Weekend Mathematics／問題／問題103

１０３．折り紙の問題

右の図のように、正方形の折り紙を５つの部分に切りました。折り紙の４すみから５cmのところで、４５°にハサミを入れ、中央に小さな正方形ができるようにしたものです。この小さな正方形の面積は何cm²ですか。

解答・その1

（ペンネ−ム：浜田　明巳）

図形の問題なので，VISUAL BASICで解いた．答は一定値の５０cm^２である．プログラムは中の小さな正方形が一定の大きさを保っている様子が分かるようになっている．

（コピー＆貼り付けする際は，全角の空白を半角にしなくてはなりません）

Option Explicit
Const MAX As Double = 100 '********
Const KIZAMI As Double = 0.01 '********
Sub Form_Load()
　　Dim waku As Double
　　waku = MAX * 0.1
　　Picture1.Scale (-waku, MAX + waku)-(MAX + waku, -waku)
　　Picture1.BackColor = vbWhite
　　Picture2.BackColor = vbWhite
　　Picture2.Picture = LoadPicture("gazou103a.gif")
　　Picture3.BackColor = vbWhite
　　Picture4.BackColor = vbWhite
End Sub
Sub Command1_Click()
　　Dim Ax As Double
　　Dim Ay As Double
　　Dim Bx As Double
　　Dim By As Double
　　Dim Cx As Double
　　Dim Cy As Double
　　Dim Dx As Double
　　Dim Dy As Double
　　Dim Ex As Double
　　Dim Ey As Double
　　Dim Fx As Double
　　Dim Fy As Double
　　Dim Gx As Double
　　Dim Gy As Double
　　Dim Hx As Double
　　Dim Hy As Double
　　Dim Ix As Double
　　Dim Iy As Double
　　Dim Jx As Double
　　Dim Jy As Double
　　Dim Kx As Double
　　Dim Ky As Double
　　Dim Lx As Double
　　Dim Ly As Double
　　Dim Ay_max As Double
　　Dim Ay_min As Double
　　Dim a As Double
　　Dim b As Double
　　Dim c As Double
　　Dim d As Double
　　Dim menseki As Double
　　Dim wa As Double
　　Dim wa2 As Double
　　Dim heikin As Double
　　Dim kaisuu As Long
　　Dim hyoujunhensa As Double
　　'
　　Ax = 0
　　Bx = 0
　　By = 0
　　Cy = 0
　　Ex = 0
　　Fx = 5
　　Fy = 0
　　Gy = 5
　　Ay_max = MAX
　　Ay_min = 5 + KIZAMI
　　wa = 0
　　wa2 = 0
　　kaisuu = 0
　　For Ay = Ay_min To Ay_max Step KIZAMI
　　　Cx = Ay
　　　Dx = Ay
　　　Dy = Ay
　　　Ey = Ay - 5
　　　Gx = Ay
　　　Hx = Ay - 5
　　　Hy = Ay
　　　'EI:y=-(x-Ex)+Ey=a*x+b
　　　a = -1
　　　b = Ex + Ey
　　　'FJ:y=(x-Fx)+Fy=c*x+d
　　　c = 1
　　　d = -Fx + Fy
　　　'Iy=a*Ix+b=c*Ix+d
　　　Ix = (d - b) / (a - c)
　　　Iy = a * Ix + b
　　　If Ix <= Cx And By <= Iy Then
　　　　'GK:y=-(x-Gx)+Gy=a*x+b
　　　　a = -1
　　　　b = Gx + Gy
　　　　'Jy=c*Jx+d=a*Jx+b
　　　　Jx = (b - d) / (c - a)
　　　　Jy = c * Jx + d
　　　　'HL:y=(x-Hx)+Hy=c*x+d
　　　　c = 1
　　　　d = -Hx + Hy
　　　　'Ky=a*Kx+b=c*Kx+d
　　　　Kx = (d - b) / (a - c)
　　　　Ky = a * Kx + b
　　　　'EI:y=-(x-Ex)+Ey=a*x+b
　　　　a = -1
　　　　b = Ex + Ey
　　　　'Ly=c*Lx+d=a*Lx+b
　　　　Lx = (b - d) / (c - a)
　　　　Ly = c * Lx + d
　　　　'menseki=IL^2
　　　　menseki = (Lx - Ix) * (Lx - Ix) + (Ly - Iy) * (Ly - Iy)
　　　　wa = wa + menseki
　　　　wa2 = wa2 + menseki * menseki
　　　　kaisuu = kaisuu + 1
　　　　heikin = wa / kaisuu
　　　　Picture3.Cls
　　　　Picture3.Print Ay_min; "≦大きい正方形の1辺の長さ≦"; Ay
　　　　Picture4.Cls
　　　　If kaisuu > 1 Then
　　　　　hyoujunhensa = Sqr(heikin * heikin - wa2 / kaisuu)
　　　　　Picture4.Print "小さい正方形の面積の平均="; heikin; "cm2 (標準偏差="; hyoujunhensa; ")"
　　　　End If
　　　　Picture1.Cls
　　　　Picture1.Line (Ax, Ay)-(Bx, By), vbBlack
　　　　Picture1.Line -(Cx, Cy), vbBlack
　　　　Picture1.Line -(Dx, Dy), vbBlack
　　　　Picture1.Line -(Ax, Ay), vbBlack
　　　　Picture1.Line (Ex, Ey)-(Ix, Iy), vbBlack
　　　　Picture1.Line (Fx, Fy)-(Jx, Jy), vbBlack
　　　　Picture1.Line (Gx, Gy)-(Kx, Ky), vbBlack
　　　　Picture1.Line (Hx, Hy)-(Lx, Ly), vbBlack
　　　　End If
　　　Next Ay
End Sub
Sub Command2_Click()
　　Unload Me
End Sub

解答・その2

（ペンネ−ム：足立of joy toy）

答えは　(（5/√2)*2)²=50　　だ！！！　ウホッ　悟りの領域！

　

解答・その3

（ペンネ−ム：こざっぱ）

頂点を左記のように名づけます。

線分ＢＫをＫの方に伸ばし、線分ＣＥと交わる点を Ｘとします（赤線）。
また、ＸとＦをつなぎます（同じく赤線）。

このとき、三角形ＢＣＸは二等辺三角形となり、 （なぜなら角Ｃが直角で角ＣＢＸ＝４５度より） 従って、ＡＢ＝５ｃｍなら、ＸＥも５ｃｍとなる。 （なぜなら、元の図形が正方形であるから）
また、線分ＥＦも５ｃｍであり、角Ｅ＝直角から 三角形ＸＥＦは二等辺三角形となり、
線分ＸＦ＝５√２ｃｍとなる。　　　　‥‥�@

一方、線分ＢＸと、線分ＩＦは平行であるので
（さすがにこれは証明不要）
それにそれぞれ直交する、線分ＸＦと線分ＫＬの
長さは等しい。　　　　　　　　　　　　‥‥�A

�@�Aより、中央の小さな正方形（網掛け部分）
の１辺の長さは、５√２となり、その面積は、
５√２×５√２　＝　５０

解答　　面積は５０cm²

解答・その4

（ペンネ−ム：杖のおじさん）

答え５０ｃｍ²です

図について説明いたします。
線分AB　CD　DE　FG　GH　IJ　JK　LA　の長さは５�pです。
線分CK=EI　、　線分BF=LH　は平行線です。　
∠ABL　、　∠ALB　は　４５°です。
線分BL=MN=Xcm、線分MN=NP=PO=OM=Xcm

中心の正方形の面積Ｓ＝ＭＮOPは１辺Xcmの平方で求めます。
面積Sは直角三角形△LABの斜辺Xの二乗で求めます。

式は次のようになります。
X²＝５²＋５²＝２５＋２５＝５０

解答・その5

（ペンネ−ム：nao）

右の図のように動かせば、中の正方形の一辺は、５センチの直角二等辺三角形の 斜辺と等しいことがわかります。 そこで、中の正方形を、対角線が１０センチのひし形と考えると、

　　　１０×１０÷２＝５０

　　　答え　５０平方センチメートル

解答・その6

（ペンネ−ム：Mizutani）

折り紙の４角からそれぞれ対角線を引くと、同じ大きさの４５度二等辺三角形が４つできる。 問題で求められている正方形は、その４つの三角形をそれぞれ５ｃｍずつ外にずらした際に、４つの三角形の間にできる空間である。 したがって、元の正方形（折り紙）からはみ出した部分の４つの三角形の面積の合計が求めるべき正方形の面積となる。 はみ出した部分の三角形は同じく４５度二等辺三角形であり、底辺（＝高さ）５ｃｍである。 したがって、１つの三角形の面積は、５×５×１/２となる。 つまり、４つの三角形の合計の面積（＝求めるべき正方形の面積）は、

　　　５×５×１/２×４＝５０

答えは５０ｃｍ²となる。

解答・その7

（ペンネ−ム：ニトロ）

答え　５０�p²

□abcd−□echf×４＝□fijk　　−左辺を変形させて

４×（□abcd／４−□echf）＝□fijk　・・・�@

ここで、□abcdの１辺をＡとすると

□abcd／４は底辺をＡとする直角二等辺三角形と定義できる。

辺bc＝Ａ、辺ec＝Ａ−５、

△cghは直角二等辺三角形だから、辺ch＝辺cg＝５

∴辺eg＝辺ec＋辺cg＝Ａ−５＋５＝Ａとなり

△efgは底辺をＡとする直角二等辺三角形となる

�@式	４×（□abcd／４−□echf）
＝	４×（△efg−□echf）
＝	４×△cgh
＝	４×（５×５／２）＝４×１２．５＝５０�p2

解答・その8

（ペンネ−ム：ちゃんこ鍋）

対角線を書き、中央の正方形の一辺を二分割して考える。 これをもとの正方形の辺に接触するまで平行移動させてみると 直角二等辺三角形となるため、その長さは５／ルート２cmと解る。 すると小さい正方形の一辺はその２倍で５ルート２cmと解る。
すると小さい正方形の面積は（５ルート２）の２乗で５０cm²となる。

解答・その9

（ペンネ−ム：巷の夢）

大きな正方形に２本の対角線を引くと、小さな正方形は4個の更に小さな正方形 に分かれる。この更に小さな正方形の対角線は5ｃｍであるから、これらを4個加えた 小さな正方形の対角線は１０ｃｍとなる。因って面積は１０×１０×１/２＝５０ｃｍ² となる。

解答・その10

（ペンネ−ム：T_Tatekawa）

まず，右上がりの斜め線を図のように延長します． すると，図の黄色い線分の長さは 10cm になります． この黄色い線分は，中央部の正方形の，水平な対角線と平行で あるので，正方形の面積は

　　　10*10/2 = 50 cm²

となります．

解答・その11

（ペンネ−ム：ＪＳミル）

図のように，正方形ABCDの各頂点から5ｃｍの点をEFGHとし，内部にできる正方形の各頂点をIJKL，正方形ABCDと正方形IJKLの各辺の延長線上の交点をMNOPとし，正方形ABCDの対角線の交点をQとする．
　直角二等辺三角形AQBとEJNは合同であり，5ｃｍだけ下方に移動しただけである．△BQCと△FKO，△CQDと△GLP，△DQAと△HIMも同じ関係である．従って，正方形ABCDの面積は△EJN＋△FKO＋△GLP＋△HIMと同じである．これは，図の正方形ABCDからはみ出した部分，すなわち，△AEM，△BFN，△CGO，△DHP（これらはすべて合同）の面積の和が四角形IJKLの面積に等しいことを示している．
　よって，求める面積は5×5×4÷2＝50

　　　答え50cm²

解答・その12

（ペンネ−ム：高橋　道広）

zu1のように　切り取り線をのばしてしまうと図の中の赤い線の長さが同じであ ることから中の正方形の対角線の長さが10cmであることがわかる よって面積は　1/2×10×10=50cm²となる

zu2のように　一辺の長さ10cmの正方形を切ったとすると　中には　この正方形 の半分の面積を持つ正方形が出来る よって　中の正方形の面積は　50cm²

zu3のように赤い直角二等辺三角形を黒い図形にくっつけると　大きな二等辺三 角形が出来る。この二等辺三角形は　図のなかの　赤い二等辺三角形と合同であ るから　中の正方形の面積は赤い二等辺三角形４つ分と同じ面積を持つ よって　４×1/2×５×５=50cm²　となる

解答・その13

（ペンネ−ム：やなせ）

逆に行きますね問題は右の図ですが、それを苦しいですが底辺に沿ってそれぞれ５ｃｍずらせば左のようになります。
正方形は直角二等辺三角形ａ，ｂ，ｃが４個集まった物ですよね
それがそれぞれ５ｃｍずれて出来た隙間の面積だから
右の図で言えば正方形からはみ出した直角二等辺三角形ｄ，ｂ，ｅが４個集まった物と同じはずです。
ずれたのが５ｃｍですから辺ｄ，ｂの長さも５ｃｍのはず…
直角二等辺三角形ｄ，ｂ，ｅの面積は５×５÷２¬＝１２．５ｃｍ²
それが４個だから１２．５×４＝５０ｃｍ²ですね
正方形の大きさには全く関係有りません
昔良くありました
直径１０ｍの円があります。その１ｍ外側に円を描けば円周は幾ら長くなるでしょう また地球の上に地上から１ｍ離して綱を引けば長さは幾らでしょうなぁ〜〜んてね 関係ないか（笑）

解答・その14

（ペンネ−ム：ちかひで）

　設問の形状は，正方形の対角線を引くことによりできる4個 の二等辺直角三角形を，それぞれ底辺沿いに右方向に5cmずら したことになる．従って，中央に対角線の長さ10cmの正方形が できる。その面積は，

　　　　　10×10÷2＝50

答：５０cm²

解答・その15

（ペンネ−ム：三角定規）

右図の緑色の部分は明らかに合同だから，

　中央の正方形の面積
＝
＝50 cm² …［答］

解答・その16

（ペンネ−ム：teki）

答え　５０ｃｍ²

考え方
真ん中の図形を正方形と考えると、どうしても辺の長さを計算したくなりますね。
でも、実は対角線の長さならすぐに求めることができます。
元の正方形の対角線を５ｃｍずつ平行にずらしたのが、真ん中の正方形の辺 ですから、その対角線の長さは５×２＝１０ｃｍです。
よって、真ん中の正方形の面積は１０×１０÷２＝５０ｃｍ²　ですね。

解答・その17

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

右の図のように、正方形に対角線を引きます。次に中央の正方形の頂点を通りもとの正方形の各辺に平行な線を引きます。すると灰色の部分は平行四辺形になります。この平行四辺形の短い方の辺の長さは５cmです。また中央の正方形の各辺を斜辺とする三角形は直角二等辺三角形です。すると、中央の正方形の辺の長さは５√２cmとなります。だからこの正方形の面積は５０cm²です。

解答・その18

（ペンネ−ム：Toru）

大きな方の正方形を、中心に向かって縮めていって、まん中の正方形に接するとこ ろまで持ってくると、一辺が１０cmになるので、まん中の正方形の面積はその半分 で50cm² ----答え

解答・その19

（ペンネ−ム：蜘蛛の巣城）

与えられた正方形の外側に、小三角形を4枚つけ加えて上図を得ます。それは下図の4枚の直角二等辺三角形が、正方形の辺に沿って左回りにずれた形です。カメラのシャッターが開くようなイメージですね。従って、中央に生じた小正方形の面積は正方形の外側にはみ出た4枚の小三角形の面積の和ですから、正方形の辺の長さにかかわりなく ５０ｃｍ^２ です。もっとも、正方形の辺は １０ｃｍ 以上なければいけないことになりますか。

ところで、これは数学的論述でしょうか。書きながら疑問に捕らえられています。「説明」には、厳密さに関して要求される様々な水準というものがあるでしょうが、それにしてもくだけ過ぎているかもわかりません。くだけた説明を好む人ばかりなら、多分ユークリッド幾何学は成立しなかったのではないでしょうか。

正解者

杖のおじさん	Toru	ＪＳミル
Mizutani	nao	T_Tatekawa
浜田　明巳	ニトロ	ちゃんこ鍋
巷の夢	teki	足立of joy toy
やなせ	夜ふかしのつらいおじさん	こざっぱ
蜘蛛の巣城	ちかひで	三角定規
高橋　道広

今月も多くの方々からの解答をどうもありがとうございました。 また、説明のためのイラストを作成していただいた方、どうもありがとうございました。
蜘蛛の巣城さんが、「カメラのシャッター」と表現してくださいましたが、 なかなかうまい表現だなと感心しました。面積を求めたい部分を直接測るのではなく、そこと同じ面積を持つ 他の部分を測ることで間接的に求めるというのは、いい手法ですよね。

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