Weekend Mathematics／コロキウム室／テーマ別 ／4.１９９８和の問題



コロキウム室(１９９８和の問題)


NO.103　　　　 5/15 　　水の流れ　 １９９８和の問題（１）

「１からの自然数の列があって、ある項から順に和を取ったら、 ちょうど１９９８になりました。 どこの自然数からと何個の和でしょうか。ただし、 ２個以上とることにします。」
　答えは１とおりでないです。
「１からの奇数の列の場合は、途中から順に和をとって、 １９９８になるのでしょうか？」
　答えはないのですが？



NO.104　　　　 5/18 　　Junko 　 １９９８和の問題（２）

初項をａ、項数をｎとすると、

a+(a+1)+(a+2)+･･･+(a+n-1)=1998
　　　　　 
　　na+(1/2)･n･(n-1)=1998･･･@

　　2na+n･(n-1)=1998×2

　　　2a+n-1=3996/n･･･A
つまり、ｎは3996の約数でなければならないことになります。
そこで、3996を素因数分解してみました。
3996=22×33×37
これより、3996の約数は、
1,2,3,4,6,9,12,18,27,36,37,54,74･･･となります。
順次、確認しました。
  1. n=2のとき
    @より、2a+1=1998
　　　　　2a=1997　
    となり、ａが自然数であることに反するのでだめ。
  2. n=3のとき
    @より、3a+3=1998
　　　　　3a=1995
　　　　　 a=665
    確認・・・665+666+667=1998　　ＯＫ
  3. n=4のとき
    @より、4a+6=1998
　　　　　4a=1992
　　　　　 a=498
    確認・・・498+499+500+501=1998　　ＯＫ
  4. n=6のとき
    @より、6a+15=1998
　　　　　 6a=1983　
    となり、ａが自然数であることに反するのでだめ。
  5. n=9のとき
    @より、9a+36=1998
　　　　　 9a=1962
　　　　　  a=218
    確認・・・218+219+220+221+222+223+224+225+226=1998　　ＯＫ
  6. n=12のとき
    @より、12a+66=1998
　　　　　 12a=1932
　　　　　   a=161
    確認・・・161+162+163+164+165+166+167+168+169+170+171+172=1998　　ＯＫ
  7. n=18のとき
    @より、18a+153=1998
　　　　　  18a=1845　
    となり、ａが自然数であることに反するのでだめ。
  8. n=27のとき
    Aより、2a+26=148
　　　　　 2a=122
　　　　　  a=61
    確認 
    　61+62+63+･･･87
 =(1/2)･27･(61+87)
 =(1/2)･27･148
 =74･27
 =1998　　ＯＫ
  9. n=36のとき
    Aより、2a+35=111
　　　　　 2a=76
　　　　　  a=38
    確認 
    　38+39+40+･･･73
 =(1/2)･36･(38+73)
 =(1/2)･36･111
 =18･111
 =1998　　ＯＫ
  10. n=37のとき
    Aより、2a+36=108
　　　　　 2a=72
　　　　　  a=36
    確認 
    　36+37+38+･･･72
 =(1/2)･37･(36+72)
 =(1/2)･37･108
 =54･37
 =1998　　ＯＫ
  11. n=54のとき
    Aより、2a+53=74
　　　　　 2a=21
    となり、ａが自然数であることに反するのでだめ。
  12. n=74のとき
    Aより、2a+73=54
　　　　　 2a=-19
    となり、ａが自然数であることに反するのでだめ。
  13. これより先はすべてだめ。
以上、答えは７通りかな？

次に奇数の列を考えました。
初項をａ（奇数）、項数をｎとすると、

a+(a+2)+(a+4)+･･･+{(a+2(n-1)}=1998
　　　　　 
　　(1/2)･n･{2a+2(n-1)}=1998

　　　　n･{a+(n-1)}=1998

　　　　　a+(n-1)=1998/n･･･B
つまり、ｎは1998の約数でなければならないことになります。
そこで、1998を素因数分解してみます。
1998=2×33×37
これより、1998の約数は、
1,2,3,6,9,18,27,37,54,74･･･となります。
順次、確認しました。
  1. n=2のとき
    Bより、a+1=999
　　　　　a=998　
    となり、ａが奇数であることに反するのでだめ。
  2. n=3のとき
    Bより、a+2=666
　　　　　a=664　
    となり、ａが奇数であることに反するのでだめ。
  3. n=6のとき
    Bより、a+5=333
　　　　　a=328　
    となり、ａが奇数であることに反するのでだめ。
  4. n=9のとき
    Bより、a+8=222
　　　　　a=214　
    となり、ａが奇数であることに反するのでだめ。
  5. n=18のとき
    Bより、a+17=111
　　　　 　a=94　
    となり、ａが奇数であることに反するのでだめ。
  6. n=27のとき
    Bより、a+26=74
　　　　　 a=48
    となり、ａが奇数であることに反するのでだめ。
  7. n=37のとき
    Bより、a+36=54
　　　　 　a=18　
    となり、ａが奇数であることに反するのでだめ。
  8. n=54のとき
    Bより、a+53=37
　　　　 　a=-16　
    となり、ａが自然数であることに反するのでだめ。
  9. これより先はすべてだめ。
従って、条件に合うものはない。



NO.108　　　　 6/1 　　水の流れ　　 １９９８和の問題（３）

６月１日でコロキウム室の１年になりますね。

さて、奇数の場合は　和が平方数になることに気がつけば、
　ｎ２−ｍ２＝１９９８
因数分解して、
（ｎ＋ｍ）(ｎ−ｍ）=1998=1×2×3×3×3×37より、
２つの因数の和は２ｎとなり、組み合わせで
（偶数＋奇数＝奇数）となる場合は不可能です。　　 したがって、解なし。




　
戻る