Weekend Mathematics／問題／107アリとクモの問題



１０７．アリとクモの問題

１．
立方体をした箱の上に角砂糖がある。それをねらって３匹のアリが図のようなコースで同時にスタートした。 角砂糖に最初にたどり着くのはどのアリだろうか。


２．
長方形をした部屋があり、その内側は長さが３０ｍ、幅と高さがいずれも１２ｍある。 一方の壁の中央、天井から１ｍのところのＡ点 にはクモがいて、反対側の壁の中央、床から１ｍのところのＢ点にはハエがいる。
ハエがじっとしたままでいるとして、クモが壁伝いにハエに近づくための最短距離はどれほどだろうか。 むろんクモは飛び降りたり糸を利用したりせずに、完全に這っているものとする。




問題の出典


三次元数学パズル
高木茂男
講談社ブルーバックス




答えと解説





答えと解説

解答・その1

（ペンネ−ム：やなせ）

面を展開すればよくわかります



アのコースは三角形４．３．２の２辺を通り、イのコースも同じように三角形４．１．２の２辺を通ります。 ウのコースは最短の場合三角形４．３．２または４．１．２．の１辺を通ります。 三角形の定義から２辺の長さの合計は残りの１辺より長いので最短コースはウですね、別に辺１．３の中点を通過しなくても短いのですが説明が長いのでやめですな。
お答えはウの蟻さんが一番先に角砂糖に到着ですな



解答・その2

（ペンネ−ム：Magi）

1. 　立方体の一辺の長さを a とする。
アとイのコースは、共に立方体の一辺と一面の対角線を通るので、この二つの距離は 等しい。
距離は、a+(）a = (1+)a となる。
ウのコースについては、立方体を展開して考える。
つまり、ウの距離は縦と横の長さが a と ２a の長方形の対角線の長さに等しい。
すなわち、距離は√（a2+(2a)2） = （√５）a となる。
(√５) ＜ (1+)、 したがって角砂糖に最初にたどり着くのはウのコースのアリで ある。





解答・その3

（ペンネ−ム：ニトロ）

１．アとイは同じ距離になるので、ココではイとウのコースを比較します。



絵にすると簡単に判断できますね。
　　解答＞ウ



解答・その4

（ペンネ−ム：三角定規）

（図を書きやすくするため ウ を動かしました。）
右側の展開図からわかるように経路が最も短いのは　ウ …［答］
（ア，イは三角形の2辺，ウは1辺）

数学としての解は以上でしょうが，私は右の エ を正解としたいです。 理由は，ありは箱の手前の面を歩いているときは（角砂糖が見えないので） わりとのんびり歩くが，上面に入り角砂糖を見つけると「スワッ」と一目散に走り出す。 すると，エ が最短時間になることを示すことができます。光の屈折と同じ原理です。




解答・その5

（ペンネ−ム：浜田　明巳）

問題１

問題２
対称性から，奥の面（１２×３０）は使わなくてよい．
すべての場合を図示し，それぞれの場合のＡＢの長さを求め，その最小値を答とする．



故に最短距離は４０ｍである．

この考え方を利用して，Visual Basicのプログラムを作ってみた． 以下の通りである．結果は同じものとなった．




（コピー＆貼り付けする際は，全角の空白を半角にしなくてはなりません）

Option Explicit
Sub Form_Load()
    Dim waku As Double
    waku = 5
    Picture1.Scale (-waku, 12 + 30 + 12 + waku)-(12 + 30 + 12 + waku, -waku)
    Picture1.BackColor = vbWhite
    Picture2.BackColor = vbWhite
    Picture2.Picture = LoadPicture("mondai107b.gif")
    Picture3.BackColor = vbWhite
End Sub
Sub Command1_Click()
    Dim Ax(3) As Double
    Dim Ay(3) As Double
    Dim Bx(3) As Double
    Dim By(3) As Double
    Dim Axx As Double
    Dim Ayy As Double
    Dim Bxx As Double
    Dim Byy As Double
    Dim min As Double
    Dim nagasa As Double
    Dim ten_hankei As Double
    Dim j1 As Integer
    Dim j2 As Integer
    Dim j3 As Integer
    '
    Ax(1) = 12 + 30 + 1
    Ay(1) = 2 * 12 + 6
    Ax(2) = 12 + 30 + 6
    Ay(2) = 12 + 11
    Ax(3) = 12 + 30 + 11
    Ay(3) = 6
    Bx(1) = 1
    By(1) = 2 * 12 + 6
    Bx(2) = 6
    By(2) = 12 + 1
    Bx(3) = 11
    By(3) = 6
    min = 100000
    ten_hankei = 0.15
    For j1 = 1 To 3
      For j2 = 1 To 3
        nagasa = Sqr((Bx(j2) - Ax(j1)) * (Bx(j2) - Ax(j1)) + (By(j2) - Ay(j1)) * (By(j2) - Ay(j1)))
        If min > nagasa Then
          min = nagasa
          Axx = Ax(j1)
          Ayy = Ay(j1)
          Bxx = Bx(j2)
          Byy = By(j2)
          Picture3.Cls
          Picture3.Print "最短距離="; min; "m(?)"
        End If
        Call sakuzu
        For j3 = 1 To 3
          Picture1.Circle (Ax(j3), Ay(j3)), ten_hankei, vbRed
          Picture1.Circle (Bx(j3), By(j3)), ten_hankei, vbRed
          Picture1.CurrentX = Ax(j3)
          Picture1.CurrentY = Ay(j3)
          Picture1.Print "A"; strr(j3)
          Picture1.CurrentX = Bx(j3)
          Picture1.CurrentY = By(j3)
          Picture1.Print "B"; strr(j3)
        Next j3
        Picture1.Line (Axx, Ayy)-(Bxx, Byy), vbGreen
        Picture1.Line (Ax(j1), Ay(j1))-(Bx(j2), By(j2)), vbRed
        Call wt
      Next j2
    Next j1
    Picture3.Cls
    Picture3.Print "最短距離="; min; "m"
    Call sakuzu
    For j1 = 1 To 3
      Picture1.Circle (Ax(j1), Ay(j1)), ten_hankei, vbRed
      Picture1.Circle (Bx(j1), By(j1)), ten_hankei, vbRed
      Picture1.CurrentX = Ax(j1)
      Picture1.CurrentY = Ay(j1)
      If Axx <> Ax(j1) Or Ayy <> Ay(j1) Then
        Picture1.Print "a"; strr(j1)
      Else
        Picture1.Print "A"
      End If
      Picture1.CurrentX = Bx(j1)
      Picture1.CurrentY = By(j1)
      If Bxx <> Bx(j1) Or Byy <> By(j1) Then
        Picture1.Print "b"; strr(j1)
      Else
        Picture1.Print "B"
      End If
    Next j1
    Picture1.Line (Axx, Ayy)-(Bxx, Byy), vbRed
End Sub
Sub Command2_Click()
    Unload Me
End Sub
Sub sakuzu()
    Dim j As Integer
    Picture1.Cls
    For j = 0 To 3
      Picture1.Line (0, j * 12)-(12 + 30 + 12, j * 12), vbBlack
    Next j
    Picture1.Line (0, 0)-(0, 3 * 12), vbBlack
    Picture1.Line (12, 0)-(12, 3 * 12), vbBlack
    Picture1.Line (12 + 30, 0)-(12 + 30, 3 * 12), vbBlack
    Picture1.Line (12 + 30 + 12, 0)-(12 + 30 + 12, 3 * 12), vbBlack
    Picture1.CurrentX = 12 + 15
    Picture1.CurrentY = 2 * 12 + 6
    Picture1.Print "上"
    Picture1.CurrentX = 12 + 15
    Picture1.CurrentY = 12 + 6
    Picture1.Print "手前"
    Picture1.CurrentX = 12 + 15
    Picture1.CurrentY = 6
    Picture1.Print "下"
End Sub
Sub wt()
    Dim j As Long
    For j = -50000000 To 50000000
    Next j
End Sub
Private Function strr(ByVal n As Integer) As String
    strr = Right(Str(n), Len(Str(n)) - 1)
End Function





解答・その6

（ペンネ−ム：ＪＳミル）

それぞれの箱を展開して，点から点に直線的に行くのが最短ですので，角砂糖の問題 はウと思います．

問2の答えは40ｍですね． 鍵が展開図であることは何となくわかっていましたが，やられたと言う感じです．ク モは天井にハエは床に近い場所にいるわけですから，最も近くなるような展開図を作 成し，それを直線で結べば最短なわけですね．12ｍや30ｍ，1ｍといった数字も最後 に√1600になるように作られていたのですね．頭の体操になりました．







解答・その7

（ペンネ−ム：解答ルパン）

こんにちは、ペンネーム解答ルパンです。 長方形の問題に引き続き アリとクモの問題を解いてみました。

１、ウのアリです。
立方体の一辺の長さをaとすると、
ウはa×√5　、アとイはa＋a× ＝a×（１＋)、となるため、
ウの経路の方が短いからです。

２、４０ｍです。
添付図の様に５つの面を通るルートで40mとなりました。

　√｛（１＋３０＋１）×（１＋３０＋１）＋（６＋１２＋６）×（６＋１２＋６）｝ｍ
＝√（３２×３２＋２４×２４）ｍ
＝４０ｍ





解答・その8

（ペンネ−ム：ドンキー）

１．よく図を見ると、アとイは全く同じ長さの道になっています。 立方体をなしている正方形の対角線と辺の長さの和ですね。 「最初に着くのはどのありだろうか？」と聞かれているので、読みがいい人は「どうせ答はウなんでしょ。同着なんて面白くないもんね。」 と思うでしょう。実際それで正解なんですけど、それでは答になっていないので軽く解説。

立方体を展開してみましょう。
するとイとウのコースは同じ２面に書くことが出来ます。 一番短いコースはスタートとゴールを一直線に結んだ経路（オレンジ）なので、 そこからのズレがどれだけかで距離を測ることが出来ます。 一応ウの経路が正方形の辺の中点を通っているという条件は無いので、 少し折れ曲がった図にしてみましたが、イとウのどちらのコースが短いかは感覚で分かりますよね？ ウの方が短いんです。詳しい計算は省きます（複雑な計算をかいてもおもしろくないので）。 今は、最短経路（直線）の途中の点をつまんで引っ張ったとき、 イのほうが多く引っ張ったので長くなってしまう、という感じに理解しておきましょう。

２．直方体の部屋をパタパタと展開して平面にしたとき、 Ａ点とＢ点を直線で結んだ場合が最短になるのは明白です。 ここで、Ａ点とＢ点を結ぶ線分が途中何個の長方形をいくつ経由するかが問題になります。 ４つの長方形を経由する場合は、一辺の長さなどの関係から直線経路が結べません。　 ５つ以上の長方形を経由する場合は、経路が長すぎて42ｍ以上になってしまい、 問題文の図の場合よりも長くなってしまいます。 というわけで、経由する長方形の数は１つ、２つ、３つのどれかになりました。 その中で探してみると、次の図が題意の場合だと分かります。



この図が最小の場合ですね。 長さはちょうど40ｍです。




解答・その9

（ペンネ−ム：杖のおじさん）

今回もアイコンが考えてくれました。

答え。
１．ウが最初に到着します。
２．最短コースは４０ｍです。

１． アとイは同じ距離です。
立方体の一辺を10ｃｍとすると
ア（ＨＣＦ）とイ（ＨＤＦ）＝√（１０２＋１０２）＋１０＝２４．１４ｃｍ
ウ（ＨＥＦ）＝2×√（１０２＋５２）＝２２．３６ｃｍ
従って答えはウが距離が短く最初に到着します。

２．問題に壁を這ってと書いてありましたが、図を見ると床も這ってよさそうなので 壁、天井に関係なく考えられる全ての部屋の展開図を作り計算して見ました。 最短コースは次のコースです。



ＢＣ＝１＋３０＋１＝３２ｍ
ＡＣ＝６＋１２＋６＝２４ｍ
ＡＢ＝√(３２２＋２４２)＝√(１０２４＋５７６)＝√１６００＝４０ｍ
答え　　４０ｍ




解答・その10

（ペンネ−ム：T_Tatekawa）

１．アとイは同じコースを辿っている。
立方体の一辺の長さを 1 とすると，アとイの長さは 1+
ウの長さは √5

(1+)2 = 5 + 2* ＞ 5
なので，ウの方が長さが短く，ウを辿ったアリが最初にたどり着く．

２． 図の辿り方で通る道のりの長さは 30+12 = 42[m]
しかし 1. の考えを応用すると，もっと短い距離がある事に気づく．
部屋を構成する直方体を展開して，経路を見てみる．

経路 1 は例のようにしたもので，42[m]

経路 2 は天井，側面，床を斜めに辿るもので，長さは
Sqrt[32*32 + 24*24] = 40 [m] です．





解答・その11

（ペンネ−ム：のっこん）

最短距離を考える時は展開図を作って二点を直線で結ぶのが一番。

@展開図を作ってみるとウが明らかに一番短い（アとイは同じ）
よって速度が同じならウを通るアリが一番先に着く

A展開図の作り方が問題。
ハエのいる壁（１２×１２）を床になる長方形（１２×３０）の左に書き （床から１mのところにいるから）
クモのいる壁（１２×１２）を天井になる長方形（１２×３０）の右に書けば （天井から１mのところにいるから）
直角をはさむ二辺が３２ｍ、２４mの直角三角形の斜辺をクモが歩くことになる　これが最短 ３２＝８・４、２４＝８・３だからこれは３：４：５の直角三角形
電卓を使わなくても斜辺の長さは８・５＝４０（ｍ）

※「壁伝い＝床・天井を通らない」と思いこんでしまい難儀しました




解答・その12

（ペンネ−ム：巷の夢）

(1)立方体なのでアとイの距離は同じことになる。 そこで立体図を展開すると、右図のようになり、二つの 直線の和で長さが最小となるのは一直線の場合である からウのアリが最初に角砂糖に辿り着く。

（2）これも展開図を描いてみると、（1）と同様に下図の ような直線の場合に最短となることが分かる。因って 求めるものは√322＋242＝√1600　＝40ｍである。







解答・その13

（ペンネ−ム：teki）

（１）　ウ
（２）　４０ｍ

（１）は目で見ても明らかです。立方体の展開図を書いて、直線になるルートが最 短ルートですね。

（２）最小は４０ｍちょうどですね。
直角を挟む２辺の長さが２４ｍと３２ｍの直角三角形の斜辺の長さですが、 これは、３：４：５の関係を使えば、三平方の定理なしで計算が可能です。

* * * * * * * *




＜図１＞
問題図の最短（？）経路は、図１の経路です。


＜図２＞
図２の経路は、私が最初に解答した経路です。（問題図でいうと、斜めに側面へ向 かい、そこから斜めに対面に向かう経路です。）


＜図３＞
図３の経路は、まず、斜めに天井に向かい、そこから天井面、側面と経由して目標 に向かう経路です。
立体では、一見、図１又は図２の経路が最短に見えますが、実は図３の経路が遠回 りしているようで、最短経路ですね。 この経路の長さは、図にも示しましたが、２４、３２、４０の直角三角形の斜辺の 長さです。





解答・その14

（ペンネ−ム：Toru）

１　折れ線が、一つの平面上に来るように立方体を展開して考えれば、 アとイは同じ長さで、ウはイより短いことが分かる。（最短は辺の中点を通るとき、 展開すると直線になる）答え　ウのアリ

２　図を書かない（書けない？）ので、補助として、座標を導入してみます。
　正面の長方形の中央を原点にして、水平方向にx軸（-15≦x≦15）、後面の長方形 をまん中で水平に切って広げて、x軸と垂直にy軸（-24＜y ≦24）を取る。
　くもが最短コースを取る場合、A,Bを含む正方形のどれかの辺をそれぞれ一度だけ 横切ると考えてよいので、それぞれに応じてその辺で、正方形をおり広げて、長方形 と同一平面にもってきて、その部分のx軸を延長する。
これによってA,Bの座標は

　　　A1 (21,19) A2(16,12) A3(21,5) A4(26,-12)
　　　B1(-21,-19)B2(-16,-12) B3(-21,-5) B4(-26,12)

　AxByのうち最短のものを求めてみる。 対称性からAxBy=AyBxなので、

　　　A1B1 A1B2 A1B3 A1B4 A2B2 A2B3 A2B4 A3B3 A3B4 A4B4

をくらべればよいが、図の赤線A4B2=A2B4=42で、 A1B1 A1B3 A1B4 A3B3 A3B4 A4B4　は明らかにこれより長く、 残りのA2B2=√(322+242)=40 A1B2＞A2B3=√(372+172)=40.71--- よりA2B2が最短となる。
直線A2B2はx=4/3 yであるが、これは-6＜y＜6 で-15≦x≦15をみたすので、このコー スを取ることは可能で　答え　40m





解答・その15

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

１．ウのアリです。
下の展開図で出発点（Ｃ）から角砂糖（Ｂ）までの最短距離は直線のルートです。 （辺の中点Ｍを通る）立方体の頂点を通らなければ、アやイのルートよりは短くなります。 三角形の二辺の和は他の一辺より長いことをもちいると「下の図」で

　　　　ＡＢ＋ＡＣ＝ＡＢ＋ＡＤ＋ＤＣ
　　　＞ＤＢ＋ＤＣ＝ＤＡ＋Ａ’Ｂ＋ＤＣ＝Ａ’Ｂ＋Ａ’Ｄ＋ＤＣ
　　　＞Ａ’Ｂ＋Ａ’Ｃ

となるからです。 また、アとイのアリは、同じ距離を移動することになります。



２．クモの最短のルートは、下の展開図のウのようです。
道のりをＬとすれば、

　　　Ｌ２＝（１＋３０＋１）２＋（６＋１２＋６）２
　　　　　＝３２２＋２４２

より、４０ｍです。（３：４：５の直角三角形）

参考までに、イのときは、

　　　Ｌ２＝（１＋３０＋６）２＋（６＋１１）２
　　　　　 ＝３７２＋１７２

より、４０．７１・・・ｍです。
もちろん、アのときは、４２ｍです。







解答・その16

（ペンネ−ム：蜘蛛の巣城）



展開図において経路GCAとGDAは平行四辺形の隣接する２辺の長さの和です。立方体面上の経路GPAとGQAは相対的に同等ですからGQAを採って展開図に示せば、明らかに経路GQAが一番速いことがわかります。このへんの幾何学的理屈は、この際目をつぶってしまいましょう。（ごちゃごちゃしますから）
最短の経路は点QがCDの中点となる場合ですが、このように展開図の内部で直線を引くことができるとき、立体を「直線的に歩く」と表現することにしましょう。



出題図に示された経路も確かに「直線的に歩いて」いますけれども、それよりも短い経路として展開図の赤の経路があります。線分が展開図の内部にあることを確認する必要はあるでしょうが、省きましょう。（めんどうですから）

　　　PR=32　QR=24　より三平方で　PQ=40　　緑の経路　PQ=42　より短い。

ところで、展開図のPQ=40が最短であることは自明みたいなものですが,案外にというかそれだからというのか、論証しにくいですね。「直線的に歩く」経路の本数は有限であるはずなのに、です。でもまあ、この点については省略。
しかし、立方体の場合には論証し易いです。こちらは「直線的に歩く」経路を無数に作ることができるのに、です。ですが、これもついでに省略です。



正解者

Toru のっこん 巷の夢
T_Tatekawa teki 浜田　明巳
杖のおじさん 夜ふかしのつらいおじさん 蜘蛛の巣城
ＪＳミル ドンキー 解答ルパン
やなせ Magi ニトロ
三角定規





まとめ

展開図を広げた時に、直線で結ぶコースが最も短くなるわけですが、 特に２番については、その展開図で点Ａの位置をどこに持ってくるかが問題ですね。 なかなか奥の深い問題だと思います。解答「４０m」をご覧になって、「やられた！！」とい方も いらっしゃるのではないかと思います。





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