解答・その1
（ペンネ−ム：Love−M）
１。２分と５秒と４０秒を足すと２．７５分
２．２Kmをこの時間でいくと４８Kｍ/時間となる。
そして、これよりもちょっとでも早かったり遅かったりすると
黄、赤信号にひっかかるので、４８が答え。
２。４０Km/時間＝２/３Km/分で、N個目の信号で引っかかるとするとそこまで
に２．２×N÷２/３＝３．３N分かかる。
また、黄と赤になるのは
２分〜２．７５分
４．７５分〜５．５分
７．５分〜８．２５分
１０．２５分〜１１分
１３分〜１３．７５分となり、N＝４の時これにあてはまる。
よって４個目の信号で、止まる時間は１３．７５−３．３×４＝０．５５分
＝３３秒となる。
解答・その2
（ペンネ−ム：翔）
（１）2.2ｋｍを１６５秒で通過すればいいので、
2.2：165＝ｘ：3600 ｘ＝48
＜答え 時速48ｋｍ＞
（２）40ｋｍを３６００秒で走るので、
40：3600＝2.2：ｙ ｙ＝198 198秒ごとに信号を通過
信号を通過するのは、 198 396 594 792 990..............秒後
信号が 赤ｏｒ黄の時間は 120-165 285-330 450-495 615- 660
780-825 945-990........秒間
従って 4番目の信号 792秒後に信号は赤になっています。
＜答え 4番目の信号＞
グラフ（横軸ｋｍ、縦軸秒）で解きましたが、グラフ添付出来ないので.................数字で。
825-792＝33
＜答え 33秒待つ＞
解答・その3
（ペンネ−ム：ニトロ）
信号の変化を円グラフで書くと解きやすい。
１．すべての信号（信号は永遠に続くとする。いきなり指定のスピードになる車を使用。）を青で通過するためには、２．２．ｋｍを何秒の周期で進めば良いのかを考える。１６５秒周期以下を抽出。
- １６５秒周期 （１周）
- １１０秒周期 （２／３周）
- ８２．５秒周期（１／２周）
- ５５秒周期 （１／３周）
残りは上記の倍数となる。
周期から時速を算出する。：２．２q／（秒数／６０／６０）＝２．２×６０×６０／秒数
１４４q／時（５５秒周期）・９６q／時（８２．５秒周期）・７２q／時（１１０秒周期）
４８q／時（１６５秒周期）・３６q／時（２２０秒周期）・３２q／時（２４７．５秒周期）
２８．８q／時（２７５秒周期）・２４q／時（３３０秒周期）・２０．６q／時（３８５秒周期）・・・・・
国道における車のスピードとしての答えは４８q／時・３６q／時・３２q／時とする。
２．時速４０kmで走ると、２．２qを（２．２／４０）×６０×６０＝１９８秒で通過する。
計算方法：ｎ番目の信号×１９８／１６５秒・・・余り１〜１２０の時信号は青
余り１２１〜１２５の時信号は黄
余り１２６〜１６４の時信号は赤
１個目の信号の通過：１９８秒→青
２個目の信号の通過：３９６秒→青
３個目の信号の通過：５９４秒→青
答え ４個目の信号の通過：７９２秒→赤・待ち時間３３秒
解答・その4
（ペンネ−ム：巷の夢）
問１．
題意より信号の周期は120＋5＋40＝165秒である。因って信号機のある2.2ｋｍを165秒で走り抜ければ信号で止まることはない。即ち、2.2ｋｍ/165秒＝48ｋｍ/時となる。
問2.
時速40ｋｍであるから2.2ｋｍ行くには165×48/40＝198秒かかる。即ち、198−165＝33秒づつ黄信号、赤信号に近寄ることとなる。因って33秒づつの遅れが120秒以上になる台数を求めると120/33＝3.6・・・であるから4台目の信号で止まることになる。
ところで、4台目に達したときの時刻経過は33×4＝132秒であり、青信号後黄、赤信号になって12秒後である。即ち、黄と赤の信号継続時間45秒より12秒後に信号機に到着したことになる。以上より求めるものは45−12＝33秒間待たされることになる。
解答・その5
（ペンネ−ム：ＪＳミル）
この国道は2.2kmごとに信号が永遠に続く道で，問題の
速度を平均速度と仮定し，出発点の信号を1番目の信号とすると，
問1
すべての信号に到達した瞬間に信号が青にならなければ，いつかは信号に止まらな
ければなりません．したがって，信号が青になってから，次に青になるまでの時間の
間に，次の信号にちょうど到達しなければならず，求める速度をＸkm/hrとすると，
Ｘ＝2.2×60×60/120+5+40＝48km/hr 答え 48km/hr
問2
車は198秒かかり，2番目の信号に到達しますので，その時信号は，青になっ
て198-165＝33秒経過しています．3番目の信号には396秒後に到達し，その時信号は
青になって396-165×2＝66秒経過しています．4番目には594秒後に到達し，同様
に594-165×3＝99秒経過していますが，まだ青です．5番目の信号には792秒後に到達
し，792-165×4＝132となり，132-120-5＝7から，赤信号になって7秒経過したところ
でこの信号に到達したことになります．
答え 最初を含めて5番目の信号で，残り33秒待たなければなりません．
解答・その6
（ペンネ−ム：やなせ）
信号の距離間隔は２．２ｋｍでシグナルの時間間隔は１６５秒ですから、２．２ｋｍを平均１６５秒で走り抜ければ、
ず〜〜と青なのでノンストップですわ（燃料が有る限りってのが正解ですか？）
計算ですが
２．２ｋｍ×３６００（時間を秒に換算）÷１６５＝４８ｋｍ
問い１の答えは時速４８ｋｍ/ｈ
問い２は
時速４０ｋｍ/ｈですから各信号間を走るのに１９８秒かかります
シグナルの間隔は１６５秒ですが、それに青の１２０秒足して２．２ｋｍの場合は１６５〜２８５秒の間に
自動車は１９８秒で到達だから、セーフ
４．４ｋｍのところは３３０〜４５０秒の間に通過すれば良いので自動車は３９６秒で到達なので
ここもセーフ
こんな調子で計算していけば
８．８ｋｍの地点で青の時間は６６０〜７８０秒になりますが車が到達するのは７９２秒なので
当然赤になっています。次に青になるのは８２５秒ですから
８２５−７９２＝３３秒待ちですね
スタートするところは０番目とすれば
４番目で信号待ちになりますわ
問い１の場合はあまり問題になりませんが車が時速４０ｋｍ／ｈに到達する時間は０としています
普通は道がすいていても約１０秒ほどかかります。しかも前方の信号が赤だったらブレーキを踏むので
４〜７秒遅くなりますから待ち時間は１０ほどもあれば良い方ですよ。
解答・その7
（ペンネ−ム：ちかひで）
（問1）すべての信号を青信号で通過しなければならないから
，信号1サイクル＝165secで2.2km走らなければならない．
∴ （2.2/165）/3600＝48.0(km/s)
答 48.0(km/s)
（問２）40.0(km/s)で2.2km走る時間は
（2.2/40）×3600＝198(s)
信号の1サイクルは165secであるから，自動車が各信号を
通過する時刻とその信号が青になる時刻との差は，
| 信号No. | 時間差（通過時刻における青信号経過時間）
|
|---|
| ０ | ０(s)
|
| １ | 198-165＝33(s)
|
| ２ | 66(s)
|
| ３ | 99(s)
|
青信号に変わって99sec後に第3信号を通過し，次の第4区間を
走行中 21+45＝66sec後に青信号，186sec後に黄信号に変わる
．さらに12sec後（計198sec）第4信号（赤）に到着し停車．そ
して，45-12＝33sec後に青信号に変わり発車．
答 第4番目信号で停車． 停車時間は33sec．
〔別解〕
距離と時間の直行座標上で作図により解を求めることができ
ますが，簡単ですので省略します．
解答・その8
（ペンネ−ム：三角定規）
(1)右のグラフの青線のように，すべての信号が赤から青に変わる瞬間に通過すれば題意が成り立つ。このとき速さは，
(2) 時速40km/時 で 2.2 km 走るのに
よって，最初の赤信号は，165n＋125≦198n≦165(n＋1) を満たす最小の n を求めればよく，それは n＝4。このとき，198×4＝792，165×5＝825 だから
4番目の信号で33秒待たされる。
解答・その9
（ペンネ−ム：杖のおじさん）
答え ４番目の信号、赤で停車して待ち時間は３３秒です。
全ての信号を青で通過するには時速、約４８Ｋで走れば良い
時速４０ｋで走った時、黄色（１２０秒後）又は赤信号１２５秒後）で停車しますので
各信号の通過時間を次の式で求めます
T=（２．２×Sｎ／４０）×３６００
各信号は１６５秒のサイクルで点滅しています
時速４０ｋで走った時の通過時間
| | 通過時間 | スタート地点からの距離 |
|
|---|
| スタート | ０秒 | ０．０km
|
|
| 信号１ | １９８秒 | ２．２km
| １６５秒で青になって３３秒後で通過
|
| 信号２ | ３９６秒 | ４．４km
| ３３０秒で青になって６６秒後で通過
|
| 信号３ | ５９４秒 | ６．６km
| ４９５秒で青になって９９秒後で通過
|
| 信号４ | ７９２秒 | ８．８km
| ６６０秒で青になって１３２秒後に到着
|
従って待ち時間は
青信号は２分、黄色信号は５秒、赤信号は４０秒なので
黄色信号は青色信号になってから１２０秒後
赤信号は青色信号になってから１２０秒＋５秒後なので１２５秒後になります
次の青信号は１２０秒＋５秒＋４０秒後なので１６５秒後になります
上の表を見ても信号３までは青で通過できます。信号４は６６０秒で青になって１３２秒後の到着なので、待ち時間は次の通りとなります。
４０−７＝３３秒です。
全ての信号を通過できる時速は２．２kmを１６５秒で走れば良い
時速＝２．２＊３６００／１６５＝４８kmです。
アニメーションの信号機も１６５秒のサイクルで点滅しています。ストップウォッチ
で計って見て下さい！
このページを見ている間、動き続けています。コピーして使って頂いて結構です。
解答・その10
（ペンネ−ム：teki）
１ 時速 ４８km
２ ４つ目の信号（最初の信号を含まない。）、待ち時間 ３３秒
１は、ちょうど２分４５秒で２．２kmを走ればいいので、時速は２．２÷２．７５×
６０＝４８km
２がちょっと厄介です。
時速４０ｋｍで走った場合、２．２ｋｍ走るのに、２．２÷４０×６０＝３．３分＝
３分１８秒かかります。
信号のサイクルは２分４５秒ですので、１つの信号間で３３秒ロスします。
３つ目の信号までは３３×３＝１０８秒のロスなので、青信号の２分の範囲ですが、
４つ目の信号
では３３×４＝１３２で１２０秒を１２秒オーバーします。
つまり、４つ目の信号に到着するのは青信号が終わって１２秒後、すなわち、赤信
号になって７秒後ということになります。
よって、待ち時間は４０−７＝３３秒 ということになります。
* １は模範解答としては時速４８ｋｍでいいのですが、
時速２４ｋｍでも、１６ｋｍでも、１２ｋｍでも、８ｋｍでも同じことになりま
す。
つまり、４８の約数であれば、ぴったり青信号で到着するので、信号待ちを
せずに通過が可能ですね。
解答・その11
（ペンネ−ム：高橋 道広）
答え (1)48 24 16 12．．．
(2)最初の信号機をいれて）5つ目の信号機 33秒
(1)
2.2km走ったときにちょうど青になると同じことの繰り返しになるから都合がよ
い。そのような場合は 2.2kmを2分45秒の整数倍で走ったときである
2分45秒で走ったときは
2.2÷(2.75/60)=48km/h
よって 48km/h 24km/h ．．． 48/n km/h となる （nは自然数）
ただしnが大きすぎると交差点を渡る前に赤になるので 適度な値
(2)
時速40kmで2.2km走ると時間は 2.2÷(40/60)=3分18秒かかります。
3分18秒-2分45秒=33秒 青になって33秒後に信号機を通過することになります
120秒÷33秒=3あまり21 ですから （最初の信号機をいれて）5つ目の信号機
で停車し2分45秒-33×4秒=33秒待つことになります。
解答・その12
（ペンネ−ム：よねぽん）
問題1
青が2分間，黄色5秒，赤40秒で点滅するので，
青が点滅するまでの時間は，11/4（分）間隔で点滅する。
自動車が，すべての信号を青で通過するためには，
（a）11/4（分）までに次の信号を通過する場合
（b）11/4（分）までに次の信号を通過しない場合
の二通りが考えられる。
（a）の時
信号が青に点滅する時に，自動車が信号にちょうど来ていれば，その後の信号がすべて青で通れるので，
その速度（分速）vは，mを自然数とすると，
v=2.2×m/(11/4)=4m/5・・・・・(1)
また，信号が赤と黄色の間は，自動車は信号と信号の間にいなければならない。
信号が赤と黄色となっている時間は3/4分間であるので，速度vは，
v<2.2/(3/4)=44/15・・・・・(2)
を満たさなければならない
（1）（2）より，
m<11/3
自動車が，すべての信号を青で通過するためには，m=1,2,3をそれぞれ（1）に代入すると
v=4/5，8/5，12/5 (km/min)
時速に換算すると，
=48，96，144 (km/h)
（b）の時
信号が青に点滅する時に，自動車が一つめの信号にちょうど来ていれば，
その後の信号がすべて青で通れるので，nを自然数とすると，速度（時速）vは，
v=2.2/(11n/4)×60=48/n
答えは，48/n (km/h) （nは1，2，3・・・・の自然数），96(km/h)，144(km/h)
問題2
時速40（km/h）を分速v（km/min）に換算すると，
v=40/60=2/3 (km/min)
自動車が，赤信号で止まる時に進んだ距離を2.2×m(km) （mは自然数），時間をt分とすると
2.2×m=2/3×t
となり，この式をまとめると
t=33/10×m ・・・・(3)
また，信号が黄色，または赤信号になっている時間t分は，
11/4×n + 2 < t < 11/4×(n+1) （n=0,1,2,3・・・・） ・・・・・(4)
(3)式を(4)式に代入し，まとめると
55n+40 < 66m < 55n+55
さらにまとめると，
55n+40 < 55m+11m < 55n+55 ・・・・（5）
(5）式を満足させるmの最小値を求めると，
40<11m<55
となり，m=4
出発する信号を0番目とすると，自動車が黄色または赤で止まる信号は4番目の信号となる。
また，その信号に到着する時間tは，m=4を（3）式に代入すると，
t=66/5 （分）
（4）式の右の式にt=66/5を代入して，nが最小となる値を求めると
n=4となり，次に青となる時間t'は，t'=55/4（分）となって，
自動車が待たされる時間は，
55/4-66/5=11/20（分）=33（秒）
答えは，自動車は，4番目の信号で33秒待たされる
解答・その13
（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）
図のように、縦に信号の位置、横に１周期ごとの時間をとります。
原点は最初の信号が青になった直後を表します。
L＝０は最初の信号、１つ上は２．２ｋｍ先の２つ目の信号を表します。
ｔ＝０は最初に青信号になった直後、１つ右は(２分＋５秒＋４０秒)＝１６５秒後に青信号になった直後を表します。
座標（２，３）は、最初から(３＋１)個目の信号が、(２+１)回目に青になった直後を表します。
直線の先の数は、それぞれの直線の傾きを表します。
図１は、５つの信号について、４×１６５秒＝１１分間を表しています。
傾き１の直線は、すべての信号を青になった直後に通過することを表しています。
傾き１は、時速 ２．２／１６５×３６００＝４８［km/h］ を表します。
もし、信号に赤がなく、時速４８km以上の速さなら、この１１分の間に５つの信号を通過することができます。
図２は、各格子点の左に赤信号と黄信号を表す横線を書き込みました。
直線とこの横線が交われば信号で待つのでそれより先は進めないことを表します。
○印は信号にかからずに通過できること、×印は信号にかかることを表します。
図３で直線@は１つ目の信号を１回目の赤が終わって次の青になった直後に通過することを表しています。
直線Aは1つ目の信号を1回目の赤になる直前（黄の直後）に通過することを表しています。
直線Aの傾きは、１目盛り１６５秒分が赤信号と黄信号の時間４５秒短くなっているので、１６５／１２０＝１．３７５
同様に直線Cの傾きは、２×１６５／１２０＝２．７５
直線の傾き１の時速４８ｋｍを基準とします。
この結果から分かることは、時速４８ｋｍの１〜１．３７５倍、２〜２．７５倍の速さでは信号で停止するということです。
さて、この問題では信号が無限に、時間も無限にあると考えます。
問１
この問題は、大変難しく、今のところ完全な答えはおじさんには分かりません。
例えば、図２の○印の場合には、すべての信号を通過できると思われます。
傾きでいうと、３，２，３／２，１，３／４，２／３，１／２，１／３，１／４などです。
時速でいうと、１４４，９６，７２，４８，３６，３２，２４，１６，１２などです。
他にも無数の速さがあります。例えば、４８×１／ｎ ［ｋｍ］という速さです。
傾きでいうと３より大きな場合は、どんな速さで行こうとどこかの信号にかかるのは容易に分かります。
傾き ａ１＝ｎ／ｍ と ａ２＝ｎ／(ｍ−45/165) ＝ ｎ／(ｍ−3/11) の間に相当する速さでは、信号にかかります。
調べれば調べるほど、信号にかかる場合の範囲の個数が増えていきます。（手に負えなくなっていく）
どんな数がａ１とａ２の間に挟めるかを少し考えてみました。
ｎが４以上で、ｍとｎが互いに素の場合には、適当なａ１とａ２の間に挟めるようです。
（この傾きに対応する速さでは信号にかかるということです）
・・・
開き直って、国道を走るのですから、早すぎても、遅すぎても問題があるので、時速４８ｋｍとしましょうか。
問２
時速４０ｋｍは、秒速４００００／３６００＝１００／９ｍ です。
時速４０ｋｍは、図の傾きでいうと４０／４８＝５／６ です。
ａ１として ４／５ を選ぶと、ａ２＝４／(５−3/11)＝１１／１３
４／５ (0.8) ＜ ５／６ (8.333/･･) ＜ １１／１３ (8.46･･･)
４＋１＝５番目の信号には、４×２２００÷(１００／９)＝７９２秒で着きます。
５番目の信号は、５×１６５−４５＝７８０秒後から黄・赤信号になります。
５×１６５−７９２＝３３秒間待つことになります。
解答・その14
（ペンネ−ム：Toru）
横軸に2.2kmを １単位
縦軸に２分４５秒を１単位として、正方形の格子をつくる。
原点をとおって、右上がりの直線をひくと、傾きの逆数が速度となる。縦線との交
点が、信号機の地点で、これが青信号になるためには、２分／２分４５秒
＝120/165=8/11であるから、この交点が、常に格子の下8/11(両端を含む)に含まれる
ように、直線をひかなければならない。
直線の傾きが有理数の場合、m/n (m,nは正の整数で互いに素) とすると、 直線は
原点と格子点（n,m）を通り、その間の縦線との交点は
(1,m/n) (2,2m/n) (3,3m/n)----(n-1,(n-1)m/n ) この時、これらの交点とすぐ下の
格子点との距離は、km（k=1,2,-----,m-1） を nで割った余りをrとしてr／nとなる。
k≠k’の時、km-k’mはnで割り切れないから、r≠r’ 、よって、
m,2m,3m,----,(n-1)m をnで割った余りは全体として、1,2,3,----,n-1に等しい。
(n,m)より先もこのくり返し。よってrの最大値はn-1/nとなる。
したがって、青信号の範囲内に入るためには(n-1)/n≦8/11, n≦11/3 が必要かつ十
分で、これから、n=1,2,3 mは任意
n=1, m=1の時の速度を計算すると、2.2/165 x60x60=48km/h
よって求める速度は 48x(n/m) km/h (n=1,2,3 m=1,2,3,4,------)
まとめれば、288/M (km/h) ただしM=2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18------ すなわ
ちMは正の整数で、M≡0,2,3,4 (mod6)
すなわち、144,96,72,48,36,32,28.8,24,-------- km/h
直線の傾きが無理数の場合 これをω>0とする。
xω-y (x=0,1,2,3,4、yは各々のxに対してxωを超えない最大の整数)を考える。4個
の区間 [0,1/4),[1/4,2/4),[2/4,3/4),[3/4,1)を考える( [は端を含む、（は端を
含まず ）と、xω-y のxに0,1,2,3,4を与えた5個の数のうちすくなくとも２つは同
区間に属する。
これらをx1ω-y1,x2ω-y2 (x1>x2、この時y1≧y2)とすると
｜(x1ω-y1)-(x2ω-y2)｜＜1/4
x1-x2=x(>0) ,y1-y2=y(≧0) と置きなおせば、｜xω-y｜＜1/4 00) y-xω<1/4 <3/11
0
問２
時速 40 km/hなら 2.2km までに2.2/40 x60x60=198秒≡33秒(mod 165)
よって、4番目の信号（スタート地点のものは含めず）で132秒(mod165)で赤信号、待
ち時間は165-132=33秒
正解者
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