Weekend Mathematics／問題／109の問題

１０９．２００６年の問題

１辺が１０ｃｍの正三角形の形をしたタイルが２００６枚あります。 このうちの何枚かをすき間なく並べて正六角形を作ります。 例えば６枚では、右の図のような１辺が１０ｃｍの正六角形ができます。 できるだけ多くのタイルを使うと、１辺が何ｃｍの正六角形を作ることができますか。

解答・その1

（ペンネ−ム：やなせ）

いきなり六角形ではちと我が輩の頭ではムズイので ２００６枚の１／６を使って出来るだけ大きな 正三角形を作って見たらどうかと思い考えました ２００６÷６＝３３４枚になります でかい正三角形を構成する基本の正三角形の使用枚数は 段々大きくなるに従って

　　　１．４．９．・・・・・・・・・３２４枚

此処が限界かとこれで１８段になります。
これで六角形を構成するとしたら 合計使用枚数は

　　　３２４×６＝１９４４枚

辺の長さは１８段なので

　　　１０×１８＝１８０ｃｍ

解答・その2

（ペンネ−ム：のっこん）

図の正六角形は６つの正三角形からできている
そのうちの１つの正三角形に注目する

２００６÷６＝３３４．３・・・だから
その正三角形はより小さな正三角形に分割したとして
その個数は３３４個が限度である

一方、１つの正三角形は1個の正三角形に分割できる
　　　　　　　〃　　　　　　１＋３＝４個の正三角形に分割できる
　　　　　　　〃　　　　　　１＋３＋５＝９個の正三角形に分割できる
　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
　　　　　　　〃　　　　１＋３＋５＋・・・＋（２n−１）＝n×ｎ個の正三角形に分割できる

n×n≦３３４　を解いて　n＝１８
この時、小さな正三角形の一辺の長さは１０/１８（cm）となる
１０/１８：１０＝１０：x　を解いて　x＝１８０（cm）

解答・その3

（ペンネ−ム：T_Tatekawa）

まず，正六角形は正三角形６つから成り立つ事に着目します．

　　　2006 / 6 = 334 あまり 2

よって，一つの正三角形を作るのに使えるタイルの枚数は334 枚までです．
次に一辺10cmの正三角形を組み合わせて大きな正三角形を 作る時に，必要なタイルの枚数を考えます．

　　　10cm：1枚
　　　20cm：1+3 = 4 枚
　　　30cm：1+3+5 = 9 枚

という具合です． ところでこの正三角形の大きさとタイルの枚数の関係ですが， もとの大きさの正三角形の n 倍の辺の長さの正三角形を作るには， n² 枚のタイルが必要だという事が分かります．なぜなら，

	1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)
=	(2-1) + (4-1) + (6-1) + ... + (2n-1)
=	2* n(n-1)/2 -n
=	n2

だからです．つまり，

　　　n² < 334

を超えない最大の n が，この問題で作る事の出来る最大の 正三角形の大きさを決めます．

　　　18² = 324, 19² = 361

なので，最大の n は 18 です． この時の正三角形の一辺の長さは 180cm．つまり正六角形の 一辺の長さは最大で 180cm です．

解答・その4

（ペンネ−ム：ドンキー）

＜解答＞
正六角形は、６つの正三角形から出来ています。
問題文では一辺が10（ｃｍ）のものの図が与えられていますが、 一辺の長さが10ｎ（ｃｍ）のものについても、大きくみれば６つの正三角形から出来ています。
図：一辺の長さが10ｎ（ｃｍ）の正六角形

上の図で、赤線で描かれた部分が大きく見れば１つの正三角形なわけです。 この正三角形に使われるタイルの数を研究すれば、あとはそれを６倍すればいいわけですね。

分かりやすくするため、少し大きめの図で考えましょう。 上の図は一辺の長さが60ｃｍの正三角形です。 よく見てみると、一番上の段には1枚、２段目には3枚、３段目には5枚、４段目には7枚、５段目は9枚、６段目は11枚のタイルが使われています。 規則的ですね。つまり、ｎ段目は2ｎ-1枚（奇数）なんです。 この下に何段積み重ねても同じなのは、少し実験してみると分かると思います。 よって、一辺の長さが10ｎ（ｃｍ）の正三角形を作るには、ｎ段のタイルが必要なので

　　　1+3+5+・・・+（2ｎ-1）＝ｎ²（枚）

のタイルが必要になります。 （上の足し算は、初項１，末項2ｎ-1，項数ｎの等差数列の和ですから、簡単に計算できます。） ということで、一辺の長さが10ｎ（ｃｍ）の正六角形を作るには、 この正三角形が６個あればよいので、6×ｎ²（枚）のタイルが必要になります。 これで準備は終わりました。 ２００６枚のタイルがありますから、それ以下の枚数で6×ｎ²の形に表せる最大の整数を見つければいいわけです。結果だけいうのもあれですから、ちゃんとそのようなｎを見つけてみましょう。

　　　2006＝6×ｎ²

とおくと、

　　　ｎ²＝2006/6＝334.333・・・

　∴ ｎ≒18.28

よって、２００６以下で6×ｎ²の形に表せる最大の整数は、ｎ＝18のときで

　　　6×18²＝1944

となります。つまり、２００６枚のタイルを使って作れる最大の正六角形は一辺180ｃｍ　　・・・（答）
ちなみに、6×19²＝2166なので、2165年まではこの問題の答は同じです（笑）

解答・その5

（ペンネ−ム：teki）

答え　　１８０ｃｍ

作られる正六角形の１辺の長さは、どう考えても元の正三角形の１辺の長さ の倍数になります。 これと、最小の正六角形の面積が正三角形の面積の６倍であることから、

　　　２００６÷６＝３３４．３３・・・

で最小の正六角形の面積の３３４倍の面積を 持つ正六角形まで作れる可能性があります。 正三角形でも正六角形でも、その面積は１辺の長さの２乗に比例するの で、作れる正六角形の１辺の長さは、

　　　√３３４．３３・・×１０＝１８２．８７・・・

以下となります。 これが１０の倍数となる最大は１８０ｃｍですね。 でも、実際作れるかどうか検証していません。（でも、最小の正六角形の周り に正三角形を敷き詰めればできそうです。） このとき使用するタイルの枚数は１８×１８×６＝１９４４枚で、６２枚余ります。

＜問題＞
ワイヤーロープが２００６本あります。 これを六角形の形に束ねて太いロープを作りたいのですが、最大で 何本のロープを使ったものができるでしょうか？ この問題は、一般に「有芯六角数」と呼ばれる数を考えるわけですが この一般形は、

　　　１＋�狽氏≠P＋ｎ・（ｎ＋１）/２　となります。

２００６本のロープでは、ｎ＝６２が最大で、１９５４本のロープを使って 六角形のロープを作れます。
今月の問題の場合は、これと混同しがちですが、私の解答にあるよう に面積で考えないと間違えますね。

解答・その6

（ペンネ−ム：オヤジ）

一辺　１０ｎ（ｃｍ）の正三角形の個数は、　ｎ^２個
したがって正６角形の個数は　６＊ｎ^２個
題意より　　６＊ｎ^２＜＝２００６　をｎを自然数の条件で解くと
ｎ＝１８　したがって一辺　１０ｎ＝１８０　（ｃｍ）　

解答・その7

（ペンネ−ム：kiyo）

6*n²≦2006　　 nは自然数。
上式を満たす最大のnは18。
したがって、最大の１辺は180ｃｍです。
このとき使うタイルの数は、1944個。

解答・その8

（ペンネ−ム：杖のおじさん）

答え　正六角形の一辺の長さは１８０ｃｍです

アイコンが１辺１０cmの正三角形２枚を並べて正三角形を作るには何枚使うか、 １辺１０cmの正三角形３枚を並べて正三角形を作るには何枚使うか色々考えています。 そして下の式にを使い計算しました。

1辺が1枚の６角形の使用タイル枚数は６枚、2枚の時は２４枚、３枚は５４枚、 4枚は９６枚使用します。
使用枚数は２００６枚以下なので次の数列による計算式で求めます。

　　　Ｎ^２×６≦２００６

　　　Ｎ≦√2006/6

　　　Ｎ≦１８．２８４７…

Ｎは整数なので1辺は１８枚となります。従って１８×１０＝１８０ｃｍ
使用タイル数は１８^２×６＝１９９４枚です。

解答・その9

（ペンネ−ム：解答ルパン）

正六角形は６つの三角形からなるので、

一辺が	10cmの正六角形で使われる正三角形の枚数は	１×６枚
	20cm	４×６=２４枚
	30cm	９×６=５４枚
	40cm	１６×６=９６枚
	：	：
	n cm	ｎ２×６＝６・n２枚

６・ｎ^２≦２００６＝３３４・６＋２ となる。
ｎは自然数なので、ｎ^２≦　３３４　となるｎの最大値を求めればよい。

　　　１８^２＝３２４
　　　１９^２＝３６１　より

　　　１８^２＜３３４＜１９^２　であるからｎ＝１８　が最大値となる。

よって、６・１８^２＝６・３２４＝１９４４枚
１９４４枚となりました。

解答・その10

（ペンネ−ム：ＪＳミル）

実際図にしてみますと，タイルの1辺が10ｃｍなので， 1辺が10ｃｍの正六角形にはタイル3×2＝6個，20ｃｍの正六角形にはタイル12×2 ＝24個，30ｃｍの正六角形には27×2＝54個のタイルが必要です．これらを，タイル 一つ一つでみると

10ｃｍの時	（1+2）×2	＝6
20ｃｍの時	（2+3+3+4）×2	＝24
30ｃｍの時	（3+4+4+5+5+6）×2	＝54

となっており，一般化すると、10ｋｃｍの時

｛（ｋ+ｋ+1）+（ｋ+1+ｋ+2）+（ｋ+2+・・・・+（ｋ+ｋ-1+ｋ+ｋ）｝×2・・?となる．

?は

	｛ｋ+２（ｋ+1+ｋ+2+・・・+ｋ+ｋ-1）+ｋ+ｋ｝×2
＝	｛3ｋ+2ｋ（ｋ-1）+ｋ（ｋ-1）｝×2
＝	6ｋ2

従って，2006≧6ｋ²となるｋの最大値は18

　　　答え：1辺が180ｃｍの正六角形で，使用するタイルの数は1944枚

解答・その11

（ペンネ−ム：蜘蛛の巣城）

６個の正三角形で１個の正六角形を構成するとき、この正三角形を構成ピースと言い表す事にし、１辺が10�p の正三角形を基本ピースとします。2006個以内の基本ピースで、最大の構成ピースを6個作ればよいわけです。

１つの構成ピースが、ｎ 段の基本ピースの重なりで出来ているとき、下の不等式を満たす最大のｎを見つける事にしましょう。

　　　

　　　　最大のｎ＝１８

従って、１辺180�p の最大の正六角形を作ることが出来ます。 算数の問題だと言っているのに、違反ですね。

解答・その12

（ペンネ−ム：巷の夢）

10�pの正三角形を基本とすると、一辺の長さの二乗倍で面積は増加する。 そこで10�pのN倍を考えると面積はN²倍となる。 正六角形はこの正三角形6個からなるので、総面積は6N²となる。 又、この面積は一辺10�pの正三角形の枚数も表しているので、2006より小さな最大のNを求めれば良い。

　　　6N²≦2006

を解くとN＝18となる。即ち求めるものは一辺180�pの正六角形である。

解答・その13

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

できあがった正６角形の１辺の長さは、１０cmの整数倍になります。
その１辺と中心とで決まる正３角形を考えます。（左の図）
その正３角形のタイルの個数を横に数えてみると右の図のようになっています。
タイルがｎ段積み重なっているとすると、その個数は、

　　　１＋３＋５＋･･････＋(２n−１)＝ｎ²

です。 相似の関係にある図形の面積は対応長さの平方に比例するのですぐにｎ²個とも考えられます。
だから１辺が１０ｎcmの正６角形では、６ｎ^2個のタイルが必要です。

　　　６ｎ²　≦　２００６

を解くと、最大の整数は、ｎ＝１８です。
だから、１辺の長さは、１８０cmとなります。
（余りは６２個です）

解答・その14

（ペンネ−ム：Toru）

１辺１０cmのタイルを使うから、正六角形の１辺は10 cmの自然数倍となり この場合、１辺１０cmのタイルですき間なくうめることができる。 １辺１０N cmの正六角形の面積は１辺１０cmのもののN²倍 よって6xN²個のタイルが必要

　　　6x18²=1944

　　　6x19²=2166

より 1辺　180cm　の正六角形が可能

解答・その15

（ペンネ−ム：三角定規）

図のように，正六角形は等辺の正三角形6枚から作られる。1辺が nの正三角形は，1辺1の正三角形(＝単位正三角形）n² 枚から作られから，1辺nの正六角形は6n²枚の単位正三角形から成る。2006 以下の6 n² の最大値は，n＝18 のときの 1944。
よって，1辺10cmの正三角形2006枚から作ることができる正六角形の1辺は180cm。

正解者

teki	杖のおじさん	のっこん
ドンキー	やなせ	巷の夢
三角定規	Toru	T_Tatekawa
オヤジ	ＪＳミル	夜ふかしのつらいおじさん
解答ルパン	kiyo	蜘蛛の巣城

６方向に対象性を持っている図形なので、その1/6を考えていけばいいことになります。 そうやって行き着いた式「6n²≦2006」を眺めると、 ２次元に広がる図形だから、そりゃそうだよねと妙に納得します。
この式を満たす最大の整数はn=18で、このとき使用するタイルの数は1944枚、62枚余ることになります。 つまり、2006という数の必然性はないということです、ごめんなさい。

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