コロキウム室(４４４４の問題)

NO.54　　　'98　 1/1 　 Hungry Bear　　　４４４４の問題（１）

昔々（long long ago） 「４」を４個使って１から１０までを作る問題があったのを 思い出しました。

　　　　１＝４×４÷４÷４
　　　　２＝４÷４＋４÷４
　　　　３＝（４＋４＋４）÷４
　　　　４＝４＋４×（４−４）
　　　　５＝（４×４＋４）÷４
　　　　６＝４＋（４＋４）÷４
　　　　７＝４＋４−４÷４
　　　　８＝４＋４＋４−４
　　　　９＝４＋４＋４÷４
　　　　１０＝４＋４＋４−√４

小数点、４４、や！（階乗）を使えば１００まで作れるそうです。 残念ながら全部解いた記憶はないのですが．．．

　　　　１１＝４！÷√４−４÷４
　　　　１２＝４！÷√４−４＋４
　　　　１３＝４！÷√４＋４÷４
　　　　１４＝４！÷√４＋４÷√４
　　　　１５＝４×４−４÷４
　　　　１６＝４×４×４÷４
　　　　１７＝４×４＋４÷４
　　　　１８＝４×４＋４÷√４
　　　　１９＝４！−４−４÷４
　　　　２０＝４！−４×４÷４

NO.55　　　'98　 1/2 　　 Junko　　　４４４４の問題（２）

続きをやってみました。

　　　　２１＝４！−４＋４÷４
　　　　２２＝４！−(４＋４)÷４
　　　　２３＝４！−４÷√４÷√４
　　　　２４＝４！＋４×(４−４)
　　　　２５＝４！＋４÷√４÷√４
　　　　２６＝４！＋(４＋４)÷４
　　　　２７＝４！＋４−４÷４
　　　　２８＝４！＋４＋４−４
　　　　２９＝４！＋４＋４÷４
　　　　３０＝４！＋４＋４−√４

３０番代の奇数で今悩んでいます。

NO.56　　　'98　 1/4 　　 みかん　　　　４４４４の問題（３）

  
　　　　３１＝[√（４！×√４)×４＋４]    [ ]:gauss関数
　　　　３３＝[４！＋４＋４＋√√４]
　　　　３５＝[√（４！）×４×√４−４]
　　　　３７＝[√（４！）×４×√４−√４]
　　　　３９＝[√（４！×４）×√（４×４）]     

NO.57　　　'98　 1/4 　 Junko　　　４４４４の問題（４）

すごい！　ガウス関数とはね。考えもしなかったです。

ガウス関数とは、ｙ＝[ｘ]とかき、 ｘを越えない最大の整数を与えます。
イメ−ジとしては、少数点以下切り捨てなのですが、 負の数についてはこのイメ−ジだと間違えますから要注意です。

例

　　　　１．[１．８５]＝１
　　　　２．[５]＝５
　　　　３．[１０．５]＝１０
　　　　４．[−２．５]＝−３
　　　　５．[−０．１]＝−１

ちなみに、私が考えた３０代の偶数です。

　　　　３２＝４！＋４＋√４＋√４
　　　　３４＝４！＋４＋４＋√４
　　　　３６＝４！＋４＋４＋４
　　　　３８＝４４−４−√４
　　　　４０＝４４−√４−√４

これにヒントを得て、４０代もクリア−です。

　　　　４１＝４４−４＋[√√４]
　　　　４２＝４！×√４−４−√４
　　　　４３＝４４−４÷４
　　　　４４＝４４＋４−４
　　　　４５＝４４＋４÷４
　　　　４６＝４！×√４−４＋√４
　　　　４７＝４！×√４−４÷４
　　　　４８＝４！×√４＋４−４
　　　　４９＝４！×√４＋４÷４
　　　　５０＝４！×√４＋４−√４

NO.58　　　'98　 1/12 　 Junko　　　４４４４の問題（５）

続きです。何とか１００までできました。
奇数を作るために、[√√４]＝[１．４１４・・・]＝１を利用できます。
さらにみかんさんのまねをして、 √（４！）＝√２４＝４．８９８・・・を使うことを考えました。
[√（４！）]＝[４．８９８・・・]＝４では意味がありません。
ガウス関数は切り捨てのようなものですが、 ある工夫をすると切り上げと同じ効果を得ることができます。

　　　　　　√（４！）＝４．８９８・・・
　　　　　−√（４！）＝−４．８９８・・・
　　　　[−√（４！）]＝[−４．８９８・・・]＝−５
　　　−[−√（４！）]＝−（−５）＝５

　　　　５１＝４！×√４＋４−[√√４]
　　　　５２＝４４＋４＋４
　　　　５３＝４！×√４＋４＋[√√４]
　　　　５４＝４！×√４＋４＋√４
　　　　５５＝４！×√４＋√４−[−√（４！）]
　　　　５６＝４！×√４＋４＋４
　　　　５７＝４！×√４＋[√４×√（４！）]
　　　　５８＝４！×√４＋√４×｛−[−√（４！）]｝
　　　　５９＝４×４×４＋[−√（４！）]
　　　　６０＝４４＋４×４

　　　　６１＝４！÷√４×｛−[−√（４！）]｝＋[√√４]
　　　　６２＝４×４×４−√４
　　　　６３＝４×４×４−[√√４]
　　　　６４＝４×４×√４×√４
　　　　６５＝４×４×４＋[√√４]
　　　　６６＝４×４×４＋√４
　　　　６７＝４４＋[４×√（４！）]
　　　　６８＝４×４×４＋４
　　　　６９＝４×４×４−[−√（４！）]
　　　　７０＝４！×４−４！−√４

　　　　７１＝４！×４−４！−[√√４]
　　　　７２＝４！×√４×√４−４！
　　　　７３＝４！×４−４！＋[√√４]
　　　　７４＝４！×４−４！＋√４
　　　　７５＝｛−[−√（４！）]｝×｛−[−√（４！）]｝×（４−[√√４]）
　　　　７６＝４！×４−４！＋４
　　　　７７＝４！×４−４！−[−√（４！）]
　　　　７８＝４×４×｛−[−√（４！）]｝−√４
　　　　７９＝４×４×｛−[−√（４！）]｝−[√√４]
　　　　８０＝４！×４−４×４

　　　　８１＝４×４×｛−[−√（４！）]｝＋[√√４]
　　　　８２＝４×４×｛−[−√（４！）]｝＋√４
　　　　８３＝４４×√４＋[−√（４！）]
　　　　８４＝４４×√４−４
　　　　８５＝４×４×｛−[−√（４！）]｝−[−√（４！）]
　　　　８６＝４４×√４−√４
　　　　８７＝４４×√４−[√√４]
　　　　８８＝４４＋４４
　　　　８９＝４４×√４＋[√√４]
　　　　９０＝４４×√４＋√４

　　　　９１＝４！×４−４−[√√４]
　　　　９２＝４４×√４＋４
　　　　９３＝４！×４−４＋[√√４]
　　　　９４＝４！×４−４＋√４
　　　　９５＝４！×√４×√４−[√√４]
　　　　９６＝４！×４×４÷４
　　　　９７＝４！×√４×√４＋[√√４]
　　　　９８＝４！×４＋４−√４
　　　　９９＝４！×４＋√４＋[√√４]
　　　１００＝４！×４＋√４＋√４

ほとんど自己満足ですね。 間違いがあったらご指摘ください。 もっといいアイディアがあれば、教えてください。

NO.60　　　　 2/2 　 Hungry Bear　　 　４４４４の問題（６）

「４ずくし」の問題ですが、 途中で挫折してしまったのですが、 １００まで完成しちゃいましたね。
ガウス関数なんてのがあるのですね、 高校か大学で習ったのかな？記憶にないのですが、 なんか「反則」って感じですが、 Ｌｏｔｕｓ−１２３の＠ＩＮＴ関数な訳ですか。
今更、ですが小数点を使ってみました。 未だに完成できませんが．．．．m(_ _)m

　　　　　　．４＝０．４です
　　　
      　３１＝｛（√４÷．４）！＋４｝÷４
　　　　３２＝４×√４×√４×√４
　　　　３３＝？
　　　　３４＝４×４×√４＋√４
　　　　３５＝４！＋（４４÷４）
　　　　３６＝４×４×√４＋４
　　　　３７＝？
　　　　３８＝（４÷．４）×４−√４
　　　　３９＝４４−（√４÷．４）
　　　　４０＝４４−√４×√４

　　　　１００＝（４÷．４）×（４÷．４）

NO.61　　　　 2/26 　 Ｐ．Ｎ．Ｓｈａｋｅ　　　　４４４４の問題（７）

4くずしの問題で４単独で３が作れないか （ＮＯ．５８）ということでしたが 自然対数を使えば３を作り出すことができます。
でもこれは反則かもしれませんね
［Ｌｏｇ（４！）］＝［3.178054…］＝３という具合です。
ちなみに自然対数とは自然数ｅ＝2.718282…を何乗したら その数になるのかということです。
つまり、上の例で言うとｅの3.178054…乗が ２４になるということです。

NO.64　　　　 3/12 　　 水の流れ　　　　　 ４４４４の問題（８）

インターネット上で数学に関する文献を探していたら、 あなたのホームページをクリックしました。 実は「４」を４回使って、 １から１００までをつくるページを拝見しました。 私も学生時代に、［　　］ガウス記号や小数点や 循環小数等の記号を使ってチャレンジしました。 それが昨年１１月に、１、９、９、８の順番を変えないで １から１００まで同じように作らないかと 「慶応大学の荒川先生」のページから知り、 生徒に授業中に作らせました。 そのとき、脳裏に浮かんだのが 「４」を４回使って、昔考えたのを思い出しました。 この問題はＷ．Ｗ．Ｒ．ボール氏が1913年に提案したことが 始まりです。

NO.65　　　　 3/13 　　 水の流れ　　　　　 ４４４４の問題（９）

「４の４」の歴史的なことですが、 1859年、フィーエル博士が 数学者のドゥ・モルガン氏に 「１から１５までの数を４個の９で表すことが出来ます。 たとえば、２＝９÷９＋９÷９というようにです。 こういうことは意味があるでしょうか」
これに対し、ドゥ・モルガンは「１６以上の数も試みてみる 価値があるでしょう。 特に、教育上大いに意味があるでしょう」 と言う返事を出したそうです。
これをきっかけに、 昨日のメールのようにボール氏が ４を４回使っていろいろな自然数を作ろう と言う提案に至ったそうです。
参考文献　大阪書籍「新数学事典」903p　904p
機会を見つけて「Four　Fours]のことは研究したいと思って います。

NO.66　　　　 3/14 　　 水の流れ　　　　　 ４４４４の問題（１０）

この「４個の４」は1881年に 、ある雑誌に発表されたそうです。
一般に、ａを１から９までの任意の数字としたとき、 「４個のａ」の問題として考えられます。
この冬休みの課題に「数の不思議」と題して、 本校（注：岐阜県の高校だそうです。）の２年生に
Four　ones，Four　twos，Four　threes，Four　fives，
Four　sixs，Four　sevens，Four　eights，Four　nines
と同じ数字を４回使って、 １から出来るだけ自然数を作ってみましょう。 皆さん挑戦してみては！

ところが、世の中既に一般の場合について、 対数記号を使って表した人がいるのです。 勿論生徒には言ってありませんが。
答えは　講談社「数学歴史パズル」１９４ｐにあります。 ちょっと大変ですので、書けません。
　　 実は　１，２，３，４，５，６，７，８，１０を４を１回 使って表すことは既にあります。 ずい分無理がありますが。
３＝［√√［√√√√√４！！］！］ だそうです。
実際にやってみませんが、 これまた、浅学が上に確かめずに書くことを許してください。