コロキウム室(お祝い問題・多項式展開係数)

この度のドメイン取得により、新しいホームページのオープン 誠におめでとうございます。これからの貴ページの益々の発展と 管理者のご活躍を心から、お祈りします。 ここで、お祝いの印しに、問題を提供します。
（１＋ｘ＋ｘ^２）^ｎの展開係数をを考えてください。

試しにいくつか展開してみました。

（１＋ｘ＋ｘ^２）^２＝ｘ^４＋２ｘ^３＋３ｘ^２＋２ｘ＋１

（１＋ｘ＋ｘ^２）^３＝ｘ^６＋３ｘ^５＋６ｘ^４＋７ｘ^３＋６ｘ^２＋３ｘ＋１

（１＋ｘ＋ｘ^２）^４＝ ｘ^８＋４ｘ^７＋１０ｘ^６＋１６ｘ^５＋ １９ｘ^４＋１６ｘ^３＋１０ｘ^２＋４ｘ＋１

パスカルの三角形を連想しますよね？
同じように係数を並べてみました。

ｎ	（１＋ｘ＋ｘ２）ｎの係数
１				１	１	１
２			１	２	３	２	１
３		１	３	６	７	６	３	１
４	１	４	１０	１６	１９	１６	１０	４	１
・・・		・・・

並べながら気づきました。 パスカルの三角形は、上２つを足していくことで形成されますが、 これは上３つの和で作っていけばいいのですね。 なーるほど。

「お祝いの問題」　で、下記のようなパスカルの三角形みたいのが得られました。 ここで、コロキウムの「コ」と水の流れの「ミ」をとって、コミカルな三角形と呼びましょう。

ｎ	（１＋ｘ＋ｘ２）ｎの係数
１				１	１	１
２			１	２	３	２	１
３		１	３	６	７	６	３	１
４	１	４	１０	１６	１９	１６	１０	４	１
・・・		・・・		Ｐ（ｎ、ｒ）

この数字をＰ（ｎ、ｒ）で表すことにします。 ただし、ｎ＝０，１，２，３，・・・・、０≦ｒ≦２ｎ　とする。
また、Ｐ（ｎ、０）＝１、Ｐ（ｎ、１）＝ｎ、Ｐ（ｎ、２ｎー１）＝ｎ、Ｐ（ｎ、２ｎ）＝１　とする。 すると、このコミカルの三角形は
Ｐ（ｎ＋１，ｒ）＝ Ｐ（ｎ，ｒ−２）＋Ｐ（ｎ，ｒ−１）＋Ｐ（ｎ，ｒ）　という性質を持っています。
これは、上の段の３つの和として、順に得られますので、トリボナッチ数列にもなります。

第６３回数学的な応募問題

太郎さんは、先日生徒から「ニュートンの２項定理って、何ですか。」と聞かれました。 すぐには答えられませんでしたが、 パスカル（フランス：1623〜1662）の三角形が出てくる２項係数を思い出して、 （ａ＋ｂ）^ｎの２項定理を言いました。ただし、このｎは正の整数です。
しかし、ニュートン（イギリス：1642〜1727）と名前が出ているので、 ２項定理の発見者はニュートンかしらと疑問に思っていました。そこで、文献で調べてみました。

文学、物理学、気象学の分野で多彩な業績を残したパスカルは、数学においても、 数多くの成果をあげています。転がる円盤の一点が描くサイクロイドの研究はや、 フェルマー（フランス：1601〜1665）と共同で行った確率の研究は、特に優れたものです。 パスカルは確率の研究から、２項式の展開（ａ＋ｂ）^ｎにおいて、 係数の規則性を発見しました。 これが、これがいわゆるパスカルの三角形と言われる魔法の三角形です。 多くの人は、ものご存じですので、割愛します。１６５４年に発案しました。

実はこの三角形は中国で古くから知られていました。 朱世傑の著書で１３０３年頃書かれた「四元玉鑑」を見ると、 すでに２項展開したときの係数が書かれています。 これは、高次方程式を解くにあたって使用されていました。 また、ヨーロッパでも１６世紀の数学者、カルダノ（イタリア：1501〜1576）らが知っていて、 ３次行程式や４次方程式の解法に使ったいました。

弱冠２３歳のニューートンが、１６６５年の初めに、 パスカルの発見した「２項定理」の指数ｎを拡張して、 正の整数から、負の整数、分数まで拡げ、無限級数にまで発展させている。 αが任意の実数のとき、（１＋ｘ）^αをベキ級数に展開できる公式を 「ニュートンの２項定理」と言います。 この係数は組み合わせの記号Ｃ（ｎ、ｒ）と書きますが、 ｎが正整数でないと組み合わせの意味がなくなりますが、 ｎ＝α，ｒ＝ｎとして、２項係数は、
α(α-1)(α-2)(α-3）・・・(α-ｎ＋１）／ｎ！＝｛α，ｎ｝と表します。
例えば、α＝−１のとき、１＋ｘ＋ｘ^２＋ｘ^３＋ｘ^４＋・・・＋ｘ^ｎ＋・・・＝１／(１−ｘ)
となることです。

で、いろいろと文献を見て、次のような問題を考えてみました。 まず、３項式（１＋ｘ＋ｘ^２）^ｎの展開係数を見て下さい。
ｎ＝０，１，２，３，４，５，・・・と展開すると、パスカルの三角形は２項式（１＋ｘ）^ｎの展開係数ですが、 似たような奇妙な数列がでてきます。一度見て下さい。 （この三角形をコミカルな三角形と呼びましょう。）

ｎ	（１＋ｘ＋ｘ２）ｎの係数
０						１
１					１	１	１
２				１	２	３	２	１
３			１	３	６	７	６	３	１
４		１	４	１０	１６	１９	１６	１０	４	１
５	１	５	１５	３０	４５	５１	４５	３０	１５	５	１
・・・			・・・		Ｐ（ｎ、ｒ）

この数字をＰ（ｎ、ｒ）で表すことにします。 ただし、ｎ＝０，１，２，３，・・・・、０≦ｒ≦２ｎ　とする。
また、Ｐ（ｎ、０）＝１、Ｐ（ｎ、１）＝ｎ、Ｐ（ｎ、２ｎー１）＝ｎ、Ｐ（ｎ、２ｎ）＝１　とする。
すると、このコミカルの三角形は

Ｐ（ｎ＋１，ｒ）＝ Ｐ（ｎ，ｒ−２）＋Ｐ（ｎ，ｒ−１）＋Ｐ（ｎ，ｒ）

という性質を持っています。

これは、上の段の３つの和として、順に得られますので、トリボナッチ数列にもなります。

ここからが、今回の問題です。次の初項から第ｋ項までの和をｋで表してください。

問題１：Ｔ_１＝１＋１＋１＋・・・＋Ｔ_０　　（ただし、Ｔ_０＝１とする）

問題２：Ｔ_２＝１＋２＋３＋４＋・・・＋Ｔ_１

問題３：Ｔ_３＝１＋３＋６＋10＋・・・＋Ｔ_２

問題４：Ｔ_４＝１＋４＋10＋20＋・・・＋Ｔ_３

問題５：Ｔ_５＝１＋５＋15＋35＋・・・＋Ｔ_４

問題６：一般に、

（ｎ＝１，２，３，・・・、ただし、Ｔ_０＝１とする）

さて、最後に問題７： この展開を拡張して、多項式（１＋ｘ＋ｘ^２＋ｘ^３＋ｘ^４＋・・・）^ｎ の展開係数を考えてください。

この数列は２変数数列（そんな言葉があるのかなあ？）としてとらえなければいけないのかなと思います。
つまり、

問題１：Ｔ_{（１，ｋ）} ＝Ｔ_{（０，１）}＋Ｔ_{（０，２）}＋・・・＋Ｔ_{（０，ｋ）} ＝１＋１＋１＋・・・＋Ｔ_{（０，ｋ）}　

　　　　　　　　（ただし、任意のｋについて、Ｔ_{（０，ｋ）}＝１とする）

問題２：Ｔ_{（２，ｋ）} ＝Ｔ_{（１，１）}＋Ｔ_{（１，２）}＋・・・＋Ｔ_{（１，ｋ）} ＝１＋２＋３＋４＋・・・＋Ｔ_{（１，ｋ）}

問題３：Ｔ_{（３，ｋ）} ＝Ｔ_{（２，１）}＋Ｔ_{（２，２）}＋・・・＋Ｔ_{（２，ｋ）} ＝１＋３＋６＋10＋・・・＋Ｔ_{（２，ｋ）}

問題４：Ｔ_{（４，ｋ）} ＝Ｔ_{（３，１）}＋Ｔ_{（３，２）}＋・・・＋Ｔ_{（３，ｋ）} ＝１＋４＋10＋20＋・・・＋Ｔ_{（３，ｋ）}

問題５：Ｔ_{（５，ｋ）} ＝Ｔ_{（４，１）}＋Ｔ_{（４，２）}＋・・・＋Ｔ_{（４，ｋ）} ＝１＋５＋15＋35＋・・・＋Ｔ_{（４，ｋ）}

問題６：一般に、

さて改めて、

問題１：Ｔ（１，ｋ）	＝Ｔ（０，１）＋Ｔ（０，２）＋・・・＋Ｔ（０，ｋ）
	＝１＋１＋１＋・・・＋Ｔ（０，ｋ）
	＝ｋ

問題２：

問題３：

問題４：

以上のことから、一般に

となることが予想されます。

以下では、Ｔ_ｎ＝Ｔ_ｎ(ｋ)のように書く。

問題１．

Ｔ_１(ｋ)＝１＋１＋１＋１＋・・・＋１＝ｋ

問題２．

問題３．

ここで、問題６の解答として次の予想が立つ。

(1)が成り立つのを証明する。初めに次の補題を示す。

証明．帰納法で示す。

i)ｋ＝１のとき

より成立。

ii)ｋ→ｋ＋１

となり成立。

補題１を用いて(1)を証明する。

証明．帰納法で示す。

i)ｎ＝１のときは問題１より成立

ii)ｎ→ｎ＋１

となり、成立。

以上の考察より、以下の解を得る。

問題７．

証明．帰納法で示す。

i)ｎ＝１のとき

より成立。

ii)ｎ→ｎ＋１

となり、成立。