Weekend Mathematics／問題／106長方形の問題

１０６．長方形の問題

長方形ＡＢＣＤが下の図のようにあります。点ＰはＡからＢの方向へ毎秒２ｃｍ、 点ＱはＣからＤの方向へ毎秒３ｃｍの速さで、それぞれがＡ，Ｃを同時に出発しました。 ＰＱが辺ＡＤと平行になるのは、出発してから何秒後ですか。 また、台形ＡＰＱＤと台形ＢＰＱＣの面積の比が５：７になるのは、出発してから何秒後ですか。

解答・その1

（ペンネ−ム：ＪＳミル）

辺ADとPQが平行になるのは，24秒後で，台形APQDと 台形BPQCの面積比が5：7になるのは20秒後だと思います．

解答・その2

（ペンネ−ム：やなせ）

問１の答えは２４秒後です。

辺ＡＤに平行だからＡＰ＝ＤＱの場合ですよね
ＡＰの長さはＰ点移動速度が２ｃｍ
求める時間をｎとしたら
ＡＰ＝２ｎで求められます。
次にＤＱ＋ＣＱ＝ＤＣだから
Ｑ点移動速度が３ｃｍなのでＣＱ＝３ｎ
これから
ＤＱ＝１２０−３ｎ・・こうだと思うけど
まぁ気にせず進めましょうか
上の条件から？
２ｎ＝１２０−３ｎ
２ｎ＋３ｎ＝１２０
ｎ＝２４

問２の答え２０秒後です

面積比が５：７を求めれば良いわけですから
台形ＡＰＱＤの面積が長方形ＡＢＣＤの面積の
５／１２になる所を求めれば良いんじゃないかな
長方形ＡＢＣＤの面積は
５０×１２０＝６０００だから
求める台形ＡＰＱＤの面積は２５００になる所ですな
問１で使った式を元にして
台形ＡＰＱＤの面積が２５００になるには
こんな式で出ると思います。
（２ｎ＋（１２０−３ｎ））×５０÷２＝２５００
（−ｎ＋１２０）×２５＝２５００
１２０−ｎ＝１００
−ｎ＝１００−１２０
ｎ＝２０

解答・その3

（ペンネ−ム：杖のおじさん）

答えはアイコンが教えてくれました！
問題の解答を私のために２５秒間考えて、答え�@�Aを15秒間表示してくれました！

答え
ADとPQが平行になる時間は２４秒後です。
面積が５：７となる時間はスタートしてから２０秒後です。

長方形ＡＢＣＤの面積Ｓ＝１２０×５０＝６０００
台形APQDの面積をＳ_１、PBCQの面積をＳ_２として５：７となる時間を求めます。

　　　Ｓ_１：Ｓ_２＝５：７
　　　Ｓ_１＝（６０００／１２）＊５＝２５００
　　　Ｓ_２＝６０００−２５００＝３５００

Ｓ_１が２５００になる時間をＴとすると次の式が成り立ちます。

　　　５０×（（２×Ｔ）＋（１２０−（３×Ｔ）））／２＝２５×（１２０−T）＝２５００
　　　１２０＝１００＋T
　　　Ｔ＝２０

答え２０秒後です

ADとPQが平行になる時間は次の式で求めます
平行になる時間をTとします。

　　　T×２＝１２０−T×３
　　　５×T＝１２０
　　　T=１２０／５＝２４

答え２４秒後です

解答・その4

（ペンネ−ム：ニトロ）

１．経過した時間をＴ秒として、点Ｐの位置をＸ�p、点Ｑの位置をＹ�pを表すと、

　　　Ｘ＝２×Ｔ
　　　Ｙ＝１２０−３×Ｔ

辺ＡＤに平行となるのは、Ｘ＝Ｙとなる時

　　　∴２Ｔ＝１２０−３Ｔ
　　　５Ｔ＝１２０
　　　答え　Ｔ＝２４秒

２．

台形ＡＰＱＤの面積	＝（Ｘ＋Ｙ）×５０／２
	＝（２Ｔ＋１２０−３Ｔ）×５０／２
	＝（１２０−Ｔ）×５０／２　・・・・・�@式

台形ＢＰＱＣの面積	＝（１２０−Ｘ＋１２０−Ｙ）×５０／２
	＝（１２０−２Ｔ＋１２０−１２０＋３Ｔ）×５０／２
	＝（１２０＋Ｔ）×５０／２　・・・・・�A式

面積比が５：７なので

　　　５：７＝�@式：�A式＝（１２０−Ｔ）×５０／２：（１２０＋Ｔ）×５０／２
　　　５×（１２０＋Ｔ）＝７×（１２０−Ｔ）
　　　６００＋５Ｔ＝８４０−７Ｔ
　　　１２Ｔ＝２４０
　　　答え　Ｔ＝２０秒

２．＜別解＞台形ＡＰＱＤの面積が２５００�p^２の時、面積比が５：７となるので

　　　�@式＝（１２０−Ｔ）×５０／２＝２５００
　　　１２０−Ｔ＝１００
　　　Ｔ＝２０秒

解答・その5

（ペンネ−ム：Ozk）

AP=x　, CQ=yとすると、点ＰはＡからＢの方向へ毎秒２ｃｍ、点ＱはＣからＤの方向 へ毎秒３ｃｍの速さで進むので、2点P,Qが点A,Cを出発してからt秒後のx,yの長さは x=2t、y=3tと表せる。

（１）
ＰＱが辺ＡＤと平行になる時刻をtとする。 PQ//AQとなるとき、AP=DQである。

　　　DQ=DC-QC=120-y　また　AP=x

よって、120-y=xが成り立ち、x=2t、y=3tを代入して

　　　120-3t=2t

これを解いて　t=24
よって出発してから24秒後にＰＱが辺ＡＤと平行になる

（２）
台形ＡＰＱＤと台形ＢＰＱＣの面積をそれぞれS₁、S₂とおく。

　　　S₁=(AP+DQ)*AD/2 = (x+120-y)*AD/2
　　　S₂=(PB+QC)*BC/2 = (120-x+y)*BC/2

ここで、AP=BC=50cmなので

　　　S1:S2＝(x+120-y)*AD/2:(120-x+y)*BC/2 =(x+120-y):(120-x+y)=5:7

ゆえに

　　　5(120-x+y)=7(x+120-y)

この式にx=2t、y=3tを代入して

　　　5(120-2t+3t)=7(2t+120-3t)

これを解いて t=20
よって出発してから２０秒後に台形ＡＰＱＤと台形ＢＰＱＣの面積の比が５：７になる

解答・その6

（ペンネ−ム：ちかひで）

Ｄを原点とする直交座標を考える。
１．ｔ秒後の点Ｐのｘ座標：ｘ₁＝2ｔ
　　　　　　点Ｑのｘ座標：ｘ₂＝120-3ｔ
　　ＰＱが辺ＡＤと平行になるときｘ₁＝ｘ₂
　　　　∴2ｔ＝120-3ｔ
　　　　　ｔ＝120／5＝24（ｓ）

２．ＡＰＱＤの面積Ａ₁，ＢＰＱＣの面積Ａ₂とする。
　　　　Ａ₁＝{2ｔ＋（120-3ｔ）}×50／2
　　　　Ａ₂＝{（120-2ｔ）＋3ｔ}×50／2
　　　　5／7＝Ａ₁／Ａ₂＝{2ｔ＋（120-3ｔ）}／{（120-2ｔ）＋3ｔ}
　　　　　　　　　　　＝（120-ｔ）／（120＋ｔ）
　　　∴5{120＋ｔ）＝7（120-ｔ）
　　　　600＋5ｔ＝840-7ｔ
　　　　ｔ＝240／12＝20（ｓ）

Ａｎｓ．ＰＱが辺ＡＤと平衡になるのは２４秒後。
台形ＡＰＱＤと台形ＢＰＱＣの面積の比が５：７になるのは２０秒後。

解答・その7

（ペンネ−ム：mhayashi）

t 秒後に PQ が AD と平行になったとする．
つまり AP=DQ の状態であり
2t=120-3t が成り立つ．
よって t=24 より，PQ が AD と平行になるのは 24 秒後．

u 秒後に台形APQDと台形BPQCの面積比が 5:7 になったとする．
台形APQD=(2u+120-3u)*50/2=25(120-u)
台形BPQC=(120-2u+3u)*50/2=25(120+u)
これらより (120-u):(120+u)=5:7 を解いて u=20
よって台形APQDと台形BPQCの面積比が 5:7 になるのは 20 秒後

解答・その8

（ペンネ−ム：T_Tatekawa）

点 P, Q が進んだ距離の合計が 120cm になる時が，PQ が 辺 AD と 平行になる時なので，

　　　120 / (3+2) = 24 秒後

台形 APQD と 台形 BPQC の面積の比が 5:7 になった時，各々の面積は

　　　APQD: 50*120 * 5/(5+7) = 2500 cm²
　　　BPQC: 50*120 * 7/(5+7) = 3500 cm²

最初はこれらの台形の面積は

　　　50 * 120 / 2 = 3000 cm²

である．1秒ごとに台形 BPQC の面積は

　　　(3-2) * 50 /2 = 25 cm²

ずつ増加するので，面積の比が 5:7 になるのは，

　　　(3500-3000) / 25 = 20 秒後

解答・その9

（ペンネ−ム：寺脇犬）

平行になるまでの秒数を　ｘ　とすると

　　　ＡＰ＝２ｘ　　　　ＣＱ＝３ｘ

図のＰから　ＤＣに下ろした垂線の足を　Ｍ、 Ｑから　ＡＢに下した垂線の足を　Ｎとする。 ＰＱがＡＤと平行になるとは

　　　ＰＱ＝ＰＭ、ＰＱ＝ＱＮ

になること。これは　長方形ＰＭＱＮを考えて、 ＰＭとＱＮが重なると　対角線ＰＱはＰＭ、ＱＮと一致する。 とすると

　　　２x + ３x = １２０

が言えて　　これを解いて、ｘ＝２４

　　　答え　２４秒後

次に　面積比が　５；７　になるまでの秒数を　ｙとすると

　　　AP＝２y CQ＝３ｙ

で長方形ＡＤＣＢの面積を　５：７　に分けると

　　　台形ＡＤＱＰ＝２５００
　　　台形ＰＱＣＢ＝３５００

それから　長方形ＰＭＱＮを　対角線ＰＱで分けると

　　　三角形ＰＭＱ　＝　三角形ＱＮＰ

そして　長方形ＡＤＭＰ＝１００ｙ
　　　　長方形ＮＱＣＢ＝１５０ｙ

以上より

　　　台形ＡＤＱＰ　ー　長方形ＡＤＭＰ＝　三角形ＰＭＱ
　　　台形ＰＱＣＢ　ー　長方形ＮＱＣＢ＝　三角形ＱＮＰ

これより
２５００ー１００ｙ　＝３５００−１５０ｙ
　　　　　　　ｙ＝　２０

答え　２０秒後

解答・その10

（ペンネ−ム：浜田　明巳）

ｘ秒後にＡＤ//ＰＱとなるとする．
　ＡＰ＝ＤＱとなればよいから，
　　２ｘ＝１２０−３ｘ
　　∴５ｘ＝１２０
　　∴ｘ＝２４
　故に２４秒後である．

　次にｘ秒後に台形ＡＰＱＤ：台形ＢＰＱＣ＝５：７になるとする．
　台形ＡＰＱＤ＋台形ＢＰＱＣ＝長方形ＡＤＣＢなので，
　　台形ＡＰＱＤ＝５／(５＋７)×長方形ＡＤＣＢ
　　∴{２ｘ＋(１２０−３ｘ)}×５０／２＝５／１２×５０×１２０
　　∴１２０−ｘ＝１００
　　∴ｘ＝２０
　故に２０秒後である．

また図形の問題なので，Visual Basicでも解いてみた．やはり同じ結果となった．

Option Explicit
Sub Form_Load()
    Dim waku As Double
    waku = 5
    Picture1.Scale (-waku, 85 + waku)-(120 + waku, -35 - waku)
    Picture1.BackColor = vbWhite
    Picture2.BackColor = vbWhite
    Picture2.Picture = LoadPicture("mondai106a.gif")
    Picture3.BackColor = vbWhite
End Sub
Sub Command1_Click()
    Call keisan(1)
End Sub
Sub Command3_Click()
    Call keisan(2)
End Sub
Sub keisan(ByVal mondai As Integer)
    Dim Ax As Double
    Dim Ay As Double
    Dim Bx As Double
    Dim By As Double
    Dim Cx As Double
    Dim Cy As Double
    Dim Dx As Double
    Dim Dy As Double
    Dim Px As Double
    Dim Py As Double
    Dim Qx As Double
    Dim Qy As Double
    Dim Pxx As Double
    Dim Qxx As Double
    Dim t As Double
    Dim tt As Double
    Dim t_min As Double
    Dim t_max As Double
    Dim t_min0 As Double
    Dim t_max0 As Double
    Dim kizami As Double
    Dim sa As Double
    Dim min As Double
    Dim dankai As Integer
    Dim dankai_max As Integer
    '
    Ax = 0
    Ay = 50
    Bx = 120
    By = 50
    Cx = 120
    Cy = 0
    Dx = 0
    Dy = 0
    Py = 50
    Qy = 0
    t_min0 = 0
    t_max0 = 120 / 3
    kizami = 0.1
    min = 1000000
    dankai_max = 14
    For dankai = 1 To dankai_max + 1
      If dankai = 1 Then
        t_min = t_min0
        t_max = t_max0
      ElseIf dankai <= dankai_max Then
        t_min = max2(tt - kizami, t_min0)
        t_max = min2(tt + kizami, t_max0)
        kizami = kizami * 0.1
      Else
        t_min = tt
        t_max = tt
      End If
      For t = t_min To t_max Step kizami
        If dankai <= dankai_max Then
          Px = 2 * t
          Qx = 120 - 3 * t
          If mondai = 1 Then
            sa = Abs(Px - Qx)
          Else
            sa = Abs((0.5 * (Px + Qx) * Ay) / (0.5 * ((Bx - Px) + (Cx - Qx)) * Ay) - 5 / 7)
          End If
          If min > sa Then
            min = sa
            tt = t
            Pxx = Px
            Qxx = Qx
            Picture3.Cls
            If mondai = 1 Then
              Picture3.Print tt; "秒後(?), ｜AP-DQ｜="; min
            Else
              Picture3.Print tt; "秒後(?), ｜台形APQD/台形BPQC-5/7｜="; min
            End If
          End If
          Picture1.Cls
          Picture1.Line (Pxx, Py)-(Qxx, Qy), vbGreen
        Else
          Px = Pxx
          Qx = Qxx
          Picture3.Cls
          If mondai = 1 Then
            Picture3.Print tt; "秒後, ｜AP-DQ｜="; min
          Else
            Picture3.Print tt; "秒後, ｜台形APQD/台形BPQC-5/7｜="; min
          End If
          Picture1.Cls
        End If
        Picture1.Line (Ax, Ay)-(Bx, By), vbBlack
        Picture1.Line -(Cx, Cy), vbBlack
        Picture1.Line -(Dx, Dy), vbBlack
        Picture1.Line -(Ax, Ay), vbBlack
        Picture1.Line (Px, Py)-(Qx, Qy), vbBlack
        Picture1.CurrentX = Ax
        Picture1.CurrentY = Ay
        Picture1.Print "A"
        Picture1.CurrentX = Bx
        Picture1.CurrentY = By
        Picture1.Print "B"
        Picture1.CurrentX = Cx
        Picture1.CurrentY = Cy
        Picture1.Print "C"
        Picture1.CurrentX = Dx
        Picture1.CurrentY = Dy
        Picture1.Print "D"
        Picture1.CurrentX = Px
        Picture1.CurrentY = Py
        Picture1.Print "P"
        Picture1.CurrentX = Qx
        Picture1.CurrentY = Qy
        Picture1.Print "Q"
      Next t
    Next dankai
End Sub
Sub Command2_Click()
    Unload Me
End Sub
Private Function min2(ByVal x As Double, ByVal y As Double) As Double
    If x < y Then
      min2 = x
    Else
      min2 = y
    End If
End Function
Private Function max2(ByVal x As Double, ByVal y As Double) As Double
    If x > y Then
      max2 = x
    Else
      max2 = y
    End If
End Function

解答・その11

（ペンネ−ム：解答ルパン）

(1)辺ABとPQが平行になるには、APの長さとDQの長さが等しくなるときですので、 Pの速度は2cm/sec　Qの速度は3cm/sec　ですので、経過時間t[sec]とおくと

　　　AP=2・t
　　　DQ=120−3・t
　　　AP=DQ

となるので、これを解くと

　　　2・t=120−3・t
　　　∴t=24sec　

よって24秒後です。

(2)台形ＡＰＱＤと台形ＢＰＱＣの面積の比が５：７となるときは 台形の高さが等しいので　（上底＋下底）の比が５：７となる時間を求めればよいので、

　　　PB＝120−2・t
　　　QC＝3・t

題意より（AP+DQ）:（PB＋QC）＝５：７　ですから

　　　（2・t＋120-3・t）：（120−2・t＋3・t）＝５：７
　　　7・（t−120）＝5・（120＋t）
　　　∴ｔ＝20sec

よって20秒後です。

解答・その12

（ペンネ−ム：高校教員志望の中学校数学教員）

(1)　ＰＱが辺ＡＤと平行になる場合
x秒後に平行になるとすると、

　　　AP=2x　　　・・・�@
　　　CQ=3x　
　　　DQ=CD-CQ=120-3x　・・・�A

平行になるときはAP=DQなので、 �@�Aより

　　　2x=120-3x
　　　5x=120
　　　x=24

よって、24秒後に平行になる！！

(2)　台形ＡＰＱＤと台形ＢＰＱＣの面積の比が５：７になる 場合
この場合がy秒後とすると、
台形APQDの面積をSa、台形BPQCの面積をSbとすると、５：７なので、

　　　5Sb　　　 ＝　7Sa
　　　5(CQ+BP) ＝　7(AP+DQ)
　　　5(3y+120-2y) ＝　7(2x+120-3x)
　　　12y ＝ 240
　　　y ＝ 20

よって、20秒後に、台形ＡＰＱＤと台形ＢＰＱＣの面積の比が ５：７になる

解答・その13

（ペンネ−ム：のっこん）

�@平行
t秒後のAP＝２t、DQ＝１２０−３t
等しいとおいて　t＝２４

�A５：７
t秒後のAP＝２t、DQ＝１２０ー３t

　　　AP＋DQ＝１２０−t

t秒後のPB＝１２０−２t、QC＝３t

　　　PB＋QC＝１２０＋t

（１２０−t）：(120＋t）＝５：７とおいてt＝２０

５０cmというのは不要ですね

解答・その14

（ペンネ−ム：巷の夢）

(1)平行となる出発後の秒数を　ｔ　とすると、 題意より　2ｔ　＝　120-3ｔ　が成立する。これより求める　ｔ　は24秒後である。

（2）両方とも台形であり、高さは等しい。因って面積比は上底と下底の和に比例するので、 (3ｔ＋120-2ｔ)　/　（2ｔ＋120-3ｔ）　＝　7/5　が成立する。これを解いて　ｔ＝　20となる。 因って求めるものは　20秒後である。

解答・その15

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

点ＰとＱが出発してから経過した時間をｔ 秒とします。
ＰＱが辺ＡＤと平行になるのは、ＡＰの長さとＤＱの長さが等しいときなので、

　　　２ｔ＝１２０−３ｔ

∴　ｔ＝２４ 後です。（赤の図）

また、台形ＡＰＱＤと台形ＢＰＱＣの面積の比が５：７になるのは、

	台形ＡＰＱＤ：台形ＢＰＱＣ
＝	（２ｔ＋１２０−３ｔ）×５０÷２：（１２０−２ｔ＋３ｔ）×５０÷２
＝	（１２０−ｔ）：（１２０＋ｔ）＝５：７

なので、
ｔ＝２０ 秒後です。（緑の図）

解答・その16

（ペンネ−ム：ドンキー）

点Ｑが最初に点Ｄに到達したあとの点の動き方が書いていないので、その時点までで考えることにします。 点Ｐ，Ｑが出発した時刻を０とし、そこからｔ秒後の状態を考えると、ＡＰ＝2ｔ（ｃｍ），ＱＣ＝3ｔ（ｃｍ）です。
ＰＱとＡＤが平行になるとき、ＰＢ＝ＱＣなので

　　　ＡＰ+ＱＣ＝ＡＰ+ＰＢ＝ＡＢ＝120（ｃｍ）

よって　　2ｔ+3ｔ＝120　　　∴ｔ＝24（秒後）　・・・（答）

次に台形について考えます。
台形の面積は　（上底+下底）×高さ÷２　で求められますが、 今、台形ＡＰＱＤと台形ＢＰＱＣは高さが50（ｃｍ）で共通なので、 面積比は（上底+下底）の比と同じになります。 よってその面積比が５：７のとき、

　　　（ＡＰ+ＤＱ）：（ＰＢ+ＱＣ）＝５：７
　　　｛2ｔ+（120-3ｔ）｝：｛（120-2ｔ）+3ｔ｝＝５：７
　　　7（120-ｔ）＝5（120+ｔ）

∴ｔ＝20（秒後）　・・・（答）

（面積比について別解）
まず、△ＡＤＣ＝△ＢＡＣ＝3000（ｃｍ²）です。 点Ｐ，Ｑが出発する前は、台形ＡＰＱＤ＝△ＡＤＣ、台形ＢＰＱＣ＝△ＢＡＣと見ることが出来るので、 面積比は１：１です。が、ここでは６：６ととらえることにしましょう。
さて、点Ｐ，Ｑが出発します。 このとき、もし点Ｑが止まっていれば、台形ＡＰＱＤの面積は△ＡＰＣの分だけ、つまり50ｔ（ｃｍ²）だけ増えます。 また、もし点Ｐが止まっていれば、台形ＡＯＱＤの面積は△ＣＡＱの分だけ、つまり75ｔ（ｃｍ²）だけ減ります。 したがって点Ｐ，Ｑともに動くと、台形ＡＰＱＤの面積は　75ｔ−50ｔ＝25ｔ（ｃｍ²）　だけ減ります。 この減り分は、台形ＢＰＱＣの面積の増分と同じです。 最初、二つの台形は面積比６：６だったわけですから、 ５：７になるとき、台形ＡＰＱＤが６のうち１の分だけ台形ＢＰＱＣにあげたことになります。 つまり、台形ＡＰＱＤの減り分の25ｔが、最初の3000（ｃｍ²）の1/6になるわけです。 よって　25ｔ＝3000×1/6　　∴ｔ＝20（秒後）

解答・その17

（ペンネ−ム：Toru）

x秒後　AP=2x cm DQ=(120-3x) cm
1)PQがADと平行になるのはAP=DQの時で、2x=120-3x よりx=24 秒後
2)台形APQD：台形PBCQ=(AP+DQ)：(PB+QC)=(120-x)：(120+x)=5：7
より x=20 秒後

小学生が解くのだから、Xを使ってはいけないとすると、
1) 120cm の道のりを毎秒2cm+3cm=5cmで近づいて、出会った時に平行だから、 120/5=24 秒
2)台形の面積の公式を使っていいのかどうか分かりませんが、これもだめなら、 台形ADQPをΔADQとΔQAPとに分割するなどして、台形の面積比は(AP+DQ)：(PB+QC)、 この和はAB+DC=240cmなので、これを5：7に分けると240x5/12=100より100cm と140cm 、 (AP+DQ)は120cmから毎秒2cm-3cm=-1cm より1cm減るから、 100cmになるまでの時間は20秒

解答・その18

（ペンネ−ム：nao）

ＰＱがＡＤと平行になるのは、ＡＰとＣＱの和が１２０ｃｍになったときです。
ＡＰは一秒で２ｃｍ、ＣＱは一秒で３ｃｍ進むので、
１２０÷（２＋３）＝２４　　　答え　２４秒後

つぎに、台形ＡＰＱＤと台形ＢＰＱＣは、高さが同じなので、面積の比は上底と下底 の和の比になります。
また、ＡＰ＋ＱＤとＢＰ＋ＱＣの和はつねに２４０ｃｍです。
面積比が５：７になるということは、ＡＰ＋ＱＤが
２４０×５／（５＋７）＝１００ｃｍ
ＢＰ＋ＱＣが
４０×７／（５＋７）＝１４０ｃｍ
のときです。

ＡＰ＋ＱＤは、ＡＰが一秒間に２ｃｍふえ、ＱＤが一秒間に３ｃｍづつ減っていくの で、合計で一秒間に１ｃｍづつ減っていきます。
最初が１２０ｃｍなので、１００ｃｍになるのは、 １２０ー１００＝２０秒後になります。
確認のために、ＢＰ＋ＱＣでも考えると、ＢＰは一秒間に２ｃｍづつ減り、ＱＣは一 秒間に３ｃｍづつ増えるので、合計で１センチづつ増えます。
最初がこれも１２０ｃｍなので、１４０ｃｍになるのは、 １４０ー１２０＝２０秒後　であっています。
答え　２０秒後

解答・その19

（ペンネ−ム：teki）

１　２４秒後
２　２０秒後

両方とも方程式で解けますね。
１は、ｘ秒後のＡＰとＤＱの長さが等しければいいので、２ｘ＝１２０−３ｘ　を解 いて

ｘ＝２４

２は、台形ＡＰＱＤの面積が２５００ｃｍ^２になればいいので、
（２ｘ＋１２０−３ｘ）×２５＝２５００
→　（１２０−ｘ）＝１００　で　ｘ＝２０

今月の問題の算数的な解法を考えてみました。 で、できたのが、以下の問題です。

問題 長さ１２０ｃｍの線分ABがある。 点PはAから毎秒２ｃｍでBに向かい、点QはBから毎秒３ｃｍでAに向かって同時に進 む。 この時、次の問いに答えなさい。 （１）　点Pと点Qが出会うのは、出発してから何秒後か。 （２）　線分PQの中点をMとする。 　　　点Mが線分ABを５：７に内分するのは、出発してから何秒後か。 解答 （１）　１２０ｃｍの距離を毎秒２ｃｍと３ｃｍの点が互いに向かい合って進むのですか ら、出会うのは、１２０÷（２＋３）＝２４秒後。 （２）　２つの点の中点Mは、毎秒（３−２）÷２＝０．５ｃｍずつ左（A側）に移動しま す。これが、線分ABを５：７に内分するのは、中央から１０ｃｍ左に移動した時で す。よって、１０÷０．５＝２０秒後。

正解者

teki	巷の夢	nao
ドンキー	T_Tatekawa	やなせ
浜田　明巳	ＪＳミル	Toru
Ozk	のっこん	夜ふかしのつらいおじさん
高校教員志望の中学校数学教員	ニトロ	杖のおじさん
解答ルパン	ちかひで	寺脇犬
mhayashi

この問題は、時刻を変数ｔとおいて、方程式を立てて解くというのが定石だと思いますが、 あえて方程式を用いずにアプローチしてみるのもおもしろいと思います。 何人かの方から、そういった解答を寄せていただきました。どうもありがとうございます。
また、のっこんさんがご指摘してくださっているように、 この問題を解く際に、長方形の高さ50cmというのは関係しませんね。 長方形を題材にしていますが、実は線分上の問題であるわけです。 それを、tekiさんが端的に表現してくださいました。

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