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問題１　電卓の問題
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１．電卓の問題

電卓に「０．９９９９９９９９９」を表示させるのにボタンを最低何回押せばよいでしょうか？

問題の出典

ピ−タ−・フランクルのパズルより面白い中学入試の算数
講談社

答えと解説

解答・その１

「１」「÷」「３」「×」「３」「＝」の６回
まともに計算すれば１÷３は１／３すなわち０．３３３３３・・・である。 しかし、電卓の場合１÷３を計算した結果が画面に表示された時点で、循環する無限小数０．３３３３３・・・ではなく有限小数０．３３３３３３３３３（機種により３の個数は異なる）として、電卓内部の演算装置に認識される。 ０．３３３３３３３３３×３は、言うまでもなく０．９９９９９９９９９である。

解答・その１・コメント

無限小数と有限小数の違いが認識できてるところがすごい！

解答・その２

電卓を押す回数を減らすために・・・
１）２ケタになると数字を２回押さなければならないため、
数字は１ケタにする。
２）小数のケタ数が多いため、割り切れないわり算を使う。
（割る数は偶数でない。）
上を考えて、
除法、１回では「０．９９９・・・」と表示されないため、除法後の計算を考える。「０．９９９・・・」を９９９・・・とならばないように分解する。（１回で９９９・・・と表示できないから。）

                      ・ 
０．９９９・・・＝０．３×３
　　　　　　　　　　　    ・　　　
                ＝０．２４９×４
　　　　　　　　　　　  ・
                ＝０．１６×６
　　　　　　　　　　　・　　　　・
                ＝０．１４２８５７×７
　　　　　　　　　　　 　　 ・
                ＝０．１２４９×８
  　　　　　　　　　　・
　              ＝０．１×９
　　　　　　　　　　　　　　　　・　　　　　　　・　　　　
上から適当なものを選ぶ　→　０．３×３　と　０．１×９
　　・　　　　　　　・
０．３×３　と　０．１×９　において、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・　　　・
３と９は整数であるのでおいといて、０．３と０．１について考える。
　　・　　　　　　　　　・　
０．３＝１÷３　　　０．１＝１÷９
　　　　　　　　・　　　
よって上から０．３×３は、１÷３×３＝
　　・
０．１×９は、１÷９×９＝

だから、数字３、記号３で６回となる。


迷答

電卓と対決しましたが、ただ０．９９９９９９９９９とシンプルに行くのが 一番はやくでてくるのです。
でも１つ発見したので、一応いじで書きます。 ２０回もボタンをおさなきゃいけないのですよ。 まったく。 電卓のくせに迷惑な。
０．９と３回おして「√」←このボタンで４回、そして、連打・・・ ダダダダダダダダ・・・。 ２０回目で（０．９の３回も含めて）０．９９９９９９と出ます。 ただそれだけです。 つまらない。 しかも、なんだか９の数が少ない、ような、気が。
でも発見時は感動のあらし。りんごりら（ペンネ−ム）やりました。 ついに、ついに発見です。 と、まあうれしいことはうれしかったんです。 でも先生はどこのボタンを何回押せばいい、といことを 知っていらっしゃるんでしょう。 先生のいじわる。

迷答・コメント

「ａ1=0.9、ａn+1=√ａn、 lim(n→∞)ａn=？」を電卓で実験しちゃったわけね。

さて、logａn=cnとすると、 ａn+1=√ａnだから、（常用）対数をとって
logａn+1=1/2logａnより、 cn+1=1/2cn、
c1=log0.9、
従って、cnは等比数列だから、 cn=log0.9(1/2)n-1
lim(n→∞)cn=lim(n→∞)log0.9(1/2)n-1=0
ａn=10cnより、
lim(n→∞)an=lim(n→∞)10cn=100=1というわけですね。

ところで、c1＝log0.9＜log1=0　なので、cn＜0、
従って、an=10cn≦100=1、 つまり、上に有界。

そして、an+1／an=√ａn／an=1／√ａn≧1より、
（0＜an≦1だから、）
an+1≧an、つまり、単調増加。

そういえば「上に有界な単調増加数列は必ず収束する（極限値を持つ）」という定理がありましたねえ。

というわけで、０．９を出発点にしてずんずんと１に向かって増加していく、 その途中に０．９９９９９・・・があるわけね。
出発点は０より大きく１より小さいなら他の値でもいい。 １に近い値からスタ−トした方が早く１に近づく。 １より大きい値を出発点にすると１より大きい方から単調減少で１に近づく。 是非、最寄りの電卓でやってみて！

（感想：ＨＴＭＬで数式を記述するのはむずかしい。 勉強不足ですいません。 読みにくいところがありますが、お許し下さい。 数式エディタ−がほしい！）


そんなのあり−っ？　その１

３回

０で１回目、コンマで２回目、９を押し続ければいっぱい出る。

そんなのあり−っ？　その２

１回
電源を入れて０．９９９９９９９９９を出し、Ｍ＋を押す。そして電源をＯＦＦにする。 そこからまた、ＯＮにしてＭＲを押すと１回で０．９９９９９９９９９が出る。


質問

１÷３＝１／３、これと３との積は１。しかし、１÷３＝０．３３３３３・・・。これと３との積は０．９９９９９・・・？
では１＝０．９９９９９・・・なのでしょうか。どういうことなのでしょうか。（数学のナゾ？）

お答えします

０．９９９９９・・・と無限に続く数は、１と等しいのでしょうか。それとも、微妙に違うのでしょうか。

こう考えられるかな。

ｘ＝０．９９９９９・・・とする。

        ｘ＝０．９９９９９・・・   これを１０倍して、

−）１０ｘ＝９．９９９９・・・・　 そして、引き算すると、



    −９ｘ＝−９

 従って、ｘ＝１
すなわち０．９９９９９・・・＝１なのです。

ここでのポイントは９が無限に続くということです。たとえ、どんなに続いていてもそれが有限ではこうはいかないのです。 無限というのは実に不思議としかいいようがありません。

まとめ

電卓の性能に左右されますね。

答えは「１」「÷」「３」「×」「３」「＝」の６回である。
「１÷９×９＝」「３÷９×３＝」でもよい。
ただし、性能の良い電卓（？関数電卓）で計算すると答えが１になってしまうこともある。 この場合は「１−１（exp）９（+/-）＝」の７回。これは、１−１×１０−９という式の入力の仕方です。 よく「数学では答えがただ１つ」なんて言葉を耳にしますが、そうでもないですね。

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