コロキウム室(三角数は平方数？)

第２２回数学的な応募問題

太郎さんは、高校でパスカルの三角形の美しさを教えています。 そこで、問題です。

問題１：
ｘ^２＝２ｙ^２＋１（一つのペル方程式）である、 正の整数解（ｘ、ｙ）を求めてください。
一部の特殊解でも良いですし、一般解でも良いです。

問題２：
子供とき、おはじきで遊んだことがあります。 正方形に並べたおはじきをくずして、 今度は正三角形にも並べることができたとき、 これらのおはじきの個数を求めたくなりました。
１つの例でも良いですし、一般の場合でも良いです。
皆さん、考えてください。 太郎さんも童心にかえって、いろいろとおはじきを並び替えて、 考えていましたが、なかなかうまくいきません。 皆さんも、考えてください。　

（１）
（Ｘ，Ｙ）＝（３，２），（１７，１２），（９９，７０），（５７７，４０８）・・・

（２）
３６，１２２５，４１６１６，１４１３７２１，４８０２４９００，・・・

漸化式
　　　Ｃ（１）＝０，Ｃ（２）＝１
　　　Ｃ（ｎ）＝３４・Ｃ（ｎ−１）−Ｃ（ｎ−２）＋２

前回と同じアプローチです。

なる(ｘ_ｎ，ｙ_ｎ)が、 方程式ｘ^２＝２ｙ^２＋１　の解であることを 数学的帰納法で示します。

• (ｘ_１，ｙ_１)＝(３，２)は、 方程式ｘ^２＝２ｙ^２＋１　を満たすのでＯＫ。
  
  
• ｎ＝ｋのとき、成り立つとする。
  つまり、に対して、 ｘ_ｋ^２＝２ｙ_ｋ^２＋１　とする。
  
  
• ｎ＝ｋ＋１のとき
  

  
  
  これを、ｘ_ｋ^２＝２ｙ_ｋ^２＋１　に代入する ことにより、ｘ_ｋ＋１^２＝２ｙ_ｋ＋１^２＋１　を 得ますから、
  数学的帰納法により証明されます。
  
  

しかしながら、これは なる(ｘ_ｎ，ｙ_ｎ)が、 方程式ｘ^２＝２ｙ^２＋１　の解であることを 示したにすぎず、方程式ｘ^２＝２ｙ^２＋１　を解いたことにはなりません。

「方程式を解く」というのは、それを満たす解を”すべて”求めることだからです。

一辺ａの正方形のおはじき個数は

一方、一辺ｂの正三角形のおはじきの個数は、
１＋２＋３＋・・・＋ｂ＝1/2・ｂ（ｂ＋１）

これが等しければいいので、
1/2・ｂ（ｂ＋１）＝ａ^２
ｂ（ｂ＋１）＝２ａ^２
左辺を平方完成すると、 （ｂ＋1/2）^２−1/4＝２ａ^２なので、 ｂ＋1/2＝ｃとおく。
そうすると、ｃ^２−1/4＝２ａ^２　となり、
４ｃ^２−１＝８ａ^２　
（２ｃ）^２＝２（２ａ）^２＋１　となる。
さらにここで、２ｃ＝ｘ、２ａ＝ｙとすれば、 Ｘ^２＝２ｙ^２＋１　となり、ペルの方程式に帰着される。
ここで、ａ，ｂは正のの整数なので、ｘ＝２ｂ＋１，ｙ＝２ａも正の整数である。

NO.572で「kiyo」さんが、示してくださった解をあてはめてみます。
ｘ＝３、ｙ＝２のとき、ａ＝1/2・ｙ、ｂ＝1/2（ｘ-1）より、ａ＝1、ｂ＝1。 このとき、おはじきの個数は１個。
ｘ＝１７、ｙ＝１２のとき、ａ＝６、ｂ＝８。このとき、おはじきの個数は３６。
ｘ＝９９、ｙ＝７０のとき、ａ＝３５ｂ＝４９。このとき、おはじきの個数は１２２５。
・・・

一般の「ペルの方程式： Ｘ^２＝ｋ・ｙ^２＋１」・・・(*)　　 について考えてみます。
　
　 これを満たす解が１組みつかったとしたら(存在する保証はどこにもないのですが・・・) これを、
ｘ₁＝ａ、ｙ₁＝ｂとして、 なる（ｘ_ｎ , ｙ_ｎ）を考えます。
これもやはり方程式（*）の解になることが>NO.575と 同様に数学的帰納法で証明されます。