くなってしまい、ご迷惑をおかけしてしまいました。申し訳ありません。
今回に問題は、糸をピンとはって、その糸がはく面積を求めればいいですね。皆さんから図を提供していただいています通り、半径の異なる１／４円を４つ組み合わせたものになります。
（小屋の中には、草がはえていないと考えましょう。）

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	１×１×３．１４÷４
	＋７×７×３．１４÷４
	＋５×５×３．１４÷４
	＋３×３×３．１４÷４
＝	（１×１＋７×７＋５×５＋３×３）×３．１４÷４
＝	６５．９４

teki	のっこん	ドンキー
Toru	杖のおじさん	ブラック
やなせ	T_Tatekawa	巷の夢
解答ルパン	浜田　明巳	みいた
三角定規	夜ふかしのつらいおじさん