コロキウム室(三角形可能な確率)

NO.450　　　　'99 4/25 　　 水の流れ 　　　 三角形可能な確率（１）
　　

第１４回数学的な応募問題

太郎さんのお子さんは工作が大好きです。 細長い棒が１本あります。 それを２カ所で折って、３本に分けます。 このとき、出来た３本で三角形を作れる確率を求めてください。 ただし、棒を折る位置はどの点でも同じとする。
太郎さんも童心にかえって、いろいろと折って考えることにしました。 皆さんも、考えてください。
　 ＜問題の出典：算数はアタマのよくなるパズルだ：みくに出版＞　

NO.454　　　　'99 5/1 　　 Junko 　　　 三角形可能な確率（２）
　　

棒の長さを１０として、ｘ，ｙ，１０−ｘ−ｙの３つに分けたとします。
０＜ｘ＜１０、０＜ｙ＜１０−ｘとなります。

三角形ができるための条件は任意の２辺の長さの和が、 もう１辺の長さより長いことです。従って、以下の３条件となります。

1. ｘ＋ｙ＞１０−ｘ−ｙ
   これより、ｙ＞５−ｘ
2. ｘ＋(１０−ｘ−ｙ)＞ｙ
   これより、５＞ｙ
3. ｙ＋(１０−ｘ−ｙ)＞ｘ
   これより、５＞ｘ

「Introduction-to-Probability」という本にNO.450（９９年４月２５日出 題）三角形可能な確率（１）と同じ問題がのっていまして、検索でこのページを 見つけて拝見させていただきました。
実は同本の演習問題にはNO.４５０とよく似た問題もあり、こちらの方は答えに 対数が出てくるようなのですが、この本には解答がついていません。よろしけれ ば解き方を教えていただけませんか？

２章　連続確率密度　より

問１３　

単位長の棒を２本に折り、そのうち長い方を再び２本に折る。（ただし折る箇所 はランダムに選ぶ）このとき出来た３本で三角形が作れる確率を求めよ。
（拙訳をお許しください。原文ものせます。）

（原文）
Take a stick of unit length and break it into two pieces. Choosing the break point at random. Now break the longer of the two pieces at a random point. What is the probability that the three pieces can be used to form a triangle?

棒の長さを１とする。棒を左右に置いて、左端を０，右端の点を１とする。そして、 ２カ所の切断点の、０（左端）からの距離を、ｘ、ｙとし（ただし、ｘ、ｙの大小の 区別をつけない）、出来た３本の辺を、（ｘ、ｙの大小に関わらず）左から�@、�A、 �Bとする。（図１参照）

　そして、さっきと同様、２数ｘ、ｙを点（ｘ、ｙ）で表し、０≦ｘ≦１，０≦ｙ≦ １の座標を考える。（図２参照）

三角形ができるためには、「どの１辺も他の２辺の和より短い。」
今、３辺の和が１だから、このことを言い換えると、 「どの辺も１／２より短くなければならない。」
ここでは、逆に、三角形が出来ない場合を考える。

　まず、�@が１／２より大きくなる場合。
このとき、ｘ、ｙはともに１／２より大きいから、１／２≦ｘ≦１、１／２≦ｙ≦１。 これは図３の（ア）の部分になる。
次に、�Bが１／２より大きくなる場合も同様で、ｘ、ｙはともに１／２より小さくな るから、０≦ｘ≦１／２，０≦ｙ≦１／２。これは図３の（イ）の部分になる。
　最後に、�Aが１／２より大きくなるのは、ｘ、ｙの差が１／２より大きくなるとき がから、｜ｘ−ｙ｜≧１／２。これは図３の（ウ）の部分になる。
　したがって、三角形が作れるのは、（ア）、（イ）、（ウ）を除いた青い部分で、 その面積は、正方形全体の１／４になる。
よって、求める面積は、１／４である。
＜解答の出典：算数はアタマのよくなるパズルだ：みくに出版＞：（コメント：一 部、記号を変更し、詳しくしてある。）

水の流れさんの解答は、 「折る点を２か所同時に（simultaneously）ランダムに選ぶ場合」 （NO.450や下記の問題と同じ）ではないでしょうか？
それとも「棒を折ってできた二本のうち長い方を選んで二本に折る」という条件は確率に影響しないのでしょうか？

問１２（先日投稿した問題とは別のものです。NO.450 と同じです。原文をそのままうつしました。）
Take a stick of unit length and break it into three pieces. Choosing the break point at random. (The break points are assumued to be chosen simultaneously.) What is the probability that the three pieces can be used to form a triangle? HINT: The sum of the lengths of any two pieces must exseed the length of the third. so each piece must have length < 1=2.

（直訳です。）
長さ１の棒を３本に折る。折る箇所はランダムに選び、またその二点は同時に選 ばれると想定する。このときできた三本で三角形が作れる確率を求めよ。（ヒン ト：三本のうちどの二本の長さの和も、残りの一本の長さより大きくなければな らない。つまりそれぞれの長さは1/2より小さくなければならない。）

棒の長さを１０とします。
最初に折った際に、短い方の棒の長さをｘとします。０＜ｘ＜５
次に折った棒を、ｙ，１０−ｘ−ｙとします。０＜ｙ＜１０−ｘ

三角形ができるための条件は任意の２辺の長さの和が、 もう１辺の長さより長いことです。従って、以下の３条件となります。

1. ｘ＋ｙ＞１０−ｘ−ｙ
   これより、ｙ＞５−ｘ
2. ｘ＋(１０−ｘ−ｙ)＞ｙ
   これより、５＞ｙ
3. ｙ＋(１０−ｘ−ｙ)＞ｘ
   これより、５＞ｘ

一部修正(11/21 19:00)

[NO.450の解]

領域S；x+y+z=1 (x,y,zは正数) を図示すると右図(fig1)のような、正三角形Sになります。

S上で三角不等式
lx-yl≦z≦x+yを考えたのが右図(fig2)
したがって、1/4…答

[No1092の解]

最初におった長い方を再びおるというのは x+y+z=1 (x,y,zは正数)かつ z≦x+y なるz=pが与えられたということですから、 このとき、三角形ができる確率ｄP(p)は 右図(fig3)より

ｄP(p)=C(p)D(p)/A(p)B(p)

ここで
C(p)D(p)=(√2)/2x{p/(1/2)}=(√2)p

A(p)B(p)=(√2)x{(1-p)/1}=(√2)(1-p)

よって
dP=p/(1-p)

あまり自信ありません

対数が出て欲しいのなら、解答は多分不適切なものです。
解き方としては、 規格化のために棒の長さは１とした方が確率の問題では無難です。 それで、最初に折った時の棒の長さをｘとします。 （対称性から０．５までにして２倍できます。） ０〜０．５について三角形が成立するのは、 （１ーｘ）部分（長い方）のうち真ん中の部分で折る場合で、その幅はｘになり ます。
したがって、０〜０．５の範囲で、 関数ｆ（ｘ）＝ｘ／（１−ｘ）を積分してやれば良く、 答えはそれを２倍するので、
２log２ー１（約０．３８？）になると思います。

エクセルで解いてみました（Macro1）．
長さ１の線分内に，乱数により，２ヵ所の点を打つ。 それによって３つの線分に分け，その３つの長さをｘ，ｙ，ｚ （ｘ＋ｙ＋ｚ＝１，０≦ｘ＜１，０≦ｙ＜１，０＜ｚ≦１）とする．

三角不等式
　　｜ｘ−ｙ｜＜ｚ＜ｘ＋ｙ
を満たすとき，三角形をなす．

この試行を１００００００回繰り返し，確率を求める．
このマクロにより，確率は
　　0.250206≒１／４
となることが分かる．

どう見てもlog２が出て来るようには見えないのですが．
このマクロMacro1では，何のしがらみもなく２点を打ち， ３本の線分に分けるようになっています．

それに対して，Macro2では，最初に１点をとって１つの線分を取り出し， 残りの線分内にもう１点をとって，合計３本に分けるようになっています． これは問題の条件には合っていないと思います．
とりあえず走らせてみると，確率は
　　0.193202≒log２−１／２
となり，ここでlog２が出るようです．

Option Explicit
Const N As Long = 1000000
Sub Macro1()
    Dim A As Double, B As Double
    Dim x As Double, y As Double, z As Double
    Randomize Timer
    Cells(1, 1).Value = 0
    Cells(1, 2).Value = 0
    Cells(1, 3).Value = "=A1/B1"
    While Cells(1, 2).Value < N
      A = Rnd: B = Rnd
      x = Application.Min(A, B)
      y = Abs(A - B)
      z = 1 - x - y
      'Cells(2, 1).Value = x: Cells(2, 2).Value = y: Cells(2, 3).Value = z
      If Abs(x - y) < z And z < x + y Then
        Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
      '  Cells(2, 4).Value = "○"
      'Else
      '  Cells(2, 4).Value = "×"
      End If
      Cells(1, 2).Value = Cells(1, 2).Value + 1
    Wend
End Sub
Sub Macro2()
    Dim x As Double, y As Double, z As Double
    Randomize Timer
    Cells(1, 1).Value = 0
    Cells(1, 2).Value = 0
    Cells(1, 3).Value = "=A1/B1"
    While Cells(1, 2).Value < N
      x = Rnd: y = Rnd * (1 - x)
      z = 1 - x - y
      'Cells(2, 1).Value = x: Cells(2, 2).Value = y: Cells(2, 3).Value = z
      If Abs(x - y) < z And z < x + y Then
        Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
      '  Cells(2, 4).Value = "○"
      'Else
      '  Cells(2, 4).Value = "×"
      End If
      Cells(1, 2).Value = Cells(1, 2).Value + 1
    Wend
End Sub